Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, Florianópolis, 2015. / Made available in DSpace on 2015-05-19T04:09:52Z (GMT). No. of bitstreams: 1 333592.pdf: 1086313 bytes, checksum: 480b3adc594facafa04587c71a5c0892 (MD5) Previous issue date: 2015 / A teoria de categorias é apresentada pela primeira vez em 1945, no trabalho entitulado General Theory of Natural Equivalences. Na publicação de 1950, entitulada Duality for Groups, MacLane introduz por meio axiomático a noção de categoria abeliana. O objetivo desse trabalho é estudar algumas construções feitas em categorias k-lineares (que são abelianas). Passamos por todas as definições e resultados necessários na teoria de categorias para podermos definir ação de um grupo finito G em uma categoria k-linear e, em seguida, definir a equivariantização de uma categoria k-linear. Como principal resultado, mostramos que a equivariantização de uma categoria k-linear é, também, k-linear. Para esse estudo, utilizamos como referência principal, as notas de aula Una introdución a las categorías tensoriales y sus representaciones do prof. Dr. Martín Mombelli.<br> / Abstract : The category theory is introduced for the first time in 1945 in a research entitulated General Theory of Natural Equivalences. In 1950 in a publication called Duality for Groups, MacLane introduce trough axioms the notion of abelian category. The purpose of this research is studying some contructions done in k-linear categories which are abelians. We have studied all necessary definitions and results in the categories theory so we can define the action of a finite group G in a k-linear category and after that we can define the equivariantization of a k-linear category. As the main result we have shown the equivariantization of a k-linear category is, also, k-linear. We study as the main reference the class notes Una introdución a las categorías tensoriales y sus representaciones of the prof. Dr. Martín Mombelli.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2018. / Submitted by Raquel Almeida (raquel.df13@gmail.com) on 2018-05-09T16:48:37Z No. of bitstreams: 1 2017_FernandoVieiraBarbosa.pdf: 3039587 bytes, checksum: 554cd4dfd764e78784432de149eaebcf (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana (raquelviana@bce.unb.br) on 2018-05-30T16:44:27Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_FernandoVieiraBarbosa.pdf: 3039587 bytes, checksum: 554cd4dfd764e78784432de149eaebcf (MD5) / Made available in DSpace on 2018-05-30T16:44:27Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_FernandoVieiraBarbosa.pdf: 3039587 bytes, checksum: 554cd4dfd764e78784432de149eaebcf (MD5) Previous issue date: 2018-05-30 / Este trabalho constitui-se de uma proposta de ensino utilizando o cubo mágico de Rubik. Inicialmente relata-se a história do “brinquedo” para que o leitor perceba que irá trabalhar com um instrumento clássico que será conhecido por anos e anos e não um recurso que se tornará obsoleto. Seguido de manuais que apresentam o cubo mágico ao leitor e o ensina a desembaralhar suas peças de uma forma simples e acessível. Já no contexto acadêmico, voltado para o ensino superior, foi elaborado um capítulo que mostra uma possibilidade de materializar o tão abstrato conteúdo de teoria de grupos. Visando o ensino básico, apresento uma proposta de projeto, que foi realizada com alunos do ensino médio, a confecção de um mosaico utilizando 500 cubos mágicos. Uma proposta interdisciplinar que desperta o interesse, mesmo de estudantes com dificuldade em matemática. Por fim, manuais de derivados do cubo – 4x4x4 e 5x5x5 - desta forma o docente pode dar continuidade ao projeto com cubos maiores. / This work consists of a teaching proposal using the magic cube of Rubik. Initially telling the story of the "toy" so the reader can realize that he is going to work with a classic instrument that will be known throughout years and not only a resource that is becoming obsolete. Followed by manuals that introduce the magic cube to the reader and teach to unscramble its pieces in a simple and accessible way. Moreover, in the academic context, focused on higher education, has been created a chapter that shows a possibility to materialize such an abstract content from the theory of groups. Aiming at basic education, I present a project proposal, which was carried out with high school students, developing a mosaic using 500 magic cubes. An interdisciplinary proposal that arouses interest, even of students with difficulty in mathematics. Finally, derivatives manuals of the cube - 4x4x4 and 5x5x5 – in this way the teacher can follow through this project with larger cubes.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2017. / Submitted by Raquel Almeida (raquel.df13@gmail.com) on 2017-06-22T18:33:37Z No. of bitstreams: 1 2017_AlexandreMatosdaSilvaPiresdeMoraes.pdf: 599951 bytes, checksum: 929371aa8d7be29ac30492aa6cd831f5 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana (raquelviana@bce.unb.br) on 2017-06-26T17:08:43Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_AlexandreMatosdaSilvaPiresdeMoraes.pdf: 599951 bytes, checksum: 929371aa8d7be29ac30492aa6cd831f5 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-06-26T17:08:43Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_AlexandreMatosdaSilvaPiresdeMoraes.pdf: 599951 bytes, checksum: 929371aa8d7be29ac30492aa6cd831f5 (MD5) Previous issue date: 2017-06-26 / No presente trabalho, estuda-se a probabilidade de dois elementos comutarem quando são aleatoriamente selecionados em um grupo finito. Para obter os resultados principais, que são os teoremas 9 e 14 constantes do artigo On the commuting probability in finite groups (R.M. Guralnick e G. R. Robinson, 2006), são adotadas duas abordagens complementares: uma que recorre à análise das classes de conjugação de um grupo e outra que se apóia não só na teoria de representações lineares de grupos mas também na informação que pode ser obtida a partir dos caracteres que lhes são associados. O primeiro teorema fornece uma cota superior para o valor da probabilidade de comutação. Já o segundo, estabelece uma cota inferior para tal probabilidade, usando informações sobre grau dos caracteres irredutíveis. Um resultado adicional, sob a forma de corolário, garante a existência, em um grupo G de ordem par (superior a 2), de um subgrupo próprio H, cujo cubo da ordem é maior do que a ordem de G. / In the current work, we study the commuting probability of two randomly selected elements of a finite group. In order to obtain the main results, which are theorems 9 and 14 of the article On the commuting probability in finite groups (R.M. Guralnick e G. R. Robinson, 2006), two complementary approaches are considered: one that takes into account the analysis of conjugacy classes in a group and another that relies not only upon the theory behind the linear representations of groups but also on the information that can be extracted from the associated characters. The first theorem allows an upper bound to be obtained for the value of the commuting probability. The second, on the other hand, establishes a lower bound for this probability, using information about the degree of the irreducible characters. An additional result, under the form of a corollary, ensures the existence, in a finite group of even order (greater than 2), of a proper subgroup H, whose cube of the order is greater than the order of G.

Orientador: Abraham Hirsz Zimerman / Banca: Paulo Teotônio Sobrinho / Banca: José Francisco Gomes / Resumo: Neste trabalho estudamos a hierarquia de modelos integráveis de AKNS supersimétrico. Abordamos também um modelo da mesma hierarquia, correspondendo a um sistema relativístico. Este modelo foi desenvolvido a partir da mesma estrutura algébrica e portanto corresponde ao modelo de Lund-Regge supersimétrico. Incluímos estudos de outros aspectos refentes a transformações de simetria e supersimetria de forma sistemática para o modelo de AKNS supersimétrico não relativístico. Obtemos as soluções tipo sóliton dos modelos integráveis (em 2 dimensões) sob consideração / Abstract: In this work we study the supersymmetric AKNS integrable model hierarchy. We discuss also a relativistic model of the same hierarchy. This model was developed from the same algebraic structure and therefore corresponds to the supersymmetric Lund-Regge model. We include a systematic study on other aspects of the symmetries and supersymmetries transformations of the non relativistic supersymmetric AKNS. We obtain soliton Solutions of the integrable models (in two dimensions) under consideration / Mestre

Neste trabalho apresentamos um teorema que explicita condições necessárias e suficientes para que um polinômio f(X) 2 Q[X] seja solúvel por radicais reais, juntamente com algumas aplicações do mesmo. Além disso, mostramos que em Q[X] sempre e possível encontrar o grupo de Galois de qualquer polinômio f(X) 2 Q[X]. / In this text we present a Theorem which gives necessary and suficient conditions for a polynomial f(X) with rational coe cients to be soluble by real radicals, as well as some applications of this result. We also show that it is always possible to explicit the Galois group of any polynomial f(X) 2 Q[X].

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Departamento de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, 2014. / Submitted by Ana Cristina Barbosa da Silva (annabds@hotmail.com) on 2015-03-26T16:11:47Z No. of bitstreams: 1 2014_LeandroAraujoCastro.pdf: 616373 bytes, checksum: 6d83bff7098d41a1eb69822c53016639 (MD5) / Approved for entry into archive by Guimaraes Jacqueline(jacqueline.guimaraes@bce.unb.br) on 2015-05-06T14:00:28Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_LeandroAraujoCastro.pdf: 616373 bytes, checksum: 6d83bff7098d41a1eb69822c53016639 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-06T14:00:28Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_LeandroAraujoCastro.pdf: 616373 bytes, checksum: 6d83bff7098d41a1eb69822c53016639 (MD5) / Um conhecido teorema devido a Schur [25, 10.1.4] assegura que, se G é um grupo tal que [G : Z(G)] é finito então G0 é finito. Baer [2] forneceu uma generalização para todos os termos das séries centrais ascendente e descendente, assegurando que se [G : Zi(G)] é finito então i+1(G) é finito. A recíproca do Teorema de Baer não é válida em geral. Não obstante, P. Hall [11] mostrou que se i+1(G) é finito então [G : Z2i(G)] é finito. A presente dissertação tem por base um trabalho de G. Fernández-Alcober e M. Morigi [7] onde mostra-se que a mesma conclusão do Teorema de Hall vale sob a hipótese mais fraca de que [i+1(G) : i+1(G) \ Zi(G)] é finito. Dado um inteiro i ≥ 1, dizemos que um grupo G é i-capable se G é isomorfo a H=Zi(H), para algum grupo H. O resultado de Fernández- Alcober e Morigi garante que, para um grupo i-capable G, vale a recíproca do Teorema de Baer. Além dos resultados de [7], neste trabalho estudamos outras classes de grupos para as quais vale a recíproca do Teorema de Baer. _____________________________________________________________________________________ ABSTRACT / A well known theorem due to Schur [25, 10.1.4] asserts that, if G is a group such that [G : Z(G)] is finite, then G0 is finite. Baer [2] generalized Schur's result to other terms of the upper and lower central series, proving that if [G : Zi(G)] is finite, then i+1(G) is finite. The converse of Baer's Theorem does not hold in general. However, P. Hall [11] showed that if i+1(G) is finite, then [G : Z2i(G)] is finite. This dissertation is based on the work of G. Fernández-Alcober and M. Morigi [7]. The authors showed [7, Theorem A] that the same conclusion of Hall's result is valid under the weaker hypotesis that [i+1(G) : i+1(G) \ Zi(G)] is finite. Given an integer i ≥ 1, we say that G is i-capable if G is isomorphic to H=Zi(H), for some group H. The result of Fernández-Alcober and Morigi ensures that the converse of Baer's Theorem holds for any i- capable group G. Apart from the results in [7], in this essay we also study other classes of groups for which the converse of Baer's Theorem is true.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2012. / Submitted by Alaíde Gonçalves dos Santos (alaide@unb.br) on 2012-10-18T15:04:30Z No. of bitstreams: 1 2012_BrunoFigueiraLourenco.pdf: 956295 bytes, checksum: 8853f5038a52e8dfc15832aea5398c14 (MD5) / Approved for entry into archive by Luanna Maia(luanna@bce.unb.br) on 2012-11-07T11:05:02Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2012_BrunoFigueiraLourenco.pdf: 956295 bytes, checksum: 8853f5038a52e8dfc15832aea5398c14 (MD5) / Made available in DSpace on 2012-11-07T11:05:02Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2012_BrunoFigueiraLourenco.pdf: 956295 bytes, checksum: 8853f5038a52e8dfc15832aea5398c14 (MD5) / O caráter de Steinberg pode ser construído sempre que temos um grupo finito G equipado com um par-BN. Em particular, se G é um grupo finito do tipo Lie, o caráter de Steinberg tem um papel de destaque no estudo dos caracteres irredutíveis de G. Neste trabalho, discutimos a construção e algumas aplicações do caráter de Steinberg. Em particular, mostramos sua irredutibilidade e, sob hipóteses adicionais, determinamos todos os seus valores. Como aplicações, utilizamos o caráter de Steinberg para provar resultados sobre comutadores e para contar o número de elementos unipotentes em certos grupos finitos do tipo Lie. Além disso, apresentamos brevemente uma extensão do caráter de Steinberg proposta por Walter Feit. Para que o texto seja auto-contido, apresentamos uma discussão geral sobre grupos com par-BN e revisamos também alguns aspectos relevantes da Teoria de Grupos Algébricos Lineares. ________________________________________________________________________________ ABSTRACT / If G is a finite group with a BN-pair, it is always possible to construct a complex irreducible character called the Steinberg character. In particular, if G is a finite group of Lie type, the Steinberg character has a special place in the study of the irreducible characters of G. In this work, we discuss the construction and some applications of the Steinberg character. In particular, we show the irreducibility of the Steinberg character and, under some additional hypotheses, we calculate all its values. As examples of applications, we use the Steinberg character to show a few results about commutators and in order to count the number of unipotent elements in certain finite groups of Lie type. Moreover, we present a quick discussion of an extension of the Steinberg character introduced by Walter Feit. We tried to keep this work as self-contained as possible, therefore we included a chapter on groups with a BN-pair and another one on the theory of Linear Algebraic Groups.

Tese (doutorado)-Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2010. / Submitted by Shayane Marques Zica (marquacizh@uol.com.br) on 2011-03-03T18:58:38Z No. of bitstreams: 1 2010_KariseGoncalvesOliveira.pdf: 350339 bytes, checksum: 009160fa3cd99ad608df6cdb34a57bbd (MD5) / Approved for entry into archive by Luanna Maia(luanna@bce.unb.br) on 2011-03-04T11:40:29Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2010_KariseGoncalvesOliveira.pdf: 350339 bytes, checksum: 009160fa3cd99ad608df6cdb34a57bbd (MD5) / Made available in DSpace on 2011-03-04T11:40:29Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2010_KariseGoncalvesOliveira.pdf: 350339 bytes, checksum: 009160fa3cd99ad608df6cdb34a57bbd (MD5) / Seja G um grupo finito de ordem ímpar admitindo um grupo de automorfismos elementar A de ordem 2n. Neste trabalho estudamos a influência que propriedades de CG(A) exercem sobre a estrutura de G. Obtemos os seguintes resultados: se G é de comprimento derivado k e CG(A) tem expoente m, então G possui uma série normal G = G1 ≥ T1 ≥ G2 ≥ T2 ≥ • • • ≥ Gn ≥ Tn = 1 com quocientes Gi/Ti nilpotentes de classe {k,m,n}-limitada para todo i = 1, ...n e quocientes Ti/Gi+1 de expoente {k,m,n}-limitado para todo i = 1, ...,n−1; e se G é de comprimento derivado k e admite um grupo de Klein de automorfismos A tal que CG(a) é extensão de um grupo de expoente e por um grupo nilpotente de classe c para todo a ∈ A#, então G possui uma série normal 1 ≤ T1 ≤ T2 ≤ T3 ≤ T4 = G com quocientes T4/T3 e T2/T1 nilpotentes de classe {e, c, k}-limitada e quocientes T3/T2 e T1 de expoente {e, c, k}-limitado. _______________________________________________________________________________ ABSTRACT / Let G be a finite group of odd order admitting an elementary group of automorphisms A of order 2n. We study the influence of properties of CG(A) over the structure of G. We obtain the following results: if G has derived length k and CG(A) has exponent m, then G contains a normal series G = G1 ≥ T1 ≥ G2 ≥ T2 ≥ • • • ≥ Gn ≥ Tn = 1 such that the quotients Gi/Ti are nilpotent of {k,m,n}-bounded class for all i = 1, ...,n and the quotients Ti/Gi+1 have {k,m,n}- bounded exponent for all i = 1, ...,n−1; and if G has derived length k and admits a four-group of automorphisms A such that CG(a) is extention of a group of exponent e by a nilpotent group of class c for all a ∈ A#, then G contains a normal series 1 ≤ T1 ≤ T2 ≤ T3 ≤ T4 = G such that the quotients T4/T3 and T2/T1 are nilpotent of {e, c, k}-bounded class and the quotients T3/T2 and T1 have {e, c, k}-bounded exponent.

Tese Parcial (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2011. / Submitted by Shayane Marques Zica (marquacizh@uol.com.br) on 2011-06-29T16:12:15Z No. of bitstreams: 1 2011_VagnerRodriguesBessa.pdf: 621749 bytes, checksum: f7155cfd9781e98916335e2bfa31c9ff (MD5) / Rejected by Elna Araújo(elna@bce.unb.br), reason: .. on 2011-06-29T16:14:25Z (GMT) / Submitted by Shayane Marques Zica (marquacizh@uol.com.br) on 2011-06-29T16:20:53Z No. of bitstreams: 1 2011_VagnerRodriguesBessaParcial.pdf: 267471 bytes, checksum: dbd354a1a1571cca97a457ca635cb00f (MD5) / Approved for entry into archive by Guilherme Lourenço Machado(gui.admin@gmail.com) on 2011-06-30T12:23:46Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2011_VagnerRodriguesBessaParcial.pdf: 267471 bytes, checksum: dbd354a1a1571cca97a457ca635cb00f (MD5) / Made available in DSpace on 2011-06-30T12:23:46Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2011_VagnerRodriguesBessaParcial.pdf: 267471 bytes, checksum: dbd354a1a1571cca97a457ca635cb00f (MD5) / Neste trabalho encontramos uma limitação para a cardinalidade do gênero dos grupos G = HNN(K, A, t, f), com relação à família de todos os grupos virtualmente livres, onde K é um grupo finito. Também encontramos condições sobre G para que a cardinalidade do gênero seja igual a 1. Para o caso pro-p, encontramos efetivamente a cardinalidade do gênero quando consideramos G uma HNN-extensão residualmente-p. Por fim, fazemos o mesmo estudo para os grupos da forma G1 *H G2, onde G1 e G2 são grupos nilpotentes finitamente gerados e o subgrupo amalgamado H é finito. Toda esta tese tem como pilar o trabalho [GZ], de F. Grunewald e P. Zalesski. _______________________________________________________________________________ ABSTRACT / In this work, we find a bound for the cardinality of genus of groups G = HNN(K, A, t, f) with respect to the class of virtually free groups, where K is a finite group. We also find conditions on G for the cardinality of the genus to be equal 1. For the pro-p case we find effectively the cardinality of genus when we consider G to be residually-p HNN-extension. Finally, we do the same consideration for the groups of type G1 *H G2 where G1 and G2 are finitely generated nilpotent groups and the amalgamated subgroup H is finite. This work is inspired by the paper [GZ], of the F. Grunewald and P. Zalesskii.

Neste trabalho apresentamos um teorema que explicita condições necessárias e suficientes para que um polinômio f(X) 2 Q[X] seja solúvel por radicais reais, juntamente com algumas aplicações do mesmo. Além disso, mostramos que em Q[X] sempre e possível encontrar o grupo de Galois de qualquer polinômio f(X) 2 Q[X]. / In this text we present a Theorem which gives necessary and suficient conditions for a polynomial f(X) with rational coe cients to be soluble by real radicals, as well as some applications of this result. We also show that it is always possible to explicit the Galois group of any polynomial f(X) 2 Q[X].