Ce mémoire traite principalement de deux thèmes : l'estimation de la dérivée de la fonction de répartition conditionnelle et la construction d'un test d'indépendance basé sur la copule conditionnelle utilisant notre estimateur. Dans le premier chapitre, on fait une brève introduction aux méthodes d'estimation non paramétriques de la fonction de répartition conditionnelle et de la copule conditionnelle. Par la suite, on présente un estimateur de la dérivée de la fonction de répartition conditionnelle nous permettant d'estimer le biais du processus de copule conditionnelle présenté dans le Chapitre 1. Le troisième chapitre traite du test d'indépendance basé sur la copule conditionnelle utilisant les résultats du deuxième chapitre.

Dans la première partie de cette thèse, nous avons proposé des tests non paramétriques d'indépendance entre des variables aléatoires continues. Les tests proposés sont basés sur la fonction de copule empirique de Bernstein et la fonction de densité de copule de Bernstein. La deuxième partie, nous avons abordé le problème de l’estimation non paramétrique de la fonction de densité de probabilité conditionnelle et la fonction de répartition conditionnelle basée sur une représentation polynomiale de Bernstein. Les estimateurs proposés ont été utilisés pour estimer la fonction de régression et la fonction de quantile conditionnelle. Les propriétés asymptotiques de ces estimateurs ont été établies. Finalement, une étude de simulation est menée pour montrer la performance de nos estimateurs, soit sur des exemples simulés ou bien des données réelles.

Tester l’indépendance entre plusieurs vecteurs aléatoires est une question importante en statistique. Puisqu’il y a une infinité de manières par lesquelles une quantité aléatoire X peut dépendre d’une autre quantité aléatoire Y , ce n’est pas une question triviale, et plusieurs tests “classiques” comme Spearman [33], Wilks [40], Kendall [18] ou Puri and Sen [24] sont inefficaces pour détecter plusieurs formes de dépendance. De significatifs progrès dans ce domaine ont été réalisés récemment, par exemple dans Székely et al. [34], Gretton et al. [14] ou Heller et al. [15]. Cela dit, la majorité des tests disponibles détectent l’indépendance entre deux quantités aléatoires uniquement. L’indépendance par paires ne garantissant pas l’indépendance mutuelle, il est pertinent de développer des méthodes testant l’hypothèse d’indépendance mutuelle entre n’importe quel nombre de variables. Dans cette recherche nous proposons un test non-paramétrique et toujours convergent, applicable à un nombre quelconque de vecteurs aléatoires. Précisément, nous étendons la méthode décrite dans Heller et al. [15] de deux manières. Premièrement, nous proposons d’appliquer leur test aux rangs des observations, plutôt qu’aux observations elles-mêmes. Ensuite, nous étendons leur méthode pour qu’elle puisse tester l’indépendance entre un nombre quelconque de vecteurs. La distribution de notre statistique de test étant inconnue, nous utilisons une méthode de permutations pour calculer sa valeur-p. Des simulations sont menées pour obtenir la puissance du test, que nous comparons à celles d’autres test décrits dans Genest and Rémillard [10], Gretton et al. [14], Székely et al. [34], Beran et al. [3] et Heller et al. [15]. Nous investiguons divers exemples et dans plusieurs de ceux-ci la puissance de notre test est meilleure que celle des autres tests. En particulier, lorsque les variables aléatoires sont Cauchy notre test performe bien mieux que les autres. Pour le cas de vecteurs aléatoires strictement discrets, nous présentons une preuve que notre test est toujours convergent. / Testing for independence between random vectors is an important question in statistics. Because there is an infinite number of ways by which a random quantity X can be dependent of another random quantity Y , it is not a trivial question. It has been found that classical tests such has Spearman [33],Wilks [40], Kendall [18] or Puri and Sen [24] are ineffective to detect many forms of dependence. Recent, significant results on the topic include Székely et al. [35], Gretton et al. [14] or Heller et al. [15]. However, most of the available tests can only detect dependence between two random quantities. Because pairwise independence does not guarantee mutual independence, techniques testing the hypothesis of mutual independence between any number of random quantities are required. In this research we propose a non-parametric and universally consistent test of independence, applicable to any number of random vectors of any size. Precisely, we extend the procedure described in Heller et al. [15] in two ways. Firstly, we propose to use the ranks of the observations instead of the observations themselves. Secondly, we extend their method to test for independence between any number of random vectors. As the distribution of our test statistic is not known, a permutation method is used to compute p−values. Then, simulations are performed to obtain the power of the test. We compare the power of our new test to that of other tests, namely those in Genest and Rémillard [10], Gretton et al. [14], Székely et al. [34], Beran et al. [3] and Heller et al. [15]. Examples featuring random variables and random vectors are considered. For many examples investigated we find that our new test has similar or better power than that of the other tests. In particular, when the random variables are Cauchy, our new test outperforms the others. In the case of strictly discrete random vectors, we present a proof that our test is universally consistent.

Dans cette thèse on définit et étudie un certain nombre de notions dans le cadre de la géométrie d'Arakelov qui, d'une part, possèdent un intérêt intrinsèque et, d'autre part, sont susceptibles d'applications à la théorie de l'approximation diophantienne.<br /><br />La plus grande partie du texte est consacrée à l'élaboration d'une théorie des hauteurs pour les sous-schémas et à la preuve de «formules de Hilbert-Samuel» pour ces hauteurs. Pour deux classes importantes de sous-schémas (les sous-schémas intègres et les sous-schémas «lisses avec multiplicités») on montre que la hauteur du sous-schéma relativement à une grande puissance d'un fibré en droites positif est asymptotiquement déterminée par la hauteur du cycle associé. La démonstration repose essentiellement sur le «théorème de Hilbert-Samuel arithmétique» de Gillet et Soulé, auquel elle se ramène par l'utilisation de techniques de géométrie analytique hermitienne. On fait ensuite une analyse plus fine du développement asymptotique des hauteurs de certains sous-schémas particuliers. Notamment, dans le cas de la dimension relative zéro, on exprime le terme constant du développement asymptotique en fonction de la ramification du sous-schéma, ce qui résout une question de Michel Laurent sur les hauteurs des matrices d'interpolation.<br /><br />Enfin, dans une partie indépendante, on expose diverses applications de méthodes arakeloviennes à des problèmes d'approximation diophantienne. En particulier on donne une nouvelle démonstration d'un critère classique d'indépendance algébrique dont l'originalité est qu'elle n'utilise plus de théorie de l'élimination mais uniquement des techniques de théorie de l'intersection arithmétique.

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Le cadre général de cette thèse est celui de la propriété d'indépendance en théorie des modèles. Les théories sans cette propriété sont appelées NIP ou dépendantes. L'objectif principal est de trouver de nouveaux exemples de théories appartenant à cette classe. Nous montrons d'abord un résultat isolé qui répond une question de Pillay : dans un groupe NIP possédant une partie infinie de classe de nilpotence finie, on y trouve un sous-groupe définissable de même classe de nilpotence et contenant cette partie infinie. Le reste de la thèse est motivé par deux cadres extrêmement proches : les groupes abéliens munis d'une chaîne de sous-groupes uniformément définissables, et les groupes abéliens valués. Dans le premier cas nous identifions une certaine théorie et nous étudions plusieurs extensions de cette théorie. Nous prouvons une élimination des quantificateurs dans chacune des ses extensions, grâce à laquelle la NIP en découle facilement. Le dernier résultat est le plus substantiel. Nous montrons qu'une théorie naturelle de chaîne colorée munie quasi-automorphismes n'a pas la propriété d'indépendance. Nous appliquons ensuite ce résultat à une certaine théorie de groupes valués, étudiée par Simonetta dans le contexte des groupes C-minimaux, pour en conclure qu'elle est NIP. Nous montrons aussi d'une façon assez directe (en utilisant des résultats de Rubin et Poizat) qu'une chaîne colorée munie d'automorphismes est NIP.

L'analyse du risque de survenue d'événements récurrents est une motivation majeure dans de nombreuses études de recherche clinique ou épidémiologique. En cancérologie, certaines stratégies thérapeutiques doivent être évaluées au cours d'essais randomisés où l'efficacité est mesurée à partir de la survenue d'événements successifs marquant la progression de la maladie. L'état de santé de patients infectés par le VIH évolue en plusieurs étapes qui ont pu être définies par la survenue d'événements cliniques successifs.Ce travail de thèse porte sur les modèles de régression du risque pour l'analyse de la survenue d'événements successifs. En pratique, la présence de corrélations entre les temps d'attente séparant les événements successifs est une hypothèse qui peut rarement être écartée d'emblée. L'objectif de la thèse porte sur le développement de modèles de régression permettant d'évaluer une telle corrélation. Dans ce cadre, la méthode le plus souvent utilisée suppose que la corrélation entre les délais successifs a pour origine une hétérogénéité aléatoire, non observée, entre sujets. Le modèle correspondant définit le risque instantané individuel en fonction d'un terme aléatoire, ou " fragilité ", de distribution gamma et dont la variance quantifie l'hétérogénéité entre sujets et donc la corrélation entre délais d'un même sujet. Cependant, l'utilisation de ce modèle pour évaluer l'ampleur des corrélations présente l'inconvénient de conduire à une estimation biaisée de la variance de la fragilité.Une première approche a été définie pour deux événements successifs dans une échelle de temps " par intervalles ", c'est-à-dire où le risque est exprimé en fonction du temps écoulé depuis l'événement précédent. L'approche mise au point a été obtenue à partir d'une approximation du risque de second événement conditionnellement au premier délai dans un modèle à fragilité pour plusieurs distributions de fragilité. Une seconde approche a été définie en échelle de temps " calendaire ", où le risque est exprimé en fonction du temps écoulé depuis le début du suivi du sujet. L'approche retenue a été obtenue à partir d'une approximation de l'intensité conditionnelle au passé dans un modèle à fragilité. Dans les deux échelles de temps, l'approche mise au point consiste à introduire une covariable interne, calculée sur le passé du processus, qui correspond à la différence entre le nombre d'événements observés pour le sujet sur la période passée, et le nombre attendu d'événements pour ce sujet sur la même période compte tenu de ses covariables externes. Une revue de la littérature des études de simulations a montré que le cas d'une hétérogénéité dans la population face au risque d'événement était souvent envisagé par les auteurs. En revanche, dans beaucoup d'études de simulations, le cas d'un risque dépendant du temps, ou d'une dépendance entre événements, n'étaient pas considérés. Des études de simulations ont permis de montrer dans les deux échelles de temps considérées un gain de puissance du test mis au point par rapport au test d'homogénéité correspondant au modèle à fragilité gamma. Ce gain est plus marqué en échelle de temps par intervalles. Par ailleurs, dans cette échelle de temps, le modèle proposé permet une amélioration de l'estimation de la variance de la fragilité dans le cas d'une hétérogénéité faible ou modérée, plus particulièrement pour de petits échantillons.L'approche développée en échelle de temps par intervalles a été utilisée pour analyser les données d'une cohorte de patients infectés par le VIH, montrant une corrélation négative entre le délai entre infection et première manifestation mineure d'immunodéficience et le délai entre première manifestation mineure d'immunodéficience et stade SIDA déclaré.

Une nouvelle borne supérieure sur le cardinal des codes de sous-espaces d'un espace vectoriel fini est établie grâce à la méthode de la programmation semidéfinie positive. Ces codes sont d'intérêt dans le cadre du codage de réseau (network coding). Ensuite, par la même méthode, l'on démontre une borne sur le cardinal des ensembles qui évitent une distance donnée dans l'espace de Johnson et qui est obtenue par une variante d'un programme de Schrijver. Les résultats numériques permettent d'améliorer les bornes existantes sur le nombre chromatique mesurable de l'espace Euclidien. Une hiérarchie de programmes semidéfinis positifs est construite à partir de certaines matrices issues des complexes simpliciaux. Ces programmes permettent d'obtenir une borne supérieure sur le nombre d'indépendance d'un graphe. Aussi, cette hiérarchie partage certaines propriétés importantes avec d'autres hiérarchies classiques. A titre d'exemple, le problème de déterminer le nombre d'indépendance des graphes de Paley est analysé. / We apply the semidefinite programming method to obtain a new upper bound on the cardinality of codes made of subspaces of a linear vector space over a finite field. Such codes are of interest in network coding.Next, with the same method, we prove an upper bound on the cardinality of sets avoiding one distance in the Johnson space, which is essentially Schrijver semidefinite program. This bound is used to improve existing results on the measurable chromatic number of the Euclidean space.We build a new hierarchy of semidefinite programs whose optimal values give upper bounds on the independence number of a graph. This hierarchy is based on matrices arising from simplicial complexes. We show some properties that our hierarchy shares with other classical ones. As an example, we show its application to the problem of determining the independence number of Paley graphs.

Le cadre général de cette thèse est celui de la propriété d’indépendance en théorie des modèles. Les théories sans cette propriété sont appelées NIP ou dépendantes. L’objectif principal est de trouver de nouveaux exemples de théories appartenant à cette classe. Nous montrons d’abord un résultat isolé qui répond une question de Pillay : dans un groupe NIP possédant une partie infinie de classe de nilpotence finie, on y trouve un sous-groupe définissable de même classe de nilpotence et contenant cette partie infinie. Le reste de la thèse est motivé par deux cadres extrêmement proches : les groupes abéliens munis d’une chaîne de sous-groupes uniformément définissables, et les groupes abéliens valués. Dans le premier cas nous identifions une certaine théorie et nous étudions plusieurs extensions de cette théorie. Nous prouvons une élimination des quantificateurs dans chacune des ses extensions, grâce à laquelle la NIP en découle facilement. Le dernier résultat est le plus substantiel. Nous montrons qu’une théorie naturelle de chaîne colorée munie quasi-automorphismes n’a pas la propriété d’indépendance. Nous appliquons ensuite ce résultat à une certaine théorie de groupes valués, étudiée par Simonetta dans le contexte des groupes C-minimaux, pour en conclure qu’elle est NIP. Nous montrons aussi d’une façon assez directe (en utilisant des résultats de Rubin et Poizat) qu’une chaîne colorée munie d’automorphismes est NIP. / This PhD thesis is in the general area of the independence property in model theory.Theories without this property are called NIP or dependent. The main objective of this thesis is to find new examples belonging to this class. Firstly, we prove an isolated result that answers a question stated by Pillay : if a NIP group contains an infinite set of finite nilpotency class, then there exists a definable subgroup of the same nilpotency class containing this set. The rest of this thesis is motivated by two extremely closed related contexts : abelian groups equipped with an uniformly definable chain of subgroups, and valued groups. In the first case we identify a theory and study several extensions of it. We prove quantifier elimination in each of these extensions, and use it to easily conclude that they are NIP. The last result is the most significant one. We prove that a natural theory of linear orderings equipped with quasi-automorphisms doesn’t have the independence property. Then we apply this result to a particular theory of valued abelian groups, which has been studied by Simonetta in the context of C-minimal groups, to conclude that it is NIP. We also prove in a rather straightforward way (using results by Rubin and Poizat) that a linear ordering equipped with automorphisms is NIP

Les résultats obtenus dans cette thèse concernent l'estimation non paramétrique de densités de probabilité. Principalement, nous nous intéressons à estimer une densité de probabilité multidimensionnelle de régularité anisotrope et inhomogène. Nous proposons des procédures d'estimation qui sont adaptatives, non seulement par rapport aux paramètres de régularité, mais aussi par rapport à la structure d'indépendance de la densité de probabilité estimée. Cela nous permet de réduire l'influence de la dimension du domaine d'observation sur la qualité d'estimation et de faire en sorte que cette dernière soit la meilleure possible. Pour analyser la performance de nos méthodes nous adoptons le point de vue minimax et nous généralisons un critère d'optimalité pour l'estimation adaptative. L'utilisation du critère que nous proposons s'impose lorsque le paramètre d'intérêt est estimé en un point fixé car, dans ce cas, il y a un "prix à payer" pour l'adaptation par rapport à la régularité et à la structure d'indépendance. Cela n'est plus vrai lorsque l'estimation est globale. Dans le modèle de densité (avec des observations directes) nous considérons le problème de l'estimation ponctuelle et celui de l'estimation en norme $bL_p$, $pin[1,infty)$. Dans le modèle de déconvolution (avec des observations bruitées) nous étudions le problème de l'estimation en norme $bL_p$, $pin[1,infty]$, dans le cas où la fonction caractéristique du bruit décroît polynomialement à l'infini. Chaque estimateur que nous proposons est obtenu par une procédure de sélection aléatoire dans une famille d'estimateurs à noyau. / The results obtained in this thesis concern the non parametric estimation of probability densities. Primarily, we are interested in estimating a multivariate probability density which is anisotropic and inhomogeneous. We propose estimation procedures that enable us to take into account the regularity properties of the underlying probability density and its independence structure simultaneously. This allows us to reduce the influence of the dimension of the observation space on the accuracy of estimation and then to improve it. To analyze the performance of our methods we adopt the minimax point of view and we generalize a criterion of optimality for adaptive estimation. The use of the criterion we propose is necessary for estimation at a fixed point. Indeed, in this setting, there is a "penalty" for adaptation with respect to the regularity and to the independence structure. This is no longer true for global estimation. In the density model (with direct observations) we consider both the problem of pointwise estimation and the problem of estimation under $bL_p$-loss ($pin[1,infty)$). In the deconvolution model (with noisy observations) we study the problem of estimation with an $bL_p$-risk ($pin[1,infty]$) when the characteristic function of the noise decreases polynomially at infinity. Any estimator that we propose is obtained by a random selection procedure in a family of kernel estimators.