Cette thèse regroupe une série de travaux concernant le processus d'exclusion asymétrique en contact avec deux réservoirs.<br />Dans une première partie, nous montrons par des simulations numériques que la position de la transition de phase du premier ordre dans le processus d'exclusion totalement asymétrique devient dépendante de l'échantillon considéré lorsque l'on ajoute un désordre gelé lié aux sites sur les taux de saut des particules. Ces résultats numériques sont comparés aux prédictions du champ moyen.<br />Dans une seconde partie, nous étudions les propriétés macroscopiques du profil de densité de particules dans l'état stationnaire. Nous dérivons tout d'abord la fonctionnelle de grandes déviations du processus d'exclusion faiblement asymétrique. Notre expression fait le lien entre des résultats précédents concernant le processus d'exclusion totalement asymétrique et le processus d'exclusion symétrique.<br />Nous exprimons également la distribution des fluctuations de densité dans l'état stationnaire des processus faiblement et totalement asymétriques. Ces fluctuations se mettent sous la forme d'une somme de deux fonctions aléatoires indépendantes. Nous montrons que dans la phase de courant maximum du processus totalement asymétrique, ces fluctuations ne sont pas gaussiennes. La connaissance des fluctuations nous permet de calculer les fonctions de corrélation à temps coïncidant dans l'état stationnaire.<br />Ces deux séries de résultats découlent de l'écriture de la probabilité d'un profil de densité dans l'état stationnaire comme une somme sur des chemins abstraits. Dans le but de généraliser nos résultats, une dynamique microscopique sur ces chemins est construite.

Le théorème de Burke est un résultat classique en théorie des files d'attente. Il établit que le processus de départ d'une file M/M/1 est un processus de Poisson de même intensité que le processus des arrivées. Nous présentons des extensions de ce résultat à la file d'attente et au modèle de stockage. Nous abordons ensuite l'étude de ces systèmes en tandem et en régime transitoire. Nous prouvons que les équations qui régissent la dynamique des deux systèmes (file d'attente et modèle de stockage) sont les mêmes alors que les variables pertinentes sont différentes selon le modèle qui nous intéresse. En utilisant des analogies entre ces systèmes et l'algorithme de Robinson-Schensted-Knuth, nous donnons une preuve élégante de la propriété de symétrie de chacun des deux systèmes. Nous nous intéressons également aux corrélations entre les services des clients successifs au sein d'une période d'activité. Nous revenons par la suite au théorème de Burke que l'on peut voir comme étant un résultat de point fixe: le processus de Poisson est un point fixe pour la file d'attente avec des lois de service exponentielles. Nous prouvons des résultats de points fixes dans le cadre des grandes déviations où les variables d'entrée sont décrites par le biais de leurs fonctions de taux.

Pour obtenir des listes de mots de fréquences exceptionnelles par rapport à un modèle aléatoire, par exemple dans un contexte de biologie moléculaire, il faut quantifier la qualité de la prédiction des fréquences d'une famille de mots. Nous étudions les probabilités de grandes déviations du processus vectoriel de comptage d'une famille de mots dans des modèles de Markov et des modèles de Markov cachés. Pour démontrer ces résultats, nous établissont un développement du type Edgeworth sur les fonctionnelles additives d'une chaîne de Markov finie. Nous utilisons les théorèmes obtenus pour produire des listes de mots exceptionnels dans les génomes d'Escherichia Coli et de Bacillus Subtilis par conditionnements successifs d'un modèle statistique initial.

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à la métastabilité de certains systèmes dynamiques stochastiques. Plus précisément, nous avons étudié des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles perturbées par un bruit blanc additif dans l'asymptotique du bruit faible. Nous avons donné l'expression et le calcul de l'espérance de temps des transitions métastables pour certains types de modèles (formule dite d'Eyring-Kramers). Dans un premier temps, nous avons généralisé des résultats connus pour des diffusions d'Itô dont la dérive est le gradient d'un potentiel. Nous donnons une équivalence entre la géométrie du paysage décrit par le potentiel et des circuits électriques qui nous permet de donner des expressions simples pour le calcul des temps de transition entre des minima du potentiel. Nous utilisons la théorie du potentiel et les capacités dans le calcul de ces temps. Le principal résultat de cette thèse concerne des équations aux dérivées partielles stochastiques scalaires, paraboliques, semi-linéaires et perturbées par un bruit blanc espace-temps sur un intervalle borné réel comme l'équation d'Allen-Cahn. Ce modèle constitue un analogue infini-dimensionnel aux diffusions en dimension finie. Nous avons considéré deux types de conditions au bord, Dirichlet et Neumann, et discutons le cas des conditions périodiques. Sous certaines hypothèses, nous donnons l'expression, analogue à la dimension finie, des temps transitions. La preuve utilise une discrétisation par différence finie de l'équation et un couplage nous permettant d'appliquer les estimations pour la dimension finie. Il a fallu notamment contrôler uniformément ces estimations en fonction de la dimension pour passer à la limite et récupérer le système infini-dimensionnel.

On étudie à la fois l'estimation de l'entropie de Shannon d'une probabilité à partir d'observations indépendantes ou markoviennes, et l'estimation du taux d'entropie d'un processus markovien de sauts d'espace d'état fini, à partir d'observations continues ou discrètes. Plusieurs problèmes connexes sont traités. Certains apparaissent en amont de l'estimation, comme l'étude de la géométrie de la divergence de Kullback-Leibler en lien avec la transformation escorte. D'autres apparaissent comme des applications des résultats d'estimation obtenus. On construit ainsi des tests sur le niveau d'entropie d'une probabilité, à partir d'un principe de grandes déviations pour la suite des estimateurs empiriques de l'entropie d'une suite de variables indépendantes. On étudie également diverses propriétés en lien avec l'estimation de l'entropie et du taux d'entropie de files d'attente modélisées par des processus markoviens de naissance et de mort.

Le thème central des travaux présentés est l'étude des suites faiblement dépendantes<br />non -mélangeantes au sens de Rosenblatt (1956). La notion de mélange classique est affaiblie<br />afin d'établir des inégalités ainsi que des théorèmes limite pour différentes classes de processus<br />comme par exemple certains systèmes dynamiques, des chaînes de Markov non irréductibles,<br />ou encore des fonctions de processus linéaires non mélangeants. Les résultats obtenus sont<br />ensuite appliqués au domaine de la statistique non paramétrique.<br />Deux autres thématiques sont abordées dans ce manuscrit : d'une part l'étude de principes<br />de grandes déviations (notamment pour le processus de records généralisés), et d'autre part<br />l'estimation adaptative de fonctionnelles linéaires.

Dans cette thèse on s'intéresse au temps local d'auto-intersections de marches aléatoires. Cette quantité est définie comme la norme-$p$ à la puissance $p$ du temps local de la marche. Elle regarde dans quelle mesure la trajectoire de la marche aléatoire s'intersecte. Le temps local d'auto-intersections est lié à différents modèles physiques comme les modèles de polymères ou les problèmes d'écoulements de flux en milieux stratifiés mais aussi au modèle mathématiques des marches aléatoires en paysages aléatoires. Nous nous sommes pour notre part intéressés en particulier aux grandes déviations du temps local d'auto-intersections, c'est à dire que nous regardons la probabilité que la quantité d'intersections de la marche aléatoire soit plus grande que sa moyenne. Cette question qui a été très étudiée au cours des années 2000 fait apparaitre trois cas distincts, le cas sous-critique, le cas critique et le cas sur-critique. Nous améliorons la connaissance sur cette question au travers de deux résultats complets et d'un résultat partiel. D'abord nous prouvons un principe de grandes déviations dans les cas critique et sur-critique des marches $\alpha$-stables, puis nous améliorons les échelles de déviations au cas sous-critique tout entier de la marche simple, enfin nous sommes en train d'étendre ce dernier résultat aux marches $\alpha$-stables. Par ailleurs les trois preuves sont basées sur l'utilisation d'une version due à Eisenbaum d'un théorème d'isomorphisme de Dynkin. Cette méthode d'abord introduite par Castell dans le cas critique est donc ici étendue aux autres cas. Nous avons donc réussi à unifier les différentes méthodes de preuves au travers ce théorème d'isomorphisme.

Le travail de recherche présenté dans ce mémoire de thèse est de gérer la variabilité géométrique durant le cycle de vie du produit et ses conséquences sur la performance du produit. Le modèle des déviations géométriques du produit exposé dans ce mémoire permet de modéliser les déviations géométriques générées de l'étape de fabrication à l'étape d'assemblage de son cycle de vie. La méthode de simulation Monte-Carlo est utilisée pour générer une image des produits fabriqués. A partir de ces résultats, les déviations géométriques sont intégrées dans la simulation de la performance du produit afin d'établir la relation entre la performance et les paramètres des sources de variation. Une image de la performance réelle du produit fabriqué est générée par l'utilisation de résultat de simulation des déviations géométriques. Les paramètres de sources de variation influençant la performance du produit sont ensuite identifiés et classifiés par rapport au leur niveau d'impact. La variance de la variation de la performance est établie s'en appuyant sur cette relation. Finalement, la solution de la conception robuste est trouvée par la minimisation de la variance de la performance du produit.

Le sujet de cette thèse est l'étude du rôle du bruit dans les systèmes interagissants, avec en vue des applications dans les systèmes biologiques. Cette étude est basée sur le modèle de Kuramoto, qui est un modèle d'oscillateurs uni-dimensionnels interagissants admettant une transition de phase de synchronisation, ainsi que sur certaines de ses généralisations. Une première partie (réalisée en collaboration avec G. Giacomin, K. Pakdaman et X. Pellegrin) est consacrée au modèle des "Active Rotators", une généralisation du modèle de Kuramoto, dans lequel chaque oscillateur a une dynamique propre, qui est peut être choisie excitable. Nous démontrons de manière rigoureuse que le système global peut avoir une dynamique très différente de celle d'un oscillateur isolé, en réduisant le problème à un problème de phase. On peut en particulier voir l'apparition de phénomènes périodiques. La deuxième partie (réalisée en collaboration avec G. Giacomin et E. Luçon) est consacrée à l'étude du modèle de Kuramoto bruité, dans la limite du faible désordre. Nous démontrons en particulier, dans le cas où le désordre n'est pas symétrique, l'existence d'une solution périodique et donnons un développement de sa vitesse. La troisième partie (réalisée en collaboration avec G. Giacomin et L. Bertini) est consacrée au comportement du modèle de Kuramoto en temps long (proportionnel au nombre d'oscillateurs): les oscillateurs conservent un profil synchronisé qui se déplace dans la limite d'une infinité d'oscillateurs suivant un mouvement Brownien. Enfin dans la dernière partie je me suis intéressé à la problématique de réduction de phase dans le cas du problème de sortie de potentiel, pour des modèle proches de la réversibilité.

Les petites machines, comme les moteurs moléculaires ou les particules actives, fonctionnent dans un environnement fortement fluctuant qui affecte leur efficacité ou leur puissance. L'objectif de cette thèse est de décrire les petites machines à l'aide de la thermodynamique stochastique et de la théorie des grandes déviations. En reliant localement puis globalement les courants aux forces thermodynamiques, on introduit une matrice de conductance hors d'équilibre, qui généralise la matrice d'Onsager pour un système stationnaire hors d'équilibre. Cela permet de majorer l'efficacité des machines par une fonction universelle qui ne dépend que du degré de couplage entre les courants d'entrée et de sortie. On obtient aussi de nouvelles relations générales entre puissance et efficacité. Du point de vue des fluctuations, la matrice de conductance hors d'équilibre est reliée à une borne quadratique pour les fonctions de grande déviation des courants. Cette borne permet d'obtenir des bornes pour les fonctions de grande déviation de l'efficacité, mais aussi de revisiter le théorème de fluctuation-dissipation comme une inégalité dans le cas des systèmes loin de l'équilibre. Pour terminer, on étudie l'effet d'une brisure d'ergodicité sur les fluctuations d'observables comme l'activité, les courants ou l'efficacité. En particulier, on calcule la fonction de grande déviation de l'efficacité pour un ensemble de nanomachines en interaction pour lesquelles un couplage fort et une brisure d'ergodicité apparaissent à la limite thermodynamique. / Small machines -- like molecular motors or active particles -- operate in highly fluctuating environments that affect their efficiency and power. This thesis aims at describing small machines using stochastic thermodynamics and large deviation theory. By relating mean currents to thermodynamic forces, locally first and then at the global level, we introduce the non-equilibrium conductance matrix that generalizes the Onsager matrix for stationary non-equilibrium systems. We use it to bound machine efficiency by a universal function depending only on the degree of coupling between input and output currents and to find new general power-efficiency trade-offs. On the fluctuations side, the non-equilibrium conductance matrix can be used to find a quadratic bound on the large deviation function of currents. This enables to revisit the fluctuation-dissipation theorem as an inequality when dealing with far-from-equilibrium systems, but also to derive bounds on the efficiency large deviation function. Finally, we study the effects of ergodicity breaking on the fluctuations of observables like activity, currents or efficiency. In particular, we derive the efficiency large deviation function for a model of interacting nanomachines, for which tight coupling and ergodicity breaking emerge in the thermodynamic limit.