L'étude de certaines variables aléatoires, comme les paramètres additifs sur les arbres hyperquaternaires de points, ou encore le nombre de maxima au sein d'un ensemble de n points indépendants, et uniformément distribués dans [0,1]^d font apparaître des suites particulières, les sommes harmoniques multiples (SHM), extensions des nombres harmoniques classiques à des multi-indices.<br /><br />Nos travaux visant à appliquer des méthodes symboliques pour l'étude de ces variables aléatoires, nous remplaçons l'utilisation de multi-indices par des codages sur des alphabets distincts, et nous appuyons alors sur des résultats importants en combinatoire des mots pour les appliquer à nos suites de SHM, et aux fonctions polylogarithmes, qui sont des variantes des génératrices ordinaires des SHM. Dans les cas convergents, les deux objets convergent (respectivement lorsque z tend vers 1 et lorsque N tend vers l'infini) vers la même limite, appelée polyzêta. Pour les cas divergents, l'utilisation de séries génératrices non commutatives nous permet d'établir un théorème ``à l'Abel'', faisant apparaître une limite commune. Ce théorème permet de donner une forme explicite aux constantes d'Euler généralisées associées à des SHM divergentes et ainsi d'obtenir un algorithme très efficace pour calculer leur développement asymptotique.<br /><br />Finalement, nous proposons des applications des sommes harmoniques dans le domaine des structures de données multidimensionnelles, pour lesquelles notre approche donne naissance à des calculs exacts, qui peuvent par la suite être aisément évalués asymptotiquement.

Le travail présente dans cette thèse est un travail algorithmique portant sur deux sujets: solutions formelles des systèmes d'équations différentielles linéaires ordinaires dépendant (ou pas) d'un paramètre et opérations fondamentales pour les opérateurs différentiels. Dans la première partie: nous avons démontre la convergence d'un algorithme et développe un programme en macsyma pour le calcul de la forme de Frobenius et Jordan de matrices holomorphes. Nous avons aussi développé un algorithme et un programme en macsyma pour le calcul de formes de Arnold-Wasow de matrices et systèmes différentiels dépendant d'un paramètre. Grâce a ces algorithmes, l'algorithme de Turrittin-Wasow est adapte au calcul formel pour trouver les solutions formelles de systemes differentiels dépendant d'un paramétré. Nous avons developpe un programme en macsyma pour le calcul de solutions formelles de systèmes différentiels dans un voisinage du point singulier régulier. Dans la deuxième partie: nous avons développe des algorithmes pour des opérations fondamentales sur deux opérateurs différentiels: le plus grand commun diviseur, le plus petit commun multiples, l'algorithme de Bezout, le pseudo-résultant. Nous avons aussi étudie une généralisation directe de la notion de base de Grobner dans l'anneau des opérateurs différentiels a coefficients polynomiaux, i.e. L'algèbre de Weyl

Un logiciel pour les solutions formelles d'équations différentielles linéaires d'ordre 2 au voisinage de points singuliers est présenté. Pour les équations d'ordre quelconque on donne une version modifiée de l'algorithme de newton. Un algorithme permettant d'obtenir une base de solutions asymptotiques d'une équation récurrente linéaire à coefficients polynomiaux est ensuite présenté. Ceci mène à l'étude des systèmes linéaires aux différences à coefficients séries de factorielles

Le sujet de la thèse se rattache au calcul formel. La première partie est consacrée à l'étude et à la réalisation d'un logiciel de résolution d'équations différentielles. Ce logiciel DESIR est écrit pour le système de calcul formel REDUCE. Il permet d'obtenir les solutions formelles d'équations différentielles, d'un ordre quelconque, au voisinage de points réguliers et irréguliers. La deuxième partie est une étude approfondie des équations aux différences. Cette étude est orientée vers la recherche d'algorithme permettant de construire une base de solutions asymptotiques d'une équation aux différences linéaires à coefficients dans un corps de séries formelles

On propose des algorithmes de réduction des systèmes différentiels linéaires dont les coefficients sont des séries formelles. Ces méthodes donnent une caractérisation de la singularité et construisent par le même moyen des transformations permettant la résolution du système

Cette thèse présente un algorithme robuste et efficace du calcul<br /> d'une forme paramétrée exacte de la courbe d'intersection de deux<br /> quadriques définies par des équations implicites à coefficients rationnels. Pour la première fois, le<br /> paramétrage que nous obtenons contient toutes les informations<br /> topologiques de la courbe et est assez simple pour être exploité<br /> dans des applications géométriques non triviales.<br /><br /> De nombreux progrès, dans différents domaines, ont été<br /> nécessaires pour atteindre ce résultat. Nous avons réalisé une étude<br /> exhaustive de tous les cas possibles d'intersection, d'abord dans<br /> $\Pp^3(\C)$ en nous basant sur les travaux de Segre, puis dans $\Pp^3(\R)$ <br /> en exploitant les résultats d'Uhlig sur la réduction simultanée de<br /> deux formes quadratiques réelles. Cette étude systématique nous a<br /> permis de maîtriser complètement la géométrie inhérente à<br /> l'intersection de deux quadriques. Nous sommes maintenant capables<br /> de déterminer toutes les caractéristiques de la courbe<br /> d'intersection, à savoir son genre, ses points singuliers, le nombre<br /> de ses composantes algébriques et connexes, et les incidences entre<br /> ces composantes. Quand il en existe, nous<br /> trouvons un paramétrage rationnel des composantes de la courbe<br /> d'intersection. En ce sens, notre algorithme est optimal.<br /> Nous avons aussi fait des progrès significatifs sur la complexité de l'expression radicale des<br /> coefficients du paramétrage obtenu.<br /> Notre résultat est quasi-optimal dans le sens où les coefficients du paramétrage<br /> de la courbe d'intersection que nous calculons contiennent au plus<br /> une racine carrée non nécessaire dans leur expression. <br /> De plus, notre résultat est optimal dans le cas le pire,<br /> dans le sens où pour chaque type de courbe d'intersection<br /> (par exemple une quartique régulière, ou une cubique et une droite, ou<br /> deux coniques), il existe des paires de quadriques pour lesquelles le<br /> nombre de racines carrées apparaissant dans l'expression des<br /> coefficients de notre paramétrage est minimal.<br /><br /> Enfin, nous avons réalisé une implantation complète de notre<br /> algorithme en MuPAD qui nous a permis d'afficher des<br /> performances inédites, tant en terme de vitesse d'exécution qu'en terme de<br /> simplicité du résultat obtenu.

L'élagage massif des synapses après une croissance excessive est une phase normale de la maturation du cerveau des mammifères. L'élagage commence peu avant la naissance et est complété avant l'âge de la maturité sexuelle. Les facteurs déclenchants capables d'induire l'élagage des synapses pourraient être liés à des processus dynamiques qui dépendent de la temporalité relative des potentiels d'actions. La plasticité synaptique à modulation temporelle relative STDP correspond à un changement de la force synaptique basé sur l'ordre des décharges pré- et post-synaptiques. La relation entre l'efficacité synaptique et l'élagage des synapses suggère que les synapses les plus faibles pourraient être modifiées et retirées au moyen d'une règle "d'apprentissage" faisant intervenir une compétition. Cette règle de plasticité pourrait produire le renforcement des connections parmi les neurones qui appartiennent à une assemblée de cellules caractérisée par des motifs de décharge récurrents. A l'inverse, les connections non activées de façon récurrente pourraient voir leur efficacité diminuée et être finalement éliminées. Le but principal de notre travail est de déterminer dans quelles conditions de telles assemblées pourraient émerger d'un réseau d'unités integrate-and-fire connectées aléatoirement à la surface d'une grille bidimensionnelle recevant à la fois du bruit et des entrées organisées dans les dimensions temporelle et spatiale. L'originalité de notre étude tient dans la taille relativement grande du réseau, 10'000 unités, dans la durée des simulations, 1 million d'unités de temps, et dans l'utilisation d'une règle STDP originale compatible avec une implémentation matérielle.

Cette thèse est consacrée à la modélisation des films minces courbés du type martensitique, hyperélastiques et ferromagnétiques. L'épaisseur de ces films suivant la direction normale à leur surface moyenne est très petite devant les autres dimensions du film. Dans le cas des films hyperélastiques, on considère que ceux-ci sont fixés à un substrat tout en pouvant s'en décoller. La formulation du problème exclut l'interpénétration du film et du substrat. Les états d'équilibre de ces films sont dans tous les cas décrits par des problèmes de minimisation d'énergie dépendant de la déformation que subit le film ou de la magnétisation dans le cas des films ferromagnétiques. On étudie le comportement de ces énergies ainsi que celui de leurs éventuels minimiseurs, lorsque l'épaisseur du film tend vers zéro à l'aide des outils de la $\Gamma$-convergence et de développement asymptotique formel. On obtient des modèles bidimensionnels où l'énergie limite s'écrit sur une surface courbée de $\mathbb (R)^3$.

Cette thèse a pour objet l'étude d'équations fonctionnelles analytiques. Elle se divise en deux parties. La première, purement mathématique, concerne l'étude des équations aux q-différences et des équations voisines. Plus précisement, nous établissons des théorèmes d'indices et de croissance des solutions entières pour les équations mixtes différentielles-q-différences, généralisant les résultats connus dans le cadre des équations différentielles d'une part, des équations aux q-différences d'autre part. Par ailleurs, nous obtenons des théorèmes d'indices pour les développements en séries de q-factorielles, q-analogues des séries de factorielles. La seconde partie de cette thèse concerne la multisommation des séries formelles solutions d'équations différentielles linéaires algébriques. La théorie et la méthode des transformées de Laplace itérées nous donne une méthode effective permettant de sommer ces séries formelles. Le travail consiste à réaliser les algorithmes formels et numériques en créant les primitives informatiques nécessaires, en coordination avec le travail méné par d'autres équipes du groupe de travail CATHODE (Computer Algebra Tools for Handling Ordinary Differential Equations, projet européen Esprit).

Cette thèse traite de l'intégration et de la réduction symbolique des systèmes d'équations différentielles ordinaires non-linéaires autonomes. Ces systèmes sont étudiés localement au voisinage d'un point simple ou singulier. Pour réduire ces systèmes à une forme intégrable, nous utilisons des transformations telles que les transformations quasi-monomiales, les éclatements et des constructions de formes normales. Ces méthodes permettent d'intégrer tout système à deux dimensions et des systèmes non-nilpotents à trois dimensions. Pour les systèmes nilpotents en trois dimensions et les systèmes de dimension supérieure nous rencontrons de nouvelles difficultés. La forme des cônes contenant le support de tels systèmes peut être très compliquée et cela complique l'utilisation des algorithmes introduits précédemment. Nous proposons alors une autre approche, basée sur une extension du diagramme de Newton et permettant de résoudre ces systèmes.