Thesis advisor: Julia E. Grigsby / "Ozsváth, Stipsicz and Szabó define a one-parameter family {ϒᴋ(t)}t∈[₀,₂] of Heegaard Floer knot invariants for knots K ⊂ S³ . We generalize ϒᴋ (t) to knots in any" "rational homology sphere. We study the ϒ−invariant of a fibered knot. We prove that the ϒ−invariant can never reach its minimum slope if the monodromy of the fibration is not right-veering. / Thesis (PhD) — Boston College, 2018. / Submitted to: Boston College. Graduate School of Arts and Sciences. / Discipline: Mathematics.

Embedded contact homology is an invariant of closed oriented contact 3-manifolds first defined by Hutchings, and is isomorphic to both Heegard Floer homology (by the work of Colin, Ghiggini and Honda) and Seiberg-Witten Floer cohomology (by the work of Taubes). The embedded contact chain complex is defined by counting closed orbits of the Reeb vector field and certain pseudoholomorphic curves in the symplectization of the manifold. As part of their proof that ECH=HF, Colin, Ghiggini and Honda showed that if the contact form is suitably adapted to an open book decomposition of the manifold, then embedded contact homology can be computed by considering only orbits and differentials in the complement of the binding of the open book; this fact was then in turn used to define a knot version of embedded contact homology, denoted ECK, where the (null-homologous) knot in question is given by the binding. In this thesis we start by generalizing these results to the case of rational open book decompositions, allowing us to define ECK for rationally null-homologous knots. In its most general form this is a bi-filtered chain complex whose homology yields ECH of the closed manifold. There is also a hat version of ECK in this situation which is equipped with an Alexander grading equivalent to that in the Heegaard Floer setting, categorifies the Alexander polynomial, and is conjecturally isomorphic to the hat version of knot Floer homology. The main result of this thesis is a large negative $n$-surgery formula for ECK. Namely, we start with an (integral) open book decomposition of a manifold with binding $K$ and compute, for all $n$ greater than or equal to twice the genus of $K$, ECK of the knot $K(-n)$ obtained by performing ($-n$)-surgery on $K$. This formula agrees with Hedden's large $n$-surgery formula for HFK, providing supporting evidence towards the conjectured equivalence between the two theories. Along we the way, we also prove that ECK is, in many cases, independent of the choices made to define it, namely the almost complex structure on the symplectization and the homotopy type of the contact form. We also prove that, in the case of integral open book decompositions, the hat version of ECK is supported in Alexander gradings less than or equal to twice the genus of the knot.

Nous définissons deux nouvelles versions de l'homologie de Floer, l'homologie de Floer-Novikov et l'homologie de Floer relevée. Nous les appliquons pour obtenir de nouveaux résultats sur la conjecture d'Arnold concernant sous-variétés lagrangiennes exactes du fibré cotagent et sur la conjecture d'Audin qui porte sur le nombre de Maslov d'une sous-variété lagrangienne asphérique de l'espace euclidien.

D'une part, á partir des propriétés de la cohomologie de Floer, invariant associé á une variété symplectique, je définis et étudie une notion d'hyperbolicité symplectique et une capacité symplectique la mesurant. D'autre part, pour une variété , on dispose des notions classiques d'hyperbolicités complexes, définies à partir des courbes pseudo-holomorphes. J'étudie donc les liens entre ces deux notions d'hyperbolicités quand une variété est munie de structures pseudo-complexe et symplectique compatibles. J'explique principalement comment la non-hyperbolicité symplectique implique l'existence de courbes pseudo-holomorphes, et donc ainsi la non-hyperbolicité complexe. Cette analyse me permet à la fois de mieux comprendre la cohomologie de Floer, et d'obtenir de nouveaux résultats sur l'hyperbolicité complexe. J'établis notamment des résultats de stabilité pour la non-hyperbolicité complexe par déformation de la structure pseudo-complexe dans l'ensemble des structures pseudo-complexes compatibles à une structure symplectique non-hyperbolique fixée, généralisant ainsi un théorème de Bangert énoncant ce même résultat dans le cas particulier du tore standard. Par ailleurs, j'aborde la question de l'hyperbolicité complexe des feuilletages: en exhibant un tenseur invariant associé au feuilletage, j'étudie l'existence de cylindres holomorphes feuilletés.

Nous étudions un problème de chirurgie de Dehn, à savoir la caractérisation des nœuds dans les espaces lenticulaires qui admettent des chirurgies intégrales homéomorphes à S1 x S2. Nous montrons que ces nœuds sont fibrés et qu'ils bordent des surfaces de Seifert planaires. De façon équivalente, les nœuds induits dans S1 x S2 sont isotopes à des tresses. Le principal outil que nous avons utilisé est l'homologie de Heegaard-Floer, un ensemble d'invariants de type théorie de jauge développés par Ozsváth-Szabó à partir de 2000. En outre, nous montrons que ces nœuds sont simples au sens de Floer, donc conjecturalement simples. Compte tenu de cette dernière conjecture, nous avons initié une étude de nœuds simples dans les espaces lenticulaires appropriés et nous avons donné une liste potentiellement complète de tous les nœuds simples avec des chirurgies intégrales S1 x S2. Ces nœuds se révèlent être les nœuds induits dans les espaces lenticulaires obtenues en effectuant une chirurgie de Dehn sur certains nœuds doublement primitifs dans S1 x S2, exactement ceux construits par Baker. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : chirurgie de Dehn, espace lenticulaire, homologie de Heegaard-Floer, nœud fibré.

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第21537号 / 理博第4444号 / 新制||理||1639(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 小野 薫, 教授 向井 茂, 教授 望月 拓郎 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DGAM

Thesis advisor: John A. Baldwin / We classify genus-two L-space knots in S3 and the Poincare homology sphere.This leads to the first and to-date only detection results in knot Floer homology for knots of genus greater than one. Our proofs interweave Floer-homological properties of L-space knots, the geometry of pseudo-Anosov maps, and the theory of train tracks and folding automata for braids. The crux of our argument is a complete classification of fixed-point-free pseudo-Anosov maps in all but one stratum on the genus-two surface with one boundary component. To facilitate our classification, we exhibit a small family of train tracks carrying all pseudo-Anosov maps in most strata on the marked disk. As a consequence of our proof technique, we almost completely classify genus-two, hyperbolic, fibered knots with knot Floer homology of rank 1 in their next-to-top grading in any 3-manifold. Several corollaries follow, regarding the Floer homology of cyclic branched covers, SU(2)-abelian Dehn surgeries, Khovanov and annular Khovanov homology, and instanton Floer homology. / Thesis (PhD) — Boston College, 2024. / Submitted to: Boston College. Graduate School of Arts and Sciences. / Discipline: Mathematics.

This thesis is split up into two parts each revolving around Floer homology and quantum cohomology of closed monotone symplectic manifolds. In the first part we consider symplectic manifolds obtained by symplectic reduction. Our main result is that a quantum version of an abelianization formula of Martin holds, which relates the quantum cohomologies of symplectic quotients by a group and by its maximal torus. Also we show a quantum version of the Leray-Hirsch theorem for Floer homology of Lagrangian intersections in the quotient. The second part is devoted to Floer homology of a pair of monotone Lagrangian submanifolds in clean intersection. Under these assumptions the symplectic action functional is degenerated. Nevertheless Frauenfelder defines a version of Floer homology, which is in a certain sense an infinite dimensional analogon of Morse-Bott homology. Via natural filtrations on the chain level we were able to define two spectral sequences which serve as a tool to compute Floer homology. We show how these are used to obtain new intersection results for simply connected Lagrangians in the product of two complex projective spaces. The link between both parts is that in the background the same technical methods are applied; namely the theory of holomorphic strips with boundary on Lagrangians in clean intersection. Since all our constructions rely heavily on these methods we also give a detailed account of this theory although in principle many results are not new or require only straight forward generalizations.

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L'homologie instanton-symplectique est un invariant associé à une variété de dimension trois close orientée, qui a été dé?ni par Manolescu et Woodward, et qui correspond conjecturalement à une version symplectique d'une homologie des instantons de Floer. Dans cette thèse nous étudions le comportement de cet invariant sous l'effet d'une somme connexe, d'une chirurgie de Dehn, et d'un cobordisme de dimension quatre. Nous établissons une formule de Künneth pour la somme connexe : si Y et Y' désignent deux variétés closes orientées de dimension trois, l'homologie instanton-symplectique associée à leur somme connexe est isomorphe à la somme directe du produit tensoriel de leurs groupes d'homologie instantonsymplectique respectifs, et de leur produit de torsion (après décalage des degrés). Nous définissons des versions tordues de cette homologie, et prouvons un analogue de la suite exacte de Floer, reliant les groupes associés à une triade de chirurgie. Cette suite exacte nous permet de calculer le rang des groupes associés à des familles de variétés, notamment les revêtements doubles ramifiés d'entrelacs quasi-alternés, des chirurgies entières de grande pente le long de certains noeuds, ainsi que certaines variétés obtenues par plombage de fibrés en disques au-dessus de sphères. Nous définissons enfin des invariants pour des cobordismes de dimension 4 prenant la forme d'applications entre groupes d'homologie instantonsymplectique des bords, et prouvons que deux des morphismes intervenant dans la suite exacte de chirurgie s'interprètent comme de telles applications, associées aux cobordismes d'attachement d'anses. Nous donnons également un critère d'annulation pour de telles applications associées à des éclatements. / Symplectic instanton homology is an invariant for closed oriented three-manifolds, defined by Manolescu and Woodward, which conjecturally corresponds to a symplectic version of a variant of Floer's instanton homology. In this thesis we study the behaviour of this invariant under connected sum, Dehn surgery, and four-dimensional cobordisms. We prove a Künneth-type formula for the connected sum: let Y and Y' be two closed oriented three-manifolds, we show that the symplectic instanton homology of their connected sum is isomorphic to the direct sum of the tensor product of their symplectic instanton homology, and a shift of their torsion product. We define twisted versions of this homology, and then prove an analog of the Floer exact sequence, relating the invariants of a Dehn surgery triad. We use this exact sequence to compute the rank of the groups associated to branched double covers of quasi-alternating links, some plumbings of disc bundles over spheres, and some integral Dehn surgeries along certain knots. We then define invariants for four dimensional cobordisms as maps between the symplectic instanton homology of the two boundaries. We show that among the three morphisms in the surgery exact sequence, two are such maps, associated to the handle-attachment cobordisms. We also give a vanishing criteria for such maps associated to blow-ups.