O objetivo principal desta pesquisa foi desenvolver o estudo moda! de estrut uras com propriedades descontínuas na seção transversal, através do modelo de Euler-Bernoulli. Tais descontinuidades são de tipo degrau para a massa por unidade de comprimento e para a rigidez flexural. Considerando diversas condições de contorno e a base espectral clássica, obtém-se graficamente os cinco primeiros modos normais clássicos, mediante uma abordagem matricial que discrimina a informação entre as condições de contorno e o tipo de base de funções usada. Também é mostrada a vibração forçada correspondente a cada tipo de viga, deduzida a partir do método de Fourier. / The main objective of this research was to develop a modal survey of structures with discontinuous cross-sectional properties, through the Euler-Bernoulli model. Such discontinuities are step type for the mass per unit length and the bending stiffness. Considering different boundary conditions and a classical spectral basis, the first five classical normal modes result in a graphic view, through a matrix approach discriminating the information between boundary conditions and the kind of basis of functions used. The forced vibration for each kind of beam, derived from the Fourier method, is also shown.

O objetivo deste trabalho é o cálculo modal da resposta impulso distribu ída de uma viga descrita pela equação de Timoshenko e das vibrações forçadas, devidas a influência de cargas externas. Os modos vibratórios foram obtidos com o uso da base dinâmica, gerada por uma resposta livre e suas derivadas. Esta resposta é caracterizada por condições iniciais impulsivas. Simulações foram realizadas para os modos, a resposta impulso distribuída e vibrações forçadas em vigas apoiadas em uma extremidade e na outra livre, fixa, deslizante ou apoiada, sujeitas a cargas oscilatórias espacialmente concentradas ou distribuídas através de pulsos.

[pt] Com base nas equações de Donnell para cascas abatidas, estudam-se as vibrações não-lineares e a instabilidade dinâmica de cascas cilíndricas carregadas axialmente, considerando o efeito simultâneo de cargas estáticas e harmônicas. Para isto, o problema é primeiro reduzido a um sistema finito de graus de liberdade usando o método de Galerkin. O sistema de equações diferenciais de movimento não-lineares é resolvido através do método de Runge-Kutta. Na análise do fenômeno de acoplamento modal foi usado um modelo com dois graus de liberdade, que reflete de maneira consistente o comportamento pós-crítico inicial da casca. Os resultados obtidos com esse modelo simplificado foram comparados com diversas modelagens encontradas na literatura, permitindo assim aferir o modelo utilizado. Para o estudo da interação modal, escolheram-se três modelos distintos com freqüências e cargas críticas próximas ou semelhantes. Para estudar o comportamento não- linear da casca, diversas estratégias numéricas foram usadas para se obter os mapas de Poincaré, expoentes de Lyapunov, pontos fixos estáveis e instáveis, diagramas de bifurcação e bacias de atração. Particular atenção foi dada a dois fenômenos de instabilidade dinâmica que podem ocorrer sob estas condições de carregamento, a saber: excitação paramétrica dos modos de flexão e escape da bacia de atração pré-flambagem. Os cálculos foram realizados nas regiões principal e secundária de instabilidade paramétrica associadas com a menor freqüência natural da casca. Mostra-se de forma detalhada a determinação dos limites de instabilidade no espaço de controle e a identificação dos mecanismos de escape relacionados com estes limites. Os resultados mostram a importância do acoplamento e da interação modal na solução pós-crítica e no comportamento dinâmico não-linear de cascas cilíndricas. / [en] Based on Donnell shallow shell equations, the nonlinear vibrations and dynamic instability of axially loaded circular cylindrical shells under both static and harmonic forces are analyzed. For this, the problem is first reduced to that of a finite degree-of-freedom system by the Galerkin method. The resulting set of coupled non-linear ordinary differential equations of motion is, in turn, solved by the Runge-Kutta method. For the study of modal coupling, a 2 DOF model was used that describes consistently the initial post-buckling behavior of the shell. This model was compared favorably with others found in literature. For the analysis of modal interaction three different models were used considering shells with close or equal frequencies and critical loads. To study the non-linear behavior of the shell several numerical strategies were used to obtain Poincaré maps, Lyapunov exponents, stable and unstable fixed points, bifurcation diagrams and basins of attraction. Particular attention is paid to two dynamic instability phenomena that may arise under these loading conditions:parametric excitation of flexural modes and escape from the pre-buckling potential well.Calculations are carried out for the principal and secondary instability regions associated with the lowest natural frequency of the shell. Special attention is given to the determination of the instability boundaries in control space and the identification of the bifurcational events connected with these boundaries. The results also clarify the importance of modal coupling and modal interaction to the post-buckling solution and non-linear dynamic behavior of cylindrical shells.

O objetivo principal desta pesquisa foi desenvolver o estudo moda! de estrut uras com propriedades descontínuas na seção transversal, através do modelo de Euler-Bernoulli. Tais descontinuidades são de tipo degrau para a massa por unidade de comprimento e para a rigidez flexural. Considerando diversas condições de contorno e a base espectral clássica, obtém-se graficamente os cinco primeiros modos normais clássicos, mediante uma abordagem matricial que discrimina a informação entre as condições de contorno e o tipo de base de funções usada. Também é mostrada a vibração forçada correspondente a cada tipo de viga, deduzida a partir do método de Fourier. / The main objective of this research was to develop a modal survey of structures with discontinuous cross-sectional properties, through the Euler-Bernoulli model. Such discontinuities are step type for the mass per unit length and the bending stiffness. Considering different boundary conditions and a classical spectral basis, the first five classical normal modes result in a graphic view, through a matrix approach discriminating the information between boundary conditions and the kind of basis of functions used. The forced vibration for each kind of beam, derived from the Fourier method, is also shown.

O objetivo principal desta pesquisa foi desenvolver o estudo moda! de estrut uras com propriedades descontínuas na seção transversal, através do modelo de Euler-Bernoulli. Tais descontinuidades são de tipo degrau para a massa por unidade de comprimento e para a rigidez flexural. Considerando diversas condições de contorno e a base espectral clássica, obtém-se graficamente os cinco primeiros modos normais clássicos, mediante uma abordagem matricial que discrimina a informação entre as condições de contorno e o tipo de base de funções usada. Também é mostrada a vibração forçada correspondente a cada tipo de viga, deduzida a partir do método de Fourier. / The main objective of this research was to develop a modal survey of structures with discontinuous cross-sectional properties, through the Euler-Bernoulli model. Such discontinuities are step type for the mass per unit length and the bending stiffness. Considering different boundary conditions and a classical spectral basis, the first five classical normal modes result in a graphic view, through a matrix approach discriminating the information between boundary conditions and the kind of basis of functions used. The forced vibration for each kind of beam, derived from the Fourier method, is also shown.

[pt] O estudo de estacas semi-enterradas tem grande importância na construção civil devido principalmente à sua ampla aplicação em diversas áreas da engenharia. O presente trabalho tem como objetivo obter uma solução exata para as freqüências naturais e modos de vibração dessas estacas e, com base nestes resultados, analisar o comportamento do sistema não-linear. A análise das vibrações lineares parte da obtenção de um funcional de energia e dedução das equações diferenciais parciais de movimento para o trecho enterrado e desenterrado e a determinação das diversas famílias de soluções para cada equação de movimento em função dos parâmetros adimensionais característicos do problema. Essa solução exata possibilita mostrar a influência dos parâmetros de carregamento, de rigidez da fundação, da altura da fundação e das condições de apoio nas freqüências naturais e modos de vibração. A não- linearidade do problema é originária da geometria da estrutura e a sua consideração implica na obtenção de equações diferenciais não-lineares. A resolução destas equações é feita de forma aproximada, empregando-se o método de Ritz para discretizar a coluna no espaço e os métodos de Galerkin-Urabe e do Balanço Harmônico para resolver as equações de movimento resultantes do processo de discretização. Com base nestes resultados, analisa-se a influência dos parâmetros físicos e geométricos do sistema coluna-fundação nas vibrações livres e forçadas da estaca. / [en] The study of partially embedded piles is an important topic in civil engineering due to its use in several engineering fields. The aim of the present work is to derive an exact solution for the natural frequencies and vibration modes of these piles and, based on these results, to analyze the nonlinear behavior of the column-foundation system. In order to study the free vibration problem, the energy functional of the system is obtained, allowing the derivation of the partial differential equations of motion for the buried and unburied parts of the pile. The possible solutions of these equations are then obtained as a function of a set of non-dimensional parameters characteristic of the problem. The consideration of the geometric nonlinearity of the beam leads to a set of nonlinear differential equations. The solution of these equations is obtained by employing the Ritz method to discretize the column in space and the methods of Galerkin- Urabe and Harmonic Balance to derive an approximate solution for the resulting equations of motion. Based on these results, the influence of the geometrical and physical parameters of the column-foundation system on the free and forced non-linear vibrations of the pile is analyzed.

[pt] Nesta tese são estudadas as vibrações não-lineares de membranas circulares inicialmente tracionadas sujeitas a deformações finitas. O material da membrana é modelado como um material hiperelástico neo-Hookeano, isotrópico e incompressível. Baseada na teoria de deformações finitas para membranas hiperelásticas, uma formulação variacional é desenvolvida. Primeiro a solução da membrana sob tração radial uniforme é obtida e então as equações de movimento da membrana são obtidas pelo princípio de Hamilton. A partir das equações linearizadas, as freqüências e os modos de vibração da membrana são obtidos analiticamente. Os modos naturais são usados para aproximar o campo de deformações não-linear usando o método de Galerkin e modelos de ordem reduzida são deduzidos através do método de Karhunen-Loève e de métodos analíticos. Além disso, estuda-se a influência da variação da massa específica e da espessura ao longo da direção radial da membrana nas vibrações. A seguir a mesma metodologia é utilizada para uma membrana anular. Por fim, estudam-se as vibrações não-lineares da membrana anular acoplada a uma inclusão rígida que insere tensões de tração na membrana, pois, devido ao seu peso próprio, provoca deslocamentos estáticos transversais e axissimétricos na membrana. Os mesmos problemas são analisados por elementos finitos utilizando o programa comercial Abaqus. / [en] This work presents an analysis of the nonlinear vibration response of a prestretched hyperelastic circular membrane subjected to finite deformations. The membrane material is assumed to be isotropic, homogeneous and neo-Hookean. Based on the theory of finite deformations for hyperelastic membranes, a variational formulation is developed. First the exact solution of the membrane under a uniform radial stretch is obtained and then the equations of motion of the pre-stretched membrane are derived using the Hamilton’s principle. From the linearized equations of motion, the natural frequencies and mode shapes of the membrane are obtained analytically. Then the natural modes are used to approximate the nonlinear deformation field using the Galerkin method. Several reduced order models are tested using the Karhunen-Loève method and analytical methods. Besides, the influence of the variation of the membrane thickness and material density along the radial direction of the membrane on the vibrations is investigated. The same methodology it is used for the annular membrane. Finally, the non-linear vibrations of the annular membrane coupled to a rigid inclusion are studied. The rigid inclusion inserts traction forces in the membrane and its own weight causes static transverse and radial displacements in the membrane. The same problems are analyzed by finite elements using the commercial program Abaqus®.

[pt] Este estudo é uma investigação experimental das vibrações flexurais de uma viga em balanço causadas por impactos axiais.Uma série de medidas foi feita usando-se uma viga de aço inoxidável submetida a impactos de diferentes magnitudes,aplicados através de um arranjo massa-pêndulo. A amplitude dos impulsos foi variada mudando-se o peso e o ângulo de lançamento da massa do pêndulo. Para a gama e a característica dos impactos utilizados nesta investigação,concluímos que a amplitude dos impulsos aplicados é o parâmetro relevante da resposta transversal da viga. As máximas tensões de flexão e os máximos deslocamentos laterais relacionam-se linearmente com a amplitude dos impulsos axiais aplicados.Não foi observada nenhuma instabilidade dinâmica,no sentido de deslocamentos laterais excessivos, na gama de impulsos utilizados nessa pesquisa. / [en] This study is an experimental investigation of the dynamic response of a cantilever beam due to axial impact. A series of response measurements were made for a cantilevered stainless steel beam subjected to impulses of different magnitudes.The impulses were produced by a pendulum-impact mass arrangement and their magnitudes were varied by changing the weight and release angle of the pendulum mass. For the range and character of impulses utilized in this investigation,it is concluded that magnitude of the applied impulse is the relevant parameter for the transverse response of the beam.Moreover,both maximum bending stresses in the beam and its maximum lateral displacements were found to be linearly related to the magnitude of the applied axial impulses. No dynamic instabilities,in the sense of excessive lateral displacements of the beam, was observed for the range of impulse magnitudes selected here.

[pt] Arcos abatidos são usados com frequência para vencer grandes vãos. Exemplos incluem pontes em arco e coberturas de grandes espaços como galpões industriais e estádios. Em muitos casos empregam-se arcos atirantados ou apoiados em estruturas flexíveis, fazendo com que os apoios se movam quando o arco é carregado. Isto aumenta a flexibilidade do sistema e a probabilidade de perda de estabilidade na presença de cargas estáticas e dinâmicas. Em muitos casos estas estruturas podem ser modeladas como arcos com apoios elásticos. No presente trabalho resolve-se o problema de estabilidade estática de forma analítica e através de uma aproximação usando o método de Ritz, servindo a solução analítica para aferir a precisão do modelo numérico. A seguir, com base neste estudo, desenvolve-se, usando o método de Ritz, a formulação para análise das vibrações não lineares do arco com apoios elásticos, assunto inédito na literatura. Os resultados mostram a grande influência dos apoios nas vibrações não lineares e na estabilidade do arco sob cargas estáticas e dinâmicas. / [en] Shallow arches are often used to overcome large spans, for example, arch bridges or steel roofs to cover large spaces such as industrial sheds and stadiums. In many cases the arches are tied or are supported by a flexibility structure, causing that supports to move when the arch has been loaded. This increases the flexibility of the system and the probability of loss of stability in the presence of static and dynamic loads. In many cases, these structures can be modeled as arches with elastic supports. In the present work the static stability has been solved analytically and through the Ritz method, serving the analytical solution to assess the accuracy of the numerical model. Then, based on this study, the analysis of nonlinear vibrations of shallow arches with elastic supports is developed, using the Ritz method, a subject not yet studied in the literature. The results show the noticeable influence of the supports on the nonlinear vibration and stability of shallow arches under static and dynamic loads.

[pt] Um dos resultados fundamentais na mecânica clássica é que, para sistemas lineares com n graus de liberdade, existem n modos de vibração ortogonais e que as freqüências naturais são independentes da amplitude de vibração. Além disso, qualquer movimento da estrutura pode ser obtido como uma combinação linear desses modos. No caso de sistemas não-lineares, isto não mais se verifica e a relação entre freqüência, amplitude e os modos de vibração precisa ser determinada. A obtenção dessas informações para estruturas se dá em geral pelo uso de programas de análise não-linear baseados em uma formulação em elementos finitos. Contudo, isto é um procedimento custoso computacionalmente. Uma abordagem mais viável é o uso de modelos discretos compatíveis de baixa dimensão, por meio dos quais as freqüências e os modos não- lineares são obtidos. Neste trabalho é proposto um procedimento para a derivação de modelos de redução de dimensão para vigas e pórticos planos esbeltos. As equações diferenciais de movimento são obtidas a partir da aplicação das técnicas variacionais a um funcional não-linear de energia. A obtenção do modelo se dá através do emprego dos métodos de Ritz ou Galerkin para a redução espacial e do balanço harmônico para redução no tempo. Os modos lineares são utilizados como uma primeira aproximação para os modos não-lineares. As relações freqüência-amplitude são satisfatoriamente obtidas para vibrações livre e forçada (não-amortecida e amortecida). Entretanto, essas curvas apresentam, em geral, no regime não-linear, pontos limites, sendo obtidas, portanto, com uso do método do controle de comprimento de arco. Uma correção para o modo- linear é obtida com uso dos métodos dos elementos finitos e da perturbação. Um estudo paramétrico e das condições de contorno é apresentado para vigas. O comportamento não-linear de pórticos em L é também analisado. Para esses pórticos é estudada a influência de cargas axiais e da geometria. Os resultados são comparados com soluções analíticas encontradas na literatura. / [en] One of the fundamental results in classical mechanics is that linear systems with n degrees of freedom have n orthogonal vibration modes and n natural frequencies which are independent of the vibration amplitude. Any motion of the system can be obtained as a linear combination of these modes. This does not hold for nonlinear systems in which case amplitude dependent vibrations modes and frequencies must be obtained. One way of obtaining these informations for arbitrary structures is to use a nonlinear finite element software. However, this is a cumbersome and time consuming procedure. A better approach is to derive a consistent low dimensional model from which the nonlinear frequencies and mode shapes can be derived. In this work a procedure for the derivation of low dimensional models for slender beams and portal frames is proposed. The differential equations of motion are derived from the application of variational techniques to a nonlinear energy functional. The linear vibration modes are used as a first approximation for the nonlinear modes. The Galerkin and Ritz methods are used in the model for the spatial reduction and the harmonic balance method for the reduction in time domain. This allows the analysis of the free and forced (damped or undamped) vibrations of the structure in non- linear regime. However nonlinear resonance curves usually presents limit points. To obtain these curves, a methodology for the solution of non-linear equations based on an arc-length procedure is derived. Based on the finite element methods and using the basic ideas of the perturbation theory, a correction for the nonlinear vibration modes is derived. The influence of boundary conditions, geometric, and force parameters on the beam response is analyzed. The behavior of L frames is studied. For this kind of frame, the influence of axial loading and geometric parameters on the response is studied. The results are compared with analytical solutions found in the literature.