Quantenchromodynamik mit zwei leichten Quarks wird in der Gitterregularisierung mit verbesserten Wilson Fermionen betrachtet. Die chirale Symmetrie in dieser Formulierung wird von Gitterartefakten, die linear im Gitterabstand a sind, explizit gebrochen. Daher erfordern die axialen Isospin Ströme Verbesserung (im Symanzik Sinn), sowie eine endliche Renormierung, wenn sie die Ward--Takahashi Identitäten des Kontinuums bis auf kleine Gitterkorrekturen proportional zu a^2 erfüllen sollen. Algorithmische Probleme bei großen Gitterabständen machen die numerischen Simulationen der Gittertheorie schwierig. Der Hybrid Monte Carlo Algorithmus leidet unter einem verformten Dirac Spektrum in Form unphysikalisch kleiner Eigenwerte. Es wird gezeigt, daß dies ein Gitterartefakt ist, welches schnell verschwindet, wenn der Gitterabstand verringert wird. Ein alternativer Algorithmus, der polynomische Hybrid Monte Carlo Algorithmus, zeigt erheblich bessere Eigenschaften im Umgang mit den außergewöhnlich kleinen Eigenwerten. Durch Erweiterung und Verbesserung vorher verwendeter Methoden wird die nicht-perturbative Verbesserung und Renormierung des Axialstroms durch Korrelationsfunktionen im Schrödinger Funktional implementiert. In beiden Fällen wird dies erzielt, indem man Ward Identitäten des Kontinuums bei endlichem Gitterabstand erzwingt. Zusammen stellt dies die chirale Symmetrie bis zur quadratischen Ordnung im Gitterabstand wieder her. Mit wenig zusätzlichem Aufwand wird auch der Normierungsfaktor des lokalen Vektorstroms berechnet. Die Methoden, die hier entwickelt und implementiert wurden, können leicht auch für andere Wirkungen verwendet werden, die im Schrödinger Funktional formuliert werden können. Dies umfaßt verbesserte Eichwirkungen sowie Theorien mit mehr als zwei dynamischen Quarks. / Quantum Chromodynamics with two light quark flavors is considered in the lattice regularization with improved Wilson fermions. In this formulation chiral symmetry is explicitly broken by cutoff effects linear in the lattice spacing a. As a consequence the isovector axial currents require improvement (in the Symanzik sense) as well as a finite renormalization if they are to satisfy the continuum Ward-Takahashi identities associated with the isovector chiral symmetries up to small lattice corrections of order a^2. In exploratory numerical simulations of the lattice theory algorithmic difficulties were encountered at coarse lattice spacings. There the hybrid Monte Carlo algorithm used suffers from a distorted Dirac spectrum in the form of unphysically small eigenvalues. This is shown to be a cutoff effect, which disappears rapidly as the lattice spacing is decreased. An alternative algorithm, the polynomial hybrid Monte Carlo algorithm, is found to perform significantly better in the presence of exceptionally small eigenvalues. Extending previously used methods both the improvement and the renormalization of the axial current are implemented non-perturbatively in terms of correlation functions formulated in the framework of the Schrödinger functional. In both cases this is achieved by enforcing continuum Ward identities at finite lattice spacing. Together, this restores the isovector chiral symmetry to quadratic order in the lattice spacing. With little additional effort the normalization factor of the local vector current is also obtained. The methods developed and implemented here can easily be applied to other actions formulated in the Schrödinger functional framework. This includes improved gauge actions as well as theories with more than two dynamical quark flavors.

Diese Arbeit untersucht im Rahmen der Gittereichtheorie verschiedene Aspekte der QCD in der Landau-Eichung, insbesondere solche, die mit den Gluon- und Geist-Propagatoren bei kleinen Impulsen zusammenhängen. Die Eichgruppe ist SU(3). Wir analysieren den Einfluss unterschiedlicher systematischer Effekte. Wir zeigen, dass der Formfaktor des Geist-Propagators bei kleinen Impulsen systematisch von der Wahl der Eichkopien (Gribov-Kopien) abhängt. Hingegen können wir einen solchen Einfluss auf den Gluon-Propagator nicht feststellen. Ebenfalls wird die Verteilung der kleinsten Eigenwerte des Faddeev-Popov-Operators durch die Wahl der Eichkopien beeinflusst. Wir zeigen außerdem, dass der Einfluss dynamischer Wilson-Fermionen auf den Geist-Propagator für die untersuchten Impulse vernachlässigbar ist. Für den Gluon-Propagator können wir jedoch einen deutlichen Einfluss für große und mittlere Impulse feststellen. Zusätzlich wurden beide Propagatoren auf asymmetrischen Gittern gemessen und mit den Daten von symmetrischen Gittern verglichen. Wir vergleichen unsere Ergebnisse mit denen aus Studien von Dyson-Schwinger-Gleichungen für den Gluon- und Geist-Propagator. Wir zeigen, dass das in dieser Arbeit gefundene Niedrigimpulsverhalten im Einklang mit verschiedenen Kriterien für Confinement (Einschluss von Farbladungen) ist. Wir berechnen die laufende Kopplung, die sich als eine renormierungsgruppeninvariante Kombination der Gluon- und Geist-Formfaktoren ergibt. Unsere Ergebnisse zeigen, dass im Bereich kleiner Impulse die laufende Kopplung kleiner wird und so vermutlich kein endlicher Infrarot-Fixpunkt im Grenzfall Impuls Null angestrebt wird. Wir präsentieren außerdem eine erste nichtstörungstheoretische Berechnung der Renormierungskonstante des SU(3) Ghost-Gluon-Vertex. Wir berichten über Untersuchungen zu spektralen Eigenschaften des Faddeev-Popov-Operators. Dazu haben wir eine Reihe der kleinsten Eigenwerte und Eigenvektoren dieses Operators berechnet. / Within the framework of lattice QCD we investigate different aspects of QCD in Landau gauge using Monte Carlo simulations. In particular, we focus on the low momentum behavior of gluon and ghost propagators. The gauge group is SU(3). Different systematic effects on the gluon and ghost propagators are studied. We demonstrate the ghost dressing function to systematically depend on the choice of Gribov copies at low momentum, while the influence on the gluon dressing function is not resolvable. Also the eigenvalue distribution of the Faddeev-Popov operator is sensitive to Gribov copies. We show that the influence of dynamical Wilson fermions on the ghost propagator is negligible at the momenta available to us. On the contrary, fermions affect the gluon propagator at large and intermediate momenta. In addition, we analyze data for both propagators obtained on asymmetric lattices and compare these results with data obtained on symmetric lattices. We compare our data with results from studies of Dyson-Schwinger equations for the gluon and ghost propagators. We demonstrate that the infrared behavior of both propagators, as found in this thesis, is consistent with different criteria for confinement. However, the running coupling constant, given as a renormalization-group-invariant combination of the gluon and ghost dressing functions, does not expose a finite infrared fixed point. Rather the data are in favor of an infrared vanishing coupling constant. We also report on a first nonperturbative computation of the SU(3) ghost-gluon-vertex renormalization constant. We present results of an investigation of the spectral properties of the Faddeev-Popov operator. For this we have calculated the low-lying eigenvalues and eigenmodes of the Faddeev-Popov operator.

Das Ziel dieser Dissertation besteht darin, die Realisierbarkeit der Berechnungen der Niederenergie-Konstanten der chiralen Lagrangedichte zur Gewinnung physikalischer Informationen im epsilon--Regime der quenched QCD zu erforschen. Wir haben der Neuberger Operator und Overlap Hyperkubus Operator eingesetzt. Ein Hauptergebniss dieser Arbeit ist der Vergleich der Wahrscheinlichkeitsverteilungen einzelner Eigenwerte des Neuberger Operators in der QCD mit den analytischen Vorhersagen der Theorie der Zufallsmatritzen. Wir beobachten eine gute Übereinstimmung solange jede Seite des physikalischen Volumens größ er als etwa 1.12 fm ist. Dabei kann auch das chirale Kondensat Sigma abgeschätzt werden. Es ergab sich, daß diese untere Schranke von L allgemein gilt und die Größ e des physikalischen Volumens, auf dem der Axialkorrelator den Vorhersagen des chiralen Störungstheorie folgt, festlegt. Damit koennen wir die Pionzerfallskonstante bestimmen. Unsere Simulationen zeigen, daß wegen der groß en Wahrscheinlichkeit niedriger Eigenwerte die Messung des Axialkorrelators im topologischen neutralen Sektor extrem aufwändig ist. Doch reicht die Empfindlichkeit der Vorhersagen der chiralen Störungstheorie in höheren topologischen Sektoren bei der gegebenen Statistik nicht zur Bestimmung von Sigma aus. Als alternative Methode, gehen wir dazu über, allein den Beitrag der Nullmoden zu betrachten. Hier koennen wir Abschätzungen für die Pionzerfallskonstante und alpha gewinnen. Wir berechnen die topologische Suszeptibilität für den Neuberger und Overlap Hyperkubus Operator. Im letzten Fall ist der berechnete Wert näher beim Kontinuumslimes. Die Lokalisierung für den Overlap Hyperkubus Operator ist auch besser als für den Neuberger Operator. Unser anderes Ziel ist die Erforschung einer topologieerhaltenden Eichwirkung. / This thesis is dedicated to explore the feasibility of extraction of the low energy constants of the chiral Lagrangian in the epsilon--regime of quenched QCD. We apply two formulations of the Ginsparg-Wilson fermions, namely, the Neuberger operator and the hypercube overlap operator to compute the observables of interest. As a main result we present the comparison of the distributions of the leading individual eigenvalues of the Neuberger operator in QCD and the analytical predictions of chiral random matrix theory. We observe a good agreement as long as each side of the physical volume exceeds about 1.12 fm. At the same time the chiral condensate Sigma can also be estimated. It turns out that this bound for L is generic and sets the size of the physical volume where the axial correlator behaves according to chiral perturbation theory. This allows us to compute a value for the pion decay constant. The simulations also show that due to the high probability of the near-zero modes it is prohibitively difficult to sample the axial correlator in the neutral topological sector. In the higher sectors, however, we observe that the sensitivity of the analytical predictions for the axial correlator to extract Sigma is lost to a large extent. As an alternative procedure we only consider the contribution from the zero modes. Here we are able to obtain an estimate for the pion decay constant and alpha, where alpha is a low energy constant peculiar to quenching. We calculate the topological susceptibility, both for the Neuberger operator and for the overlap hypercube operator. It turns out that the result with the overlap hypercube operator is closer to the continuum limit. Also the locality properties are superior to those of the Neuberger fermions. As a theoretical development the Lüscher topology conserving gauge action is investigated. This enables us to sample the observables of interest in the epsilon--regime without recomputing the index.

Eine zusammenfassende Übersicht über die Formulierung der chiralen Störungstheorie (ChPT) für die Gitter Quantenchromodynamik (QCD) ist gegeben. Wir beginnen mit kurzen Zusammenfassungen der chiralen Störungstheorie für die Kontinuum-QCD sowie Symanziks effektiver Theorie für die Gitter-QCD. Anschließend wird die Formulierung der ChPT für die Gitter-QCD behandelt. Nach einem weiteren Kapitel über partial quenching und Theorien mit gemischten Wirkungen werden konkrete Anwendungen diskutiert: Wilson ChPT, staggered ChPT sowie Wilson ChPT mit einem chiral verdrehten Massenterm. Die folgenden Kapitel behandeln das Epsilonregime mit Wilsonfermionen sowie ausgewählte Resultate für ChPT mit gemischten Wirkungen. Den Abschluß bildet die Formulierung der chiralen Störungstheorie für schwere Vektormesonen mit Wilsonfermionen. / The formulation of chiral perturbation theory (ChPT) for lattice Quantum Chromodynamics (QCD) is reviewed. We start with brief summaries of ChPT for continuum QCD as well as the Symanzik effective theory for lattice QCD. We then review the formulation of ChPT for lattice QCD. After an additional chapter on partial quenching and mixed action theories various concrete applications are discussed: Wilson ChPT, staggered ChPT and Wilson ChPT with a twisted mass term. The remaining chapters deal with the epsilon regime with Wilson fermions and selected results in mixed action ChPT. Finally, the formulation of heavy vector meson ChPT with Wilson fermions is discussed.

Diese Arbeit befasst sich mit dem Problem der nichtperturbativen Renormierung des Axialstroms eines leichten und eines Bottom-Quarks. Solche nichtperturbativen Berechnungen koennen nur in der Gitter-QCD durchgefuehrt werden, d. h. die kontinuierliche Raumzeit wird durch ein vierdimensionales hyperkubisches Gitter ersetzt. Da einerseits die Kantenlaenge des Gitters groesser sein muss als typische physikalische Laengenskalen des Problems, andererseits aber der durch die Gitterkonstante eingefuehrte Energie-Cutoff groesser sein muss als die Masse des b-Quarks, sind fuer dieses Problem Gittergroessen erforderlich, fuer die die heutige Computerleistung nicht ausreicht. Es ist daher sinnvoll, das B-Meson in der statischen Naeherung zu untersuchen, um dann zwischen dieser Naeherung und leichten Quarkmassen interpolieren zu koennen. Die Renormierung des Axialstroms in der statischen Naeherung ist skalenabhaengig. Um zu vermeiden, Rechnungen ueber einen grossen Energiebereich hinweg auf einem einzigen Gitter durchfuehren zu muessen, wird als Renormierungsverfahren das SF-Schema vorgeschlagen, in dem die Renormierungsskala mit der inversen Kantenlaenge des Raumzeitvolumens identifiziert wird. Das zentrale Objekt dieses Schemas ist die Step-Scaling-Funktion, die die Renormierungskonstanten bei verschiedenen Skalen miteinander in Beziehung setzt. Ein wesentlicher Punkt dieser Arbeit ist die O(a)-Verbesserung, die die Diskretisierungsfehler reduziert. Nach einer Erklaerung dieses Verfahrens fuer Eichfelder und leichte Quarks wird die statische Approximation im Kontinuum und auf dem Gitter eingefuehrt, und die in der Gittertheorie erforderlichen O(a)-Verbesserungsterme werden diskutiert. Fuer die eigentliche Renormierung werden Schroedinger-Funktional- Randbedingungen analog zum Fall leichter Quarks auch fuer die statische Approximation eingefuehrt, und die durch diese Randbedingungen notwendige zusaetzliche O(a)-Verbesserung diskutiert. Anschliessend wird durch eine Renormierungsbedingung das SF-Schema fuer den statischen Axialstrom definiert. Im weiteren Verlauf der Arbeit steht die Entwicklung geigneter Korrelationsfunktionen in der Einschleifennaeherung im Mittelpunkt. In dieser Naeherung wird zunaechst der renormierte statische Axialstrom im Gitter-MS-Schema untersucht, und seine Beziehung zum Axialstrom zweier leichter Quarks in der Stromalgebra-Normierung berechnet. Hierbei wird Uebereinstimmung mit einem Ergebnis anderer Autoren aus einer anderen Methode festgestellt. Aus diesem Ergebnis wird die endliche Renormierung zwischen dem statischen Strom im Gitter-MS-Schema und dem statischen Strom im MS-bar-Schema bestimmt. Diese Renormierungskonstante wird dann benutzt, um den Umrechnungsfaktor vom SF-Schema in das MS-bar-Schema in der Einschleifennaeherung zu berechnen. Die Zweischleifennaeherung der anomalen Dimension des statischen Axialstroms im SF-Schema wird dann durch Umrechnung aus dem MS-bar-Schema bestimmt. Diese Groesse ist vor allem deshalb wichtig, weil sie benoetigt wird, um bei Energieskalen von 10-100 GeV aus nichtperturbativ gewonnenen Ergebnissen den renormierungsgruppeninvarianten statischen Axialstrom zu berechnen. Es zeigt sich, dass der Zweischleifenwert dieser anomalen Dimension klein ist. Ein weiterer Untersuchungsgegenstand sind die Diskretisierungsfehler in der Step-Scaling-Funktion, die in der Einschleifennaeherung berechnet wurden. Sie stellen sich ebenfalls als klein heraus. Abschliessend wird der Einschleifen-Koeffizient des O(a)-Verbesserungsterms fuer den statischen Axialstrom berechnet. Hierbei ergibt sich Uebereinstimmung mit einem frueheren Ergebnis anderer Autoren. / The axial current of a light and a heavy quark is studied in the static approximation, with the aim of defining a non-perturbative renormalization scheme. To keep lattice artifacts small, O(a) improvement in the static approximation is discussed in detail. It is explained how a finite size scheme can be used to avoid the necessity of accommodating a large energy range on a single lattice in the determination of the scale dependence of the renormalized static-light axial current. To that end, Schroedinger functional boundary conditions are imposed on the static quark field, and a renormalization condition is formulated. As a central object of the SF scheme, the "step scaling function", connecting the renormalization constants at different scales, is introduced. A large part of this thesis is dedicated to the expansion of suitable correlation functions to one loop order of perturbation theory. Using these expansions, the finite renormalization constants connecting the static-light axial current in the lattice MS scheme and the light-light axial current normalized by current algebra relations is calculated at one loop order. From this result, the relation of the renormalized static-light axial current in the SF scheme to the MS-bar-renormalized static-light axial current is derived. Using that relation, the static-light axial current's two loop anomalous dimension in the SF scheme, which is needed for the calculation of the renormalization group invariant current, is calculated by conversion from the MS-bar scheme. Further studies made in this thesis are the determination of discretization errors in the step scaling function at one loop order, and the calculation of an improvement coefficient for the static-light axial current at one loop order of perturbation theory.

Gitter QCD strebt nach höherer Präzision. Hier untersuchen wir zwei kritische Punkte, die zur Genauigkeit von Gitter-Ergebnissen beitragen. Im ersten Teil kalibrieren wir Gitterabstände von QCD Simulationen mit 2 + 1 Arten (flavor) dynamischer Quarks. Dabei nutzen wir neue Messungen und eine mehrere Modelle für den chiralen- und Kontinuumslimes, um die Ergebnisse der 2017 durchgeführten Studie [1] zu verbessern. Der zweite Teil befasst sich mit Simulationsalgorithmen. Wir testen einen Algorithmus, der eine schnellere Lösung der Dirac-Gleichung verspricht. Wir analysieren die Anwendung des FETI-Algorithmus (Finite Element Tear and Interconnect) im Zusammenhang mit Gitter-QCD-Simulationen und vergleichen ihn mit anderen modernen Lösungsverfahren aus der Klasse der Domänendekompositionslösern. Wir untersuchen verschiedene Präkonditionierer und ihre Auswirkungen auf die Konvergenz der Lösung. / Lattice QCD simulations strive for higher precision. Here, we study two critical points in the generation of high precision lattice results. In the first part, we calibrate the lattice spacings of QCD simulation with 2 + 1 flavors of dynamical fermions. We incorporate new measurements and use additional models for the chiral and continuum extrapolations to refine the result obtained in 2017 [1]. The second part focuses on simulation algorithms. We test an algorithm which promises faster solution of the Dirac equation. We analyze the application of the Finite Element Tear and Interconnect (FETI) algorithm in the context of lattice QCD simulations and compare it to other state-of-the-art domain decomposition solvers. We examine various preconditioners and their effects on the convergence of the solution.

Wir stellen eine Untersuchung einer Kombination zwischen HQET und relativistischer QCD vor, die das Ziel hat, die b-Quark Masse und die Zerfallskonstante des Bs-Mesons aus Gitter-Simulationen, unter Nichtbeachtung virtueller Fermionenschleifen, zu gewinnen. Wir beginnen mit einem kleinen Volumen, in dem man das b-Quark direkt simulieren kann, und stellen die numerische Verbindung mit einem großen Volumen, wo ``finite-size'''' Effekte vernachlässigbar sind, mit Hilfe einer ``finite-size'''' Methode her. Diese besteht aus zum Kontinuum extrapolierten Schritten, wobei der Massenpunkt, der der physikalischen b-Quark Masse entspricht, durch eine Interpolation erreicht wird. In diese Interpolation fliessen die in der HQET erzielten Resultate ein. Mit dem durch die Sommersche Skale r0 bestimmten Gitterabstand und den experimentalen Werten für die Bs- und K-Massen erhalten wir die Endergebnisse für die renormierungsgruppeninvariante Masse Mb = 6.88(10) GeV, äquivalent zu mb(mb) = 4.42(6) GeV in dem MSbar-Schema und fBs = 191(6) MeV für die Zerfallskonstante. Eine Renormierungsbedingung für den Chromo-magnetischen Operator, der in führender Ordnung der Entwicklung in der schweren Quarkmasse in HQET für die Massenaufspaltung zwischen dem pseudoskalaren und dem vektoriellen Kanal mesonischer schwer-leicht gebundener Zustände verantwortlich ist, wird auf der Basis von Gitter-Korrelationsfunktionen bereitgestellt. Dies eignet sich gut für eine nicht-störungstheoretische Rechnung, welche einen großen Bereich der Renormierungsskala umfasst und keine Valenz-Quarks beinhaltet. Die Zwei-Schleifen Ordnung der entsprechenden anomalen Dimension im Schrödinger-Funktional-Schema wird mit Hilfe von veröffentlichten Ergebnissen berechnet; dies erforderte eine neue Ein-Schleifen Rechnung im SF-Schema mit einem nicht verschwindenden Hintergrundfeld. Die Gitterartefakte bezüglich der Skalenentwicklung des Renormierungsfaktors werden zur Ein-Schleifen Ordnung untersucht, und es wird von nicht-störungstheoretischen Simulationen, unter Nichtbeachtung virtueller Fermionenschleifen, bestätigt, dass sie für die gegenwärtige verfügbare numerische Präzision vernachlässigbar sind. / We present a study of a combination of HQET and relativistic QCD to extract the b-quark mass and the Bs-meson decay constant from lattice quenched simulations. We start from a small volume, where one can directly simulate the b-quark, and compute the connection to a large volume, where finite size effects are negligible, through a finite size technique. The latter consists of steps extrapolated to the continuum limit, where the b-region is reached through interpolations guided by the effective theory. With the lattice spacing given in terms of the Sommer''s scale r0 and the experimental Bs and K masses, we get the final results for the renormalization group invariant mass Mb = 6.88(10) GeV, translating into mb(mb) = 4.42(6) GeV in the MSbar scheme, and fBs = 191(6) MeV for the decay constant. A renormalization condition for the chromo-magnetic operator, responsible, at leading order in the heavy quark mass expansion of HQET, for the mass splitting between the pseudoscalar and the vector channel in mesonic heavy-light bound states, is provided in terms of lattice correlations functions which well suits a non-perturbative computation involving a large range of renormalization scales and no valence quarks. The two-loop expression of the corresponding anomalous dimension in the Schrödinger functional (SF) scheme is computed starting from results in the literature; it requires a one-loop calculation in the SF scheme with a non-vanishing background field. The cutoff effects affecting the scale evolution of the renormalization factors are studied at one-loop order, and confirmed by non-perturbative quenched computations to be negligible for the numerical precision achievable at present.

Wir untersuchen eine SU(3) Yang-Mills-Theorie mit einer Kopplung an ein bosonisches Spinorfeld. Diese als Bermion-Modell bekannte Theorie entspricht formal QCD mit minus zwei Quark-Flavors. Gegenüber der vollen QCD erfordert sie wesentlich weniger Computerzeit und ist deshalb als relativ kostengünstiges Testmodell geeignet. Im Mittelpunkt unseres Interesses steht die Step-Scaling-Funktion, die die Skalenabhängigkeit der laufenden Kopplung im Schrödinger-Funktional-Renormierungsschema beschreibt. Mit Hilfe einer nicht-perturbativen Finite-Size-Technik kann sie benutzt werden, um den Lambda-Parameter, der die Kopplung bei hohen Energien charakterisiert, aus experimentellen Daten bei niedrigen Energien zu bestimmen. Wir studieren im Detail die Gitterartefakte und die Kontinuumsextrapolation der aus Gittersimulationen bestimmten Step-Scaling-Funktion, wenn O(a)-Verbesserung nach Symanzik verwendet wird. Unsere Resultate stellen wir dem Fall von unverbesserten Bermionen und dynamischen Fermionen gegenüber, und vergleichen im Kontinuumslimes mit renormierter Störungstheorie. Weiterhin betrachten wir im Bermion-Modell die Step-Scaling-Funktion mit massiven Quarks. Nach dem Appelquist-Carazzone-Theorem erwartet man, daß Beiträge von Materiefeldern mit ansteigender Masse verschwinden, so daß die Step-Scaling-Funktion gegen den Fall reiner Eichtheorie konvergieren sollte. Wenn man nicht-perturbativ verschiedene effektive Theorien mit verschiedener Anzahl von aktiven Quarks über Massenschwellen hinweg verbinden will, sollten Gitterartefakte klein sein. Um die Durchführbarkeit einer solchen Methode zu testen, untersuchen wir die Step-Scaling-Funktion und ihre Gitterartefakte für verschiedene Massen. Für die Monte-Carlo-Simulation von verbesserten Bermionen entwickeln wir einen geeigneten Algorithmus und vergleichen seine Effizienz mit unbesserten Bermionen und mit voller QCD. Als vorbereitende Studie vergleichen wir die Effizienz verschiedener Algorithmen in reiner Eichtheorie. / As a computationally less costly test case for full QCD, we investigate an SU(3) Yang-Mills theory coupled to a bosonic spinor field. This theory corresponds to QCD with minus two quark flavors and is known as the bermion model. Our central object of interest is the step scaling function which describes the scale evolution of the running coupling in the Schrödinger functional scheme. With the help of a non-perturbative recursive finite size technique, it can be used to determine the Lambda parameter, which characterizes the coupling at high energy, from experimental input at low energies. We study in detail the lattice artefacts and the continuum extrapolation of the step scaling function from lattice simulations when O(a) improvement according to the Symanzik programme is used. Our results are compared to the unimproved bermion and dynamical fermion cases, and to renormalized perturbation theory in the continuum limit. For the bermion model, we also examine the step scaling function with massive quarks. According to the Appelquist-Carazzone theorem the contributions from matter fields are expected to vanish for large masses, such that the step scaling function converges to the pure gauge theory case. If one wants to connect non-perturbatively different effective theories with different numbers of active quarks over flavor thresholds, lattice artefacts should be reasonably small. In order to test the feasibility of such a method, we investigate the step scaling function and its lattice artefacts for several values of the mass. For the Monte Carlo simulation of improved bermions, we develop a suitable algorithm and compare its performance with unimproved bermions and full QCD. As a preparative study, we compare the efficiency of algorithms in pure gauge theory.

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Berechnung von für die Struktur des Nukleons relevanten Observablen, die experimentell durch inklusive und semi-inklusive Streuexperimente bestimmt werden können. Es werden zwei Pilotstudien erörtert, welche die Spin- und Impulsstruktur des Nukleons mithilfe von Gitter-QCD untersuchen. Hierfür wird der Twisted-Mass-Formalismus mit dynamischen Fermionen verwendet, um sicherzustellen, dass die untersuchten Größen einen verbesserten Kontinuumslimes aufweisen. Der erste Teil dieser Arbeit untersucht die Umsetzbarkeit einer Rechnung, die sich mit dem durchschnittlichen Impulsanteil der Gluonen im Nukleon auseinandersetzt. Diese Größe wurde bisher kaum im Rahmen der Gitter-QCD behandelt. In diesem Zusammenhang werden zwei verschiedene Gittermethoden untersucht: das Feynman-Hellman-Theorem, sowie die direkte Berechnung der relevanten Formfaktoren. Mithilfe der zweiten Methode und mehreren Iterationen des Schmierens der Eichlinks ist es möglich, statistisch aussagekräftige Resultate zu erhalten. Die zweite Studie beschäftigt sich mit der direkten Berechnung der vollständigen Impuls- und Spinverteilung von Quarks und Antiquarks im Nukleon. Hierfür wird untersucht, ob eine kürzlich publizierte Methode praktikabel ist, nach der eine räumliche Quasiverteilung zu berechnen und aus dieser die physikalische Verteilung abzuleiten ist. In diesem Zusammenhang wird der Einfluß des Schmierens der Eichlinks und unterschiedlicher Impulsboosts des Nukleons erprobt. Die anschließend berechneten Isovektor-Quarkverteilungen (unpolarisiert und polarisiert) weisen eine gute qualitative Übereinstimmung mit Verteilungen auf, die mithilfe von phänomenologischen Analysen bestimmt wurden. Zentrale Erkenntnis dieser Arbeit ist der Nachweis, dass es auf dem Gitter prinzipiell möglich ist, beide Observablen zu berechnen. Trotzdem muss noch erheblich mehr Arbeit aufgewendet werden, um verlässliche Resultate für diese Größen zu erhalten. / This thesis deals with the theoretical computation of nucleon structure observables as they can be experimentally obtained from inclusive and semi-inclusive scattering experiments. I present two exploratory studies on spin and momentum structure observables of the nucleon in the framework of lattice QCD. Throughout this work, I use the twisted mass formalism with dynamical fermions at maximal twist, which ensures an improved continuum limit scaling for the relevant quantities. In the first part, I investigate the feasibility of a lattice calculation of the gluons’ average momentum fraction in the nucleon, a quantity that is rarely studied in lattice QCD. For this purpose, I study two different methods, namely the Feynman-Hellman theorem and the direct computation of the relevant form factor. Applying the latter method and combining it with several steps of stout gauge link smearing, I obtain a statistically significant results for the gluon content. The second study is concerned with the direct computation of the full momentum and spin distribution of quarks and antiquarks within the nucleon. I investigate the feasibility of a recently published approach proposing the computation of a purely spatial quasi-distribution that can be related to the physical distribution. I test the influence of gauge link smearing and different nucleon momentum boosts on the lattice data. Ultimately, I obtain iso-vector quark distributions for the unpolarized and polarize case that featuring a decent qualitative agreement to quark distributions acquired from phenomenological fits. As a key result of this work, I demonstrate that the demanding calculation of gluon content and the novel approach of computing quark distributions directly within lattice QCD are feasible in principle, although significantly more effort has to be invested into obtaining accurate results with reliable uncertainties.

Das Ziel dieser Doktorarbeit ist die Berechnung, aus ersten Prinzipien, von Niedrigenenergiekonstanten (NEK), welche die chirale Störungsheorie (ChST) parametrisieren, durch Simulationen auf dem Gitter. Diese Arbeit ist eine Pilotstudie und will deshalb nicht zu definitiven und präzisen quantitativen Vorhersagen führen, sondern wir möchten qualitative Leitlinien für zukünftige genauere Erforschungen der epsilon-Entwicklung der ChST geben. Letztere ist ein Gebiet in dem die chirale Symmetrie wiederhergestellt ist und wo die Compton-Wellenlänge der leichtesten Mesonen grösser als die lineare Dimension des endlichen Volumens ist. Die epsilon-Region ist weiterhin durch die wichtige Rolle der topologischen Ladung, nu, charakterisiert, so dass die Untersuchung der mesonischen Zweipunkt-Korrelationsfunktionen in definierten topologischen Sektoren vorzunehmen ist. Aus diesem Grunde haben wir chirale Fermionen auf dem Gitter simuliert, wobei der overlap Formalismus für den Dirac Operator, mit dem gewöhnliches Wilson Dirac Operator als Kern, in der quenched Approximation genommen wurde. Wir demonstrieren dass der Sektor mit neutraler topologischer Ladung, nu = 0, numerisch sehr schwierig zu untersuchen ist, weil die Daten von erheblichen Spitzen beeinflusst werden, die aufgrund sehr kleiner, nicht verschwindender Eigenwerte herrühren. Diese Beobachtung findet eine Übereinstimmung in einer Studie der Random Matrix Theory (RMT), die besagt, dass man eine Statistik von mehr als 10000 Konfigurationen benötigt, falls man auf kleine Eigenwerte empfindlich reagierende physikalische Grössen, im triviale topologische Sektoren simulieren möchte. Weniger Probleme ergeben sich in dem nicht-trivialen Sektoren |nu| > 0: wir präsentieren deshalb unsere Ergebnisse aus dem topologisches Sektor nu = 1 und den Daten aus das Sektor mit nu = 2 nur als Gegenprobe. Wir zeigen die Existenz einer unteren Schranke für das physikalisches Volumen bei V > 1 fm zur vierten Potenz für die Gültigkeit der ChST, übereinstimmend mit einer vorherigen Beobachtung aus der RMT. Wir beschränken deshalb unsere Untersuchung auf ein grösseres Gitter, wo wir die Daten des axialen Korrelators mit den Vorhersagen der ChST in der Valenzquark-Approximation fitten und eine stabile Bestimmung der gequenchten Pionen-Zerfallskonstante, F, erhalten. Die skalaren und pseudoskalaren Korrelationsfunktionen sind durch mehrere NEK parametrisiert. Dadurch ist der Vergleich mit den Vorhersagen der ChST schwieriger, und deshalb präsentieren wir nur einige Abschätzungen, die mit der entsprechenden Literatur verglichen werden. Zum Schluss präsentieren wir mögliche Implementierungen von verbesserten Algorithmen für die Inversion des overlap Operators, die die Simulationkosten reduzieren. / The aim of this thesis is the computation of Low Energy Constants (LEC) which parameterise Chiral Perturbation Theory (ChPT) from a first principles analysis via lattice simulations. The thesis provides a pilot study and will not give definitive and precise quantitative predictions, but rather our aim is to provide qualitative hints for future accurate investigations of the epsilon-expansion of ChPT, where chiral symmetry is restored and the Compton wavelength of the lightest meson is larger than the linear size of the finite volume. One of the property characterising the epsilon-regime is the important role played by the topological charge, nu, leading to the investigation of the two-point meson correlation functions in distinct topological sectors. To this end, we simulate chiral fermions on the lattice adopting the overlap formalism for the Dirac operator in the quenched approximation, with the kernel provided by the usual Wilson Dirac operator. We demonstrate that the neutral topological sector, nu = 0, is very difficult to explore numerically, as the data are affected by large spikes due to the presence of very small, non-zero eigenvalues. This observation is in agreement with a study of Random Matrix Theory (RMT), which indicates that a statistic of more than 10000 configurations is required when physical quantities sensitive to small eigenvalues are investigated in the neutral topological sector. Therefore, we present our results corresponding to the topological sector nu = 1. Due to the modest statistic, we only use the nu = 2 data as a crosscheck. We find a lower bound on the physical volume V > 1 fm to the four for ChPT to be used, in agreement with a previous observation using RMT. Restricting our attention to a larger lattice, we fit the data of the axial correlation function with the predictions of quenched ChPT, obtaining a stable determination of the quenched pion decay constant, F. The scalar and pseudoscalar correlation functions are parameterised by a larger number of LEC, rendering the comparison with ChPT predictions much more difficult and hence we present only some estimates that are compared with other determinations in the literature. Finally, we present possible implementations of improved algorithms used in the ``inversion'''' of the overlap operator, whose aim is to reduce the computational cost of the simulations.