Uma matriz `A IND.N´ de ordem N ´e normal se e somente se comuta com sua adjunta. Nesta tese investigamos a estatística dos autovalores (no plano complexo) de ensembles de matrizes aleatórias normais quando a ordem N destas tende a infinito. A função distribuição de probabilidade no espaço das matrizes normais atribui, como na mecânica estatística, um peso de Boltzmann `e POT.-NF(`A IND.N´)´ a cada realização `A IND.N´ destas matrizes, onde F é uma função a valores reais invariante por transformações unitárias. Realizando uma mudança de variáveis (das variáveis de entrada para as variáveis espectrais), escrevemos a distribuição marginal conjunta dos autovalores `{`z IND.i´} POT.N´ `IND.i=1´, bem como a função de n-pontos correspondente a vários ensembles, como o determinante de um núcleo integral associado. A partir deste formalismo bem estabelecido na literatura, apresentaremos nesta tese dois tipos de resultados: Primeiramente, explorando a semelhança da distribuição conjunta dos autovalores a um problema variacional sobre as medidas de equilíbrio eletrostático de cargas sujeitas a um potencial externo V : C ? R (escolhendo F(`A IND.N´) = ```sigma´ POT.N´ IND.i´=1 V (`z IND.i´)), podemos aplicar a teoria de potenciais logarítmicos para obter a única medida de equilíbrio coincidente com a função de 1-ponto destes ensembles. Com base nesta teoria, propomos nesta tese um método de interpolação analítica capaz de projetar a medida de equilíbrio dos ensembles normais em medidas de equilíbrio dos ensembles hermitianos e unitários correspondentes. Ilustramos o procedimento com várias aplicações. O segundo tipo de resultados utiliza o método de ponto de sela ao nícleo integral da família de ensembles de matrizes normais com potenciais `V IND.`alfa´´ (z) = `|z| POT.`alfa´´ , z `PERTENCE A´ C e `alfa´ `PERTENCE A´ ]0,`INFINITO´[. Analogamente ao que foi demonstrado em ensembles hermitianos por Deift, estabelecemos por intermédio desta expansão um conceito similar de universalidade para esta família, fazendo uso de mapas conformes e a teoria de espaços de Segal-Bargmann. Sobre o sentido de universalidade definido por G. Oas, mostramos que a afirmação de universalidade neste sentido por este autor é incorreta quando a cauda desta probabilidade é levada em conta. / A matrix `A IND.N´ of order N is normal if and only if it commutes with its adjoint. In the present thesis we investigate the eigenvalues statistics (in the complex plane) of ensembles of normal random matrices when their order N tends to infinite. The probability distribution function in the space of normal matrices attributes, as in statistical mechanics, a Boltzmann weight `e POT.-NF(`A IND.N´)´ at each matrix realization `A IND.N´, where F is a real-valued function invariant by unitary transformations. By performing a change of variables (from entry variables to spectral variables) we write the marginal joint distribution of eigenvalues {`z IND.i´} POT.N´ `IND.i=1´, as well as the n-points functions corresponding to several ensembles, as the determinant of an associated integral kernel. From this formalism well-established in the literature, we shall present in this thesis two types of results: Firstly, exploiting the similarity of joint distribution of eigenvalues to a variational problem on electrostatic equilibrium measures of charges subjected to an external potential V : C - > R (by choosing F(`A IND.N´) = ```sigma´ POT.N´ IND.i´=1 V (`z IND.i´)), we can apply the theory of logarithmic potentials to obtain the unique equilibrium measure coinciding with the 1-point function of these ensembles. Based on this theory, we propose in this thesis a method of analytical interpolation capable of projecting the equilibrium measure of normal ensembles in equilibrium measures of corresponding Hermitian and unitary ensembles. We give several applications of this procedure. The second type of results utilizes the saddle point method applied to integral kernel of a family of normal matrix ensembles with potentials `V IND.`alfa´´ (z) = `|z| POT.`alfa´´ , z `PERTENCE A´ C e `alfa´ `PERTENCE A´ ]0,`INFINITO´[. Similarly to what has been shown in hermitian ensembles by Deift, we established by mean of this expansion a similar concept of universality for this family, making use of conformal maps and theory of Segal-Bargmann space. Concerning the universality defined by G. Oas, we show that the universality claimed by this author is incorrect when the tail of this probability is taking into account.

Estamos interessados em estudar o comportamento assintótico das soluções de uma classe de Equações Diferenciais Funcionais (EDF) lineares e autônomas do tipo neutro, onde os coeficientes, na parte não neutra, são funções periódicas de período comum w! e os retardamentos são múltiplos de w. Para isto, utilizamo-nos da teoria espectral de operadores aplicada ao chamado operador monodrômico \'PI\' : C \'SETA\' C, cuja ação é evoluir um dado estado um passo de tamanho w. Calculamos o resolvente deste operador, donde inferimos todas as propriedades espectrais que nos permitem determinar o comportamento assintótico das soluções. Mostramos a importância de se determinar autovalores dominantes para a obtenção das estimativas, e mostramos resultados neste sentido. Estudamos em detalhe três exemplos que ilustram a teoria e demonstram sua aplicabilidade / We are interested in the study of the asymptotic behavior of the solutions of a class of linear autonomous Functional Differential Equations (FDE) of neutral type, where the coeficients of the non neutral part are periodic functions with common period w and the time delays are multiples of w. We employ the spectral theory for linear operators applied to the so called monodromic operator \'PI\' : C \'ARROW\'! C, whose action is to evolve a given state one step of size w. We compute the resolvent of this operator, from where we infer the spectral properties that allows us to determine the asymptotic behavior of the solutions. We show the importance to determine whether an eigenvalue is dominant, in order to obtain the estimates for the correspondet solution, and we show results in this direction. Finally we study in detail three examples that illustrate the theory and demonstrate its applicability

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

Neste trabalho apresentamos duas caracterizações para o K-funcional do tipo Peetre sobre os espaços compactos 2-homogêneos. Provamos a equivalência no sentido assintótico entre o módulo de suavidade de ordem fracionária e o K-funcional do tipo Peetre, e a equivalência deste último com o raio de aproximação de um operator multiplicativo definido para este propósito. Como consequência obtivemos a desigualdade de Marchaud, neste contexto. Estes resultados generalizam os equivalentes, e bem conhecidos, sobre o contexto esférico. As caracterizações foram aplicadas para mostrar que uma condição abstrata de Hölder, ou de diferenciabilidade de ordem finita, sobre núcleos que geram operadores integrais positivos, implica a obtenção de uma taxa de decrescimento polinomial para suas sequências de autovalores. / We prove two characterization for the Peetre type K-functional on M, a compact two-point homogeneous space. One in terms the rate of approximation of a family of multipliers operator defined to this purpose, and another in terms of the fractional moduli of smoothness. As a direct consequence of those we obtained the Marchaud inequality on this framework. These extend the well known results on the spherical setting. The characterizations are employed to show that an abstract Hölder condition or finite order of differentiability condition imposed on kernels generating certain operators implies a sharp decay rates for their eigenvalues sequences.

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Estamos interessados em estudar o comportamento assintótico das soluções de uma classe de Equações Diferenciais Funcionais (EDF) lineares e autônomas do tipo neutro, onde os coeficientes, na parte não neutra, são funções periódicas de período comum w! e os retardamentos são múltiplos de w. Para isto, utilizamo-nos da teoria espectral de operadores aplicada ao chamado operador monodrômico \'PI\' : C \'SETA\' C, cuja ação é evoluir um dado estado um passo de tamanho w. Calculamos o resolvente deste operador, donde inferimos todas as propriedades espectrais que nos permitem determinar o comportamento assintótico das soluções. Mostramos a importância de se determinar autovalores dominantes para a obtenção das estimativas, e mostramos resultados neste sentido. Estudamos em detalhe três exemplos que ilustram a teoria e demonstram sua aplicabilidade / We are interested in the study of the asymptotic behavior of the solutions of a class of linear autonomous Functional Differential Equations (FDE) of neutral type, where the coeficients of the non neutral part are periodic functions with common period w and the time delays are multiples of w. We employ the spectral theory for linear operators applied to the so called monodromic operator \'PI\' : C \'ARROW\'! C, whose action is to evolve a given state one step of size w. We compute the resolvent of this operator, from where we infer the spectral properties that allows us to determine the asymptotic behavior of the solutions. We show the importance to determine whether an eigenvalue is dominant, in order to obtain the estimates for the correspondet solution, and we show results in this direction. Finally we study in detail three examples that illustrate the theory and demonstrate its applicability

Neste trabalho obtemos taxas de decaimento para autovalores e valores singulares de operadores integrais gerados por núcleos de quadrado integrável sobre a esfera unitária em \'R POT. m+1\', m 2, sob hipóteses sobre ambos, certas derivadas do núcleo e o operador integral gerado por tais derivadas. Este tipo de problema é comum na literatura, mas as hipóteses geralmente são definidas via diferenciação usual em \'R POT m+1\'. Aqui, as hipóteses são todas definidas via derivada de Laplace-Beltrami, um conceito genuinamente esférico investigado primeiramente por W. Rudin no começo dos anos 50. As taxas de decaimento apresentadas são ótimas e dependem da dimensão m e da ordem de diferenciabilidade usada para definir as condições de suavidade / In this work we obtain decay rates for singular values and eigenvalues of integral operators generated by square integrable kernels on the unit sphere in \'R m+1\', m 2, under assumptions on both, certain derivatives of the kernel and the integral operators generated by such derivatives. This type of problem is common in the literature but the assumptions are usually defined via standard differentiation in \'R POT. m+1\'. Here, the assumptions are all defined via the Laplace-Beltrami derivative, a concept first investigated by W. Rudin in the early fifties and genuinely spherical in nature. The rates we present are optimal and depend on both, the differentiability order used to define the smoothness conditions and the dimension m

Este trabalho é dedicado ao estudo de propriedades teóricas dos operadores integrais positivos em \'L POT. 2\' (X; u), quando X é um espaço topológico localmente compacto ou primeiro enumerável e u é uma medida estritamente positiva. Damos ênfase à análise de propriedades espectrais relacionadas com extensões do Teorema de Mercer e ao estudo dos espaços de Hilbert de reprodução relacionados. Como aplicação, estudamos o decaimento dos autovalores destes operadores, em um contexto especial. Finalizamos o trabalho com a análise de propriedades de suavidade das funções do espaço de Hilbert de reprodução, quando X é um subconjunto do espaço euclidiano usual e u é a medida de Lebesgue usual de X / In this work we study theoretical properties of positive integral operators on \'L POT. 2\'(X; u), in the case when X is a topological space, either locally compact or first countable, and u is a strictly positive measure. The analysis is directed to spectral properties of the operator which are related to some extensions of Mercer\'s Theorem and to the study of the reproducing kernel Hilbert spaces involved. As applications, we deduce decay rates for the eigenvalues of the operators in a special but relevant case. We also consider smoothness properties for functions in the reproducing kernel Hilbert spaces when X is a subset of the Euclidean space and u is the Lebesgue measure of the space

En este trabajo se ha estudiado la posibilidad de usar algunas t ecnicas de reducci on para lograr una simulaci on m as e ciente del ujo subterr aneo en los acu feros contenidos en modelos de uso conjunto. As , el principal enfoque de esta investigaci on ha sido relacionar la parametrizaci on de las relaciones r o-acu fero con las caracter sticas del modelo reducido para encontrar los efectos de dicha parametrizaci on sobre la e ciencia de la reducci on. La primera metodolog a propuesta, denominada M etodo de los AutoValores con Compresi on Selectiva y Enmascaramiento Modal (MAV-CSEM), puede reducir dram aticamente el tama~no de un modelo de ujo subterr aneo, aumentando la e ciencia de su ejecuci on y disminuyendo la memoria virtual requerida. A efectos pr acticos, el MAV-CSEM utiliza los siguiente conceptos novedosos: (i ) modos efectivos, (ii ) modos residuales, (iii ) l mite de participaci on modal, (iv ) m ascara de estados efectivos y (v) nivel de continuidad. Este marco conceptual no solamente ayuda a identi car los modos que m as contribuyen a la respuesta del acu fero por causa de las excitaciones externas, sino que tambi en ayuda a lograr una simulaci on m as r apida del ujo en el acu fero que la obtenida por el MAV cl asico. La principal ventaja del MAV-CSEM es que, aumentando el n umero de celdas del modelo, se puede considerar m as detalladamente la variabilidad espacial de los par ametros hidr aulicos del acu fero en la modelaci on del ujo subterr aneo, sin que la e ciencia computacional de las simulaciones se vea considerablemente afectada, especialmente cuando dicho acu fero forma parte del modelo de un sistema de uso conjunto. El MAV-CSEM ha sido probado en acu feros rectangulares homog eneos simples. Los resultados obtenidos tienen un comportamiento similar a los simulados usando el MAV cl asico o las Diferencias Finitas (DF), pero la simulaci on es mucho m as e ciente. Se ha efectuado un an alisis de sensibilidad del impacto de cambiar la parametrizaci on de las condiciones de contorno tipo r o, en funci on de la conductancia del lecho, sobre algunos par ametros de control del acu fero como las alturas piezom etricas, los vol umenes almacenados y los caudales de intercambio r o-acu fero. De los resultados de dicho an alisis se concluye que, al disminuir la conductancia del r o, se mejora el comportamiento del MAV-CSEM por que se necesitan menos modos para obtener resultados con ables en las variables antes mencionadas. El MAV-CSEM permite desarrollar criterios de base f sica para generar modos efectivos m as e cientemente, para remover los modos residuales y para construir las m ascaras de estados efectivos que aceleran la ejecuci on de las simulaciones. En base a estas ideas, se han propuesto algoritmos para generar los modos efectivos y con gurar las m ascaras de estados efectivos. Estos algoritmos se basan en m etodos iterativos para resolver Problemas Generalizados de AutoValores Sim etricos y Dispersos (PGAVSD), combin andolos con ndices de base f sica que permiten evaluar la efectividad de un modo generado y detener la secuencia de generaci on modal. La detecci on de los modos efectivos se ha basado en la evaluaci on de sus coe cientes de reparto, compar andolos con el l mite de participaci on modal impuesto. La parada de la generaci on de los modos efectivos ha sido evaluada calculando los coe cientes de reparto acumulados modales y compar andolos con el nivel de conservaci on impuesto sobre el modelo reducido. Las ventajas de incluir dichos criterios en la resoluci on de un PGAVSD son: (i ) se evita la ejecuci on de operaciones innecesarias, (ii ) se preserva la ecuaci on de continuidad para el volumen que entra al acu fero proveniente de las acciones exteriores de forma relativamente adecuada y (iii ) al usar algoritmos iterativos basados en el producto matriz-vector disperso para resolver PGAVSD, se mantiene la estructura dispersa de las matrices que componen el modelo de ujo, la cual se puede usar para ahorrar operaciones computacionales y disminuir el almacenamiento requerido en las simulaciones. En este trabajo se han implementado dos generadores dispersos de modos efectivos. El primero de ellos est a basado en una modi caci on de la iteraci on de gradiente conjugado con de aci on que usa precondicionamiento ILU para acelerar las iteraciones vectoriales y minimizar el cociente de Rayleigh. La antes mencionada generaci on vectorial ha probado ser muy e ciente cuando es necesario calcular una peque~na cantidad de los modos asociados a los autovalores de menor magnitud. El algoritmo genera cada modo, calcula sus coe cientes de reparto para veri car si dicho modo es efectivo, eval ua los coe cientes de reparto acumulados y veri ca el criterio de parada para nalizar la generaci on. El segundo generador de modos efectivos est a basado en la iteraci on racional de Lanczos con reinicio expl cito y reortogonalizaci on parcial para calcular secuencialmente subconjuntos de modos. El reinicio expl cito aplica una de aci on sobre un nuevo vector inicial de Lanczos para prevenir la convergencia a uno de los autovectores previamente disponibles. Una vez que cada reinicio ha construido otro conjunto de modos, el generador calcula los coe cientes de reparto de cada nuevo modo para detectar cuales de estos son efectivos. El proceso se repite para todos los nuevos modos. Posteriormente, se calculan los coe cientes de reparto acumulados y el generador revisa si se ha alcanzado el criterio de parada de la generaci on para todas las acciones exteriores. Si dicho criterio no ha sido alcanzado, se efect ua un nuevo reinicio imponiendo un desplazamiento espectral conveniente para mejorar la convergencia modal. Los resultados de muchos experimentos num ericos efectuados han demostrado que el generador racional de Lanczos es muy e ciente, incluso para modelos de ujo subterr aneo de gran tama~no donde el dominio espacial del acu fero ha sido discretizado usando decenas de miles de nodos pertenecientes a una malla de DF. Los generadores propuestos han sido usados para reducir los modelos de ujo subterr aneo para: (i ) acu feros rectangulares homog eneos e is otropos conectados con un r o recto, (ii ) acu feros rectangulares heterog eneo conectados con un r o recto y (iii ) un acu fero altamente heterog eneo con contornos irregulares, conectado con un r o sinuoso e inclinado. Los resultados de las simulaciones muestran que la generaci on iterativa es m as e ciente que calcular el espectro completo del PGAVSD y permite reducir modelos heterog eneos de gran tama~no, a un cuando muchas acciones exteriores est an aplicadas sobre el acu fero. Tambi en se ha propuesto una extensi on del M etodo racional de LANczos (MLAN) para reducir e cientemente las relaciones r o-acu fero en modelos de sistemas de uso conjunto. El MLAN cl asico se usa para generar una base ortogonal de un subespacio de Krylov de reducci on. Adem as, los factores de participaci on acumulados de los vectores de Lanczos se usan como criterio de parada de la generaci on antes mencionada, evaluando si la ecuaci on de conservaci on de masa para el volumen de agua entrando de las acciones exteriores se satisface apropiadamente. El esquema de reducci on se aplica sobre el modelo de ujo subterr aneo con el prop osito de ensamblar una secuencia de sistemas de ecuaciones lineales reducidas, cuyas soluciones representan los estados del acu fero a lo largo del horizonte de simulaci on. Para hacer posible el c alculo de los vol umenes agregados de intercambio entre el r o y el acu fero, se ha propuesto un esquema de integraci on num erica temporal de los estados de Lanczos; tambi en se incluye el concepto de par ametros de control en el MLAN con el n de acelerar los c alculos de las relaciones r o-acu fero y otras variables de estado requeridas. Por ultimo, el MLAN ha sido probado para reducir los modelos de ujo en acu fero rectangulares homog eneos. Los resultados han sido comparados con los obtenidos mediante: (i ) modelos pluricelulares englobados, (ii ) modelos resueltos usando el MAV cl asico y (iii ) modelos resueltos por DF espacio-temporales. Se ha encontrado que el MLAN se comporta mejor que las DF, alcanzando un desempe~no comparable al exhibido por el MAV cl asico con truncamiento conservativo, pero es menos e ciente que los modelos pluricelulares englobados. Un an alisis del impacto de modi car la parametrizaci on de las relaciones r o-acu fero, en funci on de la conductancia de r o, sobre algunos par ametros de control como alturas piezom etricas, vol umenes almacenados y ujos internos, ha demostrado que, al disminuir dicha conductancia, el desempe~no del MLAN mejora por que se necesitan menos vectores de Lanczos para obtener resultados adecuados. El MAV-CSEM, junto con el MLAN, han probado ser poderosas herramientas para reducir modelos de ujo subterr aneo de gran tama~no. Aqu , el MAV-CSEM y el MLAN han sido aplicados para reducir dos acu feros lineales altamente discretizados, complejos y heterog eneos. El primero es un acu fero rectangular, conectado con un r o recto, compuesto por tres bandas con propiedades hidr aulicas uniformes. El segundo es un acu fero altamente heterog eneo y anis otropo, de contornos irregulares, conectado con un r o sinuoso e inclinado. En ambos acu feros, la aplicaci on de cada t ecnica de reducci on ha consistido en un an alisis de sensibilidad de la in uencia de modi car la parametrizaci on de las relaciones r o-acu fero, en funci on de la conductancia del r o y de los par ametros de reducci on (l mite de participaci on modal para MAV-CSEM y tama~no del subespacio de Krylov de reducci on para el MLAN), en la representaci on m as adecuada de algunos par ametros de control seleccionados, como lo son las alturas piezom etricas, los vol umenes almacenados y los ujos internos. Los resultados han mostrado el poder de ambas t ecnicas para reducir e cientemente los modelos de ujo subterr aneo planteados. Sin embargo, las principales diferencias encontradas entre ambos son: (i ) el MAV-CSEM es m as demandante computacionalmente para calcular el subespacio de reducci on de autovectores, pero su ejecuci on del modelo de ujo es m as r apida, (ii ) el MLAN calcula m as adecuadamente las variables distribuidas en el acu fero como alturas piezom etricas, vol umenes almacenados y ujos internos si la parametrizaci on de la iteraci on de Lanczos se realiza apropiadamente y (iii ) el MAV-CSEM obtiene m as e ciente y adecuadamente las relaciones r o-acu fero agregadas a lo largo de toda la red de drenaje. La principal conclusi on de estas aplicaciones es que la selecci on de uno u otro m etodo de reducci on depende del tipo de problema que se est a enfrentando y de los par ametros de control requeridos por este. / Álvarez Villa, ÓD. (2014). Simulación eficiente de las relaciones río-acuífero en sistemas de utilización conjunta mediante técnicas de reducción de modelos lineales invariantes en el tiempo [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/39336 / TESIS