The main purpose of this thesis is to apply the modular approach to Diophantine equations to study some Fermat-type equations of signature (r; r; p) with r >/= 5 a fixed prime and “p” varying. In particular, we will study equations of the form x(r) + y(r) = Cz(p), where C is an integer divisible only by primes “q” is non-identical to 1; 0 (mod “r”) and obtain explicit arithmetic results for “r” = 5, 7, 13. We start with equations of the form x(5) + y(5) = Cz(p). Firstly, we attach two Frey curves E; F defined over Q(square root 5) to putative solutions of the equation. Then by using the work of J. Quer on embedding problems and on abelian varieties attached to Q-curves we prove that the p-adic Galois representations attached to E, F can be extended to p-adic representations E), (F) of Gal(Q=Q). Finally, we apply Serre's conjecture to the residual representations  (E), (F) and using Siksek's multi-Frey technique we conclude that the initial solution can not exist. We also describe a general method for attacking infinitely many equations of the form x(r) + y(r) = Cz(p) for all r>/= 7. The method makes use of elliptic curves over totally real fields, modularity and irreducibility results for representations attached to elliptic curves and level lowering theorems for Hilbert modular forms. Indeed, for each fixed “r” we produce several Frey curves defined over K+, the maximal totally real subfield of Q(xi-r). Moreover, if “r” is of the form 6k + 1 we prove the existence of a Frey curve defined over K(0) the subfield of K(+) of degree k. We prove also an irreducibility result for the mod “p” representations attached to certain elliptic curves and a modularity statement for elliptic curves over totally real abelian number fields satisfying some local conditions at 3. Finally, for r = 7 and r = 13 we are able to compute the required spaces of (Hilbert) newforms and by applying our general methods we obtain explicit arithmetic results for equations of signature (7; 7; p) and (13; 13; p). We end by providing two more Frey k-curves (a generalization of Q-curve), where “k” is a certain subfield of K(+), when “r” is a fixed prime of the form 4m+1. / En esta tesis, utilizaremos el método modular para profundizar en el estudio de las ecuaciones de tipo (r; r; p) para r un primo fijado. Empezamos por utilizar la teoría de J. Quer sobre variedades abelianas asociadas con Q-curvas y embedding problems para producir dos curvas de Frey asociadas con hipotéticas soluciones de infinitas ecuaciones de tipo (5; 5; p). Después, utilizando la conjetura de Serre y el método multi-Frey de Siksek demostraremos que las hipotéticas soluciones no pueden existir. Describiremos también un método general que nos permite atacar un número infinito de ecuaciones de tipo (r; r; p) para cada primo “r” mayor o igual que 7. El método hace uso de curvas elípticas sobre cuerpos de números, teoremas de modularidad, teoremas de bajada de nivel y formas modulares de Hilbert. Además, para ecuaciones de tipo (7; 7; p) y (13; 13; p) calcularemos los espacios de formas modulares relevantes y demostraremos que una familia infinita de ecuaciones no admite cierto tipo de soluciones. Además, demostraremos un nuevo teorema de modularidad para curvas elípticas sobre cuerpos totalmente reales abelianos. Finalmente, para primos congruentes con 1 módulo 4 propondremos dos curvas de Frey más. Demostraremos que son “k-curves” (una generalización de Q-curva) y también que satisfacen las propiedades necesarias para que pueda ser útiles en la aplicación del método modular.

El presente trabajo fue iniciado como un estudio de las negaciones utilizadas en las diversas lógicas, tema que fue motivado por los trabajos que sobre lógica algebraica vienen desarrollándose en el departamento de Estadística. Partimos de la definición de negación dada por el profesor F. de A. Sales Vallés, que es una aplicación entre ordenados y, en especial, entre retículos, que cumple las condiciones máximas posibles de forma que las negaciones utilizadas en las distintas lógicas sean casos particulares de la definición dada. Dichas negaciones han sido objeto, anteriormente a esta memoria, de varios trabajos de los que se han publicado los del profesor F. de A. Sales Vallés, el de J. Pla y el de F. Esteva.La presente memoria parte de estos trabajos y se dedica al estudio de las negaciones en los retículos completos. En resumen, los resultados que se obtienen son los siguientes:En el capítulo 1 se parte de que la imagen por una negación de un retículo completo es un inf-semirretículo completo que contiene al máximo, y se estudia si, dado cualquier inf-semirretículo que contiene al máximo, existe siempre una negación que lo tenga por imagen. La respuesta es negativa, y se dan condiciones necesarias y suficientes para que la aplicación entre negaciones e inf-semirret!oulos completos que contienen al máximo, sea inyectiva, exhaustiva o biyectiva. As! se ve que esta aplicación es una biyección si, y sólo si, el retículo es una cadena finita.En el capítulo 2 se estudia el conjunto N(L) de todas las negaciones que pueden definirse en un retículo completo. En el apartado 1 se demuestra que N(L) es un retículo completo. En el apartado 2 se dan condiciones, unas necesarias y otras suficientes, para que dicho retículo sea distributivo e infinitamente distributivo. En el apartado 3 se demuestra que la condición necesaria y suficiente para que el retículo sea un álgebra de Boole es que sea atómica, resultado que se completa en el apartado 4 al demostrar que toda álgebra de Boole de negaciones es atómica, así como al hallar la posición ocupada por la complementación del álgebra de Boole en el retículo de las negaciones. Por último, en el apartado. 5 se halla una aplicación entre un álgebra de Boole y el retículo de sus negaciones que es un monomorfismo reticular, y que nos permite, por tanto, sumergir toda álgebra de Boole completa en el retículo de sus negaciones.En el capítulo 3 se recogen y completan diversos resultados hallados en los capítulos anteriores sobre las negaciones en las cadenas completas. Así, en el cap. 2 se da una regla para construir el supremo de dos negaciones y en este capítulo se demuestra que sólo es válida para hallar el supremo de familias finitas de negaciones. También en el cap. 2 se demuestra que si un retículo es completo, atómico y distributivo, el retículo de sus negaciones es distributivo, y en el cap. 3 al demostrar que el retículo de las negaciones de una cadena completa es siempre distributivo, se prueba que la condición dada en el cap. 2 es sólo suficiente.Por último, en una nota se da una demostración del conocido teorema de completación de Mac Neille en el caso de cadenas, utilizando los retículos de negaciones.

En el marc de l'estudi de la cohomologia de les varietats algebraiques, i en particular en les aplicacions cohomològiques del teorema de resolució de singularitats d'Hironaka, utilitzem la tècnica de les hiperresolucions cúbiques i el criteri d'extensió de functors de Guillén i Navarro per a definir una variant de la teoria K algebraica de les varietats sobre un cos de característica zero, que coincideix amb la teoria K per a les varietats llises. Considerem la teoria K com un functor de varietats algebraiques a espectres. Anomenem teoria K de descens a aquesta extensió, que satisfà descens per a blow-ups abstractes.Per a aplicar el criteri d'extensió hem demostrat que la categoria d'espectres fibrants és una categoria de descens cohomològic, en el sentit de Guillén i Navarro, amb el límit homotòpic com a functor simple. Més generalment hem demostrat que la subcategoria d'objectes fibrants d'una categoria de models simplicial és una categoria de descens cohomològic si i només si se satisfà un criteri d'aciclicitat. En particular les categories de models simplicials estables satisfan el criteri d'aciclicitat i per tant són de descens cohomològic.Hem vist com una teoria obtinguda pel criteri d'extensió hereta moltes de les propietats del functor sobre les varietats llises, de manera que la teoria K de descens satisfà per exemple la propietats de Mayer-Vietoris i d'invariància homotòpica.Hem demostrat també que sota certes hipòtesis l'extensió de Guillén i Navarro d'un functor a espectres coincideix amb l'aproximació fibrant en la categoria de models de prefeixos d'espectres considerant la cd-topologia dels blow-ups abstractes.Utilitzant un resultat de Haesemeyer hem demostrat que la teoria K de descens és equivalent a la teoria K homotòpica introduïda per Weibel. Hem demostrat també que hi ha una filtració pel pes natural en els grups de teoria K homotòpica. / En el marco del estudio de la cohomología de las variedades algebraicas, y en particular de las aplicaciones cohomológicas del teorema de resolución de singularidades de Hironaka, utilizamos la técnica de las hiperresoluciones cúbicas y el criterio de extensión de funtores de Guillén y Navarro para definir una variante de la teoría K algebraica de las variedades sobre un cuerpo de característica cero, que coincide con la teoría K para las variedades lisas. Consideramos la teoría K como un funtor de variedades algebraicas a espectros. Llamamos teoría K de descenso a esta extensión, que satisface descenso para blow-ups abstractos. Para aplicar el criterio de extensión hemos demostrado que la categoría de espectros fibrantes es una categoria de descenso cohomológico, en el sentido de Guillén y Navarro, con el límite homotópico como funtor simple. Más generalmente hemos demostrado que la subcategoría de objectos fibrantesde una categoría de modelos simplicial es una categoría de descenso cohomológico si y sólo si se satisface un criterio de aciclicidad. En particular las categorías de modelos simpliciales estables satisfacen el criterio de aciclicidad y por lo tanto son de descenso cohomológico.Hemos visto como una teoría obtenida por el criterio de extensión hereda muchas de las propiedades del funtor sobre las variedades lisas, de manera que la teoría K de descenso satisface por ejemplo las propiedades de Mayer-Vietoris y de invariancia homotópica.Hemos demostrado también que bajo ciertas hipótesis la extensión de Guillén y Navarro de un funtor a espectros coincide con la aproximación fibrante en la categoría de models de prehaces de espectros considerando la cd topología de los blow-ups abstractos.Usando un resultado de Haesemeyer hemos demostrado que la teoría K de descenso es equivalente a la teoría K homotópica introducida por Weibel. Hemos demostrado también que hay una filtración por el peso natural en los grupos de teoría K homotópica. / In the setting of the study of the cohomology of algebraic varieties, and in particular in the cohomological applications of Hironaka's resolution of singularities theorem, we use the technique of cubical hyperresolutions and the extension criterion of functors of Guillén and Navarro to define a variant of algebraic K-theory of varietes over a field of characteristic zero, which coincides with K-theory for smooth varieties. We consider K- theory as a functor from algebraic varieties to spectra. We call this extension descent algebraic K-theory, which satisfies descent for abstract blow-ups.In order to apply the extension criterion we prove that the category of fibrant spectra is a cohomological descent category, in the sense of Guillén and Navarro, with the homotopy limit as a simple functor. More generally we prove that the subcategory of fibrant objects of a simplicial model category is a descent category if and only if an acyclicity criterion holds. In particular stable simplicial model categories satisfy the aciclicity criterion so they are cohomological descent categories.We see that a theory obtained by extension criterion inherits many properties of the functor over smooth varieties, in a way such that descent algebraic K-theory satisfies for example Mayer-Vietoris and homotopy invariance properties.We prove also that under certain hypotheses the Guillén and Navarro extension of a functor to spectra coincides with the fibrant approximation in the model category of presheaves of spectra considering the abstract blow-up cd-topology.After a result of Haesemeyer we prove that descent K-theory is equivalent to the homotopy algebraic K-theory introduced by Weibel. We prove also that there is a natural weight filtration in the groups of homotopy algebraic K-theory.

Es bien sabido que cualquier función de onda que se exprese como determinante de Slater construido a partir de orbitales moleculares doblemente ocupados es invariante frente a transformaciones unitarias de dichos orbitales.Aunque las posibilidades de elección son ilimitadas, en la práctica sólo se utilizan dos tipos de orbitales: los canónicos y los localizados. Los primeros se caracterizan por ser funciones propias de algún hamiltoniano monoelectrónico efectivo y entre sus propiedades más interesantes están la de ser orbitales adaptados a la simetría de aquel hamiltoniano y la de satisfacer el teorema de Koopmans, cualidades que los hacen de especial utilidad en aplicaciones espectroscópicas. Los orbitales localizados, en cambio, constituyen una representación alternativa de la distribución electrónica en la que el grado de "concentración" espacial de cada orbital y la "separación" entre cada dos orbitales son máximos. Existen diversas maneras de cuantificar estas dos magnitudes (concentración y separación), que dan lugar a distintos criterios de localización. Estos se pueden clasificar en dos grandes grupos: los externos, en los que se prefija de antemano la zona de la molécula en la que se obtendrá cada orbital localizado, y los intrínsecos, en los que no se efectúa tal asignación previa y la disposición de los orbitales localizados surge como resultado del proceso de cálculo. Los orbitales localizados se caracterizan por su elevado grado de transferibilidad entre sistemas que tienen alguna parte en común, como es el caso de moléculas con un mismo grupo funcional o un enlace de similares características. De hecho, podríamos decir que los orbitales canónicos son aproximadamente transferibles entre diferentes estados electrónicos o incluso entre diferentes estados de ionización de una misma molécula, en tanto que los localizados son aproximadamente transferibles de molécula a molécula. Estos últimos son, por tanto, adecuados para estudiar las características electrónicas de grupos funcionales, enlaces, pares no enlazantes, etc. Por otra parte, los orbitales localizados proporcionan una imagen de la estructura electrónica molecular en función de enlaces y pares no enlazantes estrechamente relacionada con las estructuras de Lewis, de tanta utilidad en muchos campos de la química, desde la nomenclatura e identificación de compuestos hasta la síntesis orgánica.A su vez, dicha imagen proporciona un nexo de unión entre el método de orbitales moleculares y el de enlace-valencia. Finalmente, la concentración y separación de los orbitales localizados hace que presenten un elevado grado de correlación intraorbital en relación con la interorbital, resultando, por ello, idóneos como punto de partida para mejorar la aproximación orbital.La determinación de los orbitales localizados puede hacerse de dos maneras:i) Introduciendo las condiciones que los definen en el procedimiento de cálculo de los orbitales asociados al operador monoelectrónico efectivo que caracteriza al sistema considerado, oii) Calculando previamente los orbitales canónicos como funciones propias de dicho operador y determinando después la transformación que relaciona a aquellos orbitales con los localizados.Este último es, sin duda, el modo de proceder más usual, debido a que no es, en general, más costoso que el primero y permite hacer uso de los métodos bien conocidos de cálculo de orbitales canónicos, quedando por resolver únicamente la segunda fase del problema, que se conoce con el nombre de "proceso de localización".En el presente trabajo nos limitaremos a considerar procedimientos del segundo tipo, es decir, métodos de localización de orbitales. En lo que a criterios de localización se refiere, nos ocuparemos principalmente de los intrínsecos, si bien introduciremos también un criterio externo en relación con el estudio de sistemas "pi". Aunque prácticamente todo lo publicado hasta el momento sobre localización de orbitales se ha restringido a orbitales reales y transformaciones ortogonales, procederemos a desarrollar un algoritmo de localización en el campo complejo, lo cual consideramos de fundamental interés por dos razones principalmente:i) En primer lugar, no se ha demostrado que los orbitales localizados hayan de ser necesariamente reales, ni siquiera en el caso de que lo sean los orbitales de partida. Esto abre la posibilidad de que sea preciso, en general, utilizar transformaciones unitarias complejas para obtener los orbitales que constituyen el máximo absoluto del grado de localización dentro del espacio complejo engendrado por los orbitales canónicos.ii) En segundo lugar, la existencia de estructuras cuya matriz hamiltoniana monoelectrónica efectiva es necesariamente compleja, como son las estructuras de referencia acíclicas introducidas para la definición de la energía de resonancia topológica exige disponer de un método de localización aplicable a orbitales complejos.En lo que a aplicaciones se refiere, nos dedicaremos fundamentalmente al estudio de sistemas "pi" de moléculas conjugadas planas, previa discusión de las condiciones bajo las cuales la localización de todos los orbitales ocupados conduce a estructuras con separación "sigma-pi". Entre los métodos de cálculo de orbitales canónicos para sistemas "pi" gozan de especial popularidad los que utilizan la topología molecular como única información y, en particular, el método de Hückel. Sin embargo, los métodos de localización disponibles implican un grado de sofisticación considerablemente superior y no pueden ser aplicados al nivel de la aproximación topológica. Por ello, hemos desarrollado procedimientos simplificados de localización que, si bien se inspiran en otros previamente establecidos, permiten la determinación de orbitales localizados sin necesidad de efectuar ningún cálculo de integrales. Tales métodos serán especialmente adecuados para localizar orbitales calculados a nivel topológico pero, de hecho, la supresión del cálculo de integrales los hace compatibles con cualquier nivel de aproximación.El interés que suscita la localización de orbitales "pi" se debe a que las peculiares características de éstos los hacen más ricos que los orbitales "sigma" en información relativa a características particulares de cada molécula. Por ejemplo, la aromaticidad de una molécula se traduce en un considerable grado de deslocalización en sus orbitales localizados "pi", lo cual puede servir de base para cuantificar no solo la propia aromaticidad, sino también las contribuciones a la misma por parte de diferentes regiones de la molécula (aromaticidad local). Junto con éste, consideraremos otros aspectos de los orbitales localizados "pi", como son su relación con las estructuras de Kekulé de la molécula, punto que exigirá la utilización de criterios tanto intrínsecos como externos, el paralelismo entre sistemas con topologías Hückel y Möbius y la relación entre la deslocalización de determinados orbitales localizados y la actividad cancerígena de la molécula.

Trata sobre los operadores lineales en el álgebra geométrica Euclideana Tridimensional AG(3), que es el álgebra de Clifford en el espacio euclideano R3. El objetivo es mostrar que los operadores lineales se pueden reescribir usando el formalismo del álgebra geométrica, mejorando el tratamiento matemático tradicional. Este nuevo enfoque presenta una visión alternativa del álgebra de matrices, porque trabaja directamente con vectores sin recurrir a sus componentes en alguna base, por ello esta versión invariante facilita el cálculo. Los operadores lineales más importantes serán representados en términos del álgebra geométrica, usando la suma y producto de multivectores. / Tesis

Una foliación algebraica unidimensional Fα es aquella que es generada por un campo vectorial meromorfo α ∈ H0(Pn,ΘPn(1 − d)), donde d > 1 sobre el espacio proyectivo complejo Pn. En este trabajo estudiaremos cómo determinar las foliaciones holomorfas unidimensionales mediante sus singularidades usando la cohomología de haces asociadas a las foliaciones holomorfas. El trabajo está basado en la investigación desarrollada por Xavier Gómez-Mont y George Kempf en [GMK89]. / A one-dimensional algebraic foliation Fα is generated by a meromorphic vector eld α ∈ H0(Pn,ΘPn(1 − d)), where d > 1 on the complex projective space Pn. In this work we will study how to determine one-dimensional holomorphic foliations through their singularities using the cohomology of sheaves associated with holomorphic foliations. This work is based on the research developed by Xavier Gómez-Mont and George Kempf in [GMK89].

La conjetura de Fermat fue uno de los acertijos matemáticos más misteriosos hasta 1995. El problema fue formulado en 1637 por Pierre de Fermat. Él afirmó saber cómo resolverlo, sin embargo, no podía mostrar la prueba debido a que el espacio en el margen de su copia de Arithmetica de Diofanto era insuficiente. Desde entonces mucho misticismo rodeó a la conjetura. Mientras tanto, independientemente, nuevas ramas de las matemáticas se desarrollaban. La geometría algebraica y el análisis complejo permitieron a Andrew Wiles resolver finalmente la conjetura. La solución involucra, entre otras herramientas, el uso de curvas elípticas. Esto es suficiente motivo para estudiarlas. En líneas generales las curvas elípticas son polinomios cúbicos no singulares en dos variables con un punto especial de coordenadas racionales en los que podemos establecer una estructura de grupo. Para manipular las operaciones cómodamente transformamos la ecuación de la curva elíptica en una más apropiada con menos términos. Para lograr esto exploramos los aspectos fundamentales de los espacios proyectivos que facilitarían la transición. Como ya es conocido, existen casos en las matemáticas en los que hay un intercambio entre simpleza y elegancia. Uno debe profundizar un poco para alcanzar la estética. Nuestro objetivo es probar la propiedad de asociatividad del grupo en las curvas elípticas por medio del grupo de Picard de una variedad algebraica asociada. Esto provee una prueba alternativa de dicha propiedad y reemplaza los cálculos engorrosos de la prueba directa que usa solo la definición de la operación del grupo. Para lograr esto desarrollamos la teoría de divisores. Esto nos conduce al estudio de funciones racionales sobre las curvas y de este modo nos enfrentamos a uno de los resultados más importantes de la geometría algebraica: el teorema de Riemann-Roch. Basados en esto probamos que las curvas elípticas sobre los cuerpos de característica cero tienen genero uno. Finalmente definimos el grupo de Picard. Este grupo mide el grado de cuánto del conjunto de divisores no tiene origen en las funciones racionales. Luego establecemos un homomorfismo entre este grupo y la curva elíptica: esta es en una manera elaborada de afirmar que la asociatividad de una estructura se preserva en la otra. / The Fermat conjecture was one of the most mysterious puzzles of mathematics until 1995. The problem was formulated in 1637 by Pierre de Fermat. He claimed that he knew how to solve it, but was however unable to exhibit the proof because of the lack of space on the margin of his copy of Diophantus's Arithmetica. Since then a lot of mysticism surrounded the conjecture. Meanwhile, independently, new branches of mathematics were developed. Algebraic geometry and complex analysis allowed Andrew Wiles to finally solve the conjecture. The solution involves, among other tools, the use of elliptic curves. That is enough reason for their study. Roughly speaking elliptic curves are non-singular cubic polynomials in two variables with a special point of rational coordinates where a group structure can be set. In order to handle computations comfortably we transform the equation of the elliptic curve into an appropriate one with fewer terms. To achieve this goal we explore fundamental aspects of projective spaces which facilitate the transition. As it is known, in some cases there is a trade-o_ in mathematics between simplicity and elegance. One must dig a little deep to reach aesthetics. We aim to prove the associativity law of the group on elliptic curves by means of the Picard group of an associated algebraic variety. This provides an alternative proof of the property and replaces the usual burdensome computations of the straight proof by definition of the group operation. In order to achieve this, we develop the theory of divisors. This leads us to the study of rational functions on curves, and thus face one of the crucial results of algebraic geometry: the Riemann-Roch theorem. Based on this we prove that elliptic curves over fields of characteristic zero have genus one. Finally we define the Picard group. This group measures the extent of how much of the set of divisors fails to have its origin on rational functions. Then we establish a homomorphism between this group and the elliptic curve: this yields a fancy way of saying that associativy of one structure is preserved in the other.

En este trabajo, se estudia fundamentalmente diversas relaciones aritméticas que hay en los semigrupos numéricos, como por ejemplo, obtener el conjunto de lagunas, teniendo solamente el conjunto Apery; también, dado un conjunto de elementos generadores, se asociará a cada uno de ellos, un propio semigrupo numérico. Se analiza, haciendo una descripción de diversos conceptos de la Geometría Algebraica, los cuales se relacionan con los semigrupos numéricos, mediante los semigrupos de Weierstrass, que tienen fundamento, en el teorema de Riemann-Roch. / Tesis

Se estudian los sistemas de dos niveles sin recurrir al espacio de Hilbert el cual es sustituido por el álgebra geométrica del espacio tridimensional (Espacio de Hilbert). En esta descripción los estados son codificados mediante elementos de un ideal izquierdo mínimo del álgebra par de G3, mientras los operadores son codificados mediante la combinación lineal de los vectores del álgebra impar de (Espacio de Hilbert). La dinámica que obedecen estos sistemas está gobernada por la ecuación de “Schrödinger real" ya que el número imaginario (i) es sustituido por el pseudoescalar de (Espacio de Hilbert). Introduciendo los idempotentes primitivos del álgebra geométrica, se generalizan las descripciones previas estando en completo acuerdo con la literatura convencional. Utilizando los axiomas del álgebra geométrica, se demuestra que las relaciones de conmutación canónica que obedecen los operadores de espín son consecuencia de la anticonmutatividad del producto geométrico.

Se estudian las líneas de curvatura de superficies compactas, orientables y conexas del espacio euclidiano. La estrategia consiste en usar las ideas de la Estabilidad Estructural y dar condiciones suficientes para la estabilidad de las líneas de curvatura cuando la superficie se perturba en la topología C3. Para tal efecto se estudia los puntos umbílicos Darbouxiano y sus separatrices, al igual que los ciclos hiperbólicos. La estructura de las líneas principales cerca de estos puntos será establecida, reduciendo su análisis a los puntos hiperbólicos singulares de los campos de Línea en el plano. Con esto se busca crear condiciones para que el conjunto de superficies compactas Σ(a, b, c, d) sea estructuralmente estable y abierto en el sentido C3. / Tesis