Quelques systèmes quantiques ouverts sont étudiés par la récente théorie des systèmes dynamiques. Un système est couplé à un réservoir, une équation de Volterra dirige son évolution. La limite faible conduit aux résultats markoviens de Davies introduisant les opérateurs de Davies et de Van Hove, calculés formellement. Le semi-groupe de générateur de Davies agit sur les observables du système. On précise des conditions à la complète positivité satisfaites par les modèles connus. Une méthode explicite résout l'équation maîtresse pour un système, formé d'oscillateurs harmoniques, et donne le retour rapide vers l'équilibre. La formule de Feshbach relie la résolvante projetée du liouvillien au générateur de Davies. Des hypothèses spécifiques d'un champ bosonique génèrent des processus gaussiens stationnaires représentés à l'aide d'un mouvement brownien complexe. L'existence d'une mesure invariante prouve l'évolution markovienne de la matrice de densité du système

L'étude de l'interaction lumière matière avec des ensembles atomiques est un domaine de recherche actif. Ce type de système permet des études fondamentales sur la mesure dans le contexte de variables continues, l'intrication collective, et les simulations quantiques. Ce domaine de recherche est également intéressant dans le contexte de la métrologie quantique, la communication quantique et l'informatique quantique. Dans cette thèse, deux aspects complémentaires de l'intéraction lumière matière avec des ensembles atomiques ont été étudiés avec des ions piégés et des atomes neutres refroidis par laser. L'expérience basée sur les ions piégés a pour but d'évaluer la possibilité d'utiliser de grands nuages d'ions afin d'obtenir une mémoire quantique possédant un long temps de cohérence. La forte répulsion de Coulomb entre les ions les place dans un état cristallin permettant de réduire les phénomènes de décohérence. L'interaction entre la lumière et la matière dans un grand cristal de Coulomb a été mesuré et les limitations d'un tel système sont discutées. L'expérience atomes froids c'est concentrée sur l'utilisation de mesures non destructives pour détecter les états non gaussiens atomiques. Ces états sont une ressource importante pour nombre de protocoles quantiques en régime de variables continues. Cette expérience est semblable aux expériences de communication quantique qui sont actuellement menées. Le travail présenté dans cette thèse se concentre sur la détection des états non gaussiens dans des ensembles atomiques en utilisant les cumulants, et en particulier le bruit associé à la mesure des cumulants.

Le point de départ de cette thèse est une version instable de la conjecture de Lichtenbaum et Quillen qui dit que la cohomologie modulo 2 du classifiant des groupes linéaires définis sur Z[1/2] serait détectée par la cohomologie du classifiant du sous-groupe des matrices diagonales de ces groupes linéaires. On sait que la conjecture est vraie pour n=1, 2 et 3, mais qu'elle est fausse à partir de n=14. <br /><br />On peut montrer que si la conjecture est vraie pour n=4, alors nécessairement, il existe un certain carré cartésien en cohomologie à coefficients dans F_2 dans lequel apparaît le classifiant du groupe GL_2(Z[i,1/2]). L'espoir initial, motivé par des idées de Henn et Lannes, était que la cohomologie à coefficients dans F_2 de BGL_2(Z[i,1/2]) rendrait ce carré non cartésien, invalidant de ce fait la conjecture de Lichtenbaum et Quillen dès n=4.<br /><br />Nous avons calculé la cohomologie à coefficients dans F_2 de BGL_2(Z[i,1/2]) et montré que le carré cartésien sus-nommé est bien cartésien.<br />La conjecture a ainsi passé un test avec succès et a encore des chances d'être vraie pour n=4. En tout cas, la recherche d'un contre-exemple est plus délicate qu'on aurait pu l'espérer.<br /><br />Les moyens utilisés pour effectuer le calcul de H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2) ont été la construction d'un certain espace Z sur lequel le groupe PSL_2(Z[i]) agit avec de bonnes propriétés, et le calcul de H*(BPSL_2(Z[i]),F_2) et H*(BGo,F_2) où Go est un certain sous-groupe de PSL_2(Z[i]) tel qu'on ai la décomposition en somme amalgamée PSL_2(Z[i,1/2])=PSL_2(Z[i])*_Go PSL_2(Z[i]). On obtient ensuite H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2) en étudiant certains morphismes de H*(BPSL_2(Z[i]),F_2) vers H*(BGo,F_2) et plusieurs suites spectrales.

Nous proposons une approche spectrale permettant d'aborder des problèmes d'interpolation à noyaux dont la résolution numérique n'est pas directement envisageable. Un tel cas de figure se produit en particulier lorsque le nombre de données est infini. Nous considérons dans un premier temps le cadre de l'interpolation optimale dans les sous-espaces hilbertiens. Pour un problème donné, un opérateur intégral est défini à partir du noyau sous-jacent et d'une paramétrisation de l'ensemble des données basée sur un espace mesuré. La décomposition spectrale de l'opérateur est utilisée afin d'obtenir une formule de représentation pour l'interpolateur optimal et son approximation est alors rendu possible par troncature du spectre. Le choix de la mesure induit une fonction d'importance sur l'ensemble des données qui se traduit, en cas d'approximation, par une plus ou moins grande précision dans le rendu des données. Nous montrons à titre d'exemple comment cette approche peut être utilisée afin de rendre compte de contraintes de type "conditions aux limites" dans les modèles d'interpolation à noyaux. Le problème du conditionnement des processus gaussiens est également étudié dans ce contexte. Nous abordons enfin dans la dernière partie de notre manuscrit la notion de noyaux conditionnellement positifs. Nous proposons la définition générale de noyaux symétriques conditionnellement positifs relatifs à une espace de référence donné et développons la théorie des sous-espaces semi-hilbertiens leur étant associés. Nous étudions finalement la théorie de l'interpolation optimale dans cette classe d'espaces.

Dans certains contextes, les méthodes classiques utilisées pour le calcul de champs rayonnés ou diffractés en présence d'obstacles de grande taille par rapport à la longueur d'onde, comme l'Optique Physique ou les méthodes de rayons, ne sont pas valides ou deviennent très lourdes en temps de calcul. La théorie des frames de Gabor fournit un cadre rigoureux permettant de décomposer une distribution de sources électromagnétiques, définie dans une ouverture équivalente plane, en une somme plus ou moins redondante de fenêtres gaussiennes. Cette décomposition peut servir de base à des algorithme de lancer de faisceaux gaussiens.Jusqu'à présent cette théorie était limitée à des décompositions dans un plan (rayonnement dans un demi-espace). L'objet de cette thèse est d'utiliser cette théorie pour décomposer des champs rayonnés ou diffractés dans toutes les directions de l'espace. Ce travail de thèse commence par une étude approfondie de l'influence des paramètres utilisés pour le calcul des coefficients de frame. La mise en oeuvre numérique permet de tester l'efficacité de techniques de troncation et de compression en termes de compromis précision/temps de calcul. Le coeur de la thèse consiste en une méthode originale de partitionnement spectral, utilisant des fonctions de partition de l'unité, qui permet d'utiliser le lancer de faisceaux gaussiens à partir de frames définis dans six plans, pour un rayonnement dans tout l'espace tridimensionnel. La formulation de la méthode est présentée. Elle est appliquée à la décomposition en faisceaux gaussiens du champ rayonné par des antennes théoriques omnidirectionnelles (réseau de dipôles et dipôle demi-onde). Une antenne réaliste sert enfin de cas test pour la mise en œuvre de la décomposition à partir de données expérimentales discrètes

Ce mémoire couvre l'ensemble de mes activités de recherche au laboratoire Charles Fabry, dans le groupe d'optique quantique dirigé par Philippe Grangier. Ces activités entrent dans le cadre de l'information quantique, discipline au carrefour de la théorie de l'information et de la mécanique quantique. Nous nous sommes ainsi attachés à synthétiser et à étudier différents états quantiques de la lumière, avec pour objectif la mise au point de protocoles de cryptographie quantique.

Cette thèse présente le développement de méthodes de simulations numériques basées sur la méthode Multi-Configuration Time Dependent Hartree (MCTDH), pour la modélisation de la dynamique quantique d'espèces atomiques et moléculaires dans des agrégats de gaz rares. Nous avons étudié en particulier les effets quantiques dans la dissociation et la section efficace de capture d'agrégats de néon. Nous avons montré que le temps de vie avant dissociation est 1 à 2 ordres de grandeur plus élevé que dans le cas d'une dynamique classique. De plus, la section efficace de capture est légèrement supérieure et moins sensible à l'augmentation de l'énergie interne de l'agrégat dans le cadre de simulations quantiques que classiques. Par ailleurs, nous avons étudié la réponse d'une matrice de néon à la photo-excitation électronique d'une molécule de monoxyde d'azote avec une méthode MCTDH à dimensionalité réduite et une méthode de champ moyen à dimensionalité complète (G-TDH). Ces 2 méthodes sont systématiquement comparées par le biais de différentes observables pour évaluer la validité de la dernière méthode en vue de l'étendre aux cas où une réduction dimensionalité s'avère difficile et des calculs MCTDH sont hors de portée.

L'objectif de cette thèse concerne la manipulation à l'échelle quantique du champ électromagnétique dans le cadre de l'information quantique à variables continues. Pour ce faire nous mélangeons les outils de l'optique quantique à variables discrètes, où la lumière est décrite en termes de photons, avec l'approche continue, traitant des quadratures du champ. Cette technique permet de produire des états non-classiques décrits par des fonctions de Wigner prenant des valeurs négatives. Nous avons pu générer des états intriqués à partir d'impulsions lumineuses initialement indépendantes et pouvant être séparées par une longue distance, l'intrication s'effectuant au travers d'un canal acceptant de fortes pertes. Nous avons ensuite démontré et caractérisé expérimentalement un protocole non-déterministe permettant d'amplifier de faibles signaux sans en amplifier le bruit quantique, augmentant ainsi le rapport signal sur bruit. Puis nous avons mis en œuvre et comparé expérimentalement différentes mesures de non-gaussianité d'un état quantique : ce caractère propre à une description continue de la lumière est d'un intérêt capital pour l'information quantique. Enfin nous avons développé et testé deux améliorations pour notre dispositif. La première est un amplificateur femtoseconde pour notre laser impulsionnel, qui permettra d'obtenir de meilleurs états de départ pour nos expériences. La deuxième est un appareil capable de discriminer le nombre de photon, donnant ainsi des résultats plus précis que ceux des détecteurs dont nous disposons actuellement qui sont uniquement capable de détecter la présence de photons.

Le but de cette thèse est de définir puis d'étudier différentes notions d'irrégularité uniforme ou ponctuelle permettant de traduire le fait qu'une fonction peut avoir des 'grands accroissements' à toutes les échelles. Pour cela on 'inverse' les notions de régularité Höldérienne usuelles. L'objectif principal du travail est ensuite de relier ces différentes notions à la théorie des ondelettes. Les critères ondelettes établis vont ainsi permettre de définir des fonctions ou des champs aléatoires dont le comportement est différent suivant la gamme d'échelles considérée. Par ailleurs, si on se place du point de vue ponctuel, une question naturelle est celle de la définition d'une analyse multifractale -dite faible- liée à la notion d'irrégularité ponctuelle. Les ondelettes vont alors permettre de définir des séries d'ondelettes multifractales pour l'irrégularité ponctuelle. Enfin, nous étudions des exemples de champs aléatoires où des propriétés de régularité directionelle apparaissent. Nous nous sommes ainsi centré sur l'étude d'un modèle de champ aléatoire gaussien particulier vérifiant une relation d'autosimilarité matricielle. Nous avons ensuite généralisé ce modèle et introduit des champs gaussiens autosimilaires par rapport à un groupe

Lorsque des bases de données fonctionnelles sont trop grandes pour être observées de manière exhaustive, les techniques d'échantillonnage fournissent une solution efficace pour estimer des quantités globales simples, telles que la courbe moyenne, sans être obligé de stocker toutes les données. Dans cette thèse, nous proposons un estimateur d'Horvitz-Thompson de la courbe moyenne, et grâce à des hypothèses asymptotiques sur le plan de sondage nous avons établi un Théorème Central Limite Fonctionnel dans le cadre des fonctions continues afin d'obtenir des bandes de confiance asymptotiques. Pour un plan d'échantillonnage à taille fixe, nous montrons que le sondage stratifié peut grandement améliorer l'estimation comparativement au sondage aléatoire simple. De plus, nous étendons la règle d'allocation optimale de Neyman dans le contexte fonctionnel. La prise en compte d'information auxiliaire a été développée grâce à des estimateurs par modèle assisté, mais aussi en utilisant directement cette information dans les poids d'échantillonnage avec le sondage à probabilités inégales proportionnelles à la taille. Le cas des courbes bruitées est également étudié avec la mise en place d'un lissage par polynômes locaux. Pour sélectionner la largeur de la fenêtre de lissage, nous proposons une méthode de validation croisée qui tient compte des poids de sondage. Les propriétés de consistance de nos estimateurs sont établies, ainsi que la normalité asymptotique des estimateurs de la courbe moyenne. Deux méthodes de constructions des bandes de confiance sont proposées. La première utilise la normalité asymptotique de nos estimateurs en simulant un processus Gaussien conditionnellement à sa fonction de covariance afin d'en estimer la loi du sup. La seconde utilise des techniques de bootstrap en population finie qui ne nécessitent pas l'estimation de la fonction de covariance.