Das Hauptgebiet der Arbeit stellt die Approximation der Lösungen partieller Differentialgleichungen mit Dirichlet-Randbedingungen durch Splinefunktionen dar. Partielle Differentialgleichungen finden ihre Anwendung beispielsweise in Bereichen der Elektrostatik, der Elastizitätstheorie, der Strömungslehre sowie bei der Untersuchung der Ausbreitung von Wärme und Schall. Manche Approximationsaufgaben besitzen keine eindeutige Lösung. Durch Anwendung der Penalized Least Squares Methode wurde gezeigt, dass die Eindeutigkeit der gesuchten Lösung von gewissen Minimierungsaufgaben sichergestellt werden kann. Unter Umständen lässt sich sogar eine höhere Stabilität des numerischen Verfahrens gewinnen. Für die numerischen Betrachtungen wurde ein umfangreiches, effizientes C-Programm erstellt, welches die Grundlage zur Bestätigung der theoretischen Voraussagen mit den praktischen Anwendungen bildete. / This work focuses on approximating solutions of partial differential equations with Dirichlet boundary conditions by means of spline functions. The application of partial differential equations concerns the fields of electrostatics, elasticity, fluid flow as well as the analysis of the propagation of heat and sound. Some approximation problems do not have a unique solution. By applying the penalized least squares method it has been shown that uniqueness of the solution of a certain class of minimizing problems can be guaranteed. In some cases it is even possible to reach higher stability of the numerical method. For the numerical analysis we have developed an extensive and efficient C code. It serves as the basis to confirm theoretical predictions with practical applications.

In the recent past, the field of scientific computing has become of more and more importance for scientific as well as for industrial research, playing a comparable role as experiment and theory do. This success of computational methods in scientific and engineering research is next to the enormous improvement of computer hardware to a large extend due to contributions from applied mathematicians, who have developed algorithms which make real life applications feasible. Examples are adaptive methods, high order discretization, fast linear and non-linear solvers and multi-level methods. The application of these methods in a large class of problems demands for suitable and robust tools for a flexible and efficient implementation. In order to play a crucial role in scientific and engineering research, besides efficiency in the numerical solution, also efficiency in problem setup and interpretation of simulation results is of utmost importance. As modeling and computing comes closer together, efficient computational methods need to be applied to new sets of equations. The problems to be addressed by simulation methods become more and more complicated, ranging over different scales, interacting on different dimensions and combining different physics. Such problems need to be implemented in a short period of time, solved on complicated domains and visualized with respect to the demand of the user. %Only a modular abstract simulation environment will fulfill these requirements and allow to setup, solve and visualize real-world problems appropriately. In this work, the concepts and the design of the C++ finite element toolbox AMDiS (adaptive multidimensional simulations) are described. It is shown, how abstract data structures and modern software concepts can help to design user-friendly finite element software, which provides large flexibility in problem definition while on the other hand efficiently solves these problems. Also systems of coupled problems can be solved in an intuitive way. In order to demonstrate its possibilities, AMDiS has been applied to several non-standard problems. The most time-consuming part in most simulations is the solution of linear systems of equations. Multi-level methods use discretization hierarchies to solve these systems in a very efficient way. In AMDiS, such multi-level techniques are implemented in the context of adaptive finite elements. Several numerical results are given which compare this multigrid solver with classical iterative methods. Besides the development of more efficient algorithms also the growing hardware capabilities lead to an improvement of simulation possibilities. Modern computing clusters contain more and more processors and also personal computers today are often equipped with multi-core processors. In this work, a new parallelization approach has been developed which allows the parallelization of sequential code in a very easy way and reduces the communication overhead compared to classical parallelization concepts.

Die Methode der Böschungsertüchtigung mit Erdbetonstützscheiben ist ein etabliertes Verfahren. In der Vergangenheit entwickelte Bemessungsverfahren für Böschungen mit Stützscheiben konnten sich bis heute nicht durchsetzen. Stattdessen behilft man sich in der Praxis mit einer Art Ersatzverfahren. Mit diesem Verfahren wird die Standsicherheit der Böschung mit Stützscheiben teilweise unzutreffend ermittelt. Dies wird in der Arbeit begründet und anhand von Beispielen verifiziert. Die Tragwirkung der Stützscheiben kann nur durch räumliche numerische Berechnungen ausreichend genau erfasst werden. Es wird eine zwingend erforderliche Typisierung der Stützscheiben bezüglich ihres Tragverhaltens und des Bruchmechanismus durchgeführt. Die erreichbare Stabilisierungswirkung der Stützscheiben hängt wesentlich von der Scheibengeometrie und dem Scheibenabstand ab. In der Arbeit werden für einen Scheibentypen der Versagensmechanismus, das Tragverhalten sowie deren Einflüsse ausführlich analysiert und anschließend ein Bemessungsverfahren hergeleitet. Für weitere Scheibentypen werden Vorschläge für mögliche Bemessungsverfahren angegeben.

Zur Vertiefung des Verständnisses der Wälzfestigkeit von Gradientenschichten wurden gasnitrierte Proben an Wälzprüfständen beansprucht und nachfolgend umfassend untersucht. Durch die Verbindung werkstoffwissenschaftlicher und mechanischer Betrachtungen wurde ein weiterführendes Wälzfestigkeitskriterium abgeleitet. Nachfolgend wurde die Abbildbarkeit der Wälzbeanspruchung mit Hilfe der FEM analysiert. Dafür wurden umfangreiche Materialdaten der Gradientenschicht ermittelt.

Bezüglich eines hypothetischen Kernschmelzeszenarios in einem Leichtwasserreaktor ist es notwendig, mögliche Versagensformen des Reaktordruckbehälters sowie Versagenszeiträume zu untersuchen, um die Belastung für das Containment bestimmen zu können. Es wurden bereits eine Reihe von Experimenten durchgeführt, welche Erkenntnisse hierüber liefern sollen. Begleitend wurden in Einzelversuchen Materialeigenschaften ermittelt, sowie theoretische und numerische Arbeiten durchgeführt. Für die Simulation von Experimenten zum Versagen der Bodenkalotte, wie OLHF oder FOREVER, ist es notwendig, Kriechen und Plastizität zu berücksichtigen. Gleichzeitig müssen geeignete Modelle das Temperaturfeld in der Behälterwand für die mechanischen Rechnungen bereitstellen. Vom Institut für Sicherheitsforschung des FZR wird ein Finite-Elemente-Modell erstellt, das sowohl die Temperaturfeldberechnung für die Wand als auch die elasto-plastische Mechanik der Behälterwand modelliert. Die bisher durchgeführten Arbeiten werden in diesem Bericht kurz erläutert und mit Beispielen belegt. Am FZR wurde ein Finite-Elemente-Model entwickelt, das die Verwendung von einfachen Kriechgesetzen, die mit ihren angepassten Konstanten nur für begrenzte Spannungs- und Temperaturbereiche gültig sind, umgeht. Stattdessen wird eine numerische Kriechdatenbasis angelegt, in der die Kriechdehnrate in Abhängigkeit von der Gesamtdehnung, der Temperatur und der Vergleichsspannung abgelegt ist. Eine wesentliche Aufgabe für diese Vorgehensweise besteht in der Generierung und Validierung der Kriechdatenbasis. Zusätzlich wurden alle relevanten temperaturabhängigen Materialeigenschaften mit entsprechenden Modellen in den Code eingegeben. Für die Bestimmung der Versagenszeit wurde ein Schädigungsmodel nach einem Vorschlag von Lemaitre implementiert. Die Validierung des numerischen Models erfolgt durch die Simulation von und den Vergleich mit Experimenten. Dies geschieht in 3 Stufen: zunächst werden einzelne einachsige Kriechversuche nachgerechnet, was als 1D-Problem bezeichnet wird. In der nächsten Stufe werden sogenannte "Rohrversagensexperimente" simuliert: das RUPTHER-14 und das "MPA-Meppen"-Experiment. Diese Experimnete werden als 2D-Probleme betrachtet. Schließlich kann das Modell auf skalierte 3D-Versuche angewendet werden, in denen die Bodenkalotte eines Druckwasserreaktors mit ihrer halbkugelförmigen Geometrie wiedergegeben wird. Ein Beispiel hierfür sind die FOREVER-Experimente. In Zusammenarbeit mit den Experimentatoren an der KTH in Stockholm wurden Pre- und Posttest-Rechnungen für diese bisher einzigartigen Experimente durchgeführt, deren Ergebnisse qualitativ und quantitativ sehr zufriedenstellend sind. Eine wichtige Frage im Rahmen dieser Arbeit ist die Vergleichbarkeit des französischen Reaktordruckbehälterstahls 16MND5 und des deutschen 20MnMoNi5-5, welche chemisch nahezu identisch sind. Da diese beiden Stähle ein ähnliches Verhalten zeigen, sollte es in gewissem Umfang zulässig sein, experimentelle und numerische Daten und Erkenntnisse zwischen beiden zu übertragen.

Beim Offsetdruck findet die Übertragung der Druckfarbe von der Druckform auf den Bedruckstoff im Druckwerk statt, wobei mindestens zwei Walzen aufeinander abrollen. Deshalb können die Vorgänge im Druckwerk als ein Rollkontaktproblem aufgefaßt werden. Umfassende Untersuchungen liegen zu ¨Klassischen¨ Rollvorgängen vor, bei denen eine Walze treibt und die andere mitgenommen wird. Dabei wurden elastische und viskoelastische Materialeigenschaften sowie homogene und inhomogene ( bandagierte ) Walzen berücksichtigt. Charakteristisch für die Rollvorgänge im Offsetdruckwerk ist, daß eine der Walzen mit einem im Verhältnis zum Walzendurchmesser sehr dünnen, viskoelastischen und anisotropen Belag, dem Gummituch, versehen ist. Aus technologischen Gründen müssen die Walzen im Druckwerk synchron angetrieben werden. Auch dadurch unterscheidet sich der Rollvorgang im Offsetdruck vom ¨klassischen¨ Rollvorgang. Eine weitere Besonderheit besteht darin, daß das am Rollvorgang beteiligte Belagmaterial nicht fest mit dem Walzenkern verbunden, sondern nur lose aufgespannt ist. In der vorliegenden Arbeit werden mit Hilfe der Methode der Finiten Elemente die Beanspruchung des Gummituches und das Verhalten des Bedruckstoffes Papier im Druckspalt untersucht. Dabei wird nach derzeitigem Erkenntnisstand erstmalig der vollständige Prozeß simuliert. Es wird nur der stationäre Fall betrachtet. In Ermangelung eines geeigneten Modells zur Beschreibung der Temperatur- und Feuchtigkeitsabhängigkeit der Materialparameter des Papiers werden diese Einflüsse vernachlässigt. Anhand von parallel zu den numerischen Untersuchungen durchgeführten Qualitäts- und Meßdruckversuchen wird die Genauigkeit der Simulationsergebnisse eingeschätzt. Dies ist notwendig, da das komplexe Zusammenspiel der anisotropen elastischen und viskoelastischen Eigenschaften des Gummituches, der Reibung zwischen den einzelnen Kontaktpartnern, der Klebwirkung der Druckfarbe und den Einstellgrößen der Druckmaschine nur schwierig erfaßbar ist.

Die numerische Simulation von Verformungsvorgängen mittels der Finite-Elemente-Methode wird zur Lösung ingenieurtechnischer Probleme in wachsendem Maße eingesetzt und stellt ein erprobtes, leistungsfähiges Werkzeug für die Berechnung von Bauteilen bzw. -gruppen dar. Für eine wirklich- keitsnahe Vorhersage des Werkstoffverhaltens ist es dabei erforderlich, in die Berechnungsprogramme Materialmodelle zu implementieren, welche die realen Bauteileigenschaften richtig charakterisieren. In der vorliegenden Arbeit wird ein Materialmodell zur phänomenologischen Beschreibung anisotropen Verfestigungsverhaltens bei großen elastisch-plastischen Verzerrungen unter Nutzung eines Substruk- turkonzeptes entwickelt. Für allgemeine krummlinige Koordinatensysteme wird eine materielle Formulierung des Deformationsge- setzes als ein Algebro-Differenzialgleichungssystem vorgestellt. Es enthält neben dem hyperelastischen Teildeformationsgesetz die Evolutionsgleichungen für innere Variablen und die Fließbedingung. Seine thermodynamische Konsistenz wird nachgewiesen. Basierend auf einer zweckmäßigen Zeitdiskretisierung dieses Systems wird der vollständige Algorithmus zur numerischen Lösung des Anfangswertproblems entwickelt. Seine erfolgreiche Implementierung in das experimentelle Finite-Elemente-Programm SPC-PMHP der TU Chemnitz wird an ausgewählten Berechnungsbeispielen demonstriert. / The finite element method represents a powerful tool for the numerical simulation of deformation processes in components and structures. To realize a reliable prediction of the material behaviour the implementation of suitable material models into the FE-code is necessary. In the present thesis a material model for a phenomenological description of the anisotropic hardening behaviour in the case of finite elasto-plastic deformations based on a substructure approach is developed. The material model is formulated in terms of a system of differential and algebraic equations (DAE) with respect to the reference configuration. This DAE contains the hyperelastic material model, the evolutional equations for internal variables as well as the yield condition. Its thermodynamic consistency is proven. Based on a suitable time discretization of the DAE a numerical algorithm for solving the initial value problem is presented. Its succesful implementation into the experimental FE-code SPC-PMHP developed at the Chemnitz University of Technology is demonstrated on selected examples.

Numerische Simulationen auf der Basis der Kontinuumsmechanik und Plastomechanik erweisen sich zunehmend als geeignete Werkzeuge zur Optimierung von Umformprozessen. Ein Vergleich mit dem Formänderungsvermögen des Werkstoffes erbringt dabei Aussagen zu gefährdeten Materialbereichen. Mit einer kontinuumsmechanisch begründeten Herangehensweise wird der Einfluss des hydrostatischen Spannungsanteils auf das Formänderungsvermögen metallischer Werkstoffe untersucht. Zur Ermittlung von Parametern in Versagenskriterien wird eine experimentell-theoretische Vorgehensweise für Raumtemperatur und kleine Formänderungsgeschwindigkeiten vorgestellt, deren Übertragung auf höhere Temperaturen und Umformgeschwindigkeiten möglich ist. Der Werkstoff 20MoCrS4 wird bis zum Versagen umgeformt. Der experimentelle Zugang erfolgt über gekerbte Rundzugproben, wobei eine Potentialsonde und eine elektronische Bildverarbeitung als zusätzliche experimentelle Techniken einbezogen werden. Die Entwicklung der Spannungs- und Deformationszustände bis zum Versagenszeitpunkt werden mit Hilfe der FEM ermittelt und für die Parameteridentifikation in Versagenskriterien genutzt.

In der experimentellen Beanspruchungsanalyse ist der Einsatz von Dehnungsmessstreifen alltäglich. Besonders DMS-Rosetten mit übereinanderliegenden Messgittern bieten eine "punktgenaue" Auswertung des Dehnungszustandes an der Oberfläche eines Bauteiles. In numerischen und experimentellen Analysen wurde die Dehnungsübertragung in die übereinanderliegenden Messgitterschichten untersucht. Desweiteren wurde die Wärmeentwicklung der DMS-Rosetten auf verschiedenen Bauteilen untersucht.

Dissertation ueber die effektive Vorkonditionierung linearer Gleichungssysteme resultierend aus der Diskretisierung eines elliptischen Randwertproblems 2. Ordnung mittels der Methode der Finiten Elementen. Als Vorkonditionierer werden multi-level artige Vorkonditionierer (BPX, Multi-grid, Wavelets) benutzt.