Le sujet principal de cette thèse est l'étude de la contrôlabilité exacte de deux équations dispersives, l'équation de Korteweg-de Vries et la "bonne" équation de Boussinesq. En ce qui concerne l'équation de Korteweg-de Vrie, on étend un résultat de Rosier en montrant la contrôlabilité exacte en tout temps de l'équation non linéaire autour d'une solution stationnaire proche de zéro mais non nulle, ce pour des longueurs de domaine spatial critiques. Cette démonstration utilise en particulier la méthode d'unicité hilbertienne couplée avec la méthode des multiplicateurs et un théorème de point fixe. Ensuite, nous étudions le problème de la contrôlabilité exacte de l'équation de Boussinesq pour deux contrôles différents. On utilise également la méthode d'unicité hilbertienne pour ces problèmes en appliquant une inégalité de Ingham. On obtient ainsi un résultat de contrôlabilité exacte pour des temps arbitrairement petits. Nous implémentons ensuite cette méthode de facon numérique pour l'équation de Boussinesq avec un contrôle portant sur la dérivée seconde a droite, tant sur le problème linéaire que non linéaire.

On étudie dans cette thèse des probèlmes de stabilisation en théorie du controle pour trois types de systèmes différents. Tout d'abord, on introduit, pour les systèmes non linéaires de dimension finie perturbés par des erreurs, une classe de controles dits hybrides, car dépendant d'un état mixte discret-continu. Etant donné un système dont l'équilibre est asymptotiquement controlable, on montre qu'il existe un controle tel que l'équilibre du système bouclé soit globalement asymptotiquement stable avec une robustesse par rapport aux petits bruits. On explicite pour les systèmes chainés un tel controle robuste avec une seule dynamique discrète. On donne également un controle hybride et un controle par retour d'état continu et périodique en temps qui recollent robustement deux controles données tout en conservant une propriéetée de stabilitée asymptotique. Ensuite, on étudie le problème de stabilisation d'un bac de fluide par le controle du déplacement longitudinal. C'est un problème de théorie du controle en dimension infinie car on modélise le problème en utilisant les équations de Saint-Venant qui sont des équations aux dérivées partielles hyperboliques. On utilise une approche Lyapunov pour proposer des feedbacks qui, numériquement, stabilisent localement et asymptotiquement l'origine du système bouclé. Enfin, on étudie le problème de stabilisation de l'origine d'un système linéaire en dimension finie lorsqu'on a une incertitude sur les donnes du système. On applique les méthodes de résolutions numériques des inégalités linéaires matricielles avec incertitudes à un problème industriel.

De nombreuses techniques de résolution d'équations aux dérivées partielles sans maillage ont été développées dans la dernière décennie, proposant une alternative attrayante lorsque les éléments finis atteignent leurs limites. Notre travail se concentre sur l'étude de l'approximation diffuse, de ses applications au lissage et a la résolution des équations différentielles : les éléments diffus. Cependant, les solutions proposées s'appliquent aussi à d'autres méthodes et de nombreux résultats numériques illustrent chaque développement théorique. Dans un premier temps, nous étudions les techniques d'approximation sans maillage et les comparons à l'aide d'une méthode hybride. L'approximation myope est construite en modifiant le critère de construction des splines et montre ainsi la différence de nature entre moindres carres glissants et interpolateurs radiaux (krigeage, splines). Nous développons ensuite l'approximation diffuse Hermite dont l'application au calcul de la courbure des surfaces triangulées aboutit à une technique de haute résolution. Un algorithme de reverse engineering de modèle CAO s'appuie sur cette nouvelle technique et met en évidence son potentiel. L'intégration numérique est un ingrédient essentiel pour une méthode sans maillage. L'analyse du patch test nous conduit a la définition d'une technique robuste et assurant de bons rangs de convergence. Nous l'appliquons à l'approximation Hermite pour construire un modèle de poutre 3d pour le forage pétrolier. Un algorithme de contact roche-structure original est propose pour ce problème.

Le problème de l'optimisation des valeurs propres du Laplacien est ancien puisqu'à la fin du XIXème siècle Lord Rayleigh conjecturait que la première valeur propre avec condition de Dirichlet était minimisée par le disque. Depuis le problème a été beaucoup étudié. Et les possibilités de recherches sont multiples : diverses conditions, ajout de contraintes, existence, description des optima ... Dans ce document on se limite aux conditions de Dirichlet et de Neumann, dans R^2 et dans R^3. On procède dans un premier temps à un état de l'art. On se focalise ensuite sur les disques et les boules. En effet, ils font partie des rares formes pour lesquelles il est possible de calculer explicitement et relativement facilement les valeurs propres. On verra malheureusement que ces formes ne sont la plupart du temps pas des minimiseurs. Enfin on s'intéresse aux simulations numériques possibles. En effet, puisque peu de calculs théoriques peuvent être faits il est intéressant d'obtenir numériquement des candidats. Cela permet ensuite d'avoir des hypothèses de travail théorique. `{A} cet effet nous donnerons des éléments de compréhension sur une méthode de simulation numérique ainsi que des résultats obtenus. / The optimization of Laplacian eigenvalues is a classical problem. In fact, at the end of the nineteenth century, Lord Rayleigh conjectured that the first eigenvalue with Dirichlet boundary condition is minimized by a disk. This problem received a lot of attention since this first study and research possibilities are numerous: various conditions, geometrical constraints added, existence, description of optimal shapes... In this document we restrict us to Dirichlet and Neumann boundary conditions in R^2 and R^3. We begin with a state of the art. Then we focus our study on disks and balls. Indeed, these are some of the only shapes for which it is possible to explicitly and relatively easily compute the eigenvalues. But we show in one of the main result of this document that they are not minimizers for most eigenvalues. Finally we take an interest in the possible numerical experiments. Since we can do very few theoretical computations, it is interesting to get numerical candidates. Then we can deduce some theoretical working assumptions. With this in mind we give some keys to understand our numerical method and we also give some results obtained.

Ces travaux de thèse traitent de l'approximation en dimension finie de système de dimension infinie. La classe considérée est celle des systèmes hamiltoniens à ports. Nous étudions dans un premier temps les systèmes d'équations différentielles ordinaires. Sur la base d'un intégrateur énergétique, nous définissons une classe de dynamiques passives discrètes qui est invariante par interconnexion. Nous obtenons alors des conditions de stabilité (LMI) pour des dynamiques en réseau en présence de retards et d'incertitudes, et proposons une méthode de synthèse énergétique stabilisante. Ces développements ont été validés expérimentalement par la mise en oeuvre d'une commande énergétique sur un convertisseur de puissance (Buck). Nous étudions ensuite le formalisme hamiltonien en dimension infinie. Nous proposons une approximation qui combine une semi-discrétisation et un intégrateur énergétique. La composabilité mixte est étudiée et une méthode de synthèse IDA-PBC a été développée. L'ensemble des résultats obtenus sont illustrés numériquement dans le manuscrit. / This thesis work dealing with finite dimensional approximation of infinite dimension system. The class considered is that of Hamiltonian systems in ports. We study initially ordinary differential equations systems. Based on an energy integrator, we define a class of discrete passive dynamics is invariant interconnection. We obtain the stability conditions (LMI) for dynamic network in the presence of delays and uncertainties, and propose a method of stabilizing energy synthesis. These developments were experimentally validated by the implementation of an energy control a power converter (Buck). We then study the Hamiltonian formalism in infinite dimensions. We offer an approximation that combines a semi-discretization and an energy integrator. The mixed composability is studied and a method of synthesis IDA-PBC was developed. All the obtained results are numerically illustrated in the manuscript.

Les guides d'ondes optiques sont utilisés dans plusieurs dispositifs de télécommunications pour le transport d'informations numériques. Nous les retrouvons aussi dans les équipements médicaux ou d'ingénierie, comme par exemple les coupleurs, les interféromètres optiques, les convertisseurs de polarisation, etc. Le transport des informations dans ces structures demeure une question capitale et donc les méthodes utilisées doivent être capables de véhiculer ces informations avec un minimum de perte. Dans cette thèse, nous présentons une méthode numérique d'approximation qui permet la simulation du transport des ondes dans une direction choisie avec le maximum de précision et à un coût abordable. Cette méthode est basée sur une approximation au sens de Padé d'opérateurs pseudo-différentiels associés à la fonction algébrique y/1 — x . Essentiellement, nous approchons une équation différentielle ordinaire (EDO) d'ordre 2 par une EDO d'ordre 1 dont les solutions ont la même phase que celle des solutions de l'EDO d'ordre 2 qui se propagent dans la direction choisie. Nous avons évalué les capacités de cette méthode sur de nombreux problèmes bidimensionnels et tridimensionnels. Elle s'est révélée à la fois robuste et précise

Le chapitre 1 porte sur une équation des ondes monodimensionnelle soumise à une condition aux limites unilatérale. Sous des hypothèses de régularité appropriées sur les données initiales, une nouvelle preuve d’existence et d’unicité est proposée. La méthode de redistribution de masse qui repose sur une redistribution de la masse d’un corps de telle sorte qu’il n’y ait pas d’inertie au niveau du nœud de contact est introduite et sa convergence est prouvée. Une approximation de ce problème d’évolution combinant la méthode des éléments finis ainsi que la méthode de redistribution de masse est analysée dans le chapitre 2. Puis deux problèmes ainsi que leurs solutions analytiques respectives (l’une étant nouvelle) sont présentés et des discrétisations possibles en utilisant différentes méthodes d’intégration en temps sont décrites. Enfin, des simulations numériques de ces problèmes sont reportées. Dans le chapitre 3, la masse des nœuds de contact est redistribuée sur les autres nœuds et sa convergence ainsi qu’une estimation de l’erreur en temps sont établies. Ensuite, une solution analytique déjà introduite dans le chapitre 3 est comparée aux approximations obtenues pour plusieurs redistributions de masse possibles mettant ainsi en évidence que plus une redistribution de masse d’un corps se fait à proximité des nœuds de contact meilleures sont les solutions approchées obtenues. Les problèmes de contact élastodynamique en dimension d’espace deux et trois sont étudiés dans le chapitre 4. Comme pour les problèmes de contact monodimensionnels, une solution approchée combinant les éléments finis et la redistribution de masse est exposée. Quelques simulations numériques utilisant des méthodes d’intégration en temps mettent en évidence les propriétés de convergence de la méthode de redistribution de masse. / The chapter 1 focuses on a one–dimensional wave equation being subjected to a unilateral boundary condition. Under appropriate regularity assumptions on the initial data, a new proof of existence and uniqueness results is proposed. The mass redistribution method based on a redistribution of the body mass such that there is no inertia at the contact node is introduced and its convergence is proved. An approximation of this evolutionary problem combining the finite element method as well as the mass redistribution method is analyzed in chapter 2. Then two benchmark problems (one being new) with their analytical solutions are presented and some possible discretizations using different time–integration schemes are described. Finally, numerical experiments for these benchmark problems are reported. In chapter 3, the mass of the contact nodes is redistributed on the other nodes and its convergence as well as an error estimate in time are established. Then an analytical solution already introduced in chapter 3 is compared to approximate ones obtained for different choices of mass redistribution highlighting that more a mass redistribution of the body is done near the contact nodes better the approximate solutions are obtained. The two and three–dimensional elastodynamic contact problems are studied in chapter 4. As for the one–dimensional contact problems, an approximated solution combining the finite element and mass redistribution methods is exhibited. Some numerical experiments using time–integration methods highlighted the convergence properties of the mass redistribution method.

Mes travaux de recherche sont liés à l'analyse asymptotique, l'approximation numérique et la théorie spectrale de problèmes elliptiques. J'allie les résultats théoriques et les simulations numériques pour préciser le comportement des solutions : la théorie permettant de proposer des méthodes numériques plus performantes et de prévoir certaines difficultés numériques, les simulations illustrant parfois des comportements plus fins que ceux démontrés jusque-là ou suggérant de nouvelles conjectures. Ce document se découpe en quatre chapitres, chacun correspondant à un thème de recherche. Le premier thème de recherche que je vais aborder concerne l'analyse mathématique de la supraconductivité qui était le sujet de ma thèse. Cette thématique a fait l'objet de collaborations avec F. Alouges, M. Dauge, S. Fournais, B. Helffer, D.~Martin, N. Popoff, N. Raymond et G. Vial. Notre objectif est de comprendre l'influence de la géométrie du matériau sur l'apparition de la supraconductivité. La première étape consiste à étudier le spectre de l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique et paramètre semi-classique dans les domaines à coins. Nous avons établi un développement asymptotique des modes propres et montré que les vecteurs propres avaient une structure double échelle, ce qui rend les simulations numériques très délicates. Nous avons proposé une approche basée sur la méthode d'éléments finis nodaux de haut degré et mis en évidence l'effet tunnel pour des domaines symétriques. Ces résultats ont ensuite permis d'étudier les minimiseurs de la fonctionnelle de Ginzburg-Landau et d'établir la localisation du paramètre d'ordre qui rend compte de la densité des électrons supraconducteurs, lorsqu'on abaisse progressivement le champ magnétique appliqué. Très peu d'études avaient été réalisées pour les domaines à coins. Nous en avons maintenant une compréhension assez précise en dimension 2. Récemment, nous avons commencé l'étude en dimension 3 dans le cadre de la thèse de N. Popoff, avec M. Dauge. La deuxième partie de ce document présente un modèle simplifié pour le transport quantique dans des diodes à effet tunnel résonant. Elle résulte de collaborations avec A. Faraj, F. Nier et Y. Patel. Ce dernier a réalisé une analyse asymptotique fine de systèmes de Schrödinger-Poisson stationnaires, non linéaires uni-dimensionnels dans un régime hors-équilibre. Nous avons proposé une adaptation numérique de cette analyse afin de déterminer rapidement des diagrammes courant-tension et de bifurcation et montré la pertinence de ce modèle réduit en le comparant à un modèle 1D de Schrödinger-Poisson avec traitement numérique complet des états résonnants. Dans le cadre du projet ANR jeunes chercheurs n° JCJC06-139561 Macadam, je me suis intéressée à l'analyse multi-échelle et numérique de problèmes elliptiques perturbés, en collaboration avec D. Brancherie, M. Dambrine, S. Tordeux, F. Hérau et G. Vial. Ce projet consiste à étudier l'influence de petites perturbations géométriques sur la solution de problèmes elliptiques. Les cas d'une inclusion isolée ou de plusieurs bien séparées ont été largement étudiés. Nous considérons plus précisément le cas où la distance entre deux inclusions tend vers zéro mais reste grande par rapport à leur taille caractéristique. Nous donnons un développement asymptotique multi-échelle complet de la solution de l'équation de Laplace dans la situation de deux inclusions. Nous présentons également quelques simulations numériques basées sur une méthode de superposition multi-échelle de la solution non perturbée et d'un profil (solution normalisée de l'équation de Laplace dans le domaine extérieur obtenu par blow-up de la perturbation). Nous étendons ces techniques aux équations de l'élasticité linéaire afin de prédire le comportement à rupture de certains matériaux présentant des micro-défauts. Nous avons également proposé des méthodes pour calculer effectivement les profils intervenant dans le développement asymptotique. Ceci a soulevé des questions mathématiques liées à la perte de coercivité provenant de conditions de Ventcel dégénérées. Le dernier chapitre propose quelques résultats sur les partitions minimales, en collaboration avec B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof, C. Léna et G. Vial. Nous souhaitons comprendre le lien entre la $k$-partition minimale, pour laquelle la plus grande première valeur propre du Laplacien-Dirichlet sur les $k$ sous-domaines est minimale parmi les $k$-partitions, et les ensembles nodaux des vecteurs propres du Laplacien avec condition de Dirichlet. Nous nous sommes focalisés sur le cas $k=3$ pour lequel on ne connaît pas, en général, de partition optimale même pour des géométries très simples telles que le carré ou le disque. En se restreignant aux configurations symétriques, nous utilisons la méthode d'éléments finis pour exhiber des candidats aux 3-partitions minimales symétriques du disque, du carré ou d'autres géométries. Cette étude numérique nous a conduits à des problèmes d'isospectralité que nous avons résolus en utilisant le Hamiltonien de Aharonov-Bohm. L'introduction de cet opérateur pour résoudre une question théorique a ouvert une nouvelle piste numérique qui consiste à calculer les modes propres par une méthode d'éléments finis sur un revêtement à deux feuillets et d'étudier le comportement des lignes nodales en fonction du point singulier. Cela nous a permis de dégager de nouveaux candidats aux partitions minimales.

Cette thèse concerne la modélisation mathématique et l'approximation numérique de modèles homogénéisés de métamatériaux. Dans la première partie on étudie des problèmes de propagation d'ondes en présence de métamatériaux homogénéisés tels que les équations de Maxwell, le système de l'acoustique ou de l'élasticité linéaire. Nous établissons des résultats d'existence et d'unicité pour ces systèmes sous des hypothèses phénoménologiques sur le métamatériau en accord avec certains modèles de la littérature. Nous abordons ensuite leurs approximations numériques. Nous présentons des résultats concernant les éléments finis pour l'approximation de l'équation de Helmholtz qui montrent que ce schéma peut ne pas converger en présence de métamatériaux. On propose alors un schéma adapté aux métamatériaux, le schéma EF-AL, qui converge dès que le problème est bien-posé. On termine par l'étude du schéma Galerkin Discontinu dont on montre numériquement sa convergence sur des exemples de métamatériaux. La seconde partie présente l'homogénéisation non-périodique formelle de métamatériaux acoustiques. Les travaux d'A.G. Ramm sur la création de milieux à partir d'assemblages d'obstacles sont repris afin de préciser l'asymptotique fine du comportement du champ diffracté par un nombre fini de petites boules de rayon \delta. On utilise pour cela la méthode des développements asymptotiques raccordés. On établit l'existence et l'unicité de ce dernier et des estimations d'erreurs qui valident l'approche formelle. On suppose ensuite que le nombre de petits objets tend vers l'infini lorsque \delta tend vers 0 et passons à la limite dans le développement. Une approximation de Born permet d'obtenir l'indice du milieu contenant tous les objets qui, dans certains cas, est celui d'un métamatériau.

Dans ce travail, on étudie l'homogénéisation de quelques problèmes de propagations de fronts dans des milieux stationnaires et ergodiques. Dans la première partie, on étudie l'homogénéisation stochastique de quelques problèmes de propagations de fronts non-locaux. En particulier, on donne une version non-locale de la méthode de la fonction test perturbée d'Evans. La deuxième partie est consacrée à l'approximation numérique du Hamiltonien effectif qui découle de l'homogénéisation stochastique des équations de Hamilton-Jacobi. On établit des estimations d'erreurs entre les solutions numériques et l'Hamiltonien effectif. Dans la troisième partie, on s'intéresse à l'homogénéisation stochastique de problèmes de propagations de fronts qui évoluent dans la direction normale avec une vitesse qui peut être non bornée. On montre des résultats d'homogénéisation dans le cas des milieux i.i.d. / In this work, we study the homogenization of some front propagation problems in stationary ergodic media. In the first part, we study the stochastic homogenization of non-local front propagation problems. In particular, we give a non-local variation of the perturbed test function method of Evans. The second part is devoted to numerical approximations of the effective Hamiltonian arising in stochastic homogenization of Hamilton-Jacobi equations. We establish error estimates between numerical solutions and the effective Hamiltonian. In the third part, we are interested in the stochastic homogenization of front propagation problems moving in the normal direction with possible unbounded velocity. Assuming that the media satisfies a finite range of dependence condition, we prove homogenization results.