Doctor of Philosophy / A detailed theoretical and numerical investigation of the behaviour of reactive systems under the influence of chaotic stirring is presented. These systems exhibit stationary solutions arising from the balance between chaotic advection and diffusion. Excessive stirring of such systems results in the termination of the reaction via a saddle-node bifurcation. The solution behaviour of these systems is analytically described using a recently developed nonperturbative, non-asymptotic variational method. This method involves fitting appropriate parameterised test functions to the solution, and also allows us to describe the bifurcations of these systems. This method is tested against numerical results obtained using a reduced one-dimensional reaction-advection-diffusion model. Four one- and two-component reactive systems with multiple homogeneous steady-states are analysed, namely autocatalytic, bistable, excitable and combustion systems. In addition to the generic stirring-induced saddle-node bifurcation, a rich and complex bifurcation scenario is observed in the excitable system. This includes a previously unreported region of bistability characterised by a hysteresis loop, a supercritical Hopf bifurcation and a saddle-node bifurcation arising from propagation failure. Results obtained with the nonperturbative method provide a good description of the bifurcations and solution behaviour in the various regimes of these chaotically stirred reaction-diffusion systems.

Le but principal de cette thèse est de développer un modèle mathématiques déterministes pour décrire la dynamique de transmission du paludisme. Dans une première partie, nous formulons un modèle qui considère deux types d'hôtes dans la population humaine. Le premier appelé ”non-immun” regroupant tous les humains qui n'ont jamais acquis une immunité contre le paludisme et le second appelé ”semiimmun” regroupe ceux qui ont au moins acquis une certaine immunité même s'ils l'ont perdue. Les non-immuns sont subdivisés en sensibles, latents et infectieux et les semiimmuns sont subdivisés en sensibles, latents, infectieux et immuns. Nous obtenons une formule explicite du nombre de reproduction, R0 qui a été défini comme la racine carré de la somme des carrés du poids de transmission semi-immun-moustique-non-immun, R0a; et du poids de transmission non-immun-moustique-non-immun, R0e: Ainsi, nous étudions l'existence d'équilibre endémique en utilisant l'analyse de la bifurcation. Nous donnons un simple critère pour l'obtention d'équilibre lorsque R0 rencontre 1 pour la bifurcation forward et backward. Nous explorons la possibilité de contrôle du paludisme à travers un sous-groupe spécifique tels que les non-immuns, semi-immuns ou les moustiques. Dans une deuxième partie, nous formulons un modèle pour étudier la propagation spatio-temporelle du paludisme en utilisant la théorie des métapopulations. Ainsi, nous subdivisons l'espace en n petites régions géographiques appelées patches. Dans chaque patch i, i = 1; : : : ; n; nous simplifions le premier modèle mais en mettant en évidence les immuns qui représentent les porteurs asymptotiques. Ainsi, nous divisons la population humaine en trois classes : sensibles, infectieux et immuns. Nous subdivisons aussi la population de moustiques en deux classes : sensibles et infectieux. La propagation du paludisme d'un patch à un autre à travers la mobilité des humains est modélisée par un système de 5n équations différentielles ordinaires. Nous analysons le modèle en identifiant les réservoirs d'infection spatiale et étudions par la suite la transmission du paludisme due aux mouvements des humains d'une zone rurale vers une zone urbaine, la colonisation de nouveaux territoires et le voyage intercontinental. Ce dernier modèle nous permet de proposer un algorithme de contrôle du paludisme aux décideurs en matière de santé publique.

L'objet de l'étude est d'appréhender le rôle des orientations cristallines sur l'apparition de la localisation en bandes de cisaillement lorsqu'elle se forme au sein du grain puis lorsqu'elle franchit le joint de grains. La démarche expérimentale s'appuie sur l'exploitation de techniques aujourd'hui classiques –toutefois le couplage l'est moins-, simulation du laminage par channel-die, acquisition d'orientations cristallines par EBSD et mesure de la déformation locale par corrélation d'images sur microgrilles (Bornert [1996]). Sur le plan théorique, la localisation est introduite sous forme de bifurcation, perte d'unicité de la solution, (Hill [1962], Rice [1976]) dans un cristal c.f.c. rigide plastique, se déformant par glissement simple sur les plans de haute densité atomique suivant la loi de Schmid, et dans le cadre de l'hypothèse de Taylor. La cinématique du monocristal est écrite avec le formalisme des grandes transformations (Sidoroff [1982]) sous forme d'une loi constitutive incrémentale linéaire par morceaux. Le bon accord entre observation et modélisation est nettement marqué et deux modes de localisation en bande de cisaillement prédominent : l'un par combinaison de deux systèmes coplanaires, l'autre par combinaison de deux systèmes codirectionnels. Par ailleurs, des phénomènes de germination ont été mis en évidence dans les bandes, signe d'un échauffement dû à de grandes vitesses de glissement.

Les travaux de recherche de ce mémoire porte sur l'étude d'une classe particulière de systèmes dynamiques hybrides (s.d.h.) à commutations autonomes, ces dernières étant engendrées par un phénomène d'hystérésis. Plus particulièrement, après avoir introduit le système mathématique étudié, une analyse de cette classe de s.d.h. est réalisée avec notamment une étude des cycles li- mites (équations qui les déterminent, stabilité, conditions d'existence) et des phénomènes de bifurcations (noeud selle, doublement de période). L'existence de propriétés caractéristiques des systèmes chaotiques comme la sensibilité aux conditions initiales est également mise en avant de façon graphique et calculatoire (exposants de Lyapunov). Enfin, une partie optimisation paramétrique a aussi été traitée dans le but d'améliorer certaines performances du système. Tous ces résultats théoriques sont appliqués à un système thermique (thermostat à résistance d'anticipation) et à un système électronique (convertisseur statique) à l'aide du calcul formel (Maple), de l'analyse par intervalles (Proj2D) et de simulations numériques (Matlab).

Cette thèse s'intéresse au contrôle des convertisseurs statiques d'interface entre une pile à combustible et sa charge<br />électrique.<br />Après avoir établi la caractéristique tension-courant des piles à combustible dont la forme justifie l'utilisation de<br />convertisseurs statiques, les structures à conversion continu-continu sont analysées en s'attardant sur la structure<br />élévatrice de base et sur la mise en parallèle de plusieurs d'entre elles. Cette dernière est une réponse satisfaisante<br />au caractère fort courant/basse tension des piles à combustible. Deux modes de réalisation des inductances du<br />convertisseur sont considérés. Pour le premier, les inductances sont indépendantes. Pour le deuxième, elles sont<br />réalisées sur le même circuit magnétique.<br />Un régulateur hybride de courant est ensuite proposé pour le contrôle du convertisseur continu-continu. Celui-ci<br />autorise une variation importante de la tension d'entrée comme c'est le cas en sortie d'une pile à combustible. Le<br />régulateur fonctionne à fréquence fixe et englobe les propriétés de trois modes de commande, la commande par<br />mode de glissement pour bénéficier de sa robustesse et les commandes de type commande à l'amorçage et au<br />blocage, afin de pouvoir assurer un fonctionnement correct du système, quelle que soit la valeur du rapport<br />cyclique. La stabilité du système au sens des valeurs moyennes basse et haute fréquences est considérée. Le<br />modèle moyen ne permettant pas d'étudier la nature exacte du cycle décrit par la trajectoire d'état du système, un<br />outil basé sur le calcul des multiplieurs de Floquet est élaboré. Il a permis de souligner la robustesse du régulateur<br />vis-à-vis de variations de l'inductance du convertisseur et de la tension d'alimentation de celui-ci.

La pérennisation de la valorisation agricole des boues résiduaires passe par une optimisation des techniques d'épandage. Dans le cas présent, nous nous sommes focalisés sur les phénomènes intervenant sur les disques qui constituent la table d'épandage, en tenant compte à la fois des caractéristiques rhéologiques du matériau à épandre et des réglages mécaniques du matériel. On montre d'abord par des expériences de rhéométrie qu'aux faibles contraintes, les boues ne peuvent s'écouler de manière stable: la déformation totale du matériau résulte d'une compétition entre la restructuration pendant la phase de repos précédant le cisaillement et la déstructuration due au cisaillement. De plus, lors du cisaillement avec une surface lisse, un glissement apparaît dans la même gamme de contrainte, à partir d'une déformation critique. Il se forme une fine couche de liquide newtonien entre la surface qui induit le cisaillement et le reste du matériau dans l'entrefer. Au delà d'une contrainte critique, l'écoulement devient homogène, quelque soit la nature de la surface, lisse ou rugueuse. A partir de travaux sur maquette, nous avons analysé la déformation d'un échantillon de fluide à seuil engendrée par l'application d'une force centrifuge d'intensité croissante, en accélérant progressivement la vitesse de rotation du disque. On montre que la dynamique de l'étalement se résume en trois phases distinctes. Aux faibles vitesses de rotation, le matériau se comporte comme un solide viscoélastique et subit de faibles déformations élongationnelles. Quand la vitesse de rotation dépasse une valeur critique, la déformation n'est plus homogène: le matériau se comporte comme un liquide en périphérie, et comme un solide au centre de l'échantillon. Seule la partie liquide s'étale en formant un bourrelet. On montre ainsi que les paramètres viscoélastiques du matériau et l'initiation de l'écoulement sont étroitement liés: plus le seuil de contrainte est élevé, plus la vitesse critique est grande. Enfin, l'étalement se localise au sein de digitations qui se forment à partir du bourrelet. Finalement, on montre qu'au cours de l'épandage les paquets de boues arrivant sur la table d'épandage ne sont pas cisaillés sous l'action de la force centrifuge, mais ils subissent une élongation puis une fragmentation avant d'être projeté à la sortie du disque. On démontre au passage que les pâles n'ont aucune utilité sur le procédé d'émiettement.

Nous avons étudié à l'aide d'un modèle quasi-géostrophique la convection dans une sphère en rotation rapide en chauffage interne uniforme. Nous avons montré que dans la limite des petits nombres d'Ekman, l'action du vent zonal est de rendre l'énergie cinétique des solutions dépendante du temps dès le seuil convectif franchi (oscillations de relaxation). Nous avons aussi identifié le rôle du pompage d'Ekman pour la formation de structures en bandes dans le profil radial du vent zonal dès le seuil. La taille de ces bandes résulte d'un équilibre entre la dissipation de volume et le pompage d'Ekman.<br />Nous avons ensuite étudié le voisinage du seuil de la bifurcation dynamo. Nous avons déterminé que pour un nombre d'Ekman (respectivement Roberts) fixé, il est possible de passer d'une bifurcation super-critique à une bifurcation sous-critique puis à un îlot en décroissant (augmentant) le nombre de Roberts (Ekman). Nous avons également mis en évidence que pour certains régimes de paramètres il peut exister des dynamos métastables. Nous avons constaté que pour un même régime de paramètres, il peut aussi exister des solutions hydrodynamiques multiples dont certaines sont dynamo et d'autres non.

On étudie plusieurs problèmes aux limites non linéaires. On établit des résultats d'existence, d'unicité, de multiplicité ou de bifurcation. Notre analyse porte sur le principe du maximum et la théorie du point critique dans le sens de Clarke.

Dans cette thèse on classe les cycles homoclines robustes de<br /> $\mathbb{R}^4$ en présence de symétries. On se borne au cas<br /> ou le groupe de symétrie $G$ est fini et, sans perte de<br /> généralité, contenu dans le groupe orthogonal $O(4)$. On<br /> montre notamment qu'une famille infinie de cycles existe; on<br /> fournit les générateurs, une présentation ainsi qu'une<br /> étude détaillée de ses groupes de symétrie. La topologie<br /> des cycles est aussi étudiée.\\ Ces cycles peuvent<br /> appara\^{\i}tre par bifurcation à partir d'un équilibre<br /> trivial. Ceci permet de déterminer des champs de vecteurs<br /> possédant des branches de tels cycles homoclines dans les cas<br /> les plus simples. En intégrant ces champs à l'aide du<br /> logiciel de simulation de systèmes dynamiques $\mathbf{Dstool}$,<br /> on visualise les projections de ces cycles sur des plans.

Dans l'espace $\mathcal{M}_d$ des modules des fractions rationnelles de degré $d$, le lieu de bifurcation est le support d'un $(1,1)$-courant positif fermé $T_{\textup{bif}}$ appelé \emph{courant de bifurcation}. Ce courant induit une mesure $\mu_{\textup{bif}}=(T_{\textup{bif}})^{2d-2}$ dont le support est le siége de bifurcations maximales. Notre principal résultat est que le support de $\mu_{\textup{bif}}$ est de dimension de Hausdorff totale $2(2d-2)$. Il s'ensuit que l'ensemble des fractions rationnelles de degré $d$ possédant $2d-2$ cycles neutres distincts est dense dans un ensemble de dimension de Hausdorff totale. Remarquons que jusqu'alors, seule l'existence de telles fractions rationnelles (Shishikura) était connue. Mentionnons que pour notre démonstration, nous établissons au préalable que les fractions rationnelles $(2d-2)$-Misiurewicz appartiennent au support de $\mu_{\textup{bif}}$. \par Le dernier chapitre, indépendant du reste de la thése, traite de l'espace $\mathcal{M}_2$. Nous montrons que, dans ce cas, le courant $T_{\textup{bif}}$ se prolonge naturellement á $\p^2$ en un $(1,1)$-courant positif fermé dont nous calculons les nombres de Lelong. Nous montrons aussi que le support de la mesure $\mu_{\textup{bif}}$ est non-borné dans $\mathcal{M}_2$.