La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes définies sur un espace vectoriel à des fonctions convexes définies sur l'espace vectoriel dual. Elle est reliée à la dualité projective, aux coordonnées tangentielles en géometrie algébrique et à la construction des espaces de Banach duaux en analyse. On l'utilise aussi en mécanique statistique pour définir des potentiels thermodynamiques à partir des fonctions de variables d'état. Plus précisément, la transformation de Legendre permet de transformer une fonction d'état d'un système en une autre fonction d'état mieux adaptée à un problème particulier. Le chapitre un se veut un résumé des résultats connus à propos de la transformation de Legendre en analyse. Nous donnons plusieurs exemples afin d'illustrer les propriétés essentielles de cette transformation. Dans le chapitre deux, nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique: Les variables intensives, les variables extensives, l'énergie interne, l'entropie. Ensuite nous définissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformées de Legendre de l'énergie interne. Dans le chapitre trois, nous rappelons des résultats fondamentaux de la théorie des espèces de structures. Mentionnons en particulier le théorème de dissymétrie pour les arbres et pour les graphes, ainsi que les équations fonctionnelles fondamentales pour les CB-graphes, i.e les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inséparables B, ainsi que pour les CM-graphes, i.e les graphes connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irréductibles (2-arêtes-connexes). Dans le chapitre quatre, nous donnons la définition de la transformation de Legendre pour les espèces de structures à une sorte ou à deux sortes par rapport à une sorte. En effet, Pierre Leroux a été le premier à relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espèces de structures). Il a démontré (Leroux, 2003) que les CM-graphes sont liées au M-graphes par transformation de Legendre. Dans ce mémoire on montre par une construction originale que l'espèce M des graphes irréductibles peut être remplacée par une espèce N quelconque, avec N[0] =0. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Fonctions convexes, Ensembles convexes, Transformation de Legendre, Potentiels thermodynamiques, Énergie interne, Fonction de partition, Graphes, Isthme, Bloc, Motte, Graphes inséparables, Graphes irréductibles, Espèce de structures, Note.

L'objet de cette thèse sur les réseaux de capteurs est l'étude du déploiement minimal de capteurs lorsque ceux-ci doivent couvrir un ensemble discret de cibles plutôt que des superficies. Après la présentation des caractéristiques d'un réseau de capteurs, et l'intérêt d'un déploiement minimal, nous en proposons une modélisation en théorie des graphes. Nous présentons ensuite un état de l'art décrivant certaines techniques de résolution par la programmation mathématique de diverses problématiques dans ce type de réseau. Nous utilisons plusieurs programmes linéaires en variables mixtes afin de résoudre le problème du déploiement minimal des capteurs sous des contraintes de couverture de toutes les cibles et de connectivité des capteurs entre eux. Finalement, nous concevons une nouvelle heuristique de calcul de placement de capteurs lorsque les cibles sont placées sur une grille à motif carré et nous conjecturons que cette heuristique retourne une solution optimale dans tous les cas. / The objectif of this thesis on wireless sensor networks is to study the deployment of a minimal number of sensors to cover specific targets instead of continuous areas. After a presentation of the characteristics of wireless sensor networks, and after justifying the interest of an optimal sensor deployment, we propose a graph-theory based model for wireless sensor networks. We then present a state of the art describing various mathematical programming models and resolution techniques regarding a number of optimization problems in such networks. We formulate several Mixed Integer Linear programs to solve the optimal sensor deployment problem under contraints related to the coverage of all targets and connectivity between sensors. Finally, we conceive a new heuristic for sensor placement when targets are placed in a square grid graph, and we conjecture that this heuristic returns an optimal solution in all cases.

Soit \M un espace de modules de groupes p-divisibles introduit par Rapoport et Zink. Supposons que cet espace \M soit non-ramifié de type EL ou PEL unitaire ou symplectique. Soit \Mrig la fibre générique de Berthelot de \M. C'est un espace rigide analytique au-dessus duquel il existe une tour de revêtements étales finis (\M_K)_K qui classifient les structures de niveau. On définit un morphisme déterminant \det_K de la tour (\M_K)_K vers une tour d'espaces rigides analytiques étales de dimension 0 associée au cocentre du groupe réductif relié à cet espace. C'est un analogue local en des places non-archimédiennes du morphisme déterminant pour les variétés de Shimura défini par Deligne. Comme pour les variétés de Shimura, on montre que les fibres géométriques du morphisme déterminant \det_K sont les composantes connexes géométriques de \M_K. On définit aussi les morphismes puissances extérieures qui généralisent le morphisme déterminant sur la tour d'espaces rigides analytiques associée à un espace de Lubin-Tate.

Le Volume important de la représentation numérique des images pose (entre autres) le problème de leur codage sous forme condensée. Nous avons développé une méthode permettant de construire un code fortement comprimé à partir d'une image bicolore. Elle permet d'extraire tous les objets de l'image en un seul balayage tout en attachant à chaque objet des caractéristiques de sa forme. Des traitements de compression différents sont alors adaptés à chaque type d'objet. Grâce à une technique d'affichage reposant sur des principes simples, des opérations algébriques sont possibles sur les contours extraits. L'adéquation à tout format d'image et à toute précision de la saisie est inhérente au principe même de la méthode. Nous proposons un découpage en modules indépendants, en ayant pour objectif une parallélisation ultérieure. Le logiciel, en version monoprocesseur, a été réalisé sur une SM90 (CNET), sous le système Unix, et donne de résultats souvent meilleurs ou comparables à ceux obtenus par les méthodes connues actuellement.

Dans le cadre des réseaux ad hoc à grande envergure, le concept de clusterisation peut être mis à profit afin de faire face aux problèmes de passage à l'échelle et d'accroître les performances du système. Tout d’abord, cette thèse présente notre algorithme de clusterisation TBCA ‘Tiered based Clustering algorithm’, ayant pour objectif d’organiser le processus de clusterisation en couches et de réduire au maximum le trafic de contrôle associé à la phase d’établissement et de maintenance de l’infrastructure virtuelle générée. La formation et la maintenance d’une infrastructure virtuelle ne sont pas une fin en soi. Dans cet axe, on a exploité les apports de notre mécanisme de clusterisation conjointement avec le mode veille, à travers la proposition de l’approche de conservation d’énergie baptisée CPPCM ‘Cluster based Prioritized Power Conservation Mechanism’ avec deux variantes. Notre objectif principal est de réduire la consommation d’énergie tout en assurant l’acheminement des paquets de données sans endurer des temps d’attente importants aux niveaux des files d’attente des nœuds impliqués dans le transfert. Nous avons proposé aussi un algorithme de routage LCR ‘Layered Cluster based Routing’ se basant sur l’existence d’une infrastructure virtuelle. L’exploitation des apports de notre mécanisme TBCA et la limitation des tâches de routage additionnelles à un sous ensemble de nœuds sont des atouts pour assurer le passage à l’échelle de notre algorithme. / Relying on a virtual infrastructure seems a promising approach to overcome the scalability problem in large scale ad hoc networks. First, we propose a clustering mechanism, TBCA ‘Tiered based Clustering algorithm’, operating in a layered manner and exploiting the eventual collision to accelerate the clustering process. Our mechanism does not necessitate any type of neighbourhood knowledge, trying to alleviate the network from some control messages exchanged during the clustering and maintenance process. Since the energy consumption is still a critical issue, we combining a clustering technique and the power saving mode in order to conserve energy without affecting network performance. The main contribution of our power saving approach lies on the differentiation among packets based on the amount of network resources they have been so far consumed. Besides, the proposed structure of the beacon interval can be adjusted dynamically and locally by each node according to its own specific requirements. We propose also a routing algorithm, LCR ‘Layered Cluster based Routing’. The basic idea consists on assigning additional tasks to a limited set of dominating nodes, satisfying specific requirements while exploiting the benefits of our clustering algorithm TBCA.

Cette thèse étudie certaines inégalités isopérimétriques globales sur les graphes métriques et les variétés riemanniennes. Tout d'abord, nous établissons pour un graphe métrique une inégalité isopérimétrique entre l'entropie volumique et la systole, puis étudions la géométrie de la boule unité de la norme stable en fonction de la combinatoire du graphe. Nous poursuivons en montrant que, pour une variété riemannienne fermée (M,g) de dimension au moins trois et de premier nombre de Betti non nul, une large classe de polytopes apparaît comme boule unité de la norme stable d'une métrique dans la classe conforme de g. Nous exhibons ensuite une borne supérieure de la constante systolique de la somme connexe de n exemplaires d'une variété M, montrant ainsi que la croissance de la constante systolique en fonction de n est toujours plus lente que la croissance linéaire. Enfin, nous démontrons une inégalité entre la systole, la longueur du lacet systolique et le diamètre d'une variété riemannienne simplement connexe dont le second groupe homotopique est non trivial.

L'étude de l'endommagement des matériaux à comportement pseudo-fragile fait l'objet denombreuses études et la caractérisation du réseau de fissures constitue une étape nécessairepour une meilleure compréhension de leur comportement. L'objectif principal est ici d'identifierde manière la plus fine possible cet espace fissuré en trois dimensions grâce à la techniqued'imagerie nommée microtomographie X. Pour ce faire, une machine d'essai in-situ a étédéveloppée et une procédure d'analyse des images 3D a été validée. L'objectif du dispositif insituest de maintenir l'échantillon dans différents états fissurés pour rendre possible lesacquisitions microtomographiques. Une fois les images 3D reconstruites, la procédure detraitement est appliquée et l'espace fissuré est identifié. Des mesures sont alors réalisées surl'évolution du réseau de fissures au cours de l'endommagement. Ce travail constitue la premièreétape d'un traitement plus général qui a pour objectif de simuler numériquement lecomportement mécanique de ces matériaux en se basant sur leur géométrie réelle. / Materials displaying a pseudo-brittle behavior have been well studied over the past decade andthe characterization of the cracks network has become nowadays an important step for theunderstanding of their damaging behavior. The aim of this work is to characterize, in the finestavailable way, this crack space in 3D using X-ray computed microtomography. This wasachieved: 1) by designing an in-situ compressive device which maintains a sample in a crackedstate during microtomographic data acquisition and, 2) by processing the images with relevantimage filtering techniques for a better cracks network characterization. Two parameters ofchoice are then measured: the cracks network surface and volume. This work is the first step ofa global procedure which aims to numerically model the mechanical behavior of pseudo-brittlematerials by using real 3D crack geometry.

Soit \M un espace de modules de groupes p-divisibles introduit par Rapoport et Zink. Supposons que cet espace \M soit non-ramifié de type EL ou PEL unitaire ou symplectique. Soit \Mrig la fibre générique de Berthelot de \M. C'est un espace rigide analytique au-dessus duquel il existe une tour de revêtements étales finis (\M_K)_K qui classifient les structures de niveau. On définit un morphisme déterminant \det_K de la tour (\M_K)_K vers une tour d'espaces rigides analytiques étales de dimension 0 associée au cocentre du groupe réductif relié à cet espace. C'est un analogue local en des places non-archimédiennes du morphisme déterminant pour les variétés de Shimura défini par Deligne. Comme pour les variétés de Shimura, on montre que les fibres géométriques du morphisme déterminant \det_K sont les composantes connexes géométriques de \M_K. On définit aussi les morphismes puissances extérieures qui généralisent le morphisme déterminant sur la tour d'espaces rigides analytiques associée à un espace de Lubin-Tate. / Let \M be a moduli space of p-divisible groups introduced by Rapoport and Zink. Assume that \M is unramified of EL or PEL type which is unitary or symplectic. Let \Mrig be the generic fiber of Berthelot of \M. This is a rigid analytic space over which there exist a tower of finite etale coverings (\M_K)_K classifing the level structures. We define a determinant morphism \det_K from the tower (\M_K)_K to a tower of rigid analytic spaces of dimension 0 associated to the cocenter of the reductive group related to the space \M. This is a local analogue on the nonarchimedean places of the determinant morphism for Shimura varieties defined by Deligne. As for Shimura varieties, we prove that the geometric fibers of the determinant morphism \det_K are the geometrically connected components of \M_K. We define also the exterior power morphisms which generalize the determinant morphism on the tower of rigid analytic spaces associated to a Lubin-Tate space.

L'étude de l'endommagement des matériaux à comportement pseudo-fragile fait l'objet denombreuses études et la caractérisation du réseau de fissures constitue une étape nécessairepour une meilleure compréhension de leur comportement. L'objectif principal est ici d'identifierde manière la plus fine possible cet espace fissuré en trois dimensions grâce à la techniqued'imagerie nommée microtomographie X. Pour ce faire, une machine d'essai in-situ a étédéveloppée et une procédure d'analyse des images 3D a été validée. L'objectif du dispositif insituest de maintenir l'échantillon dans différents états fissurés pour rendre possible lesacquisitions microtomographiques. Une fois les images 3D reconstruites, la procédure detraitement est appliquée et l'espace fissuré est identifié. Des mesures sont alors réalisées surl'évolution du réseau de fissures au cours de l'endommagement. Ce travail constitue la premièreétape d'un traitement plus général qui a pour objectif de simuler numériquement lecomportement mécanique de ces matériaux en se basant sur leur géométrie réelle.

Dans un article sur les sommes de carrés, SCHEIDERER a prouvé que pour toute courbe algébrique, réelle, projective, irréductible, lisse, ayant des points réels, il existait un entier N tel que tout diviseur de degré plus grand que N soit linéairement équivalent à un diviseur dont le support est totalement réel. Ensuite HUISMAN et MONNIER ont montré que dans le cas des courbes avec beaucoup de composantes connexes, ie. celle en ayant au moins autant que le genre g, ici supposé strictement positif, de la courbe, on pouvait prendre N égal à 2g − 1. MONNIER a également abordé la question pour les cas des courbes singulières : il en a exhibé pour lesquelles un tel entier n'existait pas et d'autres pour lesquelles il existait. Dans cette thèse on étend la classe des courbes singulières pour lesquelles un tel entier existe, essentiellement des courbes avec des noeuds ou des cusps, et on arrive dans certains cas a contrôlé explicitement cet entier en fonction du genre de la courbe et du nombre de ces singularités. Pour y parvenir on utilise d'une part une " singularisation successive " et d'autre part une variante de l'invariant où l'on demande qu'en plus les points du support soient deux-à-deux distincts. Pour ce nouvel invariant, on étend tel quel les résultats sur les courbes ayant beaucoup de composantes et on traite celui des courbes de genre 2 ayant une seule composante, le " premier " cas jusqu'alors inconnu : dans ce cas la borne 3 est impossible en général, mais par contre 5 convient.