En el presente trabajo se introduce el concepto de curva algebraica afín y se presenta el proceso de compactificación como curvas algebraicas proyectivas. El objetivo de la tesis es presentar una demostración geométrica de la fórmula “grado género” de una curva lisa. Este teorema relaciona el género topológico de una curva con su grado algebraico. / Tesis

Let K be an algebraically closed field of characteristic zero. The Jacobian Conjecture (JC) in dimension two stated by Keller in [8] says that any pair of polynomials P;Q ∈ L := K[x; y] with [P;Q] := axPayQ - axQayP ∈ Kx (a Jacobian pair ) defines an automorphism of L via x-> P and y -> Q. It turns out that the Newton polygons of such a pair of polynomials are closely related, and by analyzing them, much information can be obtained on conditions that a Jacobian pair must satisfy. Specifically, if there exists a Jacobian pair that does not define an automorphism (a counterexample) then their Newton polygons have to satisfy very restrictive geometric conditions. Based mostly on the work in [1], we present an algorithm to give precise geometrical descriptions of possible counterexamples. This means that, assuming (P;Q) is a counterexample to the Jacobian Conjecture with gcd(deg(P); deg(Q)) = k, we can generate the possible shapes of the Newton Polygon of P and Q and how it transforms under certain linear automorphisms. By analyzing the minimal possible counterexamples, we sketch a path to increase the lower bound of max(deg(P); deg(Q)) to 125 for a minimal possible counterexample to the Jacobian Conjecture. / Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado de característica zero. La Conjetura del Jacobiano en dimensión dos postulada por Keller en [8] dice que cualquier par de polinomios P;Q ∈ L := K[x; y] with [P;Q] := axPayQ - axQayP ∈ Kx (un par Jacobiano) define un automofismo de L via x-> P and y -> Q. Resulta que los polígonos de Newton de tal par de polinomios están relacionados íntimamente, y al analizarlos, mucha información puede ser obtenida sobre condiciones que un par Jacobiano debe satisfacer. Específicamente, si existe un par Jacobiano que no define un automorfismo (un contraejemplo) entonces sus polígonos de Newton deben satisfacer condiciones geométricas bastante restrictivas. Basado en gran parte en el trabajo en [1], presentamos un algoritmo para dar una descripción geométrica precisa de posibles contraejemplos. Esto significa que, asumiendo que (P;Q) es un contraejemplo a la Conjetura del Jacobiano con gcd(deg(P); deg(Q)) = k, podemos generar las posibles formas del Polígono de Newton de P y Q y cómo se transforman bajo ciertos automorfismos lineales. Al analizar los posibles contraejemplos minimales, esbozamos un camino para incrementar la cota inferior de max(deg(P); deg(Q)) a 125 para un posible contraejemplo minimal a la Conjetura del Jacobiano. / Tesis

En el presente trabajo de tesis estudiaremos algunos aspectos geométricos de la envoltura convexa de una trayectoria del movimiento browniano planar en un determinado intervalo de tiempo. De manera más precisa, estudiaremos el perímetro, el área y el diámetro de dicha envoltura convexa. En el primer capítulo, revisaremos el movimiento browniano planar y algunas de sus propiedades tales como el principio de reflexión, la ley de la terna de Lévy y la ley del arcoseno que nos servirá como base teórica para justificar las cotas establecidas por James McRedmond y Chang Xu para estimar el diámetro promedio de dicha envoltura convexa. En el segundo capítulo se estudiarán las principales propiedades de cuerpos convexos y la envoltura convexa de una curva donde se desarrollará las propiedades que nos permitan justificar de manera más clara la fórmula de Cauchy para el perímetro y el área de un cuerpo convexo. En el tercer capítulo se utilizará como teorema principal la fórmula de Cauchy para justificar lo que se encontró de manera explícita tanto para el perímetro promedio y el área promedio de la envoltura convexa del recorrido de un movimiento browniano planar hasta el instante t = 1. Por último, en el cuarto capítulo se utilizará la terna de Lévy como teorema principal para el desarrollo de la estimación del diámetro promedio de dicha envoltura convexa. / In this thesis work we will study some geometric aspects of the convex envelope of a trajectory of planar Brownian motion in a certain time interval. More precisely, we will study the perimeter, area, and diameter of said convex envelope. In the rst chapter, we will review the planar Brownian motion and some of its properties such as the re ection principle, Lévy's triple law and the arcsine law that will serve as a theoretical basis to justify the bounds established by James McRedmond and Chang. Xu to estimate the expected diameter of said convex envelope. In the second chapter, the main properties of convex bodies and the convex envelope of a curve will be studied, where the properties that will allow us to justify more clearly Cauchy's formula for the perimeter and area of a convex body will be developed. In the third chapter, the Cauchy formula will be used as the main theorem to justify what was found explicitly for both the expected perimeter and the expected area of the convex envelope of the path of a planar Brownian motion up to the instant t = 1. By Finally, in the fourth chapter, the Lévy triple will be used as the main theorem for the development of the estimation of the diameter of said convex envelope. / Tesis

En este trabajo, se estudia fundamentalmente diversas relaciones aritméticas que hay en los semigrupos numéricos, como por ejemplo, obtener el conjunto de lagunas, teniendo solamente el conjunto Apery; también, dado un conjunto de elementos generadores, se asociará a cada uno de ellos, un propio semigrupo numérico. Se analiza, haciendo una descripción de diversos conceptos de la Geometría Algebraica, los cuales se relacionan con los semigrupos numéricos, mediante los semigrupos de Weierstrass, que tienen fundamento, en el teorema de Riemann-Roch. / Tesis

En el presente trabajo se estudia la dinámica de los homeomorfismos de la circunferencia unitaria desde el punto de vista topológico. A cada homeomorfismo de tal circunferencia se le puede asociar un invariante topológico, conocido como el número de rotación de Poincaré. Se muestra que si f es un homeomorfismo que preserva orientación con número de rotación irracional, entonces f es semiconjugado a una rotación irracional. Cuando el difeomorfismo es de clase C2 se consigue incluso conjugación topológica. Además, se construye un difeomorfismo de la circunferencia unitaria no transitivo de clase C1 cuyo número de rotación es irracional. / Tesis

En el presente trabajo se estudia la construcción de los recubrimientos universales de subconjuntos hiperbólicos del plano (es decir, de subconjuntos abiertos y conexos que omiten al menos tres puntos de la esfera de Riemann). / In this thesis we study the universal covering spaces of hyperbolic subsets of the plane.

In the present work, we analyse the categories of mixed Hodge complexes and mixed Hodge diagrams of differential graded algebras in these two directions: we prove the existence of both a Cartan-Eilenberg structure, via the construction of cofibrant minimal models, and a cohomological descent structure. This allows to interpret the results of Deligne, Beilinson, Morgan and Navarro within a common homotopical framework. In the additive context of mixed Hodge complexes we recover Beilinson's results. In our study we go a little further and show that the homotopy category of mixed Hodge complexes, and the derived category of mixed Hodge structures are equivalent to a third category whose objects are graded mixed Hodge structures and whose morphisms are certain homotopy classes, which are easier to manipulate. In particular, we obtain a description of the morphisms in the homotopy category in terms of morphisms and extensions of mixed Hodge structures, and recover the results of Carlson [Car80] in this area. As for the multiplicative analogue, we show that every mixed Hodge diagram can be represented by a mixed Hodge algebra which is Sullivan minimal, and establish a multiplicative version of Beilinson's Theorem. This provides an alternative to Morgan's construction. The main difference between the two approaches is that Morgan uses ad hoc constructions of models à la Sullivan, specially designed for mixed Hodge theory, while we follow the line of Quillen's model categories or Cartan-Eilenberg categories, in which the main results are expressed in terms of equivalences of homotopy categories, and the existence of certain derived functors. In particular, we obtain not only a description of mixed Hodge diagrams in terms of Sullivan minimal algebras, but we also have a description of the morphisms in the homotopy category in terms of certain homotopy classes, parallel to the additive case. In addition, our approach generalizes to broader settings, such as the study of compactificable analytic spaces, for which the Hodge and weight filtrations can be defined, but do not satisfy the properties of mixed Hodge theory. Combining these results with Navarro's functorial construction of mixed Hodge diagrams, and using the cohomological descent structure defined via the Thom-Whitney simple, we obtain a more precise and alternative proof of that the rational homotopy type, and the rational homotopy groups of every simply connected complex algebraic variety inherit functorial mixed Hodge structures. As an application, and extending the Formality Theorem of Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan for compact Kähler varieties and the results of Morgan for open smooth varieties, we prove that every simply connected complex algebraic variety (possibly open and singular) and every morphism between such varieties is filtered formal: its rational homotopy type is entirely determined by the first term of the spectral sequence associated with the multiplicative weight filtration. / En aquest treball, analitzem les categories de complexos de Hodge mixtos i de diagrames de Hodge d'àlgebres diferencials graduades en aquestes dues direccions: provem l'existència d'una estructura de Cartan-Eilenberg, via la construcció de models cofibrants minimals, i d'una estructura de descens cohomològic. Aquest estudi permet interpretar els resultats de Deligne, Beilinson, Morgan i Navarro en un marc homotòpic comú.

The original interest in sandwiched singularities comes from a natural question posed by J. Nash in the early sixties to H. Hironaka: “Does a finite succession of Nash transformations or normalized Nash transformations resolve the singularities of a reduced algebraic variety?” In 1975, A. Nobile proved that, in characteristic zero, a Nash transformation is an isomorphism only in case the original variety is already non-singular. It turns out, in particular, that curve singularities are resolved by a succession of Nash transformations. Rebasoo proved in his Ph. D. thesis that Nash transformations also resolve certain kinds of quasi-homogeneous hypersurface singularities in (C)3. In 1982, G. Gonzalez-Sprinberg proved that normalized Nash transformations resolve rational double points and cyclic quotients singularities of surfaces. Then, H. Hironaka proved that after a finite succession of normalized Nash transformations one obtains a surface “X” which birationally dominates a non-singular surface. By definition, the singularities of “X” are sandwiched singularities. Some years later, M. Spivakovsky proves that sandwiched singularities are resolved by normalized Nash transformations, thus giving a positive answer to the original question posed by Nash for the case of surfaces over C. Since then, a constant interest in sandwiched singularities has been shown, and they have been deeply studied from the point of view of deformation theory by de Jong and van Straten, and also by Stolen and Mohring. Sandwiched singularities have been also studied as a nice testing ground for the Nash and the wedge Problem by Lejeune-Jalabert and Reguera, where the main idea is to extend combinatorial arguments for toric surface singularities to sandwiched ones. Sandwiched singularities are the singularities obtained by blowing-up a complete ideal in the local ring of a regular point on a surface. They are rational surface singularities (roughly speaking, isolated singularities whose resolution has no effect on the arithmetic genus of the surface) and among them are included all cyclic quotients and minimal surface singularities. Sandwiched singularities are Cohen-Macaulay, but are not complete intersections and in general, there are no simple equations for them. The purpose of this memoir is to study sandwiched singularities through their relationship to the infinitely near base points of the complete ideals blownup to obtain them. Now, we briefly summarize the main contents of each one of the chapters. Chapter I is of preliminary nature and gives references to the literature for proofs. Concepts and well-known facts about infinitely near points, weighted clusters, complete ideals and rational and sandwiched surface singularities are reviewed and some consequences that are needed in the memoir are derived. In Chapter II we establish the main link between the study of sandwiched singularities and the theory of Enriques diagrams of weighted clusters and we derive some results on sandwiched singularities by using the unloading procedure. Chapter III deals essentially with the principality of divisors going through a sandwiched singularity. It is well known that Wei divisors going through a singularity (X, Q) are not Cartier divisors in general. In Chapter IV we use the results of Chapter III to explore the connection between the ideal sheaves on “X” with finite cosupport contained in the exceptional locus and the complete m(o)-primary ideals in R. Chapter V is devoted to derive consequences related to the Nash conjecture of arcs for sandwiched singularities. In Appendix A, we provide the listings of three programs in language C implementing some of the algorithms proposed. These programs have been used to compute some of the examples presented throughout the memoir. Part of the results of this thesis has been published or will be published in: • J. Fernandez-Sanchez, On sandwiched singularities and complete ideals, J. Pure Appl. Algebra 185 (2003), no. 1-3, 165-175. [19] • J. Fernandez-Sanchez, Nash families of smooth arcs on a sandwiched singularity, To appear in Math. Proc. Cambridge. Philos. Soc. [18] • J. Fernandez-Sanchez, Equivalence of the Nash conjecture for primitive and sandwiched singularities, To appear in Proc. Amer. Math. Soc. [17]

La tomografía axial computerizada ha tenido un impacto revolucionario en el diagnóstico médico y en el ámbito industrial para la realización de test no destructivo. En tomografía de rayos-X, los métodos algrebraicos de reconstrucción se basan en la resolución de un sistema de ecuaciones lineal. Los métodos algebraicos son capaces de proporcionar imágenes de más calidad que los métodos de reconstrucción basados en técnicas de Fourier, especialmente cuando se dispone de un menor número de proyecciones y en condiciones ruidosas. Sin embargo, los métodos de reconstrucción algebraicos están menos extendidos en la práctica, al tratarse de técnicas que conllevan un coste computacional muy elevado. En el estudio desarrollado en esta tesis se presentan estrategias que permiten la reducción del cálculo asociado a los métodos algebraicos a partir del replanteamiento de la matriz del sistema. Para ello, se proponen nuevos modelos de matriz del sistema que se fundamentan en el empleo de distintos esquemas de píxeles alternativos a los tradicionales. Los esquemas de píxeles propuestos permiten la aplicación de todas las simetrías presentes en un tomógrafo al cálculo de la matriz del sistema. De esta manera, hacen posible la disminución del volumen de datos que es necesario calcular y que es necesario utilizar en la reconstrucción. Los modelos de matriz del sistema presentados se comparan mediante la reconstrucción de proyecciones sintéticas y de proyecciones reales pertenecientes a un escáner TAC de pequeños animales de alta resolución y a un simulador-TAC. Las imágenes reconstruidas a partir de señales sintéticas permiten validar de manera objetiva la calidad de la reconstrucción obtenida a partir de cada matriz en lo relativo al contraste, resolución y precisión. Como resultado de esta comparación, se determina el modelo de matriz que permite una mayor reducción del coste computacional asociado sin incurrir en detrimento de la calidad de las imágenes obtenidas. Adicionalmen / Mora Mora, MTC. (2008). Métodos de reconstrucción volumétrica algebraica de imágenes tomográficas. Aplicación a un TAC de pequeños animales y a un simulador-TAC [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/2935

We describe a correspondence between two different links associated to the same K3 orbifold. This duality is produced when two elements, one inside and the other on the boundary of the Kähler cone, are identified. We call this correspondence ∂-duality. We also discuss the consequences of ∂-duality at the level of metrics. / Describimos una correspondencia entre dos enlaces asociados a un mismo espacio K3 que soporta a lo más, singularidades cíclicas de tipo orbifold. Esta dualidad se hace evidente cuando dos elementos, uno en el interior y el otro en la frontera del cono de Kähler, son identificados. Denominamos a esta correspondencia ∂-dualidad. También discutimos las consecuencias de ∂-dualidad al nivel de estructuras riemaniannas.