Ce travail traite principalement de l'énumération d'extensions de structures combinatoires classiques appelées chemins de Dyck et fonctions de stationnement. Ces structures, très étudiées en raison de leur rôle fondamental dans de multiples contextes combinatoires, sont aussi étroitement liées à la théorie de la représentation, à la théorie des fonctions symétriques et à la géométrie algébrique, entre autres. En particulier, elles sont liées à l'étude combinatoire des espaces coinvariants diagonaux DRk,n, introduits par Garsia et Haiman, qui sont des représentations du groupe symétrique Gn sur des espaces de polynômes en k jeux de n variables. Dans le cas bivarié, il a été conjecturé que les séries de Hilbert des espaces coinvariants diagonaux « augmentés » DRm2,n et de leur sous-représentation signe DRm2,nɛ sont respectivement égales à une somme de statistiques sur les fonctions de m-stationnement et sur les chemins de m-Dyck. Il existe également une conjecture plus générale pour la série de Frobenius de ces espaces qui s'appelle la conjecture « shuffle » (Haglund et al., 2005). Dans le cas trivarié, Haiman a conjecturé en 1994 les dimensions suivantes : dim(DR3,nɛ) = 2/n(n+1) (4n+1 n-1) et dim(DR3,n) = 2n (n+1)n-2. D'autre part, en 2006, Chapoton a démontré que les intervalles dans le treillis de Tamari sont comptés par 2/n(n+1) (4n+1 n-1). Motivé par ses travaux sur le cas trivarié et par les deux conjectures précédentes, Bergeron a introduit le treillis de m-Tamari et étendu certaines questions concernant les chemins de m-Dyck et les fonctions de m-stationnement pour rendre compte du cas trivarié. Il a conjecturé que : dim(DRm3,nɛ) = m+1/n(mn+1) ((m+1)2n+m n-1), que : dim(DRm3,n) = (m+1)n(mn+1)n-2, et que ces deux cardinalités comptent respectivement les intervalles et les intervalles de stationnement du treillis de m-Tamari. Dans cette thèse, nous démontrons une généralisation commune de ces deux conjectures énumératives que nous avons énoncée avec Bergeron. Plus précisément, avec Mireille Bousquet-Mélou et Guillaume Chapuy, nous avons démontré que la série de Frobenius d'une certaine représentation combinatoire sur les intervalles de stationnement du treillis de m-Tamari est donnée par : Ʃ λ=(λ1,…,λl)˫n (mn+1)l-2 II 1≤i≤l ((m+1)λi λi) Pλ/Zλ. Cette démonstration équivaut à résoudre un nouveau type d'équations différentielles à variable catalytique. Toujours avec Bergeron, nous avons conjecturé que le produit tensoriel de cette représentation combinatoire et de la représentation signe ɛ est isomorphe à DRm3,n. Nous avons également formulé une généralisation de la conjecture « shuffle » en proposant une formule combinatoire explicite pour la série de Frobenius graduée de DRm3,n. Ceci renforce notre hypothèse que l'étude des intervalles du treillis de m-Tamari est bel et bien en lien avec l'étude des espaces DRm3,n. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : combinatoire algébrique, combinatoire énumérative, représentations du groupe symétrique, fonctions génératrices, statistiques.

Depuis le début des années 90, les automates temporisés et les langages temporisés ont été largement utilisés pour modéliser et vérifier les systèmes temps réels. Ces langages ont été aussi été largement étudiés d'un point de vue théorique. Plus récemment Asarin et Degorre ont introduit les notions de volume et d'entropie des langages temporisés pour quantifier la taille de ces langages et l'information que ses éléments contiennent. Dans cette thèse nous construisons de nouveaux développements à cette théorie (que nous appelons volumétrie des langages temporisés) et l'appliquons a plusieurs problèmes apparaissant dans divers domaine de recherche tel que la théorie de l'information, la vérification, la combinatoire énumérative. Entre autre nous (i) développons une théorie de la dynamique symbolique temporisée~; (ii) caractérisons une dichotomie entre automate temporisé se comportant bien ou mal~; (iii) définissons pour un automate temporisé donné, un processus stochastique d'entropie maximale le moins biaisé possible~; (iv) développons une version temporisé de la théorie des codes sur canal contraint (v) énumérons et générons aléatoirement des permutations dans une certaine classe / Since early 90s, timed automata and timed languages are extensively used for modelling and verification of real-time systems, and thoroughly explored from a theoretical standpoint. Recently Asarin and Degorre introduced the notions of volume and entropy of timed languages to quantify the size of these languages and the information content of their elements. In this thesis we build new developments of this theory (called by us volumetry of timed languages) and apply it to several problems occurring in various domains of theoretical computer science such as verification, enumerative combinatorics or information theory. Among other we (i) develop a theory of timed symbolic dynamics; (ii) characterize a dichotomy between bad behaving and well behaving timed automata; (iii) define a least biased stochastic process for a timed automaton; (iv) develop a timed theory of constrained channel coding; (v)count and generate randomly and uniformly permutations in certain classes

L'objet de cette thèse est l'étude d'une classe de séries entières solutions de certaines équations fonctionnelles, dites mahlériennes. Ces séries interviennent en combinatoire avec des problèmes de comptage de mots et en analyse d'algorithmes où elles sont liées aux récurrences diviser pour régner. La résolution des équations mahlériennes est fondée sur les propriétés des fractions rationnelles vis à vis de l'opérateur fondamental, analogue de la dérivation pour les équations différentielles, et sur l'arithmétique des opérateurs sous-jacents à ces équations. Les méthodes décrites fournissent à la fois des procédés effectifs de calcul et des résultats qualitatifs sur les propriétés de clôture de cette classe et, dans le cas complexe, sur les propriétés analytiques des solutions. Une sous-classe importante de séries mahlériennes est fournie par les séries B-régulières, généralisation des séries B-automatiques. Elles sont la traduction, via la numération en base B, des séries rationnelles en indéterminées non commutatives de la théorie des langages formels et héritent de leurs propriétés. On peut par exemple définir les notions de représentation linéaire, de rang et de matrice de Hankel. Sous certaines conditions simples, une série mahlérienne est B-régulière ; en particulier la plupart des récurrences diviser pour régner fournissent des séries B-régulières. L'analyse asymptotique des coefficients des séries mahlériennes complexes sàppuie sur une classification qui met en valeur l'importance des séries B-régulières, sur des techniques d'algèbre linéaire et sur des méthodes de théorie analytique des nombres. Les résultats obtenus permettent de traiter les exemples rencontrés dans la pratique. Ils montrent pour les séries B-régulières un lien entre le comportement asymptotique des coefficients et le spectre des représentations linéaires et dans beaucoup de cas un phénomène de périodicité en échelle logarithmique.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Les tests d’adéquation font partie des pratiques qu’ont les statisticiens pour prendre une décision concernant l’hypothèse de l’utilisation d’une distribution paramétrique pour un échantillon. Dans ce mémoire, une application du test d’adéquation basé sur la fonction caractéristique proposé par Jiménez-Gamero et al. (2009) est faite dans le cas de la loi de Poisson bivariée. Dans un premier temps, le test est élaboré dans le cas de l’adéquation à une loi de Poisson univariée et nous avons trouvé son niveau bon. Ensuite cette élaboration est étendue au cas de la loi de Poisson bivariée et la puissance du test est calculée et comparée à celle des tests de l’indice de dispersion, du Quick test de Crockett et des deux familles de tests proposés par Novoa-Muñoz et Jiménez-Gamero (2014). Les résultats de la simulation ont permis de constater que le test avait un bon niveau comparativement aux tests de l’indice de dispersion et au Quick test de Crockett et qu’il était généralement moins puissant que les autres tests. Nous avons également découvert que le test de l’indice de dispersion devrait être bilatéral alors qu’il ne rejette que pour de grandes valeurs de la statistique de test. Finalement, la valeur-p de tous ces tests a été calculée sur un jeu de données de soccer et les conclusions comparées. Avec une valeur-p de 0,009, le test a rejeté l’hypothèse que les données provenaient d’une loi de Poisson bivariée alors que les tests proposés par Novoa-Muñoz et Jiménez-Gamero (2014) donnaient une conclusion différente. / Our aim in this thesis is to conduct the goodness-of-fit test based on empirical characteristic functions proposed by Jiménez-Gamero et al. (2009) in the case of the bivariate Poisson distribution. We first evaluate the test’s behaviour in the case of the univariate Poisson distribution and find that the estimated type I error probabilities are close to the nominal values. Next, we extend it to the bivariate case and calculate and compare its power with the dispersion index test for the bivariate Poisson, Crockett’s Quick test for the bivariate Poisson and the two test families proposed by Novoa-Muñoz et Jiménez-Gamero (2014). Simulation results show that the probability of type I error is close to the claimed level and that it is generally less powerful than other tests. We also discovered that the dispersion index test should be bilateral whereas it rejects for large values only. Finally, the p-value of all these tests is calculated on a real dataset from soccer. The p-value of the test is 0,009 and we reject the hypothesis that the data come from a Poisson bivariate while the tests proposed by Novoa-Muñoz et Jiménez-Gamero (2014) leads to a different conclusion.

L'objet de cette thèse concerne la proposition de modèles paramétriques des processus de branchement uni et multi-types. Nous mettons en valeur l’intérêt de la théorie des processus de branchement et du développement nécessaire des différents outils et de concepts propres à plusieurs domaines. Pour cela, nous commençons par rappeler quelques définitions et résultats de la théorie des processus de branchement uni et multi-types, et ce en temps discret comme en temps continu. On se consacre par la suite au développement méthodologique de ces modèles.Dans la deuxième partie de ce mémoire, nous étudions seulement l'évolution d’une seule population en temps continu, et présentons quelques familles de lois paramétriques, associées à des processus de branchement homogènes particuliers. Des méthodes récursives de calcul, ainsi que des propriétés pertinentes, concernant ces distributions de probabilité, sont dérivées des fonctions génératrices satisfaisant certaines équations aux dérivées partielles linéaires précisés. Les familles proposées seront utiles à la modélisation de systèmes plus cohérents en dynamique de populations, puisqu'on y montre que les hypothèses usuelles de distributions de Poisson ne peuvent être argumentées.Dans la troisième partie, nous étudions le comportement de l'évolution de plusieurs populations en interactions. Nous y présentons aussi des modèles paramétriques de lois, associés à des processus de branchement multi-types en temps continu et homogènes en temps. Nous considérons ensuite un modèle particulier, où une population ``mère donneuse" autonome alimente en individus K populations filles, qui sont, elles, en interaction. Ce modèle est bien adapté à l'étude des systèmes dynamiques des populations en interaction qui reste à la fois simple, mais riche en variétés de comportement. L'étude du système multi-types se fait via l'évolution des fonctions génératrices de la loi multidimensionnelles des effectifs. Pour cela, utilisant les équations différentielles ordinaires et aux dérivées partielles, nous établissons les équations implicites des distributions temporelles et multidimensionnelles, et discutons des méthodes analytiques ou numériques de leur résolution. Nous développons ensuite des exemples de modèles et en particulier celui concernant 3 et 4 populations.En conclusion, nous argumentons la pertinence de cette approche, et l’interprétation des paramètres, qui sont d'un grand intérêt pour le développement de méthodes d'inférence statistique, pour de nombreux domaines d'applications. / This thesis aims to propose parametric models for single and multi-type branching processes. The importance of the theory of branching processes is pointed out. Hence, developing various tools and specific concepts in several domains is important for applications. For those purpose, we recall some definitions and results of the single-and-multi-type branching processes theory in discrete and continuous case. Afterward, we focus on the methodological development of those models.In the second part, the evolution of a single population in the continuous case has been studied. Then, some parametric distribution families associated to particular branching mechanisms are explored. Recursive computational procedure and relevant properties concerning the associted probability distributions are derived from generating functions that satisfy specified linear partial differential equations. The suggested families are useful for the modeling of systems that are more coherent with population dynamics, contrarily to the usual hypothesis of Poisson distributions, that cannot be argued.In the third part, the evolution of different populations with interaction is explored. Similarly, some parametric models of homogeneous multi-type branching processes in continuous time are proposed. Afterwards, we consider a particular model where an autonomous donor parent population feeds in individuals, K types progeny populations that interacts. This model is well adapted to the study of dynamical systems of populations in interaction. This simple model, but has a rich variety of behaviors.The study of such systems is also done regarding the evolution of generating functions of multidimensional ndividual countrings. To achievea such study, ordinary and partial differential equations are used to establish the implicit equations of temporal and multidimensional distributions. Analytical and numerical methods for equation resolution are then discussed, and examples of particular models are developed.In conclusion, the relevancy of this approach is argumed, censidering parameters interpretation in the development of inference methods for the various applied domains.

Ce manuscrit de thèse porte sur l’analyse mathématique de modèles intégro-différentiels issus de la génétique des populations. Les deux modèles étudiés sont des équations de réaction-dispersion de type ∂tp(t,m) = UD[p](t,m) + f[p](t,m). Ils décrivent la dynamique de la distribution de la fitness (ou valeur sélective) dans une population asexuée sous l’effet des mutations et de la sélection représentées respectivement par les termes non locaux UD[p](t,m) et par f[p](t,m). La différence entre les deux modèles se situe au niveau du terme de mutation. En effet, dans le premier modèle, les effets des mutations sur la fitness ne dépendent pas de la fitness du parent, cela se traduit donc par un terme de convolution classique : D[p](t,m) =RR J(m−y)p(t,y)dy−p(t,m). Lorsqu’une mutation a lieu, la fonction J(m−y) représente la densité de probabilité pour un individu de fitness y d’avoir un descendant de fitness m. Le taux de mutation est donné par la constante U. Dans le second modèle, les effets des mutations sur la fitness dépendent aussi de la fitness du parent. Dans ce cas, un individu de fitness y a un descendant de fitness m avec la densité de probabilité Jy(m−y). Ce type de dépendance apparaît naturellement lorsque l’on suppose qu’il existe une fitness optimale (ou encore un optimum phénotypique). Pour chacun des deux modèles, nous établissons dans un premier temps des résultats d’existence et d’unicité ainsi que des propriétés de décroissance de la solution. Cette décroissance permet de définir la fonction génératrice des cumulants (CGF) associée à la distribution de fitness. La CGF est la solution d’une équation de transport non locale. Pour le premier modèle, l’étude de cette équation permet d’obtenir une solution analytique et donc d’obtenir une description complète de la distribution p(t,m) via ses moments. Nous étudions ensuite les états stationnaires pour chacun des deux modèles, et établissons des conditions suffisantes pour l’existence et la non-existence de phénomènes de concentration, correspondant à une accumulation d’individus de phénotypes optimaux. Nos résultats sont comparés à des sorties de modèles stochastiques individu-centrés représentant le même type de dynamiques évolutives. / This manuscript is devoted to the mathematical analysis of integro-differential models from population genetics. Both models are reaction-dispersion equations of the form ∂tp(t,m) = UD[p](t,m)+ f[p](t,m). They describe the dynamics of fitness distribution in an asexual population under the effect of mutation and selection. These two processes are represented by the nonlocal terms UD[p](t,m) and by f[p](t,m) respectively. The difference between the models rests on the mutation term. Indeed, in the first model, the mutation effects on fitness do not depend on the fitness of the parent. Thus, the mutation term is a standard convolution product: D[p](t,m) =RR J(m−y)p(t,y)dy −p(t,m). When a mutation occurs, the function J(m − y) represents the density of probability for an individual with fitness y to have an offspring with fitness m. The mutation rate is given by the constant U. In the second model, the mutation effects on fitness depend on the fitness of the parent. In this case, an individual with fitness y has an offspring with fitness m with a probability density Jy(m−y). This type of dependence naturally arises when the existence of an optimal fitness (or a phenotypic optimum) is assumed. For both models, we first establish existence and uniqueness results as well as decay properties of the solution. The decay property allows us to define the cumulant generating function (CGF). The CGF obeys a nonlocal transport equation. In the first model, we compute the analytical solution of this transport equation and thus, we obtain a complete description of the distribution p(t,m) through its moments. Then, we study the stationary states for both models, and establish sufficient conditions for the existence and non-existence of a concentration phenomenon corresponding to an accumulation of individuals with best possible phenotype. The results are compared to the results of stochastic individual based models which represent the same kind of evolutionary dynamics.

Ce mémoire étudie deux familles de fonctions orthogonales, soit les fonctions d'orbite de Weyl et les fonctions d'orbite de Hartley. Chacune de ces familles est associée à une algèbre de Lie simple et cette recherche se limite aux algèbres A₂, C₂ et G₂ de rang 2. Les fonctions d'orbite de Weyl ont été largement étudiées depuis des années en raison de leurs propriétés exceptionnelles. Nouvellement, elles ont été utilisées pour générer des polynômes de Chebyshev généralisés et calculer les fonctions génératrices de ces polynômes pour les algèbres de Lie simples de rang 2. Les fonctions d'orbite de Hartley, quant à elles, ont été récemment introduites par Hrivnák et Juránek et l'étude de ces dernières ne fait que débuter. L'objectif de ce mémoire est de définir des polynômes de Chebyshev généralisés associés aux fonctions de Hartley et de calculer les fonctions génératrices de ceux-ci pour les algèbres A₂, C₂ et G₂. Le premier chapitre introduit les systèmes de racines et le groupe de Weyl, original et affine, ainsi que leurs domaines fondamentaux, afin que le lecteur ait les notations et définitions pour comprendre les chapitres suivants. Le deuxième chapitre présente et étudie les fonctions de Weyl. Il définit également leurs polynômes de Chebyshev généralisés et se termine en présentant les différentes fonctions génératrices de ces polynômes pour les algèbres de Lie simples de rang 2. Finalement, le troisième chapitre contient les résultats originaux; il expose les fonctions de Hartley et certaines de leurs propriétés. Il définit les polynômes de Chebyshev généralisés de celles-ci et énonce également leurs relations d'orthogonalité discrète. Il conclut en calculant les fonctions génératrices de ces polynômes pour les algèbres A₂, C₂ et G₂. / This master's thesis studies two families of orthogonal functions, the Weyl orbit functions and the Hartley orbit functions. Each of these families is associated to a simple Lie algebra and the present work is limited to the algebras A₂, C₂ and G₂ of rank 2. Weyl orbit functions have been widely studied for years because of their exceptional properties. Recently, these properties have been used to generate generalized Chebyshev polynomials and to compute the generating functions of these polynomials for the simple Lie algebras of rank 2. Hartley orbit functions, on the other hand, were recently introduced by Hrivnák and Juránek and the study of the latter has only begun. The objective of this thesis is to define the generalized Chebyshev polynomials of Hartley orbit functions and to compute their generating functions for the algebras A₂, C₂ and G₂. The first chapter introduces root systems and the Weyl group, original and affine, and their fundamental domains, so that the reader has the notations and definitions at hand to read the following chapters. The second chapter introduces and studies Weyl orbit functions. It also defines their generalized Chebyshev polynomials and ends by presenting the different generating functions of these polynomials for simple Lie algebras of rank 2. Finally, the third chapter contains the original contribution; it presents the Hartley functions and some of their properties. It defines the generalized Chebyshev polynomials of these and also states their discrete orthogonality relations. It concludes by computing the generating functions of these polynomials for the algebras A₂, C₂ and G₂.