A inversa de Drazin é apresentada, sendo primeiramente estudada sobre anéis comutativos e após, esta noção é particularizada para o caso de matrizes quadradas definidas sobre o corpo dos complexos e sobre os anéis Zt. Também são vistas aplicações da inversa de Drazin em Equações Diferenciais e em Diferenciação Matriciais com coeficientes singulares e em Criptografia. / The inverse of Drazin is developed for rings and then restricl to the case of equare matrices over complex ficld and over finite fields or congruence rings. Applications to singular differe ntial and diference equation and cryptography are considered in this work .

Neste trabalho analisamos a Equação de Lienard. Posteriormente, apresentamos um estudo completo do retrato de fase da Equação de Van der Pol, mostrando que ela possui uma solução periódica e que toda solução não periódica tende para ela. Ao fim do trabalho apresentamos uma prova para sistemas de equações diferenciais mais gerais do que a de Lienard. / In this work we analysed the Lienard Equations. Later, we did a complete study of the phase portrait of the Van der Pol Equation, proving that it has a periodic solution and that every non periodic solution tends to this periodic solution. At the final of this \vork, we presented a proof to more general systems of differencial equations than Lienard.

Neste trabalho desenvolveu-se um modelo matemático para o escoamento reativo em meios porosos. O modelo foi verificado em duas situações problemas: escoamento com precipitação e/ou dissolução de minerais, onde a calcita é o principal mineral; e combustão em meio poroso. O modelo baseia-se em um conjunto de equações diferenciais não lineares constituído da equação da quantidade de movimento, equação da temperatura, equações das concentrações das espécies (minerais) e equações de frações de massa das espécies (combustão). O conjunto foi!! discretizado pelo método de diferenças finitas centrais com TVD (Total Variation Diminishing) para o caso da combustão. O sistema foi resolvido através dos métodos de Gauss-Seidel e de Runge-Kutta simplificado. Os testes realizados em ambos os casos mostraram-se satisfatórios quando comparados com dados da literatura. / This work develops a mathematical model for reactive flow in porous media. The model is verified in two problem situations: flow with precipitation and/or dissolution of minerals, where calcite is the principal mineral, and combustion in porous media. The model is based on a set of nonlinear diferential equations consisting of the quantity of momentum equation, temperature equation, equations of species concentrations (minerals) and equations of mass fractions of species (combustion) equation. The set is discretized by the central finite diference method with TVD (Total Variation Diminishing ) in the event of combustion. The system is solved by the Gauss-Seidel and the simplified Runge-Kutta. The tests performed in both cases were satisfactory when compared to data found in the literature.

Neste trabalho estamos interessados em estudar o conjunto das geodésicas que minimizam comprimento de arco entre dois pontos quaisquer. Estas são chamadas de geodésicas minimais. Mais precisamente, dada uma métrica riemanniana g sobre o wro bidimensional iremos considerar o seu levantamento ao plano JR2 . Uma geodésica c : R -7 JR2 é minimal se para todo intervalo [a, b], temos que c([a, b]) é a curva de menor comprimento ligando c(a) a c(b). Vamos considerar aqui um número de rotação a fixado e analisar o conjunto das geodésicas minimais que possuem este número de rotação. Analisaremos questões que envolvem a recorrência e o comportamento assintótico de geodésicas. Por exemplo, uma geodésica mínima recorrente com número de rotação racional será uma geodésica periódica. / In this work we are interested in studying the set of geodesiés that minimize the are length between any h,·o of its points. These are called minimizing geodesics. Wore precisely, given a riemaniann metric g on the two-dimensional torus we will consider its lifting to the plane R2 . A geodesic c: R -7 JR2 is minimal if for any interval [a, b], we have that c([ a, b]) is the curve of smaller Jength connecting c(a) and c(b). we will consider here a fixed rot.ation number a and we will show several results about the set of minimal geodesics with such rotation number. We will analyze questions like recurrence and the asymptotic beha,·ior of such geodesics. For example: a recurrent minimal geodesic with rational rotation number will be a closed geodesic.

O objetivo desta tese é introduzir o método dos elementos de contorno como uma nova técnica para resolver problemas da mecânica do contínuo. Por ser a primeira tese sobre o assunto, no curso de Pós-Graduação da UFRGS, não foram omitidos os princípios básicos do método e a tese se desenvolve sobre o as pacto teórico em todos os capítulos. Os exemplos apresentados são acadêmicos e os resultados foram obtidos com a implementação de diferentes programas para cada capítulo. O método dos elementos de contorno e aplicado a problemas de potencial em reg1oes bidimensionais. São analisados os casos das equaç6es de Laplace, Poisson, circulação estacionária e fluxo transiente de calor. Para as equações de Laplace e Poisson são analisados os elementos constante, linear, quadrático e quadrático isoparamétrico. No caso de circulação estacionária, são analisados dois métodos para a resolução do mesmo problema e são utilizados os elementos constante e linear. Para o fluxo transiente de calor somente o elemento linear é analisado, sendo que são desenvolvidos também dois métodos para a resolução do mesmo problema. Para todos os casos acima é utilizado o "Método Direto" para o desenvolvimento das equações de cantor no. A partir da equação governante e das condições de contorno, aplica-se um método dos resíduos ponderados e integra-se por partes até obter-se uma equação que envolva integrais somente sobre o contorno. / The objective of this thesis is to introduce the ·method of boundary elements, a new technique to solve problems in continuum mechanics. Being the Civil Engineering Post course of UFRGS first thesis on this subject, Graduation the basic principles of the method were not excluded, and theoretical aspect of the work are developed in each chapter. Academic examples are presented, whose results were obtained by the implementation of different computer programs for each chapter. The method of boundary elernents is applied to potential problems in two dimensional regions. The equations analysed are those of Laplace, Poisson, steady state circulation and transient heat transfer. For the Laplace and Poisson equations constant, linear, quadratic and quadratic isoparametric elements were used. fu the case of steady state circulation two different schemes are developed using constant and linear elernents.For transient heat transfer problems two solution rnethods are also developed using the linear element only. In all cases the "Direct Method" is used for the developrnent of the boundary equations. Starting frorn the governing equations and the boundary conditions a weighted residual rnethod ~ applied. Using integration by parts a set of equations are obtained wich involve integrals along the boundary only.

O trabalho consiste em duas partes distintas. Na primeira, analisamos o comportamento assintótico de um modelo geral de equação de advecção-difusão não linear utilizando um novo método que combina estimativas de energia com uma análise apurada das oscilações da solução do problema. Na segunda, temos um resultado que responde a uma pergunta da teoria de Análise Harmônica Multilinear: dada uma família de operadores integrais multilineares podemos gerar medidas de Carleson a partir da ação desses operadores sobre funções em BM O? A resposta em geral é negativa, mas impondo uma condição de cancelamento suficientemente forte o resultado é verdadeiro. Como uma aplicação desse resultado provamos um teorema T (b) quadrático associado a operadores integrais multilineares com núcleo não convolutivo. / This work is concerned with two different results. The first one consists in analyzing the long time behavior of a general model of nonlinear advection difusion equation by a novel method that combines energy estimates with a careful analysis of the oscillation of the solution. The second one answers a question on multilinear Harmonic Analysis: given a family of multilinear integral operators, is it possible to generate Carleson measures from these operators when they are acting on BM O functions? We have found that, in general, the answer is no, but when a strong cancellation condition is verified the answer is yes. As an application of this result we have a quadratic T (b) theorem for square functions associated to multilinear integral operators of non-convolution type.

Estudamos a estabilidade de equações diferenças usando o Método Direto de Lyapunov e estendemos os resultados através do Princípio de Invariância de La Salle. Apresentamos generalizações e ilustrações de aplicação destes resultados. / We study the stability of difference equations by using Lyapunov's Direct Method and we extend the results through La Salle's Invariance Principie. Generalizations and representative examples of the application of these results are given.

Este trabalho tem por objetivo estudar a regularidade de soluções de Equações Diferenciais Parciais Elípticas da forma Lu = f, para f 2 Lp(­), onde p > 1. Para isto, usamos a Decomposição de Calderon-Zygmund e um resultado que é consequência deste, o Teorema da Interpolação de Marcinkiewicz. Além disso, usando quocientes-diferença provamos a regularidade das soluções para o caso p = 2 e L = ¡¢ de uma forma alternativa.

Submitted by Rafael Santana (rafael.silvasantana@ufpe.br) on 2018-01-30T19:06:26Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) tese Rodrigo.pdf: 804512 bytes, checksum: e2eb63d64e0fc9e621c117fa245490c3 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-01-30T19:06:26Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) tese Rodrigo.pdf: 804512 bytes, checksum: e2eb63d64e0fc9e621c117fa245490c3 (MD5) Previous issue date: 2016-02-24 / CAPES / Singular elliptic problems has been extensively studied and it has attracted the attention of many research in various contexts and applications. The purpose of this thesis is to study singular elliptic problems in riemannian manifolds. We investigate a semilinear elliptic problem involving singular nonlinearities and advection and we prove the existence of a parameter λ∗ > 0 such that for λ ∈ (0, λ∗) there exists a minimal classical solution which is semi-stable and for λ > λ∗ there are no solutions of any kind. Futhermore we obtain Lp estimates for minimal solutions uniformly in λ and determine the critical dimension for this class of problems. As an application, we prove that the extremal solution is classical whenever the dimension of the riemannian manifold is below the critical dimension. We analyse the branch of minimal solutions and we prove multiplicity of solutions close to extremal parameter. We also prove symmetry and monotonicity properties for the class of semi-stable solutions and we obtain L∞ estimates for the extremal solution. Moreover, we study a class of problems involving the p−Laplace Beltrami operator in a geodesic ball of a riemannian model and we establish L∞ and W 1,p estimates for semi-stable, radially symmetric and decreasing solutions. As an application we prove regularity results for extremal solution of a quasilinear elliptic problem with Dirichlet boundary conditions. In the last chapter we study an elliptic system and we prove the existence of a curve which splits the positive quadrant of the plane into two disjoint sets, where there is classical solution while in the other there is no solution. We establish upper and lower estimates for the critical curve and regularity results for solutions on this curve. / Problemas elípticos singulares têm sido extensivamente estudados nas últimas décadas. Nesta tese, abordamos classes de problemas não lineares modelados em variedades riemannianas. Investigamos inicialmente um problema elíptico semilinear envolvendo não linearidades singulares e advecção e provamos resultados de existência do parâmetro extremal λ∗ > 0 tal que para λ ∈ (0, λ∗) existe uma solução minimal clássica a qual é semiestável e para λ > λ∗ não existem soluções de nenhum tipo. Além disso, obtivemos estimativas Lp para as soluções minimais que são uniformes em λ e determinamos as dimensões críticas para esta classe de problemas. Como uma aplicação, provamos a regularidade da solução extremal quando a dimensão da variedade riemanniana está abaixo da dimensão crítica. Analisamos o ramo das soluções minimais e provamos multiplicidade de soluções próximo do λ∗. Provamos também simetria e monotonicidade para a classe das soluções semiestáveis e provamos estimativas L∞ para a solução extremal. Estudamos também uma classe de equações envolvendo o operador p−Laplace Beltrami em uma bola geodésica de uma variedade Riemanniana modelo e estabelecemos estimativas L∞ e W 1,p para soluções semiestáveis, radialmente simétricas e decrescentes. Como aplicação, provamos resultados de regularidade para soluções extremais para um problema quasilinear com condição de fronteira de Dirichlet. No último capítulo, estudamos um sistema elíptico e provamos a existência de uma curva que divide o primeiro quadrante do plano em dois conjuntos disjuntos, um dos quais existe solução clássica enquanto que no outro não existe solução. Estabelecemos estimativas superiores e inferiores para tal curva e resultados de regularidade para soluções sobre a curva.

Submitted by Fernanda Rodrigues de Lima (fernanda.rlima@ufpe.br) on 2018-07-26T21:56:40Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) TESE Eudes Mendes Barboza.pdf: 6171607 bytes, checksum: 74a89b570c111f3b75e648044f5d5a80 (MD5) / Approved for entry into archive by Alice Araujo (alice.caraujo@ufpe.br) on 2018-08-06T17:23:23Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) TESE Eudes Mendes Barboza.pdf: 6171607 bytes, checksum: 74a89b570c111f3b75e648044f5d5a80 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-08-06T17:23:24Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) TESE Eudes Mendes Barboza.pdf: 6171607 bytes, checksum: 74a89b570c111f3b75e648044f5d5a80 (MD5) Previous issue date: 2017-05-30 / CNPq / In this work, using variational methods we have investigated the existence of solutions for some Hénon type equations, which are characterized by the presence of the weight lxlᵅ in the nonlinearity with α > 0. When we are working in the radial context, this characteristic modifies the critical growth of the nonlinearities in some senses. This fact allows us to study some well-known problems under new perspectives. For this purpose, we have considered three different classes of problems with critical nonlinearity which presents the weight of Hénon. Firstly, we have studied the class of problem with a Trudinger- Moser nonlinearity in critical range in R². In the subcritical case, there was no diference if we have looked for weak solutions in H¹₀ (B₁) or in H¹₀,rad(B₁). Nevertheless, in the critical case we have needed to adapt some hypotheses when we have changed the space where we were seeking the solutions. For the second problem, we have kept working with exponential nonlinearity in R², but we were treating an Ambrosseti-Prodi problem for which we have searched two weak solutions. In the subcritical case, analogously to first problem, the radially symmetric solutions were obtained as the solutions in H¹₀ (B₁), what have not happened in the critical case. Thus, again some assumptions have had to depend on the context where we were searching for the solutions. Lastly, we have studied a natural version of the second problem with the nonlinearity involving critical Sobolev growth in Rᴺ (N ≥ 3). In this last problem, we have searched the existence of solutions only in the radial critical case because the others cases were almost identical to problems with nonlinearities without the weight of Hénon. / Neste trabalho, utilizando métodos variacionais investigamos a existência de soluções para algumas equações do tipo Hénon, que são caracterizadas pela presença do peso lxlᵅ na não-linearidade com α> 0. Quando estamos trabalhando no contexto radial, essa característica modifica o crescimento critico das não-linearidades em alguns sentidos. Este fato nos permite estudar problemas bem conhecidos sob novas perspectivas. Com este propósito, consideramos três classes diferentes de problemas com uma não-linearidade que apresenta o peso de Hénon. Em primeiro lugar, estudamos a classe de problema envolvendo uma não-linearidade do tipo Trudinger-Moser com imagem critica em R². No caso subcrítico, não houve diferença se procuramos soluções fracas em H¹₀ (B₁) ou em H¹₀,rad(B₁). No entanto, no caso crítico, precisamos adaptar algumas hipóteses quando mudamos o espaço onde buscávamos as soluções. Para o segundo problema, continuamos trabalhando com uma não-linearidade exponencial em R², mas desta vez tratando de um problema do tipo Ambrosseti-Prodi para o qual buscamos duas soluções fracas. No caso subcrítico, analogamente ao primeiro problema, as soluções radialmente simétricas foram obtidas do mesmo modo das soluções em H¹₀ (B₁), o que não aconteceu no caso crítico. Assim, algumas hipótese novamente tiveram que depender do contexto em que buscávamos as soluções. Por fim, estudamos uma versão natural do segundo problema com a não-linearidade envolvendo o crescimento crítico do tipo Sobolev em Rᴺ (N ≥ 3). Neste ultimo problema, pesquisamos a existência apenas de soluções radiais no caso crítico porque os outros casos eram quase idênticos a problemas com não-linearidades sem o peso de Hénon.