The purpose of this monograph is to make a detailed study about studying of relations. So, we will provide some definitions. Developing this Themes like binary relations, equivalence relations and order relations. At the same we will show ways to represent relations highlighting the representation in the form of graphs. And we will finish the job with Topological Ordering in completing some tasks of a project. / O objetivo desta monografia é fazer um estudo detalhado sobre relações. Para tanto, forneceremos algumas definições. Para o desenvolvimento deste foram abordados temas como relações binárias, relações de equivalência e relações de ordem. No desenvolvimento deste veremos formas de representar as relações dando destaque a representação na forma de Grafos. E finalizamos o trabalho com a Ordenação Topológica na conclusão de algumas tarefas de um projeto.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / The advent in 1801 of the brilliant work Disquisitiones Arithmeticae of Carl Gauss Friedrich (1777-1885) provided extremely important elements to Number Theory, including the study of congruences, which attracts the eyes of many mathematicians to this day for its application in various areas, including basic education issues, highlighting the need of their study as algebraic learning tool. Therefore, this paper proposes to approach the study of congruence in a systematic way, in order to the context of basic education, by proposing didactic sequence, and their application to everyday problems. / O advento, em 1801, da brilhante obra Disquisitiones Arithmeticae} de Carl Friedrich Gauss (1777-1885) proporcionou elementos de extraordinária importância para a Teoria dos Números, entre eles o estudo de congruência, o qual atrai os olhares de diversos matemáticos até os dias atuais pela sua aplicação em diversas áreas, inclusive em temas do ensino básico, evidenciando a necessidade do seu estudo como ferramenta de aprendizagem algébrica. Sendo assim, o presente trabalho propõe abordar o estudo de congruência de forma sistemática, visando a sua contextualização na educação básica, através de uma proposta de sequência didática, e sua aplicação em problemas do cotidiano.

Orientador: Takaaki Ohishi / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computação / Made available in DSpace on 2018-08-08T10:06:35Z (GMT). No. of bitstreams: 1 LeoneFilho_MarcosdeAlmeida_M.pdf: 1557959 bytes, checksum: 92dc63d4e3140cc61ba7900961c0e9fb (MD5) Previous issue date: 2006 / Resumo: Neste trabalho é proposta uma metodologia para previsão de séries temporais de carga de energia elétrica de curto prazo. Esta metodologia vem sendo muito utilizada no contexto da previsão de séries temporais e do reconhecimento de padrões. Os autores que propuseram esta metodologia a chamaram de "Ensembles". Este nome tenta explicar o é este modelo: uma combinação de partes que juntas formam um só modelo. Neste sentido, este nome expressa com relativa clareza qual é o principal aspecto desta metodologia, que no caso específico deste trabalho, é o de fazer várias previsões de uma mesma série temporal utilizando diferentes ferramentas que sozinhas são suficientemente competentes para prever a série temporal em questão, e em seguida combinar as soluções para, deste modo, tentar obter uma solução melhor do que quando é usada somente uma ferramenta. As ferramentas usadas para compor a previsão dos "Ensembles" finais são Redes Neurais Artificiais (RNAs) e Redes Neurais Nebulosas. Atualmente, estas redes são largamente utilizadas em problemas de previsão de séries temporais, principalmente quando o fator gerador destas séries é um sistema não-linear. Desta forma, isto as tornou candidatas potenciais para prever valores de uma série de cargas de energia elétrica, pois este tipo de série tem características essencialmente não-lineares. Sendo assim, foram utilizados quatro tipos de redes: RNAs MLPs, RNAs Recorrentes, RNAs de Base Radial e Redes Neurais Nebulosas tipo ANFIS. Com os modelos básicos de redes foram, utilizados Algoritmos Genéticos para evoluir os parâmetros destas redes e, assim, chegar a uma população de redes suficientemente competentes para fazer as previsões da série de cargas. Na próxima etapa, com os resultados das previsões da população de redes evoluídas foi feita a seleção dos melhores agrupamentos destas redes evoluídas e, como este processo requer a avaliação de diferentes configurações de modelos, esta seleção é baseada em Algoritmos Genéticos.Os resultados obtidos ao se utilizar "ensembles" mostraram que este modelo foi capaz de alcançar uma grande robustez na previsão, reduzindo os erros de previsão, suavizando os resultados de previsão e deixando o modelo menos suscetível a grandes erros quando surgem "outliers" no conjunto de dados / Abstract: This work proposes a methodology for short-term electric power load forecasting. This methodology is being widely used under the context of time series prediction and pattern recognition. It was named "ensembles" by the authors who developed it. This name carries the meaning of an assemblage of parts considered as forming a whole. Therefore, this name expresses rather clearly the main characteristic of this methodology, which under the framework of this study is to make several predictions of the same time series using various different tools in which every single one alone is sufficiently competent to predict the above mentioned time series. After that, the predictions are combined in order to achieve a better prediction compared to the one that is obtained if a single predictor is used. The tools implemented to form the final "ensembles" prediction are Artificial Neural Networks (ANNs) and Neuro-fuzzy Networks. Nowadays, these networks are being widely used in time series predictions problems, mainly when the factor that generates these series is a non-linear system. Hence, this fact has elected them as potential candidates to predict future values of an electric power load series because this series has essentially non-linear characteristics. As a result, four types of networks were utilized in this work: MLPs ANNs, Recurrent ANNs, Radial Basis ANNs and ANFIS type Neuro-fuzzy networks. So, with the basic networks models, Genetic Algorithms were applied to evolve the parameters of these networks and, as a consequence, a population of networks sufficiently capable of predicting future values of the load time series was built. On the next step, with the results obtained from the evolved population of networks, a selection of the most suitable results of the individual networks were made and, as soon as this process implies the evaluation of multiple different combinations of models, this methodology was based on Genetic Algorithms. Then, this selected networks were combined. The results when using "ensembles" revealed that this model was able to reach a great robustness in prediction tasks. In that sense, it was possible to reduce the level of prediction error, to smooth the resulting predictions and to make the model more stable reducing the possibilities of presenting high levels of errors when the used data set contains "outliers" / Mestrado / Energia Eletrica / Mestre em Engenharia Elétrica

Orientador: Yara Borges Cáznok / Resumo: O objeto de pesquisa desta Tese é o 2 o . Concerto para Piano e Orquestra de Béla Bartók (1881-1945), composto em 1931. Após a contextualização da obra, apresentamos uma análise musical. Nossa perspectiva dialoga com duas principais correntes analíticas: a Teoria da Forma Sonata (Hepokoski e Darcy, Caplin e Schmalfeldt) e as Teorias Pós-tonais (Antokoletz e Straus). A análise concentrou-se no 1 o . Movimento que, segundo o compositor, possuiria a Forma Sonata. Partindo desta declaração, procuramos compreender como opera, formalmente, a dinâmica entre ideias temáticas, motivos, coleções referenciais, relações contrapontísticas e texturais, e direcionalidade. O modelo da Forma Sonata foi colocado em discussão, realçando seus limites, sua maleabilidade e seus pontos de tensão, à luz dos procedimentos formais encontrados neste 1 o . Movimento. Os resultados analíticos descritos textualmente apresentam-se sintetizados por meio de gráficos, considerados parte integrante do procedimento metodológico. / Abstract: Béla Bartók’s (1881-1945) Concerto No. 2 for Piano and Orchestra, composed in 1931, is the primary focus of this thesis. Following the contextualization of the work, we present a musical analysis. Our aim is to bring together two analytical currents: the Sonata Theory (Hepokoski and Darcy, Caplin and Schmalfeldt) and Post-tonal Theories (Antokoletz and Straus). The analysis focuses on the First Movement, which according to the composer, is in Sonata Form. Based on his statement, we intend to understand how thematic ideas, motifs, referential collections, counterpoints, directionality, and texture interact against a formal background. We discuss the Sonata Form, highlighting its limitations, malleability, and points of tension, in light of the formal procedures found in the First Movement. The descriptions of analytical results are supported by graphs, which are considered an integral part of the methodology. / Doutor

Apresenta-se um estudo em Teoria de Domínios das equações integrais da forma geral f (x) = h(x)+g Z b(x) a(x) g(x, y, f (y))dy com h, a e b definidas para x ∈ [a0,b0], a0 ≤a(x)≤b(x)≤b0 e g definida para x, y ∈ [a0,b0], cujo lado direito define uma contração sobre o espaço métrico de funções reais contínuas limitadas. O ponto de partida desse trabalho é a reescrita da Análise Intervalar para Teoria de Domínios do problema de valor incial em equações diferenciais ordinárias que possuem solução como ponto fixo do operador de Picard. Com o conjunto dos números reais interpretados pelo Domínio Intervalar, as funções reais são estendidas para operarem no domínio de funçoes intervalares de variável real. Em particular, faz-se a extensão canônica do campo vetorial em relação à segunda variável. Nesse contexto, pela primeira vez tem-se o estudo das equações integrais de Fredholm e Volterra sobre o domínio de funções intervalares de variável real definida pelo operador integral intervalar com a participação da extensão canônica de g em relação à terceira variável. Adicionando ao domínio de funções intervalares sua função medição, efetua-se a análise da convergência do operador intervalar de Fredholm e Volterra em Teoria de Domínios com o cálculo da sua derivada informática em relação à medição no seu ponto fixo. Com a representação das funções intervalares em função passo constante a partir da partição do intervalo [a0,b0], reescrevese o algoritmo da Análise Intervalar em Teoria de Domínios com a introdução do cálculo da aproximação da extensão canônica de g e com o comprimento do intervalo da partição tendendo para zero. Estende-se essa abordagem mais completa do estudo das equações integrais na resolução de problemas de valores iniciais e valor de contorno em equações diferenciais ordinárias e parciais. Uma vez que para uma pequena variação do campo vetorial v ou do valor inicial y0 da equação diferencial f ′(x) = v(x, f (x)) com a condição inicial f (x0) = y0, pode-se ter uma solução tão próxima da solução f da equação quanto possível, formaliza-se pela primeira vez em Teoria de Domínios um algoritmo na resolução do problema inverso em que, conhecendo a função f , determina-se uma equação diferencial ordinária com o cálculo de um campo vetorial v tal que o operador de Picard associado mapeia f tão próxima quanto possível a ela mesma. / We present a study in Domain Theory of integral equations of the form f (x) = h(x)+g Z b(x) a(x) g(x, y, f (y))dy for a0 ≤ a(x) ≤ b(x) ≤ b0 with h, a, b defined for x ∈ [a0,b0] and g defined for x, y ∈ [a0,b0], in which the right-hand side defines a contraction on the metric space of continuous realvalued functions on [a0,b0]. The starting point of this work is to revisit Interval Analysis in Domain Theory for the initial-value problem in ordinary differential equations where a solution is expressed as a fixed point of the Picard operator. With the set of real numbers interpreted as the interval domain, real-valued functions are extended to work in the space of interval-valued functions of the real variable domain. In particular, the vector field is extended in the second argument. Under these conditions, for the first time Fredholm and Volterra integral equations have solutions expressed as fixed points of a contraction mapping in terms of the splitting on interval-valued functions of the real variable domain. The measurement for interval-valued functions of the real variable domain is considered where we can asssess the convergence properties of the interval integral operator by means of the informatic derivative. The proposed techniques are applied to more general methods in ordinary differencial equations (ODEs) and partial differential equations (PDEs). For the first time, an algorithm is proposed to provide solutions to the inverse problem for Odinary Differential Equation where, given a function f , it is found a vector field v that defines a Picard operator which maps the solution f as close as possible to itself, such that the ODE f ′(x) = v(x, f (x)) admits f as either an exact or, as closely as desired, an approximate solution.

Apresenta-se um estudo em Teoria de Domínios das equações integrais da forma geral f (x) = h(x)+g Z b(x) a(x) g(x, y, f (y))dy com h, a e b definidas para x ∈ [a0,b0], a0 ≤a(x)≤b(x)≤b0 e g definida para x, y ∈ [a0,b0], cujo lado direito define uma contração sobre o espaço métrico de funções reais contínuas limitadas. O ponto de partida desse trabalho é a reescrita da Análise Intervalar para Teoria de Domínios do problema de valor incial em equações diferenciais ordinárias que possuem solução como ponto fixo do operador de Picard. Com o conjunto dos números reais interpretados pelo Domínio Intervalar, as funções reais são estendidas para operarem no domínio de funçoes intervalares de variável real. Em particular, faz-se a extensão canônica do campo vetorial em relação à segunda variável. Nesse contexto, pela primeira vez tem-se o estudo das equações integrais de Fredholm e Volterra sobre o domínio de funções intervalares de variável real definida pelo operador integral intervalar com a participação da extensão canônica de g em relação à terceira variável. Adicionando ao domínio de funções intervalares sua função medição, efetua-se a análise da convergência do operador intervalar de Fredholm e Volterra em Teoria de Domínios com o cálculo da sua derivada informática em relação à medição no seu ponto fixo. Com a representação das funções intervalares em função passo constante a partir da partição do intervalo [a0,b0], reescrevese o algoritmo da Análise Intervalar em Teoria de Domínios com a introdução do cálculo da aproximação da extensão canônica de g e com o comprimento do intervalo da partição tendendo para zero. Estende-se essa abordagem mais completa do estudo das equações integrais na resolução de problemas de valores iniciais e valor de contorno em equações diferenciais ordinárias e parciais. Uma vez que para uma pequena variação do campo vetorial v ou do valor inicial y0 da equação diferencial f ′(x) = v(x, f (x)) com a condição inicial f (x0) = y0, pode-se ter uma solução tão próxima da solução f da equação quanto possível, formaliza-se pela primeira vez em Teoria de Domínios um algoritmo na resolução do problema inverso em que, conhecendo a função f , determina-se uma equação diferencial ordinária com o cálculo de um campo vetorial v tal que o operador de Picard associado mapeia f tão próxima quanto possível a ela mesma. / We present a study in Domain Theory of integral equations of the form f (x) = h(x)+g Z b(x) a(x) g(x, y, f (y))dy for a0 ≤ a(x) ≤ b(x) ≤ b0 with h, a, b defined for x ∈ [a0,b0] and g defined for x, y ∈ [a0,b0], in which the right-hand side defines a contraction on the metric space of continuous realvalued functions on [a0,b0]. The starting point of this work is to revisit Interval Analysis in Domain Theory for the initial-value problem in ordinary differential equations where a solution is expressed as a fixed point of the Picard operator. With the set of real numbers interpreted as the interval domain, real-valued functions are extended to work in the space of interval-valued functions of the real variable domain. In particular, the vector field is extended in the second argument. Under these conditions, for the first time Fredholm and Volterra integral equations have solutions expressed as fixed points of a contraction mapping in terms of the splitting on interval-valued functions of the real variable domain. The measurement for interval-valued functions of the real variable domain is considered where we can asssess the convergence properties of the interval integral operator by means of the informatic derivative. The proposed techniques are applied to more general methods in ordinary differencial equations (ODEs) and partial differential equations (PDEs). For the first time, an algorithm is proposed to provide solutions to the inverse problem for Odinary Differential Equation where, given a function f , it is found a vector field v that defines a Picard operator which maps the solution f as close as possible to itself, such that the ODE f ′(x) = v(x, f (x)) admits f as either an exact or, as closely as desired, an approximate solution.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / The present work has as main objective to approach the fundaments of logic and the notions of sets in a narrow and elementary way, culminating in the construction of natural numbers. We present and advance, as far as possible, natural and intuitively, the concepts of propositions and open propositions, and the use of these in the speci cation sets, according with the axiom of the speci cation. We also present the logic connectives of open propositions and logic equivalences, relating them to the sets. We showed the concept of Theorem, as well as some forms of writing and demonstrations in the scope of the sets, and we used properties and relations of sets in the demonstration techniques. Our study ended with the construction of natural numbers and some of its properties, for example, the Relation Order. / O presente trabalho tem como principal objetivo abordar os fundamentos de lógica e as noções de conjuntos de maneira estreita e elementar, culminando na constru- ção dos números naturais. Apresentamos, e progredimos na medida do possível, de forma natural e/ou intuitiva, os conceitos de proposições e proposições abertas, e o uso destes nas especi cações de conjuntos, de acordo com o axioma da especi cação. Apresentamos também os conectivos lógicos de proposições abertas e as equivalências lógicas, relacionando-os aos conjuntos. Mostramos o conceito de Teorema, bem como algumas formas de escritas e demonstrações no âmbito dos conjuntos, e utilizamos propriedades e relações de conjuntos nas técnicas de demonstração. Encerramos nosso estudo com a construção dos números naturais e algumas das suas principais propriedades, como por exemplo, a Relação de Ordem.

Made available in DSpace on 2016-08-17T14:53:19Z (GMT). No. of bitstreams: 1 dissertacao Carlos Cesar.pdf: 5267302 bytes, checksum: 26bac06a2f7777c938fb717c801f59cd (MD5) Previous issue date: 2011-07-29 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this thesis, an approach based on Set Theory and on the Z Formal Language Specification is presented to formalize the transformations between models in the context of Model Driven Engineering (MDE). The motivation for this research is justified due the ambiguities and inconsistencies present in the models of transformation used to abstract the model transformation process in the MDE context. The precision absence in these the models lead the user to misinterpret complex structures present in the mapping of the source model elements to the target model elements. In this context, we proposed to develop a formal methodology that eliminates the ambiguities and inconsistencies present in the informal representations of model transformation in MDE. To solve this problem, a Formal and Conceptual Framework is developed that groups the elements involved in the process of transformation, represented by mathematical artifacts from the Set Theory and specified on Z language. This Framework is validated through a case study that contains complex transformations, tested on the mathematical proof tool Z/EVES, which supports statements made in Z language. / Nesta dissertação, apresenta-se uma abordagem baseada na Teoria dos Conjuntos e na Linguagem de Especificação Formal Z para formalizar a Transformação entre Modelos dentro do contexto da Engenharia Dirigida a Modelos (MDE). A motivação desta pesquisa se deu devido a constatação de que a literatura sobre MDE tem apresentado ambiguidades e inconsistências nos modelos utilizados para abstrair o processo de transformação de modelos no contexto da MDE. Esta falta de precisão nestes tipos de modelos leva o usuário a interpretar de forma errada estruturas complexas presentes no mapeamento de elementos do modelo fonte para o modelo alvo. Sendo assim, propõe-se desenvolver uma metodologia formal que elimine as ambiguidades e inconsistências presentes nas representações informais da transformação de modelos da MDE. Para solucionar este problema, desenvolveu-se um Framework Conceitual Formal que agrupa os elementos envolvidos no processo de transformação, onde estes são representados através de artefatos matemáticos da Teoria dos Conjuntos e especificados em linguagem Z. Este Framework é validado através de um estudo de caso que contêm transformações, testadas na ferramenta de prova matemática Z/EVES, que suporta declarações feitas em linguagem Z.

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2015-12-07T16:46:12Z No. of bitstreams: 1 guilhermerafaelsoares.pdf: 5619162 bytes, checksum: 75fa907e315795bd1f893ed8c941e9bd (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2015-12-07T21:41:38Z (GMT) No. of bitstreams: 1 guilhermerafaelsoares.pdf: 5619162 bytes, checksum: 75fa907e315795bd1f893ed8c941e9bd (MD5) / Made available in DSpace on 2015-12-07T21:41:38Z (GMT). No. of bitstreams: 1 guilhermerafaelsoares.pdf: 5619162 bytes, checksum: 75fa907e315795bd1f893ed8c941e9bd (MD5) Previous issue date: 2015-03-30 / FAPEMIG - Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais / Esta pesquisa sistematiza um catálogo de experimentos constituído de estudos musicais e seus algoritmos geradores, organizando procedimentos para composição assistida por computador orientados por regras derivadas de análises musicais de contexto pós-tonal. Os procedimentos são inspirados em apontamentos de estudos sobre pós-tonalidade no compositor Béla Bartók, encontrados nas obras de Lendvai (1971), Antokoletz (1984), Cohn (1991) e Suchoff (2004). Problematizam-se aqui os conceitos de ciclos intervalares, eixos de simetria, polimodalismo e peculiaridades de coleções referenciais de classes de altura - conforme sugestões de Forte (1973), Straus (2004) e Susanni e Antokoletz (2012). São detalhadas questões computacionais para esta implementação, utilizando como base as ferramentas OpenMusic e biblioteca Python Music21. Um legado em código aberto fica disponível para continuidades possíveis deste trabalho. / This research produces a catalog of experiments in musical studies and its related generative algorithms, organizing procedures for computer aided composition oriented by constraints extracted from post-tonal musical analyses. The procedures are inspired by post-tonality studies of Béla Bartók’s music, found in the works of Lendvai (1971), Antokoletz (1984), Cohn (1991) and Suchoff (2004). Main focus on problematization of interval cycles, symmetry axis, polymodalism and peculiarity of referencial collections from pitch-class set theory - as sugested by Forte (1973), Straus (2004) and Susanni e Antokoletz (2012). Details of computational issues for the implementation, using the open source tools OpenMusic and Music21 (python library) as base.