Det här är en kvalitativ fallstudie av hur en lärare undervisar om derivata i en klass på det naturvetenskapliga programmet och en på teknikprogrammet. Studiens syfte är att undersöka vilka mål, rutiner och vilken matematisk kunskap för undervisning som används. Uppsatsens teoretiska ramverk består av Schoenfeld´s teori om målorienterade handlingar och teorier om matematisk kunskap för undervisning. En lärare observerades under fem lektioner och blev intervjuad tre gånger. Resultatet visar att läraren har flera olika specialiserade matematiska innehållskunskaper när han undervisar. Läraren verkar också ändra sitt fokus utifrån hur eleverna förstår en uppgift till en mer generell förklaring av uppgiften när han behöver förklara samma matematiska uppgift flera gånger under samma lektion. Schoenfeld´s ramverk och teorin om matematisk kunskap för undervisning var ett bra val för studien ur en metodologisk synvinkel. Studiens resultat indikerar dock att det behövs en komplettering av Schoenfeld´s ramverk av att fixerat och flexibelt mål är en viktig del av lärarens agerande.

<p>Målet med föreliggande arbete var att undersöka följande två frågor:</p><p>1. Vilka svårigheter har elever ofta med derivata?</p><p>2. Vilka teorier är centrala för den matematikdidaktiska forskningen om dessa svårigheter?</p><p>Metoden som använts kallas "meta-syntes" och är en typ av forskningsöversikt som förutom att sammanställa resultat även transformerar, analyserar och renodlar dem. För att svara på den första forskningsfrågan gjordes ett stort urval av artiklar. Dessa gicks igenom, varefter sex av dem utvaldes att representera de svårigheter vi ansåg vara de vanligaste på grundval av det ursprungliga urvalet. Valet av teorier som skulle utgöra svaret på vår andra fråga baserades på såväl kvalitativa som kvantitativa kriterier. Det kvalitativa kriteriet bestod i att teorierna skulle utgöra centrala beståndsdelar i renonerandet kring de svårigheter som fråga ett gällde. För det kvantitativa kriteriet låg antal referenser till grund. Om en artikel med en speciell teori som huvudtema refererades till oftare än en annan med en annan teori som huvudsakligt tema, så ansågs den förra som mer central.</p><p>Resultatet vad gäller vanliga svårigheter med derivata sammanfattades i fyra kategorier: förkunskaper, språk, tolkning av grafer och representationspreferens. Vårt svar på fråga två utgörs av två teorier: Tall & Vinners teori om begreppsbilder och begreppsdefinitioner och Sfards teori om operationell och strukturell förståelse. Teorierna förklaras och exempel ges på hur dessa teorier kan användas för att resonera kring elevers svårigheter med derivata.</p><p>Nyckelord: matematikdidaktik, derivata, gymnasiet.</p>

<p>Denna uppsats presenterar en undersökning om gymnasieelevers kunskaper i derivata. Undersökningen syftar till att jämföra både elevernas teoretiska förståelse samt deras praktiska kunskaper med de krav som anges av kursplaner, läroböcker samt rådande undervisningspraxis. Undersökningen syftar också till att utreda om det råder något samband mellan elevernas teoretiska förståelse av derivata och deras praktiska kunskaper på området.</p><p>Undersökningen är bedriven i provform där eleverna under två tillfällen besvarar två olika prov, ett av teoretisk karaktär samt ett av praktiskt beräknande karaktär. Proven är gjorda så att de representerar de rådande kursplanernas krav på godkänd nivå. Det teoretiska provet är upplagt så att eleverna språkligt ska förklara en rad grundläggande teorier och användningsområden inom derivata. Det praktiska provet består av räkneuppgifter av samma karaktär som eleverna är vana vid från lokala samt nationella prov. Undersökningsgruppen består av 22 stycken elever som går det tekniska programmet i årskurs tre.</p><p>Resultaten visar att det i undersökningsgruppen råder ett samband mellan teoretisk förståelse och praktisk kunskap. Detta samband är beräknat mellan de olika provdelarnas resultat och är statistiskt säkerställt. Frågan om eleverna kan sägas ha visat tillräckliga kunskaper för att enligt kursplanen anses vara godkända är behandlad i diskussionsform och presenteras i slutet av rapporten. Där återfinns även en diskussion om undersökningens brister och generaliserbarhet.</p>

Målet med föreliggande arbete var att undersöka följande två frågor: 1. Vilka svårigheter har elever ofta med derivata? 2. Vilka teorier är centrala för den matematikdidaktiska forskningen om dessa svårigheter? Metoden som använts kallas "meta-syntes" och är en typ av forskningsöversikt som förutom att sammanställa resultat även transformerar, analyserar och renodlar dem. För att svara på den första forskningsfrågan gjordes ett stort urval av artiklar. Dessa gicks igenom, varefter sex av dem utvaldes att representera de svårigheter vi ansåg vara de vanligaste på grundval av det ursprungliga urvalet. Valet av teorier som skulle utgöra svaret på vår andra fråga baserades på såväl kvalitativa som kvantitativa kriterier. Det kvalitativa kriteriet bestod i att teorierna skulle utgöra centrala beståndsdelar i renonerandet kring de svårigheter som fråga ett gällde. För det kvantitativa kriteriet låg antal referenser till grund. Om en artikel med en speciell teori som huvudtema refererades till oftare än en annan med en annan teori som huvudsakligt tema, så ansågs den förra som mer central. Resultatet vad gäller vanliga svårigheter med derivata sammanfattades i fyra kategorier: förkunskaper, språk, tolkning av grafer och representationspreferens. Vårt svar på fråga två utgörs av två teorier: Tall &amp; Vinners teori om begreppsbilder och begreppsdefinitioner och Sfards teori om operationell och strukturell förståelse. Teorierna förklaras och exempel ges på hur dessa teorier kan användas för att resonera kring elevers svårigheter med derivata. Nyckelord: matematikdidaktik, derivata, gymnasiet.

Denna uppsats presenterar en undersökning om gymnasieelevers kunskaper i derivata. Undersökningen syftar till att jämföra både elevernas teoretiska förståelse samt deras praktiska kunskaper med de krav som anges av kursplaner, läroböcker samt rådande undervisningspraxis. Undersökningen syftar också till att utreda om det råder något samband mellan elevernas teoretiska förståelse av derivata och deras praktiska kunskaper på området. Undersökningen är bedriven i provform där eleverna under två tillfällen besvarar två olika prov, ett av teoretisk karaktär samt ett av praktiskt beräknande karaktär. Proven är gjorda så att de representerar de rådande kursplanernas krav på godkänd nivå. Det teoretiska provet är upplagt så att eleverna språkligt ska förklara en rad grundläggande teorier och användningsområden inom derivata. Det praktiska provet består av räkneuppgifter av samma karaktär som eleverna är vana vid från lokala samt nationella prov. Undersökningsgruppen består av 22 stycken elever som går det tekniska programmet i årskurs tre. Resultaten visar att det i undersökningsgruppen råder ett samband mellan teoretisk förståelse och praktisk kunskap. Detta samband är beräknat mellan de olika provdelarnas resultat och är statistiskt säkerställt. Frågan om eleverna kan sägas ha visat tillräckliga kunskaper för att enligt kursplanen anses vara godkända är behandlad i diskussionsform och presenteras i slutet av rapporten. Där återfinns även en diskussion om undersökningens brister och generaliserbarhet.

Då derivata är ett viktigt begrepp inom avancerad matematik är det viktigt att eleverna på gymnasiet ges goda möjligheter att lära sig detta. Detta faktum, liksom att olika läroböcker ofta intar en central plats i den svenska matematikundervisningen, har lett fram till ämnesvalet för denna studie, vilken utgörs av en analys av hur derivata introduceras i tre olika läroböcker i matematik. Analysen har gjorts utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv, vilket innebär att man betraktar de egenskaper som är viktiga för förståelsen av ett begrepp och skapar variation kring dessa så kallade kritiska aspekter. Ett mål med studien var även att försöka utröna om det finns en överensstämmelse mellan vad som anses kritiskt för lärande av derivata i de tre böckerna, vilka dessa i så fall är och om det är någon skillnad i hur tydligt de olika läroböckerna lyckas presentera dessa aspekter. Resultatet visar att alla tre böckerna fokuserar på i stort sett samma aspekter, men att det finns skillnader i hur detta görs. Studien visar också att även då samma variationer återfinns i olika böcker kan tydligheten påverkas mycket beroende på hur variationerna presenteras.

Syftet med denna undersökning är att ta reda på hur lärare på gymnasiet motiverar sina elever i sin matematikundervisning gällande begreppet derivata och hur motiverade deras elever är och varför. En kvalitativ metod och observation har använts, där både lärare och elever har intervjuats. Sedan kommer även skillnader och likheter mellan lärarnas ambitioner och elevernas verkliga motivation redas ut. Något som visar sig vara viktigt både för lärare och elever för motivationen är att de har en god relation med varandra, vilket ger tillit och respekt till lärarna från elevernas sida. Slutligen visar det sig också att lärarna har någorlunda bra koll på vad som motiverar just deras elever, vid jämförelse av elevernas och lärarnas intervjusvar.

<p>Denna uppsats presenterar en undersökning av fallstudiekaraktär. Fallet är ett matematiklärarkollegium på en gymnasieskola i Sverige, vilket studeras med inriktning på hur lärarna i det lägger upp sin undervisning, och varför de gör som de gör. Utifrån kvalitativa intervjuer behandlar uppsatsen hur tre av matematiklärarna beskriver att de introducerar begreppet derivata och orsakerna till deras lektionsupplägg. Intervjuerna analyseras med hjälp av en antropologisk didaktikteori. </p><p>I uppsatsen redogörs för hur lärarna tänker sig sina undervisningsupplägg i sin helhet. Alla börjar emellertid avsnittet om derivata med en intuitiv beskrivning av detta begrepp. Denna beskrivning sker utifrån ett exempel om medelhastighet och momentanhastighet. Lärarna betonar den praktiska kunskapen, att kunna derivera, framför den teoretiska. </p><p>Angående de faktorer som styr de tre lärarna till den undervisning de har lyfter lärarna fram olika företeelser. Kursplanen, läroboken och elevinflytande är de faktorer som lärarna ser som de som påverkar dem mest. Lärarna menar även att de framförallt påverkas av det de låter sig styras av och de betonar sitt eget tänkande som orsak till uppläggen. Utifrån den antropologiska didaktikteorin observeras en styrande faktor som de intervjuade lärarna inte tar upp: Den akademiska matematiska kunskapen. Denna påverkar lärarna indirekt genom att den påverkar kursplanerna och upplägget på läroboken som lärarna använder. Även elevernas förkunskaper är något som styr lärarna mycket.</p>

Denna uppsats presenterar en undersökning av fallstudiekaraktär. Fallet är ett matematiklärarkollegium på en gymnasieskola i Sverige, vilket studeras med inriktning på hur lärarna i det lägger upp sin undervisning, och varför de gör som de gör. Utifrån kvalitativa intervjuer behandlar uppsatsen hur tre av matematiklärarna beskriver att de introducerar begreppet derivata och orsakerna till deras lektionsupplägg. Intervjuerna analyseras med hjälp av en antropologisk didaktikteori. I uppsatsen redogörs för hur lärarna tänker sig sina undervisningsupplägg i sin helhet. Alla börjar emellertid avsnittet om derivata med en intuitiv beskrivning av detta begrepp. Denna beskrivning sker utifrån ett exempel om medelhastighet och momentanhastighet. Lärarna betonar den praktiska kunskapen, att kunna derivera, framför den teoretiska. Angående de faktorer som styr de tre lärarna till den undervisning de har lyfter lärarna fram olika företeelser. Kursplanen, läroboken och elevinflytande är de faktorer som lärarna ser som de som påverkar dem mest. Lärarna menar även att de framförallt påverkas av det de låter sig styras av och de betonar sitt eget tänkande som orsak till uppläggen. Utifrån den antropologiska didaktikteorin observeras en styrande faktor som de intervjuade lärarna inte tar upp: Den akademiska matematiska kunskapen. Denna påverkar lärarna indirekt genom att den påverkar kursplanerna och upplägget på läroboken som lärarna använder. Även elevernas förkunskaper är något som styr lärarna mycket.

Detta är en studie av hur gymnasieelever uppfattar begreppet derivata. Studien inriktar sig på att undersöka vilken roll derivatans definition och derivatans grafiska representation har i elevernas förståelse och hur deras begreppsförståelse ser ut inom dessa två representationer. Data samlades in via två frågeformulär som besvarades av 17 elever. Dessa analyserades utifrån Tall och Vinners (1981) definition av begreppsbild samt med en modell av elevers förståelse av derivata som är framtagen av Zandieh (2000). Resultat och analys pekar på att den grafiska representationen har en framträdande roll i elevernas begreppsbild och de uppvisar även en större förståelse för denna representation. Derivatans definition antar främst rollen som en metod för att beräkna derivatan. Även om resultatet medför denna typ av generella slutsatser så visar analys av enskilda elevsvar även på stora individuella skillnader, både kring representationernas betydelse men också i vilken grad eleverna har tagit till sig begreppet. / This is a study of how high school students perceive the derivative concept. The role of the formal definition and the graphical representation in the student’s understanding will be in focus, and, also the conceptual understanding of these two representations. Data was collected from 17 students who answered two questionnaires. The analysis was based on the definition of concept image from Tall and Vinner (1981) and a framework of students’ understanding of derivative from Zandieh (2000). Result and analysis indicate that the graphical representation has a prominent role in the student’s concept image and there is also a higher understanding among this representation. The formal definition works more as a method for computing the derivative. Although it is possible to make this kind of general conclusions, analysis from individual student responses shows large individual differences, both among the importance of the representations but also to what extent the students capture the concept.