Dans cette thèse, on étudie les ensembles de niveau de champs gaussiens lisses, ou fonctions lisses aléatoires. On explore plusieurs directions, certaines liées à la géométrie spectrale, d’autres à la mécanique statistique.L’attention est d’abord portée sur une famille de champs gaussiens sur des variétés riemanniennes compactes définis comme des combinaisons linéaires de fonctions propres du laplacien avec des points gaussiens indépendants. Dans certains cas particuliers, cette famille donne l’ensemble à bande limitée qui a été très étudié ces dernières années, mais elle donne aussi le champ libre gaussien coupé en fréquence, qui est la projection du champ libre gaussien sur les premiers espaces propres du laplacien. On étudie la fonction de covariance de ces champs, l’espérance du nombre de composantes connexes de leur lieu d’annulation et, dans le cas du champ libre gaussien, on en déduit une estimation précise des grandes déviation de l’événement que le champ est positif sur un ensemble fixé quand la limite de fréquence tend vers l’infini.Puis on étudie la percolation des sur-niveaux de champs stationnaires sur le plan en utilisant des techniques de percolation de Bernoulli. On prouve d’abord un résultat de mélange sur la topologie des ensembles nodaux pour des champs gaussiens planaires. Puis on prouve un résultat de transition de phase pour le champ de Bargmann-Fock. / In this thesis, we study the level sets of smooth Gaussian fields, or random smooth functions. Several directions are explored, some linked to spectral theory, some to statistical mechanics.The first object of focus is a family of Gaussian fields on compact Riemannian manifolds defined as linear combinations of eigenfunctions of the Laplacian with independent Gaussian weights. In special cases, this family specializes to the band-limited ensemble which has received a lot of attention in recent years, but also to the cut-off Gaussian Free Field, which is the projection of the Gaussian Free Field on the first eigenspaces of the Laplacian. We study the covariance function of these fields, the expected number of connected components of their zero set, and, in the case of the cut-off Gaussian Free Field, derive a precise large deviation estimate on the event that the field is positive on a fixed set when the energy cut-off tends to infinity.Next, we study percolation of excursion sets of stationary fields on the plane using techniques from Bernoulli precolation. We first derive a mixing bound for the topology of nodal sets of planar Gaussian fields. Then, we prove a sharp phase transition result for the Bargmann-Fock random field.

Une méthode pour obtenir des faisceaux avec moment angulaire orbital consiste à modifier un faisceau gaussien avec une lame à vortex, appelée aussi lame de phase en spirale (SPP). La majorité de ces lames fonctionnent par transmission. Notre technique produit une lame de phase réflectrice, qui est adéquate pour les expériences avec un faisceau à haute puissance. Dans ce mémoire nous décrivons la fabrication de lames de phase en spirale continue par réflexion avec un système de déposition. Ces lames furent utilisées pour transformer un faisceau gaussien en un faisceau de Laguerre-Gauss avec un moment angulaire de différents ordres. Ces faisceaux sont caractérisés par leur front d'onde hélicoïdal et un zéro d'intensité au centre. Les résultats furent comparés à ceux obtenus avec un élément diffractif commercial. Avec l'aide d'un axicon, ces lames furent utilisées pour la formation de faisceaux Bessel avec un moment angulaire. En focalisant un faisceau Laguerre-Gauss femtoseconde avec un axicon, nous avons produit des modifications de surface sur un échantillon de verre en BK7.

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdorales, 2015-2016

En 1969, Lit et Tremblay [1] ont démontré qu'une série d'ouvertures circulaires disposées judicieusement sur un axe peut focaliser une onde sphérique. De telles structures agissent sur les distributions spatiale et spectrale des champs électromagnétiques et, par un simple facteur d'échelle, elles sont applicables à tout le spectre électromagnétique. Nous avons vu dans ces structures plusieurs applications potentielles, dont la focalisation de rayons X et le modelage d'impulsions laser. Afin d'investiguer la faisabilité éventuelle de ces applications, nous avons effectué des simulations numériques permettant d'étudier deux effets causés par une séquence d'ouvertures circulaires disposées axialement : la focalisation de faisceaux gaussiens et le modelage d'impulsions ultrabrèves. Les résultats de ces simulations ont montré qu'il est possible de focaliser un faisceau gaussien monochromatique divergent à l'aide de trois ouvertures circulaires coaxiales. Le point focal obtenu a une intensité allant jusqu'à 16 fois l'intensité du faisceau gaussien propagé dans le vide et il a une largeur à mi-hauteur transversale d'environ deux fois la longueur d'onde. Dans le cas des impulsions, un point focal a aussi été observé et, pour les impulsions d'une durée de 20 fs et moins dont le spectre est centré sur 800 nm, l'impulsion est dédoublée temporellement. Les structures étudiées peuvent donc être adaptées à la focalisation de rayons X et au modelage fréquentiel et temporel des impulsions brèves. Les calculs présentés dans ce mémoire peuvent aussi aider à prévenir des effets indésirables de focalisation de faisceaux ou d'impulsions brèves se propageant dans certaines nanostructures.

Cette thèse s’intéresse à différentes variantes du problème des bandits, une instance simplifiée d’un problème de reinforcement learning (RL) dont l’accent est mis sur le compromis entre l’exploration et l’exploitation. Plus spécifiquement, l’accent est mis sur trois variantes, soient les bandits contextuels, structurés et multi-objectifs. Dans la première, un agent recherche l’action optimale dépendant d’un contexte donné. Dans la seconde, un agent recherche l’action optimale dans un espace potentiellement grand et caractérisé par une métrique de similarité. Dans la dernière, un agent recherche le compromis optimal sur un front de Pareto selon une fonction d’articulation des préférences non observable directement. La thèse propose des algorithmes adaptés à chacune de ces variantes, dont les performances sont appuyées par des garanties théoriques ou des expériences empiriques. Ces variantes de bandits servent de cadre à deux applications réelles et à haut potentiel d’impact, soient l’allocation de traitements adaptative pour la découverte de stratégies de traitement du cancer personnalisées, et l’optimisation en-ligne de paramètres d’imagerie microscopique à grande résolution pour l’acquisition efficace d’images utilisables en neuroscience. La thèse apporte donc des contributions à la fois algorithmiques, théoriques et applicatives. Une adaptation de l’algorithme best empirical sampled average (BESA), GP BESA, est proposée pour le problème des bandits contextuels. Son potentiel est mis en lumière par des expériences en simulation, lesquelles ont motivé le déploiement de la stratégie dans une étude sur des animaux en laboratoire. Les résultats, prometteurs, montrent que GP BESA est en mesure d’étendre la longévité de souris atteintes du cancer et ainsi augmenter significativement la quantité de données recueillies sur les sujets. Une adaptation de l’algorithme Thompson sampling (TS), Kernel TS, est proposée pour le problème des bandits structurés en reproducing kernel Hilbert space (RKHS). Une analyse théorique permet d’obtenir des garanties de convergence sur le pseudo-regret cumulatif. Des résultats de concentration pour la régression à noyau avec régularisation variable ainsi qu’une procédure d’ajustement adaptative de la régularisation basée sur l’estimation empirique de la variance du bruit sont également introduits. Ces contributions permettent de lever l’hypothèse classique sur la connaissance a priori de la variance du bruit en régression à noyau en-ligne. Des résultats numériques illustrent le potentiel de ces outils. Des expériences empiriques illustrent également la performance de Kernel TS et permettent de soulever des questionnements intéressants relativement à l’optimalité des intuitions théoriques. Une nouvelle variante de bandits multi-objectifs généralisant la littérature est proposée. Plus spécifiquement, le nouveau cadre considère que l’articulation des préférences entre les objectifs provient d’une fonction non observable, typiquement d’un utilisateur (expert), et suggère d’intégrer cet expert à la boucle d’apprentissage. Le concept des rayons de préférence est ensuite introduit pour évaluer la robustesse de la fonction de préférences de l’expert à des erreurs dans l’estimation de l’environnement. Une variante de l’algorithme TS, TS-MVN, est proposée et analysée. Des expériences empiriques appuient ces résultats et constituent une investigation préliminaire des questionnements relatifs à la présence d’un expert dans la boucle d’apprentissage. La mise en commun des approches de bandits structurés et multi-objectifs permet de s’attaquer au problème d’optimisation des paramètres d’imagerie STED de manière en-ligne. Les résultats expérimentaux sur un vrai montage microscopique et avec de vrais échantillons neuronaux montrent que la technique proposée permet d’accélérer considérablement le processus de caractérisation des paramètres et facilitent l’obtention rapide d’images pertinentes pour des experts en neuroscience. / This thesis deals with various variants of the bandits problem, wihch corresponds to a simplified instance of a RL problem with emphasis on the exploration-exploitation trade-off. More specifically, the focus is on three variants: contextual, structured, and multi-objective bandits. In the first, an agent searches for the optimal action depending on a given context. In the second, an agent searches for the optimal action in a potentially large space characterized by a similarity metric. In the latter, an agent searches for the optimal trade-off on a Pareto front according to a non-observable preference function. The thesis introduces algorithms adapted to each of these variants, whose performances are supported by theoretical guarantees and/or empirical experiments. These bandit variants provide a framework for two real-world applications with high potential impact: 1) adaptive treatment allocation for the discovery of personalized cancer treatment strategies; and 2) online optimization of microscopic imaging parameters for the efficient acquisition of useful images. The thesis therefore offers both algorithmic, theoretical, and applicative contributions. An adaptation of the BESA algorithm, GP BESA, is proposed for the problem of contextual bandits. Its potential is highlighted by simulation experiments, which motivated the deployment of the strategy in a wet lab experiment on real animals. Promising results show that GP BESA is able to extend the longevity of mice with cancer and thus significantly increase the amount of data collected on subjects. An adaptation of the TS algorithm, Kernel TS, is proposed for the problem of structured bandits in RKHS. A theoretical analysis allows to obtain convergence guarantees on the cumulative pseudo-regret. Concentration results for the regression with variable regularization as well as a procedure for adaptive tuning of the regularization based on the empirical estimation of the noise variance are also introduced. These contributions make it possible to lift the typical assumption on the a priori knowledge of the noise variance in streaming kernel regression. Numerical results illustrate the potential of these tools. Empirical experiments also illustrate the performance of Kernel TS and raise interesting questions about the optimality of theoretical intuitions. A new variant of multi-objective bandits, generalizing the literature, is also proposed. More specifically, the new framework considers that the preference articulation between the objectives comes from a nonobservable function, typically a user (expert), and suggests integrating this expert into the learning loop. The concept of preference radius is then introduced to evaluate the robustness of the expert’s preference function to errors in the estimation of the environment. A variant of the TS algorithm, TS-MVN, is introduced and analyzed. Empirical experiments support the theoreitcal results and provide a preliminary investigation of questions about the presence of an expert in the learning loop. Put together, structured and multi-objective bandits approaches are then used to tackle the online STED imaging parameters optimization problem. Experimental results on a real microscopy setting and with real neural samples show that the proposed technique makes it possible to significantly accelerate the process of parameters characterization and facilitate the acquisition of images relevant to experts in neuroscience.

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Le travail présenté dans ce mémoire est dédié à la localisation d'un signal dans le plan temps-fréquence. Plus précisément, nous proposons de déterminer le support temps-fréquence d'un signal d'intérêt, non stationnaire, déterministe et inconnu, noyé dans un bruit gaussien additif, centré et de fonction d'autocorrélation inconnue. Le support temps-fréquence accessible d'un signal est défini comme l'ensemble des points temps-fréquence pour lesquels le signal d'intérêt admet une énergie au moins supérieure à celle du bruit. De cette définition naîssent deux éléments qu'il est nécessaire de préciser : quel est l'énergie du bruit d'une part et que signifie "au moins supérieure" d'autre part? Dans tout ce travail, le spectrogramme est choisi pour représenter les signaux dans le plan temps-fréquence.<br /><br />Nous choisissons de résoudre ce problème de localisation au moyen d'un test binaire d'hypothèses, formulé en chaque point du plan temps-fréquence. Le seuil de détection correspondant à ce test doit alors être déterminé : d'après les lois de probabilité des coefficients du spectrogramme d'une part, en lien avec la puissance du bruit d'autre part et, enfin, selon un critère de détection approprié.<br /><br />La première étude concerne le comportement statistique des coefficients du spectrogramme. Dans le contexte d'un bruit non blanc et non stationnaire, la densité de probabilité des observations est ainsi formulée.<br /><br />La densité specrale de puissance du bruit apparaît naturellement comme l'un des paramètres de cette densité de probabilité. Dans une seconde étude, une méthode d'estimation de ce bruit est proposée. Elle se base sur le comportement statistique des plus petits coefficients du spectrogramme.<br /><br />Cet ensemble de connaissances nous permet finalement de résoudre le test d'hypothèses dont la solution naturelle au sens du maximum de vraisemblance fait apparaître le rapport d'énergie entre le signal et le bruit en chaque point du plan temps-fréquence. Ce rapport signal sur bruit local permet dès lors de préciser la condition "au moins supérieure" relative au support temps-fréquence accessible du signal.<br /><br />L'algorithme de localisation temps-fréquence qui résulte de ce travail permet finalement de retenir le support temps-fréquence du signal d'intérêt sur l'ensemble duquel le rapport signal sur bruit est supérieur à une valeur choisie a priori.

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Nous étudions des champs aléatoires pouvant modéliser certains milieux poreux. Nous nous intéressons à leurs statistiques au second ordre et en particulier à leur autosimilarité. Sous des hypothèses de stationnarité, une mesure spectrale caractérise le champ. L'homogénéité asymptotique directionnelle de la mesure détermine l'autosimilarité asymptotique du champ; le plus petit coefficient d'homogénéité dans une échelle logarithmique en donne l'ordre. Pour déterminer l'anisotropie on peut considérer une transformée de Radon du champ dont l'ordre d'autosimilarité dépend de la direction. Ces résultats au second ordre sont adaptés à des modèles gaussiens, l'ordre d'autosimilarité s'estimant par les variations quadratiques. Nous considérons le problème de l'injectivité des transformées de Radon. Enfin, nous étudions un modèle poissonien obtenu par agrégation de petites boules. Les propriétés d'autosimilarité sont analogues au second ordre mais atypiques pour la convergence en loi.

L'approximation de Born-Oppenheimer consiste à traiter de manière semi-classique l'équation de Schrödinger associée à une molécule en utilisant la petitesse du rapport de masse entre électrons et noyaux. Nous montrons que pour un type générique de presque croisement de codimension 1 de deux surfaces d'énergie électroniques, la propagation d'un paquet d'ondes nucléaire gaussien associé à l'une des surfaces est gouvernée par une formule du type Landau-Zener. Par ailleurs, dans le cadre de l'équation de Schrödinger stationnaire unidimensionnelle et en situation de croisement générique de deux courbes d'énergie, nous construisons des quasimodes par intégration d'un paquet d'ondes gaussien propagé le long d'une trajectoire classique périodique associée à l'une des deux courbes d'énergie.