In a Hilbert space setting homogenization of evolutionary equations is discussed. In order to do so, a suitable topology on material laws is introduced and several properties of that topology are shown. With those properties homogenization theorems of a large class of linear evolutionary problems of classical mathematical physics can be obtained. The results are exemplified by the equations of piezo-electro-magnetism.

Diese Dissertation beschäftigt sich mit EDP-Konvergenz. Dabei handelt es sich um einen Konvergenzbegriff auf dem Gebiet der verallgemeinerten Gradientensysteme und metrischen Gradientensysteme, der geeignet ist für Gradientenflüsse, die von einem kleinen Parameter abhängen. EDP-Konvergenz liefert einen Algorithmus, der es erlaubt in der Energie und dem Dissipationspotenzial zum Grenzwert überzugehen. Es ist die fundamentale Frage evolutionärer Γ-Konvergenz, wie das Limes-Dissipationspotenzial berechnet werden kann. Das Ziel dieser Arbeit ist es aufzuzeigen, dass EDP-Konvergenz das mikro- und das makroskopische Dissipationspotenzial in einer sinnvollen und eindeutigen Art und Weise in Beziehung setzt. Anhand von drei Beispielen wird der Konvergenzbegriff untersucht: die Diffusionsgleichung auf einem dünnen, dreischichtigen Gebiet, die Poröse-Medien-Gleichung mit einer dünnen Membran und ein Modell mit oszillierender Energie. Es wird die Definition von relaxierter EDP-Konvergenz und EDP-Konvergenz mit Kippung motiviert. EDP-Konvergenz basiert auf dem Prinzip, dass es ein Gleichgewicht zwischen Energie und Dissipation gibt – das Energie-Dissipations-Prinzip (EDP). Mittels Γ-Konvergenz wird sowohl in der Energie, als auch dem totalen Dissipationsfunktional zum Grenzwert übergegangen. Durch die zusätzliche Entkopplung von Zustand und Triebkraft wird die Dissipationslandschaft erkundet und die kinetische Beziehung des Limessystems ermittelt. Das Modell mit oszillierender Energie zeigt die Bedeutung der kinetischen Beziehung – und damit der Kippung – für die Herleitung des Limes-Dissipationspotenzials auf. Die Modelle mit Wasserstein-Dissipation zeigen, dass das Limes-Dissipationspotenzial nicht der naive Grenzwert ist. Insbesondere können klassische Gradientensysteme mit quadratischer Dissipation zu verallgemeinerten Gradientensysteme konvergieren. / In the realm of generalized gradient systems and metric gradient systems we study a notion of convergence suited for gradient flows which depend on a small parameter. This notion is called EDP-convergence. In order to understand the convergence of gradient systems we need an algorithm to derive the limiting energy as well as the limiting dissipation potential. The fundamental question of evolutionary Γ-convergence is how to compute the limit dissipation potential. The aim of this thesis is to show that EDP-convergence connects the microscopic dissipation potential with the macroscopic, i.e. limiting, dissipation potential in a meaningful and unique way. As a proof of concept 3 different examples are presented: (i) the diffusion equation on a thin sandwich-like domain, (ii) the porous medium equation with a thin interface and (iii) a wiggly energy model. We show how the gradient flow concept that is used in this thesis can be used to obtain also gradient flows with respect to the Wasserstein metric. We motivate the definition of relaxed EDP-convergence and EDP- convergence with tilting. EDP-convergence is based upon the principle that there is an energy-dissipation-balance involving the total dissipation functional and the energy difference – the energy-dissipation-principle (EDP). The limit passage, in both the energy and the total dissipation functional, is performed in terms of Γ-convergence. By perturbing the flow as well as the driving force, the dissipation-landscape is explored and a kinetic relation for the limit system can be established. The wiggly energy model demonstrates the importance of the kinetic relation for the construction of the limiting dissipation potential and thus the introduction of tilts. The models with a Wasserstein dissipation show that the limiting dissipation potential is not the naive limit. In particular, classical gradient systems with a quadratic dissipation potential converge to a generalized gradient systems.

In a Hilbert space setting homogenization of evolutionary equations is discussed. In order to do so, a suitable topology on material laws is introduced and several properties of that topology are shown. With those properties homogenization theorems of a large class of linear evolutionary problems of classical mathematical physics can be obtained. The results are exemplified by the equations of piezo-electro-magnetism.

We discuss the so-called two-temperature model in linear thermoelasticity and provide a Hilbert space framework for proving well-posedness of the equations under consideration. With the abstract perspective of evolutionary equations, the two-temperature model turns out to be a coupled system of the elastic equations and an abstract ordinary differential equation (ODE). Following this line of reasoning, we propose another model which is entirely an abstract ODE.We also highlight an alternative method for a two-temperature model, which might be of independent interest.

In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir schwache Lösungen, die zu einem geeigneten Sobolevraum gehören, q-elliptischer und parabolischer Systeme partieller Differentialgleichungen auf deren Regularität für den Fall 1 / In the present work we study the regularity of weak solution to q-elliptic and parabolic systems partial differential equations in appropriate Sobolev spaces in case 1

A numerical treatment of non-linear higher-order geometric evolution equations with the level set and the finite element method is presented. The isotropic, weak anisotropic and strong anisotropic situation is discussed. Most of the equations considered in this work arise from the field of thin film growth. A short introduction to the subject is given. Four different models are discussed: mean curvature flow, surface diffusion, a kinetic model, which combines the effects of mean curvature flow and surface diffusion and includes a further kinetic component, and an adatom model, which incorporates in addition free adatoms. As an introduction to the numerical schemes, first the isotropic and weak anisotropic situation is considered. Then strong anisotropies (non-convex anisotropies) are used to simulate the phenomena of faceting and coarsening. The experimentally observed effect of corner and edge roundings is reached in the simulation through the regularization of the strong anisotropy with a higher-order curvature term. The curvature regularization leads to an increase by two in the order of the equations, which results in highly non-linear equations of up to 6th order. For the numerical solution, the equations are transformed into systems of second order equations, which are solved with a Schur complement approach. The adatom model constitutes a diffusion equation on a moving surface. An operator splitting approach is used for the numerical solution. In difference to other works, which restrict to the isotropic situation, also the anisotropic situation is discussed and solved numerically. Furthermore, a treatment of geometric evolution equations on implicitly given curved surfaces with the level set method is given. In particular, the numerical solution of surface diffusion on curved surfaces is presented. The equations are discretized in space by standard linear finite elements. For the time discretization a semi-implicit discretization scheme is employed. The derivation of the numerical schemes is presented in detail, and numerous computational results are given for the 2D and 3D situation. To keep computational costs low, the finite element grid is adaptively refined near the moving curves and surfaces resp. A redistancing algorithm based on a local Hopf-Lax formula is used. The algorithm has been extended by the authors to the 3D case. A detailed description of the algorithm in 3D is presented in this work. / In der Arbeit geht es um die numerische Behandlung nicht-linearer geometrischer Evolutionsgleichungen höherer Ordnung mit Levelset- und Finite-Elemente-Verfahren. Der isotrope, schwach anisotrope und stark anisotrope Fall wird diskutiert. Die meisten in dieser Arbeit betrachteten Gleichungen entstammen dem Gebiet des Dünnschicht-Wachstums. Eine kurze Einführung in dieses Gebiet wird gegeben. Es werden vier verschiedene Modelle diskutiert: mittlerer Krümmungsfluss, Oberflächendiffusion, ein kinetisches Modell, welches die Effekte des mittleren Krümmungsflusses und der Oberflächendiffusion kombiniert und zusätzlich eine kinetische Komponente beinhaltet, und ein Adatom-Modell, welches außerdem freie Adatome berücksichtigt. Als Einführung in die numerischen Schemata, wird zuerst der isotrope und schwach anisotrope Fall betrachtet. Anschließend werden starke Anisotropien (nicht-konvexe Anisotropien) benutzt, um Facettierungs- und Vergröberungsphänomene zu simulieren. Der in Experimenten beobachtete Effekt der Ecken- und Kanten-Abrundung wird in der Simulation durch die Regularisierung der starken Anisotropie durch einen Krümmungsterm höherer Ordnung erreicht. Die Krümmungsregularisierung führt zu einer Erhöhung der Ordnung der Gleichung um zwei, was hochgradig nicht-lineare Gleichungen von bis zu sechster Ordnung ergibt. Für die numerische Lösung werden die Gleichungen auf Systeme zweiter Ordnungsgleichungen transformiert, welche mit einem Schurkomplement-Ansatz gelöst werden. Das Adatom-Modell bildet eine Diffusionsgleichung auf einer bewegten Fläche. Zur numerischen Lösung wird ein Operatorsplitting-Ansatz verwendet. Im Unterschied zu anderen Arbeiten, die sich auf den isotropen Fall beschränken, wird auch der anisotrope Fall diskutiert und numerisch gelöst. Außerdem werden geometrische Evolutionsgleichungen auf implizit gegebenen gekrümmten Flächen mit Levelset-Verfahren behandelt. Insbesondere wird die numerische Lösung von Oberflächendiffusion auf gekrümmten Flächen dargestellt. Die Gleichungen werden im Ort mit linearen Standard-Finiten-Elementen diskretisiert. Als Zeitdiskretisierung wird ein semi-implizites Diskretisierungsschema verwendet. Die Herleitung der numerischen Schemata wird detailliert dargestellt, und zahlreiche numerische Ergebnisse für den 2D und 3D Fall sind gegeben. Um den Rechenaufwand gering zu halten, wird das Finite-Elemente-Gitter adaptiv an den bewegten Kurven bzw. den bewegten Flächen verfeinert. Es wird ein Redistancing-Algorithmus basierend auf einer lokalen Hopf-Lax Formel benutzt. Der Algorithmus wurde von den Autoren auf den 3D Fall erweitert. In dieser Arbeit wird der Algorithmus für den 3D Fall detailliert beschrieben.

In the present work, we shall consider some common models in linear thermo-elasticity within a common structural framework. Due to the flexibility of the structural perspective we will obtain well-posedness results for a large class of generalized models allowing for more general material properties such as anisotropies, inhomogeneities, etc.

A numerical treatment of non-linear higher-order geometric evolution equations with the level set and the finite element method is presented. The isotropic, weak anisotropic and strong anisotropic situation is discussed. Most of the equations considered in this work arise from the field of thin film growth. A short introduction to the subject is given. Four different models are discussed: mean curvature flow, surface diffusion, a kinetic model, which combines the effects of mean curvature flow and surface diffusion and includes a further kinetic component, and an adatom model, which incorporates in addition free adatoms. As an introduction to the numerical schemes, first the isotropic and weak anisotropic situation is considered. Then strong anisotropies (non-convex anisotropies) are used to simulate the phenomena of faceting and coarsening. The experimentally observed effect of corner and edge roundings is reached in the simulation through the regularization of the strong anisotropy with a higher-order curvature term. The curvature regularization leads to an increase by two in the order of the equations, which results in highly non-linear equations of up to 6th order. For the numerical solution, the equations are transformed into systems of second order equations, which are solved with a Schur complement approach. The adatom model constitutes a diffusion equation on a moving surface. An operator splitting approach is used for the numerical solution. In difference to other works, which restrict to the isotropic situation, also the anisotropic situation is discussed and solved numerically. Furthermore, a treatment of geometric evolution equations on implicitly given curved surfaces with the level set method is given. In particular, the numerical solution of surface diffusion on curved surfaces is presented. The equations are discretized in space by standard linear finite elements. For the time discretization a semi-implicit discretization scheme is employed. The derivation of the numerical schemes is presented in detail, and numerous computational results are given for the 2D and 3D situation. To keep computational costs low, the finite element grid is adaptively refined near the moving curves and surfaces resp. A redistancing algorithm based on a local Hopf-Lax formula is used. The algorithm has been extended by the authors to the 3D case. A detailed description of the algorithm in 3D is presented in this work. / In der Arbeit geht es um die numerische Behandlung nicht-linearer geometrischer Evolutionsgleichungen höherer Ordnung mit Levelset- und Finite-Elemente-Verfahren. Der isotrope, schwach anisotrope und stark anisotrope Fall wird diskutiert. Die meisten in dieser Arbeit betrachteten Gleichungen entstammen dem Gebiet des Dünnschicht-Wachstums. Eine kurze Einführung in dieses Gebiet wird gegeben. Es werden vier verschiedene Modelle diskutiert: mittlerer Krümmungsfluss, Oberflächendiffusion, ein kinetisches Modell, welches die Effekte des mittleren Krümmungsflusses und der Oberflächendiffusion kombiniert und zusätzlich eine kinetische Komponente beinhaltet, und ein Adatom-Modell, welches außerdem freie Adatome berücksichtigt. Als Einführung in die numerischen Schemata, wird zuerst der isotrope und schwach anisotrope Fall betrachtet. Anschließend werden starke Anisotropien (nicht-konvexe Anisotropien) benutzt, um Facettierungs- und Vergröberungsphänomene zu simulieren. Der in Experimenten beobachtete Effekt der Ecken- und Kanten-Abrundung wird in der Simulation durch die Regularisierung der starken Anisotropie durch einen Krümmungsterm höherer Ordnung erreicht. Die Krümmungsregularisierung führt zu einer Erhöhung der Ordnung der Gleichung um zwei, was hochgradig nicht-lineare Gleichungen von bis zu sechster Ordnung ergibt. Für die numerische Lösung werden die Gleichungen auf Systeme zweiter Ordnungsgleichungen transformiert, welche mit einem Schurkomplement-Ansatz gelöst werden. Das Adatom-Modell bildet eine Diffusionsgleichung auf einer bewegten Fläche. Zur numerischen Lösung wird ein Operatorsplitting-Ansatz verwendet. Im Unterschied zu anderen Arbeiten, die sich auf den isotropen Fall beschränken, wird auch der anisotrope Fall diskutiert und numerisch gelöst. Außerdem werden geometrische Evolutionsgleichungen auf implizit gegebenen gekrümmten Flächen mit Levelset-Verfahren behandelt. Insbesondere wird die numerische Lösung von Oberflächendiffusion auf gekrümmten Flächen dargestellt. Die Gleichungen werden im Ort mit linearen Standard-Finiten-Elementen diskretisiert. Als Zeitdiskretisierung wird ein semi-implizites Diskretisierungsschema verwendet. Die Herleitung der numerischen Schemata wird detailliert dargestellt, und zahlreiche numerische Ergebnisse für den 2D und 3D Fall sind gegeben. Um den Rechenaufwand gering zu halten, wird das Finite-Elemente-Gitter adaptiv an den bewegten Kurven bzw. den bewegten Flächen verfeinert. Es wird ein Redistancing-Algorithmus basierend auf einer lokalen Hopf-Lax Formel benutzt. Der Algorithmus wurde von den Autoren auf den 3D Fall erweitert. In dieser Arbeit wird der Algorithmus für den 3D Fall detailliert beschrieben.