Seja L = ∂ /∂t + (a(x) + ib(x))∂/∂x, b ≢ 0, um campo vetorial complexo definido em A∊ = (-∊ , ∊) × S1, ∊ > 0, sendo a, b ∈ C∞((-∊ , ∊);ℝ) e (x, t) ∈ (-∊ ∊) × S1. Assuma que b-1(0) = {0}. Este trabalho trata da resolubilidade perto do conjunto característico {0} × S1; da equação Lu = pu + f, p, f ∈ C∞ (A∊). A relação entre as ordens de anulamento das funções a e b em x = 0 e certas médias da função p tem influência na resolubilidade. / Let L = ∂ /∂t + (a(x) + ib(x))∂/∂x, b ≢ 0, be a complex vector field defined in A∊ = (-∊ , ∊) × S1, ∊ > 0, where a, b ∈ C∞((-∊ , ∊);ℝ) and (x, t) ∈ (-∊ ∊) × S1. Assume that b-1(0) = {0}. This work deals with the volvability near the characteristic set {0} × S1; of equation. Lu = pu + f, p, f ∈ C∞ (A∊). The interplay between the orders of vanishing of the functions a and b at x = 0 and certain averages of the function p has influence in the solvability.

Nesta dissertação vamos estudar alguns importantes resultados acerca da resolubilidade local de operadores lineares de primeira ordem. Mais especificamente, seja o campo vetorial singular L em \'R POT. n\' e dado por: L = \'\\SIGMA SUP. m\' . INF. j=1\' a IND. j\' (x) \'SUP. \\PARTIAL\' INF. \\PARTIAL x INF. j\'. Esta trabalho dirige-se ao estudo da resolubilidade local de L, isto é, dada f \'PERTENCE A\' \' C POT. INFINITO\' (\'R POT. n\') e dado \'x IND. 0\' \'PERTENCE A\' \'R POT. n queremos encontrar u \'PERTENCE A\' D\'(\'R POT.n \') tal que Lu = f numa vizinhança de \'x INF. 0\'. Será dada atenção especial ao caso em que os coeficientes \'a IND. j\'(x) de L são função lineares. Também, serão apresentados resultados sobre a resolubilidade local da equação Lu = cu + f, sendo c \'PERTENCE A\' \'C POT. INFINITO\' (\'R POT. n\') / This dissertation aims to study some important results about local solvability of first order differential operators. Specifically, let L be a singular vector field on \'R POT. n\' given by L = \' \\SIGMA SUP. m INF.j=1\' \'a IND. j(x) \'\\PARTIAL SUP. INF. \\PARTIAL x INF. j\'. This work explore the local solvability of L, that is, given f \'IT BELONGS\' \'C POT. INFINITY\' (\'R POT. n\' and \'x INF. 0\' \'IT BELONGS\' \'R POT. n\' we want to find u \'IT BELONGS\' 2 D\'(\'R POT. n) such that Lu = f in a neighborhood of \'x INF. 0\'. We give special attention to the case where the coefficients \'a IND. j\'(x) are linear. We also present some results about local solvability of the equation Lu = cu + f for c \'IT BELONGS\' \'C POT. INFINITY\' (\'R POT. n\')

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:55Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2009-05-03Bitstream added on 2014-06-13T19:47:21Z : No. of bitstreams: 1 oliveira_epd_me_sjrp.pdf: 642519 bytes, checksum: 474599cad4c74685f4966e674284654d (MD5) / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) / Apresentamos dois critérios para estudar a não existência, a existência e a unicidade dos ciclos limites dos campos de vetores planares. Aplicamos estes critérios para algumas famílias de campos de vetores polinomiais quadráticos e cúbicos, e computamos uma fórmula explícita para o número de ciclos limites que bifurcam a partir do centro x′ = −y, y′ = x, quando tratamos do sistema x′ = −y + εPn i+j=1 aijxiyj, y′ = x + εPn i+j=1 aijxiyj . Al´em disso, usando o segundo critério, apresentamos um método para obter a forma do ciclo limite bifurcado a partir do centro. / We present two new criteria for studying the nonexistence, existence and uniqueness of limit cycles of planar vector fields. We apply these criteria to some families of quadratic and cubic polynomial vector fields, and to compute an explicit formula for the number of limit cycles which bifurcate out of the linear centre x′ = −y, y′ = x, when we deal with the system x′ = −y + εPn i+j=1 aijxiyj , y′ = x + εPn i+j=1 aijxiyj . Moreover, by using the second criterion we present a method to derive the shape of the bifurcated limit cycles from a centre.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:56Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2006-02Bitstream added on 2014-06-13T18:55:32Z : No. of bitstreams: 1 alves_mo_me_sjrp.pdf: 609574 bytes, checksum: 7280f95db92aacc87fc1116bf82914da (MD5) / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) / Neste trabalho apresentamos um estudo dos campos de vetores lineares reversíveis e equivariantes. Tal estudo tem como base a Teoria de Representações de grupos de Lie compactos. Usaremos o fato de que a ascensão de um grupo de Lie compacto pode ser decomposta como soma direta de representações irredutíveis e de acordo com o Lema de Schur tais representações poderão ser de três tipos: R; C ou H. Daremos uma classificação das possíveis estruturas dos sistemas lineares reversíveis equivariantes baseado na teoria de representações citada acima e faremos um estudo dos autovalores para uma classe particular de funções Lreversíveis. Dessa forma temos um cenário bem claro da dinâmica de tais sistemas em cada uma dessas classes. / In this work we present a study of the linear equivariant reversible vector fields. This study is based on the Theory of Representation of compact Lie groups. We use the fact that an action of a compact Lie group can be decomposed as a direct sum of irreducible representations, and according to Schur's Lemma these representations can be only of three types: R; C ou H. We give a classification of the possible structures of the linear equivariant reversible systems based on the Theory of Representations mentioned above and we study of the eigenvalues for a particular classes of Lreversible maps. In this way we have a very clear scenario about the dynamics of such systems in each one of these classes.

Orientador: Paulo Ricardo da Silva / Banca: Maurício Firmino Silva Lima / Banca: Luci Any Francisco Roberto / Resumo: Apresentamos dois critérios para estudar a não existência, a existência e a unicidade dos ciclos limites dos campos de vetores planares. Aplicamos estes critérios para algumas famílias de campos de vetores polinomiais quadráticos e cúbicos, e computamos uma fórmula explícita para o número de ciclos limites que bifurcam a partir do centro x′ = −y, y′ = x, quando tratamos do sistema x′ = −y + εPn i+j=1 aijxiyj, y′ = x + εPn i+j=1 aijxiyj . Al'em disso, usando o segundo critério, apresentamos um método para obter a forma do ciclo limite bifurcado a partir do centro. / Abstract: We present two new criteria for studying the nonexistence, existence and uniqueness of limit cycles of planar vector fields. We apply these criteria to some families of quadratic and cubic polynomial vector fields, and to compute an explicit formula for the number of limit cycles which bifurcate out of the linear centre x′ = −y, y′ = x, when we deal with the system x′ = −y + εPn i+j=1 aijxiyj , y′ = x + εPn i+j=1 aijxiyj . Moreover, by using the second criterion we present a method to derive the shape of the bifurcated limit cycles from a centre. / Mestre

Orientador: Tiago de Carvalho / Banca: Paulo Ricardo da Silva / Banca: Durval José Tonon / Resumo: Neste trabalho iremos abordar aspectos qualitativos e geométricos a respeito de campos de vetores suaves por partes. Nosso foco será estudar bifurcações locais e globais de codimensão um e dois e também algumas relações de equivalência para campos vetoriais suaves por partes definidos no plano. Classificaremos e caracterizaremos bifurcações genéricas por meio do retrato de fase e do diagrama de bifurcação dos campos envolvidos. Também faremos uma breve introdução sobre Sistemas Slow-Fast / Abstract: In this work we study qualitative and geometric aspects of piecewise smooth vector elds. Our focus is to study local and global bifurcations of codimension one and two and some equivalence relations for piecewise smooth vector elds de ned on the plane. We will classify and characterize generic bifurcations using the phase portrait and the bifurcation diagram of the vector elds involved. We also incorporate a brief introduction about Slow-Fast Systems / Mestre

Submitted by Izabel Franco (izabel-franco@ufscar.br) on 2016-09-27T12:35:16Z No. of bitstreams: 1 TeseACM.pdf: 612181 bytes, checksum: 08e7f6fda44f199df98f9f32d119dc0f (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-09-27T19:50:41Z (GMT) No. of bitstreams: 1 TeseACM.pdf: 612181 bytes, checksum: 08e7f6fda44f199df98f9f32d119dc0f (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-09-27T19:50:47Z (GMT) No. of bitstreams: 1 TeseACM.pdf: 612181 bytes, checksum: 08e7f6fda44f199df98f9f32d119dc0f (MD5) / Made available in DSpace on 2016-09-27T19:50:54Z (GMT). No. of bitstreams: 1 TeseACM.pdf: 612181 bytes, checksum: 08e7f6fda44f199df98f9f32d119dc0f (MD5) Previous issue date: 2015-06-11 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / In this work we study conditions for the validity of the analogue of Mergelyan’s theorem for continuous solutions of a type of locally integrable vector field. On a domain in the plane, we consider a vector field L that has a first integral on of the form Z(x, t) = x + i'(x, t), where '(x, t) is a smooth, realvalued function. Given a continuous solution u of Lu = 0 on , our first objective was to find conditions on and Z for the validity of the factorization u = U Z, where U 2 C0(Z ()) \ H(int{Z ()}). We will next study this factorization on the closure of . We assume that u 2 C0( ) and that the boundary of is real analytic, then we show in which cases the condition Z(p1) = Z(p2) implies that u(p1) = u(p2), for p1, p2 2 . The cases are divided according to the geometry of the boundary in the points p1 and p2. When is a compact set and u = U Z on , we obtain that u is uniformly approximated by polynomials of Z on . / Neste trabalho estudamos condições para a validade do análogo ao Teorema de Mergelyan para soluções contínuas de um tipo de campo vetorial localmente integrável. Em um domínio no plano, consideramos um campo vetorial L que possui uma integral primeira em da forma Z(x, t) = x + i'(x, t), onde '(x, t) é uma função suave a valores reais. Dada uma solução contínua u de Lu = 0 em, nosso primeiro objetivo foi encontrar condições em e em Z para a validade da fatoração u = U Z, onde U 2 C0(Z()) \ H(int{Z()}). Em seguida estudamos a fatoração no fecho de . Assumimos que u 2 C0() e que a fronteira de é analítica real, então mostramos em quais casos a condição Z(p1) = Z(p2) implica que u(p1) = u(p2), para p1, p2 2 . Os casos são divididos de acordo com a geometria da fronteira nos pontos p1 e p2. Quando é compacto e temos u = U Z em, obtemos que u é uniformemente aproximada por polinômios em Z sobre .

Orientador: Tiago de Carvalho / Banca: Claudio Aguinaldo Buzzi / Banca: Pedro Toniol Cardin / Resumo: O principal resultado dessa dissertação é o Teorema de Poincaré-Bendixson para campos de vetores planares suaves por partes, que nos diz quais são os tipos de conjuntos limite. Estudaremos também detalhes a respeito dos conceitos de conjuntos minimais e caóticos em campos de vetores planares suaves por partes / Abstract: The main result of this work is the Poincaré - Bendixson Theorem for planar piecewise smooth vector fields, which tell us what kind of limit sets arise in this context. We will also study details about the concepts of minimal and chaotic sets in planar piecewise smooth vector fields / Mestre

Orientadores: Helena Judith Nussenzveig Lopes, Milton da Costa Lopes Filho / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-10T07:01:21Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Faria_JosianeCristinadeOliveira_D.pdf: 915381 bytes, checksum: 33fbbc86d823554534cbe546850e707d (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: As equações semigeostrocas, introduzidas por Hoskins e Bretherton em 1972 em [20], sao um conjunto de equacoes que modelam fluxos atmosfericos/ oceanicos de larga escala. Elas possuem uma formulação em variaveis duais que se presta ao tratamento analítico. Alguns autores estudaram esta formulação, veja, por exemplo, [3], [14], [22], [12], [21],em particular obtendo existencia de solucões fracas em espaços de medidas. Contudo, ha dificuldades em converter soluções fracas da formulação dual em soluções fracas na formulação original, e portanto de interpretar fisicamente as soluções obtidas. Em [11], Culled e Feldman provaram a existencia de soluções Lagrangeanas para o sistema semigeostrofico em coordenadas fisicas com vorticidade potencial em Lp, p > 1. No presente trabalho estendemos os resultados de Cullen e Feldman para o caso limite p = 1 e estudamos o comportamento de sequencias de soluções Lagrangeanas correspondentes a uma sequencia de vorticidades potenciais iniciais convergindo fortemente em L1. Provamos que tais soluções Lagrangeanas convergem em L1 loc. Exibimos um contra-exemplo que sugere que nosso resultado não pode ser estendido para o espaço das medidas de Radon / Abstract: The semigeostrophic equations, which were introduced by Hoskins and Bretherton in 1972 in [20], are a set of equations that model large-escale atmospheric/ocean ows. They have a formulation in dual variables which can be analytically treated. Some authors studied these equations in dual variables, see for instance [3], [14], [22], [12], [21], particularly it is obtained existence of weak solutions in the space of Radon measures. In [11], Cullen and Feldman proved existence of Lagrangian solutions for the semigeostrophic system in physical variables with initial potential vorticity in Lp, p > 1. In the present work we extend Cullen and Feldman's result to the limit case p = 1 and we study the behavior of sequences of Lagrangian solutions corresponding to a sequence of initial potential vorticities converging strongly in L1. We prove that these Lagrangian solutions converge in L1 loc. However, there is difficulties in to turn weak solutions in dual formulations into solutions in original formulation, and therefore there is dificulties in to interpret the obtained solutions physically. We show by means of a counterexample that our result cannot be extended to the space of Radon measures / Doutorado / Matematica - Analise / Doutor em Matemática

Neste trabalho propomos uma nova maneira de visualizar campos vetoriais, dados de considerável importância em vários ramos da ciência. Fizemos uma revisão bibliográfica sobre segmentação de campos vetoriais e desenvolvemos nosso próprio método. Neste método são extraídas informações do campo e, de distribuições de frequências dos dados coletados são formados vetores multidimensionais. Esses vetores são projetados em duas dimensões e os agrupamentos destes pontos são utilizados para formar a segmentação do campo original. Os profissionais que fazem uso de ferramentas de visualização científica possuem, em geral, informações relevantes sobre o domínio do campo vetorial, mas essa informação é raramente aproveitada nas técnicas de segmentação. A técnica desenvolvida permite que o usuário interaja com os resultados, de maneira intuitiva, corrigindo e explorando a segmentação usando seu próprio conhecimento. Como contribuições desta pesquisa podemos citar o mecanismo de interação com o usuário para o auxílio da segmentação e uma nova maneira para representar os dados colhidos de campos vetoriais em dimensão alta / In this research we introduce a novel method for visualizing vector fields, data of considerable importance in several branches of science. We did a literature review targeting vector fields and developed our own method. In this method information is extracted from the field and, from frequency distributions of the collected data multidimensional vectors are created. These vectors are projected in two dimensions and clusters of these points are used to form a segmentation of the original field. The professionals that make use of scientific visualization tools have, in general, relevant information about the domain of the vector field, but this information is rarely exploited by segmentation techniques. The developed technique allows the user to interact with the results, intuitively, exploring and correcting the segmentation using his own knowledge. As contributions of this research include the mechanism of interaction with the user to aid the segmentation and a new method to represent the collected data from vector fields in high dimension