Cette thèse aborde l'étude de phénomènes physiques fondamentaux, avec des applications aux matériaux d'intérêt nucléaire. Nous avons développé des méthodes pour l'étude d'évènements rares concernant des transitions structurales thermiquement activées dans des systèmes à N-corps. La première méthode consiste en la simulation numérique du courant de probabilité associé aux chemins réactifs. Après avoir dérivé les équations d'évolution du courant de probabilité, on échantillonne ce courant grâce à un algorithme de type Monte Carlo Diffusif. Cette technique, dénommée Transition Current Sampling, a été appliquée pour étudier les transitions structurales d'un agrégat de 38 atomes liés par un potentiel Lennard-Jones (LJ-38). Un deuxième algorithme, dénommée Transition Path Sampling avec bias de Lyapunov local (LyTPS), a ensuite été développé. LyTPS permet de calculer des taux de réaction à température finie en suivant la théorie des états de transition. Un biais statistique dérivant du maximum des exposantes de Lyapunov locaux est introduit pour accélérer l'échantillonnage de trajectoires réactives. Afin d'extraire la valeur des constantes de réaction d'équilibre depuis celle obtenues par LyTPS, on utilise le Multistate Bennett Acceptance Ratio. Nous avons à nouveau validé cette méthode sur l'agrégat LJ-38. LyTPS est ensuite utilisé pour calculer les constantes de migration des lacunes et di-lacunes dans le Fer-α, ainsi que l'entropie de migration associée. Ces constantes de réaction servent de paramètre d'input dans des codes de modélisation cinétique (First Passage Kinetic Monte Carlo) pour reproduire numériquement des recuits de résistivité de Fer-α après irradiation.

Dans le contexte actuel d'expansion rapide de l'Internet, la compréhension profonde des propriétés statistiques du trafic réseau est essentielle pour que les fournisseurs d'accès puisse offrir la meilleure "Qualité de Service" possible aux utilisateurs. Une avancée majeure dans cette direction a été la découverte en 1993 de l'auto-similarité du trafic, suivie en 1997 par le modèle ON/OFF qui interprète cette propriété par les tailles de fichiers à queue lourde. Bien qu'ils soient d'un grand intérêt, de tels modèles mathématiques s'appuient nécessairement sur des hypothèses simplificatrices qui peuvent en limiter l'applicabilité en situation réelle, en particulier du fait de la complexité du protocole TCP. Dans cette thèse, nous utilisons une approche hybride, basée sur la combinaison de traces de trafic réelles, d'expériences contrôlées et de modèles théoriques, pour aborder certaines questions ouvertes sur le trafic réseau et la Qualité de Service. Nos expériences utilisent une plate-forme contrôlable à grande échelle et un système performant de capture du trafic. Nous abordons dans un premier temps des questions liées au trafic agrégé : nous étendons les modèles existants de longue mémoire et nous proposons un estimateur du paramètre de queue lourde sous échantillonnage. Nous étudions ensuite empiriquement l'impact de la longue mémoire et des queues lourdes sur la Qualité de Service. Nous nous tournons enfin vers le trafic d'une seule source TCP et montrons, à l'aide d'un principe de grandes déviations, qu'il peut être finement caractérisé par une structure multifractale reliée au mécanisme de contrôle AIMD, et naturellement reproduite par des modèles markoviens.

Dans cette thèse nous étudions l'asymptotique de petits bruits pour des perturbations aléatoires d'équations de Schrödinger non linéaires. Les bruits sont Gaussiens, la plupart du temps blancs en temps et toujours colorés en espace, additifs ou multiplicatifs. Un évènement de grandes déviations est un évènement où le système diffère significativement du système déterministe. Lorsque le bruit tend vers zéro, la probabilité d'un tel évènement rare tend vers zéro sur une échelle logarithmique avec pour vitesse l'amplitude du bruit. Nous prouvons des principes de grandes d´eviations trajectoriels. Dans ce cas le facteur multiplicatif de la vitesse, le taux, est relié à un problème de contrôle optimal. Les résultats sont appliqués aux temps d'explosion. Nous étudions ensuite l'asymptotique de petits bruits des queues de la masse et de la position du signal dans une "limite bruit blanc". Les fluctuations de ces quantités sont les causes principales d'erreur de transmission par solitons dans les fibres optiques. Nous considérons également le problème des temps moyens et des points de sortie d'un voisinage de zéro pour des équations faiblement amorties. Enfin, nous présentons un principe de grandes déviations et un théorème de support pour des bruits Gaussiens fractionnaires additifs.

On étudie quelques aspects de certaines diffusions matricielles pour lesquelles on utilise des outils d'analyse harmonique pour répondre à des questions de nature probabiliste : on commence par le processus de Laguerre, puis on s'intéresse au processus de Dunkl radial qui généralise le processus des valeurs propres de ces diffusions. On regarde ensuite le processus de Jacobi dans le cas où la taille de la matrice tend vers l'infini, ceci nous plonge dans le monde des probabilités libres. Le dernier chapitre est consacré à la résolution d'un problème de grandes déviations pour des statistiques de processus de Jacobi univariés.

La complexité croissante des puces microélectroniques pose de très importants problèmes de test, avec des coûts en forte augmentation dus principalement à l'utilisation d'équipements de test très sophistiqués et à des temps de test trop long. Ceci est particulièrement vrai dans le cas des puces mixtes, intégrant simultanément des parties numériques ainsi que des parties analogiques, mixtes ou RF. De nombreuses recherches sont en cours dans le domaine du test de circuits mixtes. Ces recherches concernent des techniques permettant l'optimisation du test lors de la production ou lors de l'utilisation des puces dans leur application finale (test en ligne ou hors ligne). Certaines de ces techniques permettent d'ajouter des circuits additionnels dans la puce pour faciliter le test (conception en vue du test) et même réaliser un auto-test. Cependant, elles doivent être évaluées lors de la conception afin d'estimer la qualité des tests proposés et évaluer les avantages économiques obtenus. Ceci nécessite l'utilisation d'outils de CAO orientés au test (CAT) qui se font rares et généralement non commercialisés en raison de leur nature académique, ce qui limite leur application, ainsi, leur utilisation. Dans le cadre de cette thèse, nous avons développé une plateforme de CAT permettant de valider les techniques de test analogique, incluant des outils de modélisation, d'injection et de simulation de fautes ainsi que des outils de génération et d'optimisation de vecteurs de test analogiques. Une nouvelle méthode statistique a été proposée afin d'évaluer la qualité d'une technique de test lors de la phase design. Cette technique permet de fixer les limites des critères de test considérés. Ensuite, les différentes métriques de test (telles que la Couverture de fautes, le Taux de défauts ou la Perte de Rendement) sont évaluées sous la présence de fautes paramétriques ou catastrophiques. Des tests spécifiques à la détection de fautes peuvent être ajoutés pour augmenter la Couverture de fautes. Cette plateforme de CAT est intégrée dans l'environnement de conception microélectronique Cadence.

Cette thèse porte sur un système dissipatif modèle, les gaz granulaires. Au moyen de méthodes issues de la théorie cinétique et des processus stochastiques, nous avons cherché à déterminer les propriétés statistiques d'observables globales, mimant ainsi la démarche qui prévaut l'équilibre. Parmi celles-ci, l'énergie qu'il faut fournir au gaz granulaire pour le maintenir dans un état stationnaire joue un rôle central. Elle est d'intérêt expérimental, mais elle est aussi pertinente comme mesure de la distance à l'équilibre, et c'est à ce titre qu'elle est récemment intervenue dans le contexte des relations de fluctuation. Nous avons complètement caractérisé la distribution de cette énergie injectée dans le système. Nous avons montré qu'elle ne pouvait être invoquée dans les relations de fluctuation, mais aussi que la distribution de cette grandeur macroscopique permettait d'obtenir des informations sur la dynamique microscopique. Plusieurs questions se sont développées autour de ce travail, dont la pertinence de la notion d'entropie dans un système dissipatif ou les limitations intrinsèques des relations de fluctuations.

On s'intéresse dans cette thèse au comportement ergodique de certains systèmes dynamiques.<br /><br />Dans la première partie, on établit une inégalité de Sobolev logarithmique pour la loi d'un mouvement Brownien avec dérive, et plus généralement de certaines diffusions elliptiques, sur l'espace des trajectoires riemanniennes muni d'une métrique L2. <br />Ce résultat implique des propriétés de concentration intéressantes pour le comportement en temps grands de moyennes d'observables le long de la trajectoire.<br /><br />Dans la seconde partie, on prouve un principe de grandes déviations pour la mesure empirique des équations de Burgers et de Navier-Stokes stochastiques. <br />Ce principe décrit la convergence exponentielle vers la mesure d'équilibre du système, dont l'unicité est assurée par les conditions de non dégénérescence imposées sur la perturbation aléatoire.

Cette thèse porte sur divers aspects de lois et de processus non-gaussiens qui partagent des propriétés de changement d'échelle où intervient l'exposant 2/3. Les deux principaux objets probabilistes que nous allons présenter sont : 1) La loi de Tracy-Widom : C'est la loi limite de la plus grande valeur propre de matrices aléatoires appartenant aux beta-ensembles lorsque leur dimension tend vers l'infini. Dans un travail en commun avec Balint Virag, nous avons établi le comportement asymptotique de la queue droite de cette loi pour tout beta strictement positif, en utilisant des outils d'analyse de diffusions du type Girsanov. 2) Le ''vrai'' processus auto-répulsif (''true self repelling motion'') TSRM : C'est un processus auto-interagissant qui a été introduit par Balint Toth et Wendelin Werner. Nous nous sommes intéressés à des propriétés de cet objet liées à ses trajectoires (grandes déviations, lois du logarithme itéré) et à des calculs explicites de lois marginales (travail en collaboration avec Balint Toth). Cette étude nous a aussi amenés à aborder des questions liées à la théorie des jeux.

Dans cette thèse nous étudions le phénomène d'effondrement de différents modèles d'homopolymères. Nous étudions une marche aléatoire partiellement dirigée en dimension 1+1, auto-évitante et en auto-interaction, connue sous l'acronyme anglais IPDSAW. Il est établi que le modèle IPDSAW a une transition de phase d'effondrement en un paramètre critique $\beta_c$. Pour étudier la fonction de partition de ce modèle, nous développons une nouvelle méthode qui nous permet d'en déduire une formule variationnelle pour son énergie libre. Cette formule variationnelle peut être utilisée pour prouver l'existence de la transition d'effondrement et pour identifier simplement le point critique. Nous donnons une asymptotique précise de l'énergie libre au voisinage du point critique. Ensuite, nous établissons plusieurs propriétés trajectorielles de notre marche aléatoire à l'intérieur de la phase effondrée ($\beta>\beta_c$). Finalement, nous étudions le modèle IPDSAW soumis à une force extérieure. Nous montrons comment détecter la présence d'un phénomène de ré-entrance sans toutefois résoudre intégralement le modèle.

Cette thèse est consacrée à l’étude de systèmes de particules modélisant des particules chargées en interaction, ou les valeurs propres de matrices aléatoires. On s’intéresse aux gaz de particules avec interaction logarithmique en dimension 1 et 2, et aux interactions de Coulomb/Riesz en dimension générale. On étudie leur comportement microscopique à travers un principe de grandes déviations satisfait par la loi des champs empiriques et gouverné par une fonctionnelle d’énergie libre qui met en évidence la dépendance en la température. Parmi les minimiseurs de cette énergie libre, on compte les processus ponctuels Sine-beta définis dans le contexte des matrices aléatoires. On démontre la convergence vers un processus de Poisson à haute température et, en dimension 1, on prouve la cristallisation du système dans la limite de basse température. Dans le cas des interactions logarithmiques en dimension 2, on montre une loi locale qui contrôle les fluctuations à toute échelle mésoscopique. On traite aussi le cas du gaz de Coulomb 2D avec des charges de signes opposés. / This thesis is devoted to the study of statistical physics systems which can represent charged interacting particles or eigenvalues of random matrices. We are interested in particle gases with logarithmic interaction in dimension 1 and 2 and with Coulomb/Riesz interactions in general dimension. We study the microscopic behavior by establishing a large deviation principle for the law of the empirical fields, governed by a free energy functional in which the temperature dependence appears. Minimizers of this free energy include the Sine-beta point processes defined in random matrix theory. We show the convergence to a Poisson point process at high temperature and in dimension 1 we prove crystallization in the zero temperature limit. For two-dimensional log-gases we establish a local law which bounds the fluctuations at any mesoscopic scale. We also treat the case of a 2D Coulomb gas with charges of opposite sign.