Les travaux présentés ici s'intéressent aux coloriages du plan discret. Ce modèle d'inspiration géométrique est intrinsèquement lié aux modèles de calcul, et son étude se décline ici suivant deux axes complémentaires: calculabilité et combinatoire. Nous montrons en particulier ici comment de nombreux résultats récents s'expriment naturellement à travers le concept de bases, propriétés vérifiées par au moins un point de tout ensemble de coloriages, et d'antibases, contre-exemples à ce concept. Nous examinons ensuite les différents codages du calcul par des jeux de tuiles et exhibons en particulier un nouveau codage épars, permettant de caractériser les degrés Turing des ensembles de coloriages. Enfin nous revenons aux origines en étudiant les pavages du point de vue de la logique. Nous caractérisons ainsi les grandes familles d'ensembles de coloriages par des fragments de la logique monadique du second ordre.

Cette thèse étudie ce qui peut-être calculé dans des systèmes composés de multiple ordinateurs communicant par messages ou partageant de la mémoire. Les modèles considérés prennent en compte la possibilité de défaillance d'une partie de ces ordinateurs ainsi que la variabilité et l'hétérogénéité de leurs vitesses d'exécution. Les résultats présentés considèrent principalement les problèmes d'accord, les systèmes sujets au partitionnement et les détecteurs de fautes. Ce document établis des relations entre les modèles itérés connus et la notion de détecteur de fautes. Il présente une hiérarchie de problèmes généralisant l'accord k-ensembliste et le consensus s-simultané. Une nouvelle construction universelle basée sur des objets consensus s-simultané ainsi qu'une famille de modèles itérés autorisant plusieurs processus à s'exécuter en isolation sont introduites. / This thesis studies computability in systems composed of multiple computers exchanging messages or sharing memory. The considered models take into account the possible failure of some of these computers, as well as variations in time and heterogeneity of their execution speeds. The presented results essentially consider agreement problems, systems prone to partitioning and failure detectors. The document establishes relations between known iterated models and the concept of failure detector and presents a hierarchy of agreement problems spanning from k-set agreement to s-simultaneous consensus. It also introduces a new universal construction based on s-simultaneous consensus objects and a family of iterated models allowing several processes to run in isolation.

Les résultats de Colson ou de Moschovakis remettent en question que le modèle récursif primitif puisse calculer une valeur par tous les moyens possibles : il y a toutes les fonctions voulues mais il manque des algorithmes. La thèse de Church exprime donc plutôt ce qui peut être calculé que comment le calcul est fait. Nous utilisons la thèse de Gurevich formalisant l'idée intuitive d'algorithme séquentiel par les Abstract States Machines (ASMs).Nous représentons les programmes impératifs par le langage While de Jones, et une variante LoopC du langage de Meyer et Ritchie permettant de sortir d'une boucle lorsqu'une condition est remplie. Nous dirons qu'un langage caractérise une classe algorithmique si les modèles de calcul associés peuvent se simuler mutuellement, en utilisant une dilatation temporelle et un nombre borné de variables temporaires. Nous prouvons que les ASMs peuvent simuler While et LoopC, que si l'espace est primitif récursif alors LoopC est en temps récursif primitif, et que sa restriction LoopC_stat où les bornes des boucles ne peuvent être mises à jour est en temps polynomial. Réciproquement, une étape d'ASM peut être traduite par un programme sans boucle, qu'on peut répéter suffisamment en l'insérant dans un programme qui est dans While si la complexité est quelconque, dans LoopC si elle est récursif primitif, et dans LoopC_stat si elle est polynomiale.Ainsi While caractérise les algorithmes séquentiels en temps quelconque, LoopC ceux en temps et espace récursifs primitifs, et LoopC_stat ceux en temps polynomial / Colson and Moschovakis results cast doubt on the ability of the primitive recursive model to compute a value by any means possible : the model may be complete for functions but there is a lack of algorithms. So the Church thesis express more what can be computed than how the computation is done. We use Gurevich thesis to formalize the intuitive idea of sequential algorithm by the Abstract States Machines (ASMs).We formalize the imperative programs by Jones' While language, and a variation LoopC of Meyer and Ritchie's language allowing to exit a loop if some condition is fulfilled. We say that a language characterizes an algorithmic class if the associated models of computations can simulate each other using a temporal dilatation and a bounded number of temporary variables. We prove that the ASMs can simulate While and LoopC, that if the space is primitive recursive then LoopC is primitive recursive in time, and that its restriction LoopC_stat where the bounds of the loops cannot be updated is in polynomial time. Reciprocally, one step of an ASM can be translated into a program without loop, which can be repeated enough times if we insert it onto a program in While for a general complexity, in LoopC for a primitive recursive complexity, and in LoopC_stat for a polynomial complexity.So While characterizes the sequential algorithms, LoopC the algorithms in primitive recursive space and time, and LoopC_stat the polynomial time algorithms

Il existe de nombreux modèles de calcul sur les réels. Ces différents modèles calculent diverses fonctions, certains sont plus puissants que d'autres, certains sont deux à deux incomparables. Le calcul sur les réels est donc de ce point de vue bien différent du calcul sur les entiers qui est unifié par la thèse de Church-Turing affirmant que tous les modèles raisonnables calculent les mêmes fonctions. Nous montrons des équivalences entre les fonctions récursivement calculables et une certaine classe de fonctions R-récursives et entre les fonctions GPAC-calculables et les fonctions récursivement calculables. Nous montrons également une hiérarchie de classes de fonctions R-récursives qui caractérisent les fonctions élémentairement calculables, les fonctions de la hiérarchie de Grzegorczyk et les fonctions récursivement calculables à l'aide d'un opérateur de limite. Ces résultats constituent donc une avancée vers une éventuelle unification des modèles de calcul sur les réels / Computation on the real numbers can be modelised in several different ways. There indeed exist a lot of different computation models on the reals. However, there are few results for comparing those models, and most of these results are incomparability results. The case of computation over the reals hence is quite different from the classical case where Church thesis claims that all reasonable models compute exactly the same functions. We show that recursively computable functions (in the sense of computable analysis) can be shown equivalent to some adequately defined class of R-recursive functions, and also to GPAC-computable functions. More than an analog characterization of recursively enumerable functions, we show that the limit operator we defined can be used to provide an analog characterization of elementarily computable functions and functions from Grzegorczyk's hierarchy. Those results can be seen as a first step toward a unification of computable functions over the reals

Les sous-décalages sont des ensembles de coloriages d'un groupe définis en excluant certains motifs, et munis d'une action de décalage. Ces objets apparaissent naturellement comme discrétisations de systèmes dynamiques : à partir d'une partition de l'espace, on associe à chaque point de ce-dernier la suite des partitions visitées sous l'action du système.Plusieurs résultats récents ont mis en évidence la riche interaction entre la dynamique des sous-décalages et leur propriétés algorithmiques. Un exemple remarquable est la classification des entropies des sous-décalages multidimensionnels de type fini comme l'ensemble des nombres récursivement énumérables à droite. Cette thèse s'intéresse aux sous-décalages avec une approche double : d'un côté on s'intéresse à leurs propriétés dynamiques et de l'autre on les étudie comme des modèles de calcul.Cette thèse contient plusieurs résultats : une condition combinatoire suffisante prouvant qu'un sous-décalage dans un groupe dénombrable est non-vide, un théorème de simulation qui réalise une action effective d'un groupe de type fini comme un facteur d'une sous-action d'un sous-décalage de type fini, une caractérisation de l'effectivité à l'aide de machines de Turing généralisées et l'indécidabilité du problème de torsion pour deux groupes, qui sont invariants de systèmes dynamiques.Comme corollaires de nos résultats, nous obtenons d'abord une preuve courte de l'existence de sous-décalages fortement apériodiques sur tout groupe dénombrable. Puis, dans le cas d'un produit semi-direct de la grille bidimensionnelle avec un groupe de type fini avec problème du mot décidable, nous montrons que le sous-décalage obtenu est de type fini. / Shift spaces are sets of colorings of a group which avoid a set of forbidden patterns and are endowed with a shift action. These spaces appear naturally as discrete versions of dynamical systems: they are obtained by partitioning the phase space and mapping each element into the sequence of partitions visited by its orbit.Severa! breakthroughs in this domain have pointed out the intricate relationship between dynamics of shift spaces and their computability properties. One remarkable example is the classification of the entropies of multidimensional subshifts of finite type as the set of right recursively enumerable numbers. This work explores shift spaces with a dual approach: on the one hand we are interested in their dynamical properties and on the ether hand we studythese abjects as computational models.Four salient results have been obtained as a result of this approach: (1) a combinatorial condition ensuring non-emptiness of subshifts on arbitrary countable groups; (2) a simulation theorem which realizes effective actions of finitely generated groups as factors of a subaction of a subshift of finite type; (3) a characterization of effectiveness with oracles using generalized Turing machines and (4) the undecidability of the torsion problem for two group invariants of shift spaces.As byproducts of these results we obtain a simple proof of the existence of strongly aperiodic subshifts in countable groups. Furthermore, we realize them as subshifts of finite type in the case of a semidirect product of a d-dimensional integer lattice with a finitely generated group with decida ble word problem whenever d> 1.

Durant ces dernières décennies, la communauté informatique a montré un intérêt grandissant pour les modèles de calcul non-standard, inspirés par des phénomènes physiques, biologiques ou chimiques. Les propriétés exactes de ces modèles ont parfois été l'objet de controverses: que calculent-ils? Et à quelle vitesse? Les enjeux de ces questions sont renforcés par la possibilité que certains de ces modèles pourraient transgresser les limites acceptées du calcul, en violant soit la thèse de Church-Turing soit la thèse de Church-Turing étendue. La possibilité de réaliser physiquement ces modèles a notamment été au coeur des débats. Ainsi, des considérations empiriques semblent introduites dans les fondements même de la calculabilité et de la complexité computationnelle, deux théories qui auraient été précédemment considérées comme des parties purement a priori de la logique et de l'informatique. Par conséquent, ce travail est consacré à la question suivante : les limites du calcul reposent-elles sur des fondements empiriques? Et si oui, quels sont-ils? Pour ce faire, nous examinons tout d'abord la signification précise des limites du calcul, et articulons une conception épistémique du calcul, permettant la comparaison des modèles les plus variés. Nous répondrons à la première question par l'affirmative, grâce à un examen détaillé des débats entourant la faisabilité des modèles non-standard. Enfin, nous montrerons les incertitudes entourant la deuxième question dans l'état actuel de la recherche, en montrant les difficultés de la traduction des concepts computationnels en limites physiques. / Recent years have seen a surge in the interest for non-standard computational models, inspired by physical, biological or chemical phenomena. The exact properties of some of these models have been a topic of somewhat heated discussion: what do they compute? And how fast do they compute? The stakes of these questions were heightened by the claim that these models would violate the accepted limits of computation, by violating the Church-Turing Thesis or the Extended Church-Turing Thesis. To answer these questions, the physical realizability of some of those models - or lack thereof - has often been put at the center of the argument. It thus seems that empirical considerations have been introduced into the very foundations of computability and computational complexity theory, both subjects that would have been previously considered purely a priori parts of logic and computer science. Consequently, this dissertation is dedicated to the following question: do computability and computational complexity theory rest on empirical foundations? If yes, what are these foundations? We will first examine the precise meaning of those limits of computation, and articulate a philosophical conception of computation able to make sense of this variety of models. We then answer the first question by the affirmative, through a careful examination of current debates around non-standard models. We show the various difficulties surrounding the second question, and study how they stem from the complex translation of computational concepts into physical limitations.

L'objet de cette thèse est l'étude de l'auto-organisation dans les automates cellulaires unidimensionnels.Les automates cellulaires sont un système dynamique discret ainsi qu'un modèle de calcul massivement parallèle, ces deux aspects s'influençant mutuellement. L'auto-organisation est un phénomène où un comportement organisé est observé asymptotiquement, indépendamment de la configuration initiale. Typiquement, nous considérons que le point initial est tiré aléatoirement: étant donnée une mesure de probabilité décrivant une distribution de configurations initiales, nous étudions son évolution sous l'action de l'automate, le comportement asymptotique étant décrit par la(les) mesure(s) limite(s).Notre étude présente deux aspects. D'abord, nous caractérisons les mesures qui peuvent être atteintes à la limite par les automates cellulaires; ceci correspond aux différents comportements asymptotiques pouvant apparaître en simulation. Cette approche rejoint divers résultats récents caractérisant des paramètres de systèmes dynamiques par des conditions de calculabilité, utilisant des outils d'analyse calculable. Il s'agit également d'une description de la puissance de calcul des automates cellulaires sur les mesures.Ensuite, nous proposons des outils pour létude de l'auto-organisation dans des classes restreintes. Nous introduisons un cadre d'étude d'automates pouvant être vus comme un ensemble de particules en interaction, afin d'en déduire des propriétés sur leur comportement asymptotique. Une dernière direction de recherche concerne les automates convergeant vers la mesure uniforme sur une large classe de mesures initiales (phénomène de randomisation). / The subject of this thesis is the study of self-organization in one-dimensional cellular automata.Cellular automata are a discrete dynamical system as well as a massively parallel model of computation, both theseaspects influencing each other. Self-organisation is a phenomenon where an organised behaviour is observed asymptotically, regardless of the initial configuration. Typically, we consider that the initial point is sampled at random; that is, we consider a probability measure describing the distribution of theinitial configurations, and we study its evolution under the action of the automaton, the asymptoticbehaviour being described by the limit measure(s).Our work is two-sided. On the one hand, we characterise measures that can bereached as limit measures by cellular automata; this corresponds to the possible kinds of asymptoticbehaviours that can arise in simulations. This approach is similar to several recent results characterising someparameters of dynamical systems by computability conditions, using tools from computable analysis. Thisresult is also a description of the measure-theoretical computational power of cellular automata.On the other hand, we provided tools for the practical study of self-organization in restricted classes of cellularautomata. We introduced a frameworkfor cellular automata that can be seen as a set of interacting particles, in order todeduce properties concerning their asymptotic behaviour. Another ongoing research direction focus on cellular automata that converge to the uniform measurefor a wide class of initial measures (randomization phenomenon).