Le fonctionnement d'un neurone, cellule fondamentale du système nerveux, intéresse de nombreuses disciplines scientifiques. Il existe ainsi des modèles mathématiques qui décrivent leur comportement par des systèmes d'EDO. Plusieurs de ces modèles peuvent ensuite être couplés afin de pouvoir étudier le comportement de réseaux, systèmes complexes au sein desquels émergent des propriétés. Ce travail présente, dans un premier temps, les principaux mécanismes régissant ce fonctionnement afin d'en comprendre la modélisation. Plusieurs modèles sont alors présentés, jusqu'à celui de Hindmarsh-Rose (1984), qui présente une dynamique lente-rapide. C'est sur l'étude numérique mais également théorique de la dynamique asymptotique et transitoire de ce dernier modèle, que se concentre la seconde partie de cette thèse. Dans une troisième partie, des réseaux d'interactions sont construits en couplant les systèmes dynamiques précédemment étudiés. L'étude du phénomène de synchronisation complète au sein de ces réseaux montre l'existence de propriétés émergentes pouvant être caractérisées par des lois de puissance. Enfin, un algorithme de détection de la synchronisation de bursts est proposé.

L'enjeu de la présente thèse est de proposer de nouvelles méthodes d'analyse des données d'imagerie cérébrale acquises en Imagerie par Résonance Magnétique fonctionnelle (IRMf). Elle s'est concentrée en particulier sur la compréhension des signaux temporels mesurés en IRMf et leur lien avec l'activité cérébrale. En effet, les variations du signal que l'on observe en IRMf sont dues à des changements de l'afflux du sang dans le cerveau et de l'oxygénation de ce sang. Ces changements sont liés à l'activité des neurones, et l'on nomme ce phénomène la réponse hémodynamique. Cette réponse hémodynamique fait l'objet d'un important effort de modélisation, de manière à mieux pouvoir interpréter les données d'IRMf. Et cette thèse contient des travaux liés à la fois à la modélisation pour elle-même, avec l'étude de certains détails des modèles hémodynamiques, et à la fois à l'utilisation de ces modèles pour l'analyse des données, avec en particulier l'analyse des données IRMf et la fusion entre des données d'IRMf et d'Electroencéphalographie (EEG). Ainsi, la première partie de la thèse est consacrée à l'utilisation de modèles hémodynamiques en IRMf. En effet, aujourd'hui, les méthodes standard d'analyse de données d'IRM fonctionnelle utilisent le Modèle Général Linéaire (GLM), qui suppose une relation linéaire entre l'activité des neurones, la réponse hémodynamique et les mesures IRMf. Nous montrons qu'il est aussi possible d'utiliser des modèles plus plausible du point de vue biologique, et éventuellement non-linéaires pour analyser les données. A la place de la régression linéaire utilisée habituellement, nous proposons une identification de modèle basées sur une minimisation d'énergie, et nous proposons d'adapter les tests de Fisher utilisés habituellement dans le cadre du GLM pour pouvoir réaliser dans le nouveau cadre la détection d'activations, le test d'hypothèses cognitives, ainsi que des comparaisons entre différents modèles. La seconde partie quant à elle est expérimentale: nous avons étudié les équations de différents modèles hémodynamiques grâce à des expérience d'Imagerie Optique chez le singe éveillé, dans le cadre d'une collaboration avec Ivo Vanzetta dans l'équipe "Dynamique de la perception visuelle et de l'action'' au CNRS Marseille. Nous nous sommes intéressés en particulier à la dynamique du flux sanguin, qui est de première importance car elle fait le lien entre les activités électriques et métaboliques et les changements du volume et de l'oxygénation du sang. Nous avons mis en évidence des aspects de la réponse hémodynamique qui ne sont pas prévus par les modèles actuels, tels qu'une non-linéarité de cette réponse du flux par rapport à l'intensité de la réponse électrique. Par ailleurs, dans le cadre de la même collaboration, nous avons conçu une méthode pour estimer la vitesse des globules rouges dans les vaisseaux sanguins filmés en Imagerie Optique, qui constitue une nouvelle technique de mesure de ce flux sanguin. Enfin, dans la troisième partie, nous avons étendu les méthodes présentées dans la première partie à l'analyse de données de modalités multiple, et en particulier, proposons une méthode pour estimer l'activité cérébrale à partir d'enregistrement simultanés en IRMf et en EEG. Cette méthode est validée sur des données synthétiques. Le présent synopsis résume les points importants de ces travaux: les objectifs, les méthodes, les conclusions et conséquences pour chaque chapitre. Nous avons également tenté d'en présenter une critique objective, en mentionnant à la fois ce qui constitue des contributions originales et les faiblesses restantes. Nous espérons que ce résumé permettra au lecteur de se repérer rapidement dans cette thèse, et de bien comprendre les relations entre ses différentes composantes.

La thèse traite de l'utilisation des systèmes hybrides dans le contexte particulier des communications sécurisées et de la cryptographie. Ce travail est motivé par les faits suivants. L'essor considérable des communications qui a marqué ces dernières décennies nécessite des besoins croissants en terme de sécurité des échanges et de protection de l'information. Dans ce contexte, la cryptographie joue un rôle central puisque les informations transitent la plupart du temps au travers de canaux publics. Parmi les nombreuses techniques de chiffrement existants, le chiffrement par flot se distingue tout particulièrement lorsqu'on le débit d'une communication sécurisée est privilégié. Les chiffreurs par flot sont construits à partir de générateurs de séquences complexes décrits par des systèmes dynamiques et devant être synchronisés de part et d'autre du canal d'échanges. Les objectifs et les résultats de ce travail se déclinent en trois points. Tout d'abord, l'intérêt d'utiliser des systèmes hybrides en tant que primitives cryptographiques est motivé. Par la suite, une étude comparative est menée afin d'établir une connexion entre les algorithmes de masquage de l'information basés sur le chaos et les algorithmes de chiffrement usuels. L'étude porte exclusivement sur des considérations structurelles et repose sur des concepts de la théorie du contrôle, en particulier l'inversibilité à gauche et la platitude. On montre que la technique de masquage dite par inclusion, qui consiste à injecter l'information à protéger dans une dynamique complexe, est la plus efficace. De plus, on montre que sous la condition de platitude, un système de masquage par inclusion est structurellement équivalent à un chiffreur par flot particulier appelé auto-synchronisant. Enfin, des méthodes de cryptanalyse pour évaluer la sécurité du masquage par inclusion sont proposées pour une classe particulières de systèmes hybrides à savoir les systèmes linéaires à commutations. A nouveau, des concepts de la théorie du contrôle sont utilisés, il s'agit de l'identifiabilité paramétrique et des algorithmes d'identification. Des spécificités relatives au contexte particulier de la cryptographie sont prises en compte. En effet, contrairement à la plupart des cas rencontrés dans le domaine du contrôle où les variables des modèles dynamiques sont continues car relatives à des systèmes physiques, les variables prennent ici des valeurs discrètes. Les modèles dynamiques sont en effet décrits non plus dans le corps des réels mais dans des corps finis en vue d'une implémentation sur des machines à états finis tels ordinateur ou tout autre dispositif numérique.

La thèse traite de l'utilisation des systèmes hybrides dans le contexte particulier des communications sécurisées et de la cryptographie. Ce travail est motivé par les faits suivants. L'essor considérable des communications qui a marqué ces dernières décennies nécessite des besoins croissants en terme de sécurité des échanges et de protection de l'information. Dans ce contexte, la cryptographie joue un rôle central puisque les informations transitent la plupart du temps au travers de canaux publics. Parmi les nombreuses techniques de chiffrement existants, le chiffrement par flot se distingue tout particulièrement lorsqu'on le débit d'une communication sécurisée est privilégié. Les chiffreurs par flot sont construits à partir de générateurs de séquences complexes décrits par des systèmes dynamiques et devant être synchronisés de part et d'autre du canal d'échanges. Les objectifs et les résultats de ce travail se déclinent en trois points. Tout d'abord, l'intérêt d'utiliser des systèmes hybrides en tant que primitives cryptographiques est motivé. Par la suite, une étude comparative est menée afin d'établir une connexion entre les algorithmes de masquage de l'information basés sur le chaos et les algorithmes de chiffrement usuels. L'étude porte exclusivement sur des considérations structurelles et repose sur des concepts de la théorie du contrôle, en particulier l'inversibilité à gauche et la platitude. On montre que la technique de masquage dite par inclusion, qui consiste à injecter l'information à protéger dans une dynamique complexe, est la plus efficace. De plus, on montre que sous la condition de platitude, un système de masquage par inclusion est structurellement équivalent à un chiffreur par flot particulier appelé auto-synchronisant. Enfin, des méthodes de cryptanalyse pour évaluer la sécurité du masquage par inclusion sont proposées pour une classe particulières de systèmes hybrides à savoir les systèmes linéaires à commutations. A nouveau, des concepts de la théorie du contrôle sont utilisés, il s'agit de l'identifiabilité paramétrique et des algorithmes d'identification. Des spécificités relatives au contexte particulier de la cryptographie sont prises en compte. En effet, contrairement à la plupart des cas rencontrés dans le domaine du contrôle où les variables des modèles dynamiques sont continues car relatives à des systèmes physiques, les variables prennent ici des valeurs discrètes. Les modèles dynamiques sont en effet décrits non plus dans le corps des réels mais dans des corps finis en vue d'une implémentation sur des machines à états finis tels ordinateur ou tout autre dispositif numérique.

La première partie de la thèse concerne l'étude d'une classe particulière de systèmes dynamiques déterministes présentant deux problèmes: la présence de points fixes neutres et des points de discontinuité auxquels la dérivée n'est pas bornée. La seconde partie traite des systèmes dynamiques aléatoires: du problème de la récurrence dans ce type de système puis de leur application à la modélisation de petites perturbations stochastiques. On traite en particulier du problème de la stabilité stochastique.

Dans cette thèse, on étudie deux paradigmes du chaos quantique: celui des symplectomorphismes linéaires du tore et celui du flot géodésique sur une variété riemannienne compacte. Dans les deux cas, on étudie le problème d'ergodicité quantique associé. Les résultats obtenus sont de deux sortes. D'une part, on obtient des bornes inférieures sur l'entropie des mesures semi-classiques en dimension 2. D'autre part, on obtient des résultats de type grandes déviations semi-classiques en toute dimension.

Ce travail porte sur le développement de nouvelles voies de fonctionnalisation des oligo- et poly-thiophènes en vue leurs applications potentielles comme capteurs ou comme actionneurs moléculaires dans des nanosystèmes dynamiques. La première partie de ce travail est consacrée à la synthèse de trois nouvelles séries de macrocycles. Deux séries ont à la base l'unité bithiophène. Ces systèmes macrocycliques ont été polymérisés électrochimiquement donnant des polymères possédant plusieurs cavités éther couronne reliées au système conjugué et présentant une certaine sélectivité vis-à-vis de cation de Li+. Cette approche a été utilisée pour la réalisation de nanosystèmes dynamiques capables de donner lieu à un mouvement moléculaire à l'aide d'une stimulation chimique. La troisième série se base sur l'unité terthiophène hybride contenant l'unité EDOT, qui empêche l'existence de changements conformationnels associés à la complexion du cation de Pb2+ par l'éther couronne reliées au système conjugué, au contraire du système parent sans l'unité EDOT. La deuxième partie de ce travail décrit la synthèse d'une série de molécules cyanées en modifiant les conditions classiques de la condensation de Knoevenagel et la mise au point de deux nouvelles voies de fonctionnalisation des dérivés du thiophène. Au cours de la dernière partie on a testé la réactivité du 3-(tributylstannylsulfanyl)propanenitrile , un nouveau réactif d'introduction de groupe 2-cyanoéthylsulfanyle, développé pendant la première partie de ce travail, sur les dérivés du thiophène et du benzène.

La phase de primo-infection à VIH qui correspond aux premières semaines de l'infection est une phase cruciale qui détermine en partie l'évolution clinique de la maladie. La dynamique du virus et des lymphocytes T CD4+ (principale cible) durant cette phase est complexe. D'une part cette phase est asymptomatique dans plus de la moitié des cas et est semblable à un syndrome grippal; elle passe par conséquent très souvent inaperçue et peu de données sont disponibles. D'autre part la date d'infection est généralement inconnue ce qui complique l'étude de l'évolution au cours du temps des marqueurs viro-immunologiques. Les modèles dynamiques basés sur des systèmes d'équations différentielles permettent de prendre en compte l'interaction complexe et non-linéaire existant entre le VIH et le système immunitaire. De plus, leur aspect mécanistique peut être très utile pour la compréhension de la physiopathologie ou l'effet d'intervention. Cependant l'estimation de ces modèles est complexe et plusieurs méthodes sont disponibles à ce jour. Nous proposons dans cette thèse une méthode d'estimation pour des modèles dynamiques prenant en compte l'incertitude sur la date d'infection. Nous appliquons cette méthode à un jeu de données réelles de 761 séroconverteurs de la Collaboration CASCADE durant leur première année de suivi. Ces modèles possèdent un grand nombre de paramètres pouvant inclure des effets aléatoires et des variables explicatives. La sélection du meilleur modèle peut nécessiter l'estimation d'un grand nombre de modèles et peut s'avérer très longue. Nous proposons des tests du score pour sélectionner les effets aléatoires et les variables explicatives plus rapidement dans le cadre général des modèles non-linéaires à effets mixtes avec une illustration sur des modèles dynamiques. Enfin, nous proposons de comparer plusieurs modèles biologiques possibles de la primo-infection à VIH pour prédire la dynamique de la charge virale plasmatique et des CD4.

La problématique de recherche développée concerne la modélisation de milieux complexes sous différentes approches. Initialement centrée sur la simulation d'écoulements fluides implémentée sur des systèmes informatiques parallèles, la thématique a évoluée vers des conceptions et des domaines d'applications plus vastes et notamment la modélisation des écosystèmes aquatiques dans leur complexité naturelle. On développe des aspects méthodologiques permettant la représentation d'organisations dynamiques détectées par des techniques de clustering puis représentées globalement dans des simulations multi-échelles. Les aspects liés à l'implémentation sont développés dans le cadre de systèmes informatiques distribués dynamiques et abordent quelques problèmes liés à la migration dynamique de codes. Le travail présenté ici traduit un instantané d'une recherche qui s'inscrit dans une dynamique qui a conduit à l'émergence d'une activité de recherche significative dans le cadre de la montée en puissance d'un laboratoire, le LIH (Laboratoire d'Informatique du Havre), et d'une formation doctorale, le DEA ITA (Informatique Théorique et Applications).

Euler et Lagrange ont prouvé l'existence de cinq points d'équilibre dans le problème restreint des trois corps, c'est-à-dire le mouvement d'un corps de masse négligeable dans le champ gravitationnel de deux autres corps de masse beaucoup plus importante. Ces points d'équilibre sont appelés points de Lagrange et sont communément notés L1 , ..., L5. Autour de ces points d'équilibre, on peut prouver l'existence d'orbites périodiques, appelées orbites de halo, qui offrent des propriétés vraiment intéressantes tant pour l'exploration spatiale que pour l'observation (la sonde d'observation du Soleil SOHO est située sur une orbite de halo autour du point L1 ). Ces orbites pourraient même servir de site à une future station spatiale (autour de L1 du système Terre-Lune) ou être utilisées comme site pour relayer des transmissions (un satellite orbitant autour de L2 du système Terre-Lune permettrait une communication permanente avec la face cachée de la Lune). Depuis ces orbites de halo, se propagent des variétés invariantes, sorte de tubes, qui créent dans l'espace un réseau entre différentes régions de capture et dans lequel les trajectoires calculées ont un coût énergétique faible. Ceci permet de calculer des missions d'exploration interplanétaire à bas coût d'où l'intérêt croissant du domaine aérospatial pour les trajectoires autour des points de Lagrange.