L'espace des lacets lisses C(S^1,M) associé à une variété symplectique M se voit doté d'une structure (quasi-)symplectique induite par celle de M.Nous traiterons dans cette thèse d'un analogue algébrique de cet énoncé.Dans leur article, Kapranov et Vasserot ont introduit l'espace des lacets formels associé à un schéma. Il s'agit d'un analogue algébrique à l'espace des lacets lisses.Nous generalisons ici leur construction à des lacets de dimension supérieure. Nous associons à tout schéma X -- pas forcément lisse -- l'espace L^d(X) de ses lacets formels de dimension d.Nous démontrerons que ce dernier admet une structure de schéma (dérivé) de Tate : son espace tangent est de Tate, c'est-à-dire de dimension infinie mais suffisamment structuré pour se soumettre à la dualité.Nous définirons également l'espace B^d(X) des bulles de X, une variante de l'espace des lacets, et nous montrerons que le cas échéant, il hérite de la structure symplectique de X. Notons que ces résultats sont toujours valides dans des cas plus généraux : X peut être un champs d'Artin dérivé.Pour démontrer nos résultats, nous définirons ce que sont les objets de Tate dans une infinie-catégorie C stable et complète par idempotence.Nous prouverons au passage que le spectre de K-théorie non-connective de Tate(C) est équivalent à la suspension de celui de C, donnant une version infini-catégorique d'un résultat de Saito.Dans le dernier chapitre, nous traiterons d'un problème différent. Nous démontrerons l'existence d'une structure d'algèbre de Lie sur le tangent décalé de n'importe quel champ d'Artin dérivé X. Qui plus est, ce tangent agit sur tout quasi-cohérent E, l'action étant donnée par la classe d'Atiyah de E.Ces résultats sont par exemple valides dans le cas d'un schéma X sans hypothèse de lissité. / If M is a symplectic manifold then the space of smooth loops C(S^1,M) inherits of a quasi-symplectic form. We will focus in this thesis on an algebraic analogue of that result.In their article, Kapranov and Vasserot introduced and studied the formal loop space of a scheme X. It is an algebraic version of the space of smooth loops in a differentiable manifold.We generalize their construction to higher dimensional loops. To any scheme X -- not necessarily smooth -- we associate L^d(X), the space of loops of dimension d. We prove it has a structure of (derived) Tate scheme -- ie its tangent is a Tate module: it is infinite dimensional but behaves nicely enough regarding duality.We also define the bubble space B^d(X), a variation of the loop space.We prove that B^d(X) is endowed with a natural symplectic form as soon as X has one.To prove our results, we develop a theory of Tate objects in a stable infinity category C. We also prove that the non-connective K-theory of Tate(C) is the suspension of that of C, giving an infinity categorical version of a result of Saito.The last chapter is aimed at a different problem: we prove there the existence of a Lie structure on the tangent of a derived Artin stack X. Moreover, any quasi-coherent module E on X is endowed with an action of this tangent Lie algebra through the Atiyah class of E. This in particular applies to not necessarily smooth schemes X.

Les travaux récents de Bezrukavnikov, Mirkovic et Rumynin obtiennent une bonne théorie de la localisation des Ug-modules en caractéristique positive (où g est l'algèbre de Lie d'un groupe algébrique semi-simple connexe et simplement connexe), qui donne lieu à des équivalences de catégories dérivées entre des catégories de g-modules et des catégories de faisceaux cohérents sur la variété de Springer. Dans cette thèse, on applique et étend certains résultats de cette theorie. Dans le chapitre II, on donne une construction géométrique d'une action du groupe de tresses affine étendu apparaissant dans la théorie de la localisation. Le chapitre III contient les résultats principaux de la thèse : on y développe une version appropriée d'une « dualité de Koszul linéaire », qui permet de démontrer que certains blocs de Ug peuvent être munis d'une graduation de Koszul, si la caractéristique du corps est suffisamment grande. Ceci généralise des résultats antérieurs de Andersen, Jantzen et Soergel. Dans le chapitre IV, en collaboration avec Mirkovic, on reprend la « dualité de Koszul linéaire », sous une forme un peu différente, valable dans un cadre plus général. Enfin, le chapitre I (en collaboration avec Roman Bezrukavnikov) donne des calculs explicites dans le cas de SL(3) qui ont été le point de départ de ce travail.

Soient g une k-algèbre de Lie, U(g) son algèbre enveloppante, K(g) le corps des fractions de U(g). L'objet de cette thèse est d'étudier des propriétés algébriques du corps gauche K(g) dans les deux cas suivants : d'une part si k est de caractéristique 0 et g est de dimension infinie ; d'autre part si k est de caractéristique positive et g est de dimension finie.<br /><br />On suppose k de caractéristique nulle. On définit d'abord la notion de "degré de transcendance de niveau q" pour les algèbres de Poisson. Cette notion est introduite à partir de la notion de dimension de niveau q définie par V. Pétrogradsky pour les algèbres associatives et les algèbres de Lie. On démontre, sous des hypothèses peu restrictives sur g, que le degré de transcendance de niveau q+1 de K(g) est égal à la dimension de niveau q de g.<br /><br />On s'attache ensuite à l'étude de la famille des algèbres de type Witt définies par R. Yu. On construit ainsi des familles infinies de corps gauches deux à deux non isomorphes mais de même degré de transcendance de niveau 3 donné. On étudie aussi la question des centralisateurs dans les corps enveloppants des parties positives des algèbres de type Witt. On établit en particulier le résultat suivant : il existe des algèbres de Lie non commutatives de dimension infinie g telles que le premier corps de Weyl ne se plonge pas dans K(g).<br /><br />Supposons maintenant k de caractéristique p>0. On étudie le cas particuliers des algèbres de Lie suivantes : les algèbres gl(n) ; les algèbres sl(n) lorsque p ne divise pas n ; l'algèbre de Witt modulaire W(1) et une sous-algèbre P de l'algèbre de Witt W(2) (s'identifiant à un produit tensoriel de l'algèbre de Lie W(1) avec une algèbre associative de polynômes tronqués). Dans tous les cas, on démontre que le corps enveloppant est isomorphe à un corps de Weyl. Pour les algèbres W(1) et P, on démontre en outre que le centre de l'algèbre enveloppante est un anneau factoriel, en accord avec une conjecture récente de A. Braun et C. Hajarnavis.

Ce mémoire aborde plusieurs domaines :<br />- le calcul de Lie et en particulier les séries de Lie et leurs applications en théorie du contrôle (avec F. JEAN), en mécanique hamiltonienne et dans l'étude de relations dans des groupes ; <br />- l'étude des déformations de groupes triangulaires discrets dans l'espace PU(2,1) des automorphismes<br />de la boule unité complexe de dimension 2 (avec E. FALBEL).<br />- ainsi qu'un travail en collaboration avec Serge GALAM sur l'étude d'un modèle particulier du problème<br />d'Ising triangulaire antiferromagnétique.

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Ce mémoire fait état des résultats obtenus concernant les vecteurs singuliers de l’algèbre superconforme dans le secteur de Ramond. Une formule explicite exprimant ces vecteurs singuliers a été obtenue en termes de superpolynômes de Jack via la représentation de l’algèbre superconforme en termes de superpolynômes symétriques. On présente d’abord les partitions d’entiers et les fonctions symétriques standards. Ceci permet d’introduire les fonctions propres du modèle Calogero-Sutherland (CS) en termes de polynômes de Jack qui se révèlent être une représentation efficace des vecteurs singuliers de l’algèbre conforme. Suivant cette piste, on procède à la supersymétrisation du modèle CS ce qui permet de générer les superpolynômes de Jack, polynômes symétriques dans le superespace. On présente finalement la formule explicite des vecteurs singuliers de l’algèbre superconforme en termes de superpolynômes de Jack. / This mémoire presents results concerning the Ramond singular vectors of the superconformal algebra. An explicit formula has been obtained for the Ramond singular vectors of the superconformal algebra via its superpolynomial representation and the formula is given here in terms of Jack superpolynomials. We first present some basic elements of the integer partition and symmetric functions theories. This leads us to consider the eigenfunctions of the Calogero-Sutherland (CS) model, the Jack polynomials. These happen to be the singular vectors of the conformal algebra when represented in terms of symmetric polynomials. Given those results, we extend the CS model to the supersymmetric case and interpret its eigenfunctions as the Jack superpolynomials which are symmetric functions in superspace. We then display the explicit formula of the Ramond singular vectors of the superconformal algebra which has been obtained in terms of Jack superpolynomials.

Dans ce travail nous nous intéressons aux groupes cristallographiques, i.e. aux sous-groupes du groupe des transformations affines qui agissent proprement discontinûment et de façon cocompacte sur l’espace affine. Ce sont les groupes fondamentaux des variétés affines compactes et complètes. Nous classifions les groupes cristallographiques dont la partie linéaire préserve une forme hermitienne de signature (n,1). Grunewald et Margulis ont prouvé que ces groupes cristallographiques sont virtuellement résolubles (la conjecture d’Auslander affirme que c’est toujours le cas). Notre classification est effectuée pour n ≤ 3. Elle correspond à la classification, à revêtement fini près, des variétés Hermite-Lorentz plates, compactes et complètes en dimension complexe inférieure ou égale à4. Ce travail est inspiré par ceux menés par Bieberbach, puis Fried, et enfin Grunewald et Margulis sur les groupes cristallographiques dont la partie linéaire préserve une forme quadratique définie positive ou lorentzienne. En effectuant cette classification, nous avons été amené à étudier certains familles d’algèbres de Lie nilpotentes de dimension 8. Nous avons ensuite étendu cette classification à celle de toutes les algèbres de Lie 3-nilpotentes de dimension 8 ayant l’algèbre de Lie libre 3-nilpotente à 3générateurs pour quotient. Ce résultat peut être vu comme un pas dans la direction d’une classification des algèbres de Lie nilpotentes de dimension 8. Ensuite nous nous sommes demandé lesquelles de ces algèbres admettent une métrique pseudo-riemannienne plate et nous avons donné une réponse partielle. / In this work we deal with crystallographic groups, i.e. the subgroups of the group of affine transformations that act properly discontinuously and cocompactly on affine space. In otherwords they are the fundamental groups of compact and complete affine manifolds. In this thesis we classify such groups with the additional hypothesis that the linear part preserves a Hermitian form of signature (n,1). Grunewald and Margulis proved that such crystallographic groups are virtually solvable (the Auslander conjecture states that this is always true). Our classification is for n ≤ 3. It corresponds to a classification, up to finite covering, and for complex dimension at most 4, of flat compact complete Hermite-Lorentz manifolds. This is inspired by the works done by Bieberbach,then Fried, and finally Grunewald and Margulis who classified crystallographic groups whose line arpart preserves a positive definite or Lorentzian quadratic form. Making this classification we had to classify a family of 8-dimensional nilpotent Lie algebras. We then extended this classification toall the 8-dimensional 3-step nilpotent Lie algebras having the free 2-step nilpotent Lie algebra on 3generators as quotient. This result can be seen as a step in the direction of a general classification of nilpotent Lie algebras of dimension 8. We then wondered which of these Lie algebras admit flat pseudo-Riemannian metrics and gave a partial answer to this question.

Dans cette thèse, on s'intéresse en premier aux problèmes sous-riemanniens sur un groupe de Lie nilpotent d'ordre 2. Dans un premier temps, on réalise la classification complète des algèbres de Lie sous-riemanniennes (SR-algèbres de Lie) nilpotentes d'ordre 2 de dimension n compris entre 3 et 7, et celles de dimension arbitraire n telle que l'algèbre dérivée est de dimension une.De plus, nous avons distingué les SR-algèbres de Lie de contact et de quasi-contact et nous avons calculé, en dimension 5, le groupe des SR-symétries infinitésimales. Une fois cette classification réalisée, on étudie les géodésiques sous-riemanniennes associées aux SR-algèbres de Lie nilpotentes d'ordre 2 obtenues dans notre classification. Nous avons étudié l'intégrabilité des équations géodésiques adjointes et donné les contrôles optimaux ainsi que les trajectoires optimales dans chacun des cas. Dans une seconde partie de la thèse, on étudie les géodésiques sous-riemanniennes pour un groupe de Lie sous-riemannien (G;D;B) où G = SO(4) ou G = SO(2; 2) et D est de codimension2 (donnant des espaces SR-homogènes de contact). Nous avons donné un modèle canonique de ces espaces et ensuite montré que les systèmes adjoints de Lie-Poisson associés au modèle étaient toujours intégrables au sens de Liouville. De plus, nous montrons que le système de Lie-Poisson est soit un système linéaire qui est super-intégrable en fonctions trigonométriques du temps ou constantes ; soit un système non linéaire intégrable au sens de Liouville et dont les solutions sont exprimables à l'aide de la fonction elliptique de Weierstrass.

Le cône diamant a été introduit par N. J. Wildberger pour l'algèbre de Lie sl(n;R). C'est une présentation combinatoire d'une base de l'espace C[N] des fonctions polynomiales sur le facteur nilpotent N de la décompositon d'Iwasawa de SL(n;R), qui respecte la stratification naturelle de ce N-module indécomposable. Cette approche combinatoire peut se réaliser à l'aide de tableaux de Young, qui indexent une telle base. On réalise l'algèbre C[N] comme un quotient, appelé algèbre de forme réduite, de l'algèbre de forme S_ de SL(n;R), on en déduit une base indexée par des tableaux de Young semi standards particuliers, dits tableaux quasi standards. Dans cette thèse cette construction est étendue aux cas des algèbres semi simples de rang 2, puis des algèbres sp(2n), enfin aux super algèbres de Lie sl(m; 1). Dans chaque cas, on définit les tableaux quasi standards, et on montre qu'ils forment une bonne base de l'algèbre de forme réduite, soit directement, soit en utilisant une variante du jeu de taquin de Schützenberger. / The diamond cone was introduced by N. J. Wildberger for the Lie algebra sl(n;R). It is a combinatoric presentation for the space C[N] of polynomials functions on the nilpotent factor N in the Iwasawa decomposition of SL(n;R). This presentation describes the natural layering of this indecomposable N-module. This basis can be indexeded by using some semi standard Young tableaux. We realize the algebra C[N] as a quotient of the shape algebra S_ for SL(n;R). Let us call reduced shape algebra this quotient. It is possible to select a family of semi standard Young tableaux, the quasi standard tableaux, in such a manner to get a basis for the reduced shape algebra. In the present thesis, this construction is extended to the case of rank 2 semi simple Lie algebras, then to the cas of the Lie algebras sp(2n), finally, to the case of the super simple Lie algebra sl(m; 1). In each case, we define the quasi standard Young tableaux, and show they define a good basis for the reduced shape algebra, either directly, or using an adapted version of the jeu de taquin defined by Schützenberger.

Dans cette thèse, on s'intéresse en premier aux problèmes sous-riemanniens sur un groupe de Lie nilpotent d'ordre 2. Dans un premier temps, on réalise la classification complète des algèbres de Lie sous-riemanniennes (SR-algèbres de Lie) nilpotentes d'ordre 2 de dimension n compris entre 3 et 7, et celles de dimension arbitraire n telle que l'algèbre dérivée est de dimension une. De plus, nous avons distingué les SR-algèbres de Lie de contact et de quasi-contact et nous avons calculé, en dimension 5, le groupe des SR-symétries infinitésimales. Une fois cette classification réalisée, on étudie les géodésiques sous-riemanniennes associées aux SR-algèbres de Lie nilpotentes d'ordre 2 obtenues dans notre classification. Nous avons étudié l'intégrabilité des équations géodésiques adjointes et donné les contrôles optimaux ainsi que les trajectoires optimales dans chacun des cas. Dans une seconde partie de la thèse, on étudie les géodésiques sous-riemanniennes pour un groupe de Lie sous-riemannien (G;D;B) où G = SO(4) ou G = SO(2; 2) et D est de codimension 2 (donnant des espaces SR-homogènes de contact). Nous avons donné un modèle canonique de ces espaces et ensuite montré que les systèmes adjoints de Lie-Poisson associés au modèle étaient toujours intégrables au sens de Liouville. De plus, nous montrons que le système de Lie-Poisson est soit un système linéaire qui est super-intégrable en fonctions trigonométriques du temps ou constantes ; soit un système non linéaire intégrable au sens de Liouville et dont les solutions sont exprimables à l'aide de la fonction elliptique de Weierstrass. / In this thesis, we are interested first in the sub-Riemannian problems on 2-step nilpotent Lie groups. We start by obtaining a complete classification of 2-step nilpotent sub-Riemannian Lie algebras (SR-Lie algebras) of dimension n between 3 and 7, and those of arbitrary dimension n such that the derivated algebra is of dimension one. In addition, we characterize the contact and quasi contact SR-Lie algebras and we calculate, in dimension 5, the group of SR-infinitesimal symmetries. Having presented that classification, we study the sub-Riemannian geodesics associated with the 2 step nilpotent SR-Lie algebras obtained in our classification. We study the integrability of the adjoint geodesic equations and we give the optimal controls and optimal trajectories in each case. In the second part of the thesis, we study the sub-Riemannian geodesics for a sub-RiemannianLie group (G;D;B) where G = SO(4) or G = SO(2; 2) and D is of codimension 2 (giving contactSR-homogeneous spaces). We give canonical models of these spaces and then show that the Lie-Poisson adjoint systems associated with the models are always integrable in the Liouville sense. More over, we show that the Lie-Poisson system is either a linear system which is super-integrable with the help of trigonometric functions of time (or constant ones) or a non-linear system which is integrable in the Liouville sense and whose solutions can be expressed using the Weierstrass elliptic function.