Cette thèse est consacrée à l'étude de la contrôlabilité approchée et à zéro des systèmes paraboliques linéaires sur un domaine non vide borné Ω de (), contrôlés par moins de forces que d'équations. Les contrôles seront localisés sur un ouvert de Ω ou sur son bord. Nous étudierons deux problèmes différents. Le premier consiste à contrôler une des équations indirectement à l'aide d'un opérateur de couplage d'ordre un. Nous obtenons alors des résultats pour plusieurs classes d'opérateurs et de systèmes. La deuxième question que nous étudierons est de savoir s'il est possible de contrôler seulement certaines composantes de la solution du système. Nous donnons une condition nécessaire et suffisante lorsque les coefficients de couplage sont constants ou dépendent du temps et étudions un système simplifié quand ils dépendent de l'espace. Nous terminerons en détaillant un schéma numérique avec lequel nous fournirons des perspectives quant à quelques problèmes qui restent ouverts en contrôlabilité partielle des systèmes paraboliques linéaires. / This thesis is devoted to the study of the approximate and null controllability of linear parabolic systems on a nonempty bounded domain Ω of(), controlled by less controls than equations. The controls will be localized in an open set of Ω or on its boundary. We will study two different problems. The first of them involves controlling one of the equations indirectly with a coupling operator of order one. We obtain some results for different class of operators and systems. The second question we will study is to know if it is possible to control only some components of the solution of the system. We give a necessary and sufficient condition when the coupling coefficients are constant or time depending and study a simplified system when they are space dependent. We will finish by giving details on a numerical scheme with which we provide perspectives concerning some open problems in partial controllability of linear parabolic systems.

Dans cette thèse, nous étudions le problème inverse du phénomène de couplage des ondes électromagnétiques (EM) et sismiques. Les équations différentielles partielles régissant le phénomène de couplage sont composées d'équations de Maxwell et de Biot. Comme le phénomène de couplage est plutôt faible, nous ne considérons que la transformation des ondes électromagnétiques en ondes sismiques. Nous utilisons le modèle électrosismique pour se référer à cette transformation. Dans le modèle, le champ électrique devient la source des équations de Biot. Un coefficient de couplage est utilisé pour désigner l'efficacité de la transformation.Chapitre 2, nous considérons l'existence et l'unicité du problème vers l'avant dans le domaine fréquentiel et dans le domaine temporel. Dans le domaine fréquentiel, nous proposons l'espace de Sobolev approprié pour considérer le problème électrocinétique. Nous prouvons que la formule faible satisfait l'inégalité de Garding en utilisant la décomposition de Helmohltz. L'alternative de Fredholm peut être appliquée, ce qui montre que l'existence est équivalente à l'unicité. Dans le domaine temporel, la solution faible est définie et l'existence et l'unicité de la solution faible est démontrée.La stabilité du problème inverse est considérée dans le chapitre 3. Nous prouvons d'abord les estimations de Carleman pour les équations de Biot et les équations électrosismiques. Basé sur les estimations de Carleman pour les équations électrosismiques, nous prouvons une stabilité de Holder pour inverser tous les paramètres dans l'équation de Maxwell et le coefficient de couplage. Pour simplifier le problème, nous utilisons des équations électrostatiques pour remplacer les équations de Maxwell. Le problème inverse est décomposé en deux étapes: le problème de source inverse pour les équations de Biot et le problème de paramètre inverse pour l'équation électrostatique. Nous pouvons prouver la stabilité du problème de source inverse pour les équations de Biot sur la base de l'estimation de Carleman pour les équations de Biot. Ensuite, la conductivité et le coefficient de couplage peuvent être reconstitués avec les informations de la première étape.Dans le chapitre 4, nous résolvons les équations électrosismiques numériquement. L'équation électrostatique est résolue par la boîte à outils Matlabe PDE. Les équations de Biot sont résolues avec une méthode de différences finies échelonnées. Pour diminuer la consommation de calcul, nous ne traitons que du problème bidimensionnel. Pour simuler des ondes se propageant dans un domaine non borné, nous utilisons le PML pour absorber les ondes atteignant la limite de coupure.Le chapitre 5 traite du problème de source inverse numérique pour les équations de Biot. La méthode que nous allons utiliser est une variante de la méthode d'inversion temporelle. La première étape de la méthode consiste à transformer le problème source en un problème de valeur initiale sans aucune source. Ensuite, l'application de la méthode d'inversion de temps récupère la valeur initiale. Des exemples numériques démontrent que cette méthode fonctionne bien même pour les équations de Biot avec un petit terme d'amortissement. Mais si le terme d'amortissement est trop grand, le processus inverse n'est pas symétrique avec le processus en avant et les résultats de la reconstruction dégénèrent. / In this thesis, we study the inverse problem of the coupling phenomenon of electromagnetic (EM) and seismic waves. Partial differential equations governing the coupling phenomenon are composed of Maxwell and Biot equations. Since the coupling phenomenon is rather weak, in low frequency we only consider the transformation from EM waves to seismic waves. We use electroseismic model to refer to this transformation. In the model, the electric field becomes the source of Biot equations. A coupling coefficient is used to denote the efficiency of the transformation.Chapter 2, we consider the existence and uniqueness of the forward problem in both frequency domain and time domain. In the frequency domain, we propose the suitable Sobolev space to consider the electrokinetic problem. We prove that the weak formula satisfies a Garding's inequality using Helmohltz decomposition. The Fredholm alternative can be applied, which shows that the existence is equivalent to the uniqueness. In the time domain, the weak solution is defined and the existence and uniqueness of the weak solution is proved.The stability of the inverse problem is considered in Chapter 3. We first prove Carleman estimates for both Biot equations and electroseismic equations. Based on the Carleman estimates for electroseismic equations, we prove a Holder stability to inverse all the parameters in Maxwell equation and the coupling coefficient. To simply the problem, we use electrostatic equations to replace Maxwell equations. The inverse problem is decomposed into two steps: the inverse source problem for Biot equations and the inverse parameter problem for the electrostatic equation. We can prove the stability of the inverse source problem for Biot equations based on the Carleman estimate for Biot equations. Then the conductivity and the coupling coefficient can be reconstructed with the information from the first step.In Chapter 4, we solve the electroseismic equations numerically. The electrostatic equation is solved by the Matlabe PDE toolbox. Biot equations are solved with a staggered finite difference method. To decrease the computation consumption, we only deal with the two dimensional problem. To simulate waves propagating in unbounded domain, we use PML to absorb waves reaching the cut-off boundary.Chapter 5 deals with the numerical inverse source problem for Biot equations. The method we are going to use is a variant of the time reversal method. The first step of the method is to transform the source problem into an initial value problem without any source. Then the application of the time reversal method recovers the initial value. Numerical examples demonstrate that this method works well even for Biot equations with a small damping term. But if the damping term is too large, the inverse process is not symmetric with the forward process and the reconstruction results degenerate.

Submitted by Leonardo Cavalcante (leo.ocavalcante@gmail.com) on 2018-05-03T14:55:18Z No. of bitstreams: 1 Arquivototal.pdf: 864117 bytes, checksum: a54f5341fc1386510bbc10ef32cee483 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-05-03T14:55:18Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Arquivototal.pdf: 864117 bytes, checksum: a54f5341fc1386510bbc10ef32cee483 (MD5) Previous issue date: 2017-07-14 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This work presents Carleman estimates to a class of degenerate parabolic problems over a square (in the two dimensional case) or a bounded interval (in the one dimensional case). We consider a differential operator that degenerate only in a part of the boundary. Using semigroup theory, we prove well posedness results. Then, using suitables weight functions, we prove Carleman estimates and, as application, results on multi-objective controllability. / Neste trabalho apresentamos estimativas de Carleman para uma classe de problemas parabólicos degenerados sobre um quadrado (no caso bidimensional) ou sobre um intervalo limitado (no caso unidimensional). Consideramos um operador diferencial que degenera apenas em uma parte da fronteira. Provamos resultados de existência, unicidade e estimativas de energia via teoria do semigrupo. Em seguida usamos funções peso adequadas para obter estimativas de Carleman e, como aplicações, resultados de controlabilidade multi-objetivo.

Dans une première partie, nous considérons des problèmes de Cauchy pour des équations et systèmes hyperboliques du premier ordre. Nous donnons une représentation de l'opérateur solution comme produit infini d'opérateurs intégraux de Fourier à phase complexe. Nous démontrons la convergence de cette représentation dans les espaces de Sobolev, ainsi que celle du front d'onde. Pour les systèmes, nous traitons les cas symétriques et symétrisables. La représentation proposée conduit naturellement à des schémas numériques pour la résolution des problèmes de Cauchy. Nous présentons des applications de cette méthode dans le domaine de l'imagerie sismique. Dans ce cadre, grâce à des approximations microlocales nous obtenons des schémas efficaces. D'autres applications de l'analyse microlocale à la sismologie sont présentées.<br />Dans une seconde partie, nous étudions la contrôlabilité aux trajectoires pour des équations paraboliques linéaires et semi-linéaires. Nous nous intéressons plus particulièrement au cas d'opérateurs sous forme divergentielle où le coefficient de la partie principale est non continu. Nous prouvons tout d'abord une inégalité de Carleman, en dimension un d'espace, pour un coefficient $C^1$ par morceaux. Par un passage à la limite dans l'inégalité de Carleman, ce résultat est étendu au cas d'un coefficient $BV$. Avec ces résultats, nous prouvons la contrôlabilité de ces équations paraboliques en dimension un d'espace sans faire d'hypothèse de compatibilité entre la région de contrôle et les signes des sauts du coefficient discontinu. De plus, nous exhibons un cas en dimension supérieure pour lequel la même conclusion est obtenue. Finalement, nous utilisons une inégalité de Carleman afin d'identifier le coefficient discontinu à partir de mesures faites sur la solution.

The two variable Fitzhugh Nagumo model behaves qualitatively like the four variable Hodgkin-Huxley space clamped system and is more mathematically tractable than the Hodgkin Huxley model, thus allowing the action potential and other properties of the Hodgkin Huxley system to be more readily be visualized. In this thesis, it is shown that the Carleman Embedding Technique can be applied to both the Fitzhugh Nagumo model and to Van der Pol's model of nonlinear oscillation, which are both finite nonlinear systems of differential equations. The Carleman technique can thus be used to obtain approximate solutions of the Fitzhugh Nagumo model and to study neural activity such as excitability.

Dans cette thèse, nous abordons plusieurs problèmes mathématiques et numériques relatifs aux équations de la viscoélasticité en trois dimensions. Dans la première partie, nous considérons le système linéaire et nous nous intéressons au problème inverse de récupération d'un coefficient viscoélastique. Pour ce système, nous démontrons une inégalité de Carleman (Chapitre 1) et un résultat de stabilité dans le prolongement unique (Chapitre 2). Nous utilisons ensuite ces résultats pour prouver deux inégalités de stabilité pour le problème inverse, l'une relative à une unique mesure interne et l'autre à une unique mesure sur une partie arbitrairement petite de la frontière (Chapitre 3). Finalement, nous proposons une méthode pour résoudre ce problème numériquement et présentons une application en imagerie médicale (Chapitre 4). Dans la deuxième partie, nous étudions le système de la viscoélasticité non linéaire. Nous présentons des méthodes numériques pour le résoudre et l'implémentation de ces dernières en trois dimensions sur des géométries complexes (Chapitre 5). Une application biomédicale à la simulation des déformations des structures cérébrales est ensuite décrite (Chapitre 6). Enfin, nous abordons une question de modélisation en proposant un modèle couplé viscoélastique/viscoplastique en grandes déformations (Chapitre7).

We consider the problem of analytic continuation of the solution of the multidimensional Lame system in infinite domains through known values of the solution and the corresponding strain tensor on a part of the boundary, i.e,the Cauchy problem.

In this paper we consider the regularization of the Cauchy problem for a system of second order differential equations with constant coefficients.

In this thesis, we study uniform controllability properties of semi-discrete approximations for parabolic systems. In a first part, we address the minimization of the Lq-norm (q > 2) of semidiscrete controls for parabolic equation. Our goal is to overcome the limitation of [LT06] about the order 1/2 of unboundedness of the control operator. Namely, we show that the uniform observability property also holds in Lq (q > 2) even in the case of a degree of unboundedness greater than 1/2. Moreover, a minimization procedure to compute the approximation controls is provided. The study of Lq optimality in the first part is in a general context. However, the discrete observability inequalities that are obtained are not so precise than the ones derived then with Carleman estimates. In a second part, in the discrete setting of one-dimensional finite-differences we prove a Carleman estimate for a semi discrete version of the parabolic operator @t − @x(c@x) which allows one to derive observability inequalities that are far more precise. Here we consider in case that the diffusion coefficient has a jump which yields a transmission problem formulation. Consequence of this Carleman estimate, we deduce consistent null-controllability results for classes of linear and semi-linear parabolic equations.

Thesis (Ph. D. in Mathematics)--Vanderbilt University, Aug. 2006. / Title from title screen. Includes bibliographical references.