Le sujet principal de ce mémoire est l'étude de la distribution asymptotique de la fonction f_m qui compte le nombre de diviseurs premiers distincts parmi les nombres premiers $p_1,...,p_m$. Au premier chapitre, nous présentons les sept résultats qui seront démontrés au chapitre 4. Parmi ceux-ci figurent l'analogue du théorème d'Erdos-Kac et un résultat sur les grandes déviations. Au second chapitre, nous définissons les espaces de probabilités qui serviront à calculer les probabilités asymptotiques des événements considérés, et éventuellement à calculer les densités qui leur correspondent. Le troisième chapitre est la partie centrale du mémoire. On y définit la promenade aléatoire qui, une fois normalisée, convergera vers le mouvement brownien. De là, découleront les résultats qui formeront la base des démonstrations de ceux chapitre 1. / The main topic of this masters thesis is the study of the asymptotic distribution of the fonction f_m which counts the number of distinct prime divisors among the first $m$ prime numbers, i.e. $p_1,...,p_m$. The first chapter provides the seven main results which will later on be proved in chapter 4. Among these we find the analogue of the Erdos-Kac central limit theorem and a result on large deviations. In the following chapter, we define several probability spaces on which we will calculate asymptotic probabilities of specific events. These will become necessary for calculating their corresponding densities. The third chapter is the main part of this masters thesis. In it, we introduce a random walk which, when suitably normalized, will converge to the Brownian motion. We will then obtain results which will form the basis of the proofs of those of chapiter 1.

Cette thèse porte sur l'étude numérique des fluctuations extrêmes de la force de traînée exercée par un écoulement turbulent sur un corps immergé.Ce type d'évènement, très rare, est difficile à caractériser par le biais d'un échantillonnage direct, puisqu'il est alors nécessaire de simuler l'écoulement sur des durées extrêmement longues. Cette thèse propose une approche différente, basée sur l'application d'algorithmes d'échantillonnage d'événements rares. L'objectif de ces algorithmes, issus de la physique statistique, est de modifier la statistique d'échantillonnage des trajectoires d'un système dynamique, de manière à favoriser l'occurrence d'événements rares. Si ces techniques ont été appliquées avec succès dans le cas de dynamiques relativement simples, l'intérêt de ces algorithmes n'est à ce jour pas clair pour des dynamiques déterministes extrêmement complexes, comme c'est le cas pour les écoulement turbulents.Cette thèse présente tout d'abord une étude de la dynamique et de la statistique associée aux fluctuations extrêmes de la force de traînée sur un obstacle carré fixe immergé dans un écoulement turbulent à deux dimensions. Ce cadre simplifié permet de simuler la dynamique sur des durées très longues, permettant d'échantillonner un grand nombre de fluctuations dont l'amplitude est assez élevée pour être qualifiée d'extrême.Dans un second temps, l'application de deux algorithmes d’échantillonnage est présentée et discutée.Dans un premier cas, il est illustré qu'une réduction significative du temps de calcul d'extrêmes peut être obtenue. En outre, des difficultés liées à la dynamique de l'écoulement sont mises en lumière, ouvrant la voie au développement de nouveaux algorithmes spécifiques aux écoulements turbulents. / This thesis discusses the numerical simulation of extreme fluctuations of the drag force acting on an object immersed in a turbulent medium.Because such fluctuations are rare events, they are particularly difficult to investigate by means of direct sampling. Indeed, such approach requires to simulate the dynamics over extremely long durations.In this work an alternative route is introduced, based on rare events algorithms.The underlying idea of such algorithms is to modify the sampling statistics so as to favour rare trajectories of the dynamical system of interest.These techniques recently led to impressive results for relatively simple dynamics. However, it is not clear yet if such algorithms are useful for complex deterministic dynamics, such as turbulent flows.This thesis focuses on the study of both the dynamics and statistics of extreme fluctuations of the drag experienced by a square cylinder mounted in a two-dimensional channel flow.This simple framework allows for very long simulations of the dynamics, thus leading to the sampling of a large number of events with an amplitude large enough so as they can be considered extreme.Subsequently, the application of two different rare events algorithms is presented and discussed.In the first case, a drastic reduction of the computational cost required to sample configurations resulting in extreme fluctuations is achieved.Furthermore, several difficulties related to the flow dynamics are highlighted, paving the way to novel approaches specifically designed to turbulent flows.

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Il y a de nouveaux défis dans l'administration et dans la conception des systèmes pour optimiser la gestion des ressources des applications basées en nuage Cloud Computing. Certaines applications demandent des performances rigoureuses (par exemple, par rapport aux retards et aux limites de la gigue), tandis que d'autres applications présentent des charges de travail en rafale (volatiles). Cette thèse propose un framework inspiré dans un modèle épidémique (et basé sur des Chaînes de Markov à Temps Continu), qui peut reproduire la volatilité de la charge de travail, à savoir les effets de buzz (quand il y a une augmentation soudaine de la popularité d'un contenu) d'un système de Vidéo à la Demande (VoD). Deux méthodes d'estimation (basés sur des heuristiques et des Chaînes de Markov Monte Carlo - MCMC) ont été également proposées dans ce travail, de façon à ajuster le modèle selon les comportements de la charge de travail. Les paramètres du modèle obtenus à partir des procédures d'étalonnage révèlent des propriétés intéressantes du modèle. Basé sur des simulations numériques, la précision des deux procédures a été analysée, en montrant que les deux présentent des performances raisonnables. Toutefois, la méthode MCMC dépasse la performance de l'approche heuristique. Cette thèse compare également le modèle proposé avec d'autres modèles existants, tout en examinant la qualité de l'ajustement de certaines propriétés statistiques sur des traces réelles de la charge de travail. Finalement, ce travail propose une approche probabiliste de provisionnement des ressources, basée sur le Principe de Grandes Déviations (LDP). LDP caractérise statistiquement les effets de buzz, qui causent de la volatilité extrême de la charge de travail. Cette analyse exploite les informations obtenues en utilisant le LPD du système VoD pour la définition des politiques de gestion des ressources. Ces politiques peuvent être intéressantes pour toutes les acteurs dans le nouveau contexte de l'informatique en nuage. / There are some new challenges in system administration and design to optimize the resource management for a cloud based application. Some applications demand stringent performance requirements (e.g. delay and jitter bounds), while some applications exhibit bursty (volatile) workloads. This thesis proposes an epidemic model inspired (and continuous time Markov Chain based) framework, which can reproduce workload volatility namely the "buzz effects" (when there is a sudden increase of a content popularity) of a Video on Demand (VoD) system. Two estimation procedures (heuristic and a Markov Chain Monte Carlo (MCMC) based approach) have also been proposed in this work to calibrate the model against workload traces. Obtained model parameters from the calibration procedures reveal some interesting property of the model. Based on numerical simulations, precisions of both procedures have been analyzed, which show that both of them perform reasonably. However, the MCMC procedure outperforms the heuristic approach. This thesis also compares the proposed model with other existing models examining the goodness-of-fit of some statistical properties of real workload traces. Finally this work suggests a probabilistic resource provisioning approach based on a Large Deviation Principle (LDP). LDP statistically characterizes the buzz effects that causeextreme workload volatility. This analysis exploits the information obtained using the LDP of the VoD system for defining resource management policies. These policies may be of some interest to all stakeholders in the emerging context of cloud networking.

Cette thèse se consacre à l'étude du modèle de dénaturation de l'ADN introduit par Poland et Scheraga dans les années soixante. Les modèles de dépiégeage en milieu aléatoire, avec lesquels la correspondance a été établie, sont également traités. Dans le cas où les interactions entre le système et l’environnement sont homogènes, le problème a été résolu : selon la valeur d'un paramètre géométrique, une transition de phase d'ordre un ou deux se produit. En revanche, lorsque les interactions sont prises aléatoires (on parle d'un système en présence de désordre), nous ne connaissons ni le point critique, ni l'ordre de la transition en régime defort désordre. Pour simplifier le problème, de nombreux auteurs font usage d'une représentation hiérarchique grâce à laquelle une renormalisation exacte de la fonction de partition peut être écrite. Mais à nouveau, la question du point critique et de l'ordre de la transition n'a pas été résolue. Nous avons introduit un nouveau système (Toymodel) plus simple que la version hiérarchique en changeant la forme de la renormalisation. Le problème, ainsi posé, permet de mettre en évidence une famille de distributions qui ne varient presque pas lors d'une renormalisation, avec lesquelles nous avons pu dériver des équations du type Berezinskii-Kosterlitz- Thouless. Aussi, en présence de désordre, la transition de phase n'admet pas de point fixe critique. Ces deux éléments, en accord avec nos résultats numériques, nous poussent à croire que nous sommes en présence d'une transition de phase d'ordre infini. La seconde partie de la thèse rapporte un travail sur le processus simple d'exclusion symétrique, qui est l'un des modèles les plus simples de physique statistique hors d'équilibre pour lequel un état stationnaire est connu. La fonction de grandes déviations a été calculée dans le passé par les approches microscopiques et macroscopiques et ici, nous en avons calculé la première correction de taille finie. Le résultat a ensuite été comparé aux corrections similaires pour des systèmes à l'équilibre. / This thesis is a study of a DNA denaturation model, introduced by Poland and Scheraga during the 1960s. The depinning models with random environment, with which the similarity has been made, are also concerned. If the interactions between the system and the environment are homogeneous, the problem has been solved: depending on the value of a geometrical parameter, a first or a second order phase transition happens. On the other hand, when the interactions are random, we know neither the critical point nor the phase transition order in the case of strong disorder. In order to simplify the problem, some authors have used a hierarchical representation through which an exact renormalization can be written. Despite this simplification, the critical point and the transition order have not been found. By changing the renormalization relation, we introduced a Toy-model which is simpler than the hierarchical version. The new problem leaded us to a family of distributions, which stay almost the same under renormalization, and allow us to derive the Berezinskii-Kosterlitz- Thouless equations. Also, with strong disorder, the phase transition does not have a critical fixed point. These two elements, according to our numerical results, predict that the order transition is infinite. The second part of this thesis reports on a work about the simple symmetric exclusion process, which is one of the simplest out of equilibrium models for which a stationary state is known. The large deviation function has been calculated in the past through microscopic and macroscopic approaches. Here, we calculated the leading finite-size correction. Then the result has been compared to similar corrections for equilibrium systems.

Après une introduction générale et la présentation d'un exemple explicite dans le chapitre 1, nous exposons certains outils et techniques généraux dans le chapitre 2.- dans le chapitre 3, nous démontrons l'existence d'un principe de grandes déviations (PGD) pour les composantes de Cartan le long des marches aléatoires sur les groupes linéaires semi -simples G. L'hypothèse principale porte sur le support S de la mesure de la probabilité en question et demande que S engendre un semi-groupe Zariski dense. - Dans le chapitre 4, nous introduisons un objet limite (une partie de la chambre de Weyl) que l'on associe à une partie bornée S de G et que nous appelons le spectre joint J(S) de S. Nous étudions ses propriétés et démontrons que J(S) est une partie convexe compacte d'intérieur non-vide dès que S engendre un semi -groupe Zariski dense. Nous relions le spectre joint avec la notion classique du rayon spectral joint et la fonction de taux du PGD pour les marches aléatoires. - Dans le chapitre 5, nous introduisons une fonction de comptage exponentiel pour un S fini dans G, nous étudions ses propriétés que nous relions avec J(S) et démontrons un théorème de croissance exponentielle dense. - Dans le chapitre 6, nous démontrons le PGD pour les composantes d'Iwasawa le long des marches aléatoires sur G. L'hypothèse principale demande l'absolue continuité de la mesure de probabilité par rapport à la mesure de Haar.- Dans le chapitre 7, nous développons des outils pour aborder une question de Breuillard sur la rigidité du rayon spectral d'une marche aléatoire sur le groupe libre. Nous y démontrons un résultat de rigidité géométrique. / After giving a detailed introduction andthe presentation of an explicit example to illustrateour study in Chapter 1, we exhibit some general toolsand techniques in Chapter 2. Subsequently,- In Chapter 3, we prove the existence of a large deviationprinciple (LDP) with a convex rate function, forthe Cartan components of the random walks on linearsemisimple groups G. The main hypothesis is onthe support S of the probability measure in question,and asks S to generate a Zariski dense semigroup.- In Chapter 4, we introduce a limit object (a subsetof the Weyl chamber) that we associate to a boundedsubset S of G. We call this the joint spectrum J(S)of S. We study its properties and show that for asubset S generating a Zariski dense semigroup, J(S)is convex body, i.e. a convex compact subset of nonemptyinterior. We relate the joint spectrum withthe classical notion of joint spectral radius and therate function of LDP for random walks on G.- In Chapter 5, we introduce an exponential countingfunction for a nite S in G. We study its properties,relate it to joint spectrum of S and prove a denseexponential growth theorem.- In Chapter 6, we prove the existence of an LDPfor Iwasawa components of random walks on G. Thehypothesis asks for a condition of absolute continuityof the probability measure with respect to the Haarmeasure.- In Chapter 7, we develop some tools to tackle aquestion of Breuillard on the rigidity of spectral radiusof a random walk on a free group. We prove aweaker geometric rigidity result.

Le procédé de soudage par friction malaxage ou Friction Stir Welding (FSW), est un procédé récent utilisé pour le soudage de pièces métalliques avec différentes applications dans les industries aéronautique, automobile, spatiale et ferroviaire. Les robots industriels sériels peuvent être utilisés comme moyen de soudage FSW mais, à cause de leur rigidité, ils se déforment sous l’effet des forces générées par le procédé. Ceci entraîne une déviation de trajectoire de l’outil de soudage en position et en orientation qui induit des défauts dans le cordon de soudure. Dans ce travail, deux méthodes de correction de déviations ont été développées. La première méthode est basée sur l’estimation des déviations en position et en orientation dans l’espace cartésien à partir des modèles du robot et de déformation élasto-statique des corps et transmissions. Les déviations estimées permettent de développer une approche de programmation de trajectoires adaptées au soudage FSW robotisé. Contrairement aux méthodes d’interpolation linéaire généralement envisagées, cette approche utilise des approximations de trajectoires par des courbes de Bézier ou B-splines. Les validations expérimentales pour des trajectoires complexes, avec un robot Kuka KR500-2MT, ont permis d’obtenir une déviation résiduelle moyenne de l’ordre de 0,3 mm et des cordons de soudure sans défauts. Cette précision de trajectoire atteinte pour le FSW permet de considérer une exploitation industrielle de la solution développée. La deuxième méthode de correction des déviations utilise un asservissement de position en temps réel avec un capteur de profil laser 2D dans la boucle de retour. Deux synthèses de lois de commande ont été explorées pour cet asservissement. Malgré les perturbations externes liées aux contraintes du procédé, les résultats expérimentaux sur des trajectoires de soudage rectilignes et curvilignes montrent une bonne stabilité de l’asservissement et conduisent à une déviation résiduelle moyenne de l’ordre de 0,1 mm. Les intérêts et les difficultés de la mise en œuvre de cette deuxième méthode ont également été mis en exergue. / Friction Stir Welding (FSW) is a recent process used for welding metallic parts in aerospace, automotive, and railway industries. Serial industrial robots may be used as FSW welding machines, but because of their lack of stiffness, they undergo elastic deformation under the effect of stresses produced by the process. This causes a welding tool path deviation both in position and orientation, which induces defects in the weld seam. In this work, two path correction methods were developed. The first method is based on the prediction of the position and orientation deviations in the cartesian space from robot models and stiffness model of the links and the joints. The knowledge of tool deviations enabled the synthesis of a path programming approach adapted for robotic FSW. Unlike linear interpolation methods often used, this approach is based on approximations of the adapted path by Bézier or B-splines curves. Experimental validations on a Kuka KR500-2MT robot welding complex paths showed an average residual deviation of 0.3 mm and weld seams without defects. The path accuracy achieved makes it possible to consider an industrial exploitation of the developed solution. The second proposed correction method uses position feedback with a 2D laser profile sensor in the feedback loop for real-time measurement of deviations. Two controllers were designed to correct the deviations. In spite of the external disturbances related to the constraints of the process, experimental results obtained on straight and curvilinear welding paths showed the stability of the feedback loop and a mean residual deviation of 0.1 mm was achieved. The interests and difficulties of deploying this second method were also highlighted.

Le contrôle explicite de la convergence des sommes convenablement normalisées de variables aléatoires, ainsi que l'étude du principe de déviations modérées associé à ces sommes constituent les thèmes centraux de cette thèse. Nous étudions principalement deux types de processus. Premièrement, nous nous intéressons aux processus indexés par un arbre binaire, aléatoire ou non. Ces processus ont été introduits dans la littérature afin d'étudier le mécanisme de la division cellulaire. Au chapitre 2, nous étudions les chaînes de Markov bifurcantes. Ces chaînes peuvent être vues comme une adaptation des chaînes de Markov "usuelles'' dans le cas où l'ensemble des indices à une structure binaire. Sous des hypothèses d'ergodicité géométrique uniforme et non-uniforme d'une chaîne de Markov induite, nous fournissons des inégalités de déviations et un principe de déviations modérées pour les chaînes de Markov bifurcantes. Au chapitre 3, nous nous intéressons aux processus bifurcants autorégressifs d'ordre p (). Ces processus sont une adaptation des processus autorégressifs linéaires d'ordre p dans le cas où l'ensemble des indices à une structure binaire. Nous donnons des inégalités de déviations, ainsi qu'un principe de déviations modérées pour les estimateurs des moindres carrés des paramètres "d'autorégression'' de ce modèle. Au chapitre 4, nous traitons des inégalités de déviations pour des chaînes de Markov bifurcantes sur un arbre de Galton-Watson. Ces chaînes sont une généralisation de la notion de chaînes de Markov bifurcantes au cas où l'ensemble des indices est un arbre de Galton-Watson binaire. Elles permettent dans le cas de la division cellulaire de prendre en compte la mort des cellules. Les hypothèses principales que nous faisons dans ce chapitre sont : l'ergodicité géométrique uniforme d'une chaîne de Markov induite et la non-extinction du processus de Galton-Watson associé. Au chapitre 5, nous nous intéressons aux modèles autorégressifs linéaires d'ordre 1 ayant des résidus corrélés. Plus particulièrement, nous nous concentrons sur la statistique de Durbin-Watson. La statistique de Durbin-Watson est à la base des tests de Durbin-Watson, qui permettent de détecter l'autocorrélation résiduelle dans des modèles autorégressifs d'ordre 1. Nous fournissons un principe de déviations modérées pour cette statistique. Les preuves du principe de déviations modérées des chapitres 2, 3 et 4 reposent essentiellement sur le principe de déviations modérées des martingales. Les inégalités de déviations sont établies principalement grâce à l'inégalité d'Azuma-Bennet-Hoeffding et l'utilisation de la structure binaire des processus. Le chapitre 5 est né de l'importance qu'a l'ergodicité explicite des chaînes de Markov au chapitre 3. L'ergodicité géométrique explicite des processus de Markov à temps discret et continu ayant été très bien étudiée dans la littérature, nous nous sommes penchés sur l'ergodicité sous-exponentielle des processus de Markov à temps continu. Nous fournissons alors des taux explicites pour la convergence sous exponentielle d'un processus de Markov à temps continu vers sa mesure de probabilité d'équilibre. Les hypothèses principales que nous utilisons sont : l'existence d'une fonction de Lyapunov et d'une condition de minoration. Les preuves reposent en grande partie sur la construction du couplage et le contrôle explicite de la queue du temps de couplage. / The explicit control of the convergence of properly normalized sums of random variables, as well as the study of moderate deviation principle associated with these sums constitute the main subjects of this thesis. We mostly study two sort of processes. First, we are interested in processes labelled by binary tree, random or not. These processes have been introduced in the literature in order to study mechanism of the cell division. In Chapter 2, we study bifurcating Markov chains. These chains may be seen as an adaptation of "usual'' Markov chains in case the index set has a binary structure. Under uniform and non-uniform geometric ergodicity assumptions of an embedded Markov chain, we provide deviation inequalities and a moderate deviation principle for the bifurcating Markov chains. In chapter 3, we are interested in p-order bifurcating autoregressive processes (). These processes are an adaptation of $p$-order linear autoregressive processes in case the index set has a binary structure. We provide deviation inequalities, as well as an moderate deviation principle for the least squares estimators of autoregressive parameters of this model. In Chapter 4, we dealt with deviation deviation inequalities for bifurcating Markov chains on Galton-Watson tree. These chains are a generalization of the notion of bifurcating Markov chains in case the index set is a binary Galton-Watson tree. They allow, in case of cell division, to take into account cell's death. The main hypothesis that we do in this chapter are : uniform geometric ergodicity of an embedded Markov chain and the non-extinction of the associated Galton-Watson process. In Chapter 5, we are interested in first-order linear autoregressive models with correlated errors. More specifically, we focus on the Durbin-Watson statistic. The Durbin-Watson statistic is at the base of Durbin-Watson tests, which allow to detect serial correlation in the first-order autoregressive models. We provide a moderate deviation principle for this statistic. The proofs of moderate deviation principle of Chapter 2, 3 and 4 are essentially based on moderate deviation for martingales. To establish deviation inequalities, we use most the Azuma-Bennet-Hoeffding inequality and the binary structure of processes. Chapter 6 was born from the importance that explicit ergodicity of Markov chains has in Chapter 2. Since explicit geometric ergodicity of discrete and continuous time Markov processes has been well studied in the literature, we focused on the sub-exponential ergodicity of continuous time Markov Processes. We thus provide explicit rates for the sub-exponential convergence of a continuous time Markov process to its stationary distribution. The main hypothesis that we use are : existence of a Lyapunov fonction and of a minorization condition. The proofs are largely based on the coupling construction and the explicit control of the tail of the coupling time.

Cette thèse est dévolue à l'étude de certaines propriétés asymptotiques du processus autorégressif d'ordre p. Ce dernier qualifie communément une suite aléatoire $(Y_{n})$ définie sur $\dN$ ou $\dZ$ et entièrement décrite par une combinaison linéaire de ses $p$ valeurs passées, perturbée par un bruit blanc $(\veps_{n})$. Tout au long de ce mémoire, nous traitons deux problématiques majeures de l'étude de tels processus : l'\textit{autocorrélation résiduelle} et la \textit{stationnarité}. Nous proposons en guise d'introduction un survol nécessaire des propriétés usuelles du processus autorégressif. Les deux chapitres suivants sont consacrés aux conséquences inférentielles induites par la présence d'une autorégression significative dans la perturbation $(\veps_{n})$ pour $p=1$ tout d'abord, puis pour une valeur quelconque de $p$, dans un cadre de stabilité. Ces résultats nous permettent d'apposer un regard nouveau et plus rigoureux sur certaines procédures statistiques bien connues sous la dénomination de \textit{test de Durbin-Watson} et de \textit{H-test}. Dans ce contexte de bruit autocorrélé, nous complétons cette étude par un ensemble de principes de déviations modérées liées à nos estimateurs. Nous abordons ensuite un équivalent en temps continu du processus autorégressif. Ce dernier est décrit par une équation différentielle stochastique et sa solution est plus connue sous le nom de \textit{processus d'Ornstein-Uhlenbeck}. Lorsque le processus d'Ornstein-Uhlenbeck est lui-même engendré par une diffusion similaire, cela nous permet de traiter la problématique de l'autocorrélation résiduelle dans le processus à temps continu. Nous inférons dès lors quelques propriétés statistiques de tels modèles, gardant pour objectif le parallèle avec le cas discret étudié dans les chapitres précédents. Enfin, le dernier chapitre est entièrement dévolu à la problématique de la stationnarité. Nous nous plaçons dans le cadre très général où le processus autorégressif possède une tendance polynomiale d'ordre $r$ tout en étant engendré par une marche aléatoire intégrée d'ordre $d$. Les résultats de convergence que nous obtenons dans un contexte d'instabilité généralisent le \textit{test de Leybourne et McCabe} et certains aspects du \textit{test KPSS}. De nombreux graphes obtenus en simulations viennent conforter les résultats que nous établissons tout au long de notre étude.

Cette thèse s'inscrit dans le domaine des probabilités et des statistiques, et plus précisément des matrices aléatoires. Dans la première partie, on étudie les grandes déviations de la mesure spectrale de matrices de covariance $XX^*$, où $X$ est une matrice aléatoire rectangulaire à coefficients i.i.d. ayant une queue de probabilité en $exp(-at^{alpha})$, $alpha in ]0,2[$. On établit un principe de grandes déviations analogue à celui de Bordenave et Caputo, de vitesse $n^{1+alpha/2}$ et de fonction de taux explicite faisant intervenir la convolution libre rectangulaire. La démonstration repose sur un résultat de quantification de la liberté asymptotique dans le modèle information-plus-bruit. La seconde partie de cette thèse est consacrée à l'étude du comportement en temps long de la solution de l'équation de Fokker-Planck libre en présence du potentiel quartique $V(x) = frac14 x^4 + frac{c}{2} x^2$ avec $c ge -2$. On montre que quand $t to +infty$, la solution $mu_t$ de cette équation aux dérivées partielles converge en distance de Wasserstein vers la mesure d'équilibre associée au potentiel $V$. Ce résultat fournit un premier exemple de convergence en temps long de la solution de l'équation des milieux granulaires en présence d'un potentiel non convexe et d'une interaction logarithmique. Sa démonstration utilise notamment des techniques de probabilités libres. / This thesis lies within the field of probability and statistics, and more precisely of random matrix theory. In the first part, we study the large deviations of the spectral measure of covariance matrices XX*, where X is a rectangular random matrix with i.i.d. coefficients having a probability tail like $exp(-at^{alpha})$, $alpha in (0,2)$. We establish a large deviation principle similar to Bordenave and Caputo's one, with speed $n^{1+alpha/2}$ and explicit rate function involving rectangular free convolution. The proof relies on a quantification result of asymptotic freeness in the information-plus-noise model. The second part of this thesis is devoted to the study of the long-time behaviour of the solution to free Fokker-Planck equation in the setting of the quartic potential $V(x) = frac14 x^4 + frac{c}{2} x^2$ with $c ge -2$. We prove that when $t to +infty$, the solution $mu_t$ to this partial differential equation converge in Wasserstein distance towards the equilibrium measure associated to the potential $V$. This result provides a first example of long-time convergence for the solution of granular media equation with a non-convex potential and a logarithmic interaction. Its proof involves in particular free probability techniques.