The two main parts of this doctoral thesis are a theorem that tight closure is contained in continuous closure via axes closure on the one hand and an algorithm to decide semistability of sheaves (or geometric vector bundles) via reduction to a linear algebra problem on the other hand. The sheaf stability algorithm was explicitly implemented by the author.

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La présente thèse porte sur le développement d'une théorie d'algèbre linéaire, de géométrie et d'analyse basée sur les algèbres (Z2)n-commutatives, c'est-à-dire des algèbres (Z2)n-graduées associatives unitaires satisfaisant ab = (-1)<deg(a),deg(b)>ba, pour tout couple d'éléments homogènes a, b de degrés deg(a), deg(b) où <.,.> est le produit scalaire usuel). Cette généralisation de la supergéométrie a de nombreuses applications : en mathématiques (l'algèbre de Deligne des superformes différentielles, l'algèbre des quaternions et les algèbres de Clifford en sont des exemples) et même en physique (paraparticules). Dans ce travail, les notions de trace et de (super)déterminant pour des matrices à coefficients dans une algèbre gradué-commutative sont définies et étudiés. Une attention particulière est portée au cas des algèbres de Clifford : ce point de vue gradué fournit une nouvelle approche au problème classique du « bon » déterminant pour des matrices à coefficient non-commutatifs (quaternioniques). En outre, nous entreprenons l'étude de la géométrie différentielle (Z2)n-graduée. Privilégiant l'approche par les espaces annelés, les (Z2)n-supervariétés sont définies en choisissant l'algèbre (Z2)n-commutative des séries formelles en variables graduées comme modèle pour le faisceau de fonctions. Les résultats les plus marquants ainsi obtenus sont : le Berezinien gradué et son interprétation cohomologique (essentielle pour établir une théorie de l'intégration) ; le théorème des morphismes, attestant qu'on peut rétablir un morphisme entre (Z2)n-supervariétés à partir de sa seule expression sur les coordonnées ; le théorème de Batchelor-Gawedzki pour les (Z2)n-supervariétés lisses / The present thesis deals with a development of linear algebra, geometry and analysis based on (Z2)n-superalgebras ; associative unital algebras which are (Z2)n-graded and graded-commutative, i.e. statisfying ab=(-1)<deg(a),deg(b)>ba, for all homogeneous elements a, b of respective degrees deg(a), deg(b) in (Z2)n (<.,.> denoting the usual scalar product). This generalization widens the range of applications of supergeometry to many mathematical structures (quaternions and more generally Clifford algebras, Deligne algebra of superdifferential forms, higher vector bundles) and appears also in physics (for describing paraparticles) proving its worth and relevance. In this dissertation, we first focus on (Z2)n-superalgebra theory ; we define and characterize the notions of trace and (super)determinant of matrices over graded-commutative algebras. Special attention is given to the case of Clifford algebras, where our study gives a new approach to treat the classical problem of finding a “good” determinant for matrices with noncommuting (quaternionic) entries. Further, we undertake the study of (Z2)n-graded differential geometry. Privileging the ringed space approach, we define (smooth) (Z2)n-supermanifolds modeling their algebras of functions on the (Z2)n-commutative algebra of formal power series in graded variables, and develop the theory along the lines of supergeometry. Notable results are : the graded Berezinian and its cohomological interpretation (essential to establish integration theory) ; the theorem of morphism, which states that a morphism of (Z2)n-supermanifolds can be recovered from its coordinate expression ; Batchelor-Gawedzki theorem for (Z2)n-supermanifolds

Esta dissertação tem como objetivo discutir sob quais condições uma G- estrutura é integrável. Primeiro apresentam-se fibrados principais, vetoriais e outras estruturas a elas associados como torção, espaços verticais, espaços horizontais e conexões. Depois apresentam-se a definição de G-estrutura, de integrabilidade de G-estruturas, com exemplos e as respectivas versões de integrabilidade e equivalência de G-estruturas. Finalmente, são descritas condições mais gerais que garantem a integrabilidade de G-estruturas. / This dissertation aims to discuss what are the conditions for the inte- grability of a G-structure. We begin presenting principal bundles, vectoer bundles, associated bundles and other structures related to them like torsion, vertical spaces, horizontal spaces and connections. After this, we present the definition of G-structure, integrability os G-structures with examples ans respectives versions of integrabilities and the equivalence of G-estructures. Finally, we describe more general conditions that ensure the integrability of G-structures.

Esta dissertação tem como objetivo discutir sob quais condições uma G- estrutura é integrável. Primeiro apresentam-se fibrados principais, vetoriais e outras estruturas a elas associados como torção, espaços verticais, espaços horizontais e conexões. Depois apresentam-se a definição de G-estrutura, de integrabilidade de G-estruturas, com exemplos e as respectivas versões de integrabilidade e equivalência de G-estruturas. Finalmente, são descritas condições mais gerais que garantem a integrabilidade de G-estruturas. / This dissertation aims to discuss what are the conditions for the inte- grability of a G-structure. We begin presenting principal bundles, vectoer bundles, associated bundles and other structures related to them like torsion, vertical spaces, horizontal spaces and connections. After this, we present the definition of G-structure, integrability os G-structures with examples ans respectives versions of integrabilities and the equivalence of G-estructures. Finally, we describe more general conditions that ensure the integrability of G-structures.

Le but de cette thèse est de construire de nouvelles variétés algébriques complexes de Fano et à canonique triviale dans les espaces homogènes et d'analyser leur géométrie. On commence en construisant les variétés spéciales comme lieux de zéros de fibrés homogènes dans les grassmanniennes généralisées. On donne une complète classification en dimension 4. On prouve que les uniques variétés de dimension 4 hyper-Kahleriennes ainsi construites sont les exemples de Beauville-Donagi et Debarre-Voisin. Le même résultat vaut dans les grassmanniennes ordinaires en toute dimension quand le fibré est irréductible. Ensuite on utilise les lieux de dégénérescence orbitaux (ODL), qui généralisent les lieux de dégénérescence classiques, pour construire d'autres variétés. On rappelle les propriétés basiques des ODL, qu'on définit à partir d'une adhérence d'orbite. On construit trois schémas de Hilbert de deux points sur une K3 comme ODL, et beaucoup d'autres exemples de variétés de Calabi-Yau et de Fano. Puis on étudie les adhérences d'orbites dans les représentations de carquois, et on décrit des effondrements de Kempf pour celles de type A_n et D_4; ceci nous permet de construire davantage de variétés spéciales comme ODL. Pour finir, on analyse les grassmanniennes bisymplectiques, qui sont des Fano particulières. Elles admettent l'action d'un tore avec un nombre fini de points fixes. On étudie leurs petites déformations. Ensuite, on étudie la cohomologie (équivariante) des grassmanniennes symplectiques, qui est utile pour mieux comprendre la cohomologie des grassmanniennes bisymplectiques. On analyse en détail un cas explicite en dimension 6. / The aim of this thesis is to construct new interesting complex algebraic Fano varieties and varieties with trivial canonical bundle and to analyze their geometry. In the first part we construct special varieties as zero loci of homogeneous bundles inside generalized Grassmannians. We give a complete classification for varieties of small dimension when the bundle is completely reducible. Thus, we prove that the only fourfolds with trivial canonical bundle so constructed which are hyper-Kahler are the examples of Beauville-Donagi and Debarre-Voisin. The same holds in ordinary Grassmannians when the bundle is irreducible in any dimension. In the second part we use orbital degeneracy loci (ODL), which are a generalization of classical degeneracy loci, to construct new varieties. ODL are constructed from a model, which is usually an orbit closure inside a representation. We recall the fundamental properties of ODL. As an illustration of the construction, we construct three Hilbert schemes of two points on a K3 surface as ODL, and many examples of Calabi-Yau and Fano threefolds and fourfolds. Then we study orbit closures inside quiver representations, and we provide crepant Kempf collapsings for those of type A_n, D_4; this allows us to construct some special varieties as ODL.Finally we focus on a particular class of Fano varieties, namely bisymplectic Grassmannians. These varieties admit the action of a torus with a finite number of fixed points. We find the dimension of their moduli space. We then study the equivariant cohomology of symplectic Grassmannians, which turns out to help understanding better that of bisymplectic ones. We analyze in detail the case of dimension 6.

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