Följande examensarbete är en interventions-studie med utgångspunkt i aritmetik-undervis-ning och tals del-helhetsrelationer. Vissa fors-kare menar att del-helhetsrelationer är en grund för vidare aritmetikkunskaper, medan andra forskare menar att det är viktigare att elever utvecklar räkneförmågor. Syftet med denna studie är att undersöka hur undervis-ning om tals del-helhetsrelationer i addition och subtraktion kan utformas ur ett variat-ionsteoretiskt perspektiv. Lärandeobjektet för undervisningssekvensen är att identifiera ett okänt tal i en del-helhetsrelation inom talom-rådet 0-10. Undersökningen gjordes med 13 elever i för-skoleklass genom ett förtest, en undervis-ningssekvens om tre lektioner samt ett efter-test. Undervisningssekvensen och testerna vi-deoinspelades för att utgöra underlag för ana-lys. Lektionerna gjordes för att visa olika vari-ationsmönster som kontrast, separation, gene-ralisering och fusion för att eleverna skulle kunna urskilja kritiska aspekter. Exempelvis användes ”part-whole bars” och kommutati-vitet i undervisningen för att synliggöra de kri-tiska aspekterna. De kritiska aspekterna som kom fram i resultatet var att urskilja att de två delarna ryms i och tillsammans är lika mycket som helheten, kunna ta hjälp av två tal i en relation mellan helhet och delar för att finna det tredje talet, kunna ta hjälp av helheten och en del för att hitta den andra delen och att kunna ta hjälp av kunskaper om tidi-gare del-helhetsrelationer för att hitta okända tal i nya del-helhetsrelationer. / The following thesis is an intervention study based on arithmetic teaching and part-whole relationships of numbers. Some researchers argue that part-whole relationships are a basis for further arithmetic skills, while other re-searchers believe that it is more important that students develop counting abilities. The pur-pose of this study is to investigate how teach-ing of part-whole relationships in addition and subtraction can be designed from a variation theory perspective. The object of learning for the teaching sequence is to identify an un-known number of a part-whole relationship, in the number range 0-10. The study was conducted with 13 students in preschool class through a pre-test, a teaching sequence of three lessons and a post-test. The teaching sequence and the tests were vide-otaped to provide a basis for analysis. The les-sons were designed to show different patterns of variation such as contrast, separation, gen-eralization and fusion so that the students would be able to discern critical aspects. For example, "Part-whole bars" and commuta-tivity were used in the lessons, in order to highlight the critical aspects. The critical as-pects that emerged in the result were to discern that the two parts fit in and together is as much as the whole, be able to use two numbers in a relation between the whole and the parts to find the third number, be able to use the whole and one part to find the second part and to be able to use knowledge about previous part-whole relationships to find the unknown number in new part-whole relationships.

På vilket sätt kan vi hjälpa alla elever att bli förtrogna med matematikens uttrycksformer? Ett sätt är att bygga en stadig aritmetisk grund för eleverna där de befäster talens innehåll. Det är vad den här uppsatsen handlar om. Uppsatsen beskriver vad som skiljer användandet av del-helhetsrelationer från andra sätt att lösa öppna utsagor på. Uppsatsen beskriver även vilka kritiska aspekter om öppna utsagor som kan förekomma hos elever i årskurs 1 och 2. Uppsat-sen är skriven ur en fenomenografisk ansats med variationsteoretiska inslag eftersom de två teorierna är nära besläktade. Studien genomfördes genom filmade intervjuer med 11 elever som valdes ut genom en munt-lig och en skriftlig diagnos samt ett skriftligt arbetsblad. Resultatet visar att elever som använ-der automatiserade del-helhetsrelationer har en fördel när de löser öppna utsagor jämfört med elever som använder andra lösningsmetoder. Skillnaderna syns tydligt när det gäller lösandet av öppna subtraktionsutsagor där helheten saknas. En väg till den abstrakta förståelsen för tals del-helhetsrelationer går via fingertalen. Min slutsats är att eleverna redan tidigt i skolan måste få undervisning om fingertalen samt talens del-helhetsrelationer för att undvika att de utvecklar matematiksvårigheter. / How can we help all students to become confident with the concepts of mathematics? One way is to build a firm arithmetic foundation for students where they consolidate the content of the numbers. That is what this thesis is about. The thesis describes what differentiates the use of part-whole relationships from other ways to solve missing number bonds. The thesis also describes the critical aspects of missing number bonds that may be found in students in grades 1 and 2. The thesis is written from a phenomenographic approach with elements of variation theory, since the two theories are closely related. The study was conducted by videotaped interviews with 11 students selected through an oral test, a written test and a written worksheet. The result shows that the students who use auto-mated part-whole relationships when solving missing number bonds have an advantage com-pared to students who use other solving methods. The differences are clearly visible when it comes to solving missing number bonds in subtraction where the whole is missing. One path to the abstract understanding of the part-whole relationships goes through the finger num-bers. My conclusion is that the students must be taught the finger numbers and the part-whole relationships early in the education, to prevent them from getting into mathematical difficulties.

Läromedel har en styrande roll i många matematikklassrum vilket innebär att läromedel påverkar vilka uppgifter som elever erbjuds i undervisningen. Men vad är det som erbjuds i läromedel? Syftet med studien var att undersöka hur uppgifter i svenska läromedel för årskurs 1 behandlar tals additiva del-helhetsrelationer. Teorin om handlingserbjudanden och begrepp från variationsteorin har använts i syfte att utifrån ett funktionellt perspektiv undersöka vad som erbjuds i läromedel. Studien genomfördes genom en kvantitativ innehållsanalys och en kvalitativ dataanalys av fem läromedelsserier. Den kvantitativa analysen visar förekomsten av uppgifter som behandlar tals additiva del-helhetsrelationer. Den visar också att elever erbjuds olika representationsformer samt att växla mellan dessa. Språk, symbol och bild är de som erbjuds i störst utsträckning medan konkret modell endast erbjuds i ett fåtal uppgifter. Vidare visar den kvalitativa analysen skillnader i hur uppgifter är utformade för att synliggöra tals additiva del-helhetsrelationer. Uppgifternas form erbjuder elever skillnader i struktur, systematik samt i vilket utsträckning de olika sätt på vilket ett tal kan delas upp synliggörs. För att undervisningen ska främja elevers förståelse för tal och relationen mellan tal behöver läraren vara medveten om de möjligheter som läromedel erbjuder samt eventuella begränsningar. Detta för att kunna rikta elevers uppmärksamhet mot det som avses att läras. / Mathematics textbooks have a governing role in many mathematics classrooms which means that textbooks affect the tasks that learners are afforded in teaching. But what is afforded in these textbooks? The aim of the study was to investigate how Swedish textbooks for first grade treats additive part-whole relations of numbers. The theory of affordances and concepts from the variation theory has been used for the purpose, that based on a functional perspective to investigate what is afforded in textbooks. The study was conducted through a quantitative content analysis and a qualitative data analysis of five series of textbooks. The quantitative analysis shows the existence of tasks that treat additive part-whole relations of numbers. It also shows that learners are afforded different forms of representations and to switch between them. Language, symbol and image are afforded to the greatest extent while concrete model is only afforded in a few tasks. Furthermore, the qualitative analysis shows differences in how tasks are designed to make the additive part-whole relations of numbers visible. In the design of tasks, learners are afforded differences in structure, systematics and the extent to which the different ways in which a number can be divided are made visible. To promote learners´ understanding of additive part-whole relations of numbers, the teacher needs to be aware of the opportunities that textbooks can afford, as well as limitations. This is to be able to draw the learners´ attention to what is intended to be learned.

Syftet med denna studie är att identifiera lärares reflektioner om en specifik uppgift om olika additionsstrategier som har genomförts i en matematiklektion i Shanghai. Den frågeställning som studien syftar att besvara är: ·         Vad karaktäriserar lärarnas reflektioner? Studien är genomförd med kvalitativa intervjuer som metod och fyra lärare som undervisar i matematik har intervjuats. Lärarna som intervjuats har olika undervisningserfarenheter med avseende att bredda studiens urval. För att fånga och fokusera på lärarnas reflektioner har det teoretiska ramverket six-lens framework (SLF) använts som inspiration till intervjufrågorna. Ramverket består av olika linser, det vill säga olika aspekter av matematikundervisningen.  I resultatet anser lärarna vikten av att elever behöver behärska flera olika strategier. Detta för att elever ska ha möjlighet att utveckla taluppfattning och nå målen i matematik. Det framgår även att tals del-helhetsrelationer är en viktig del inom grundläggande taluppfattning för att elever ska utveckla strategier. Vidare framgår det i resultatet att det är effektivt att lyfta flera strategier tidigt i undervisningen samt jämföra likheter och skillnader mellan dessa. / The purpose of this study is to identify teachers' reflections on a specific task about different addition strategies that have been implemented in a mathematics lesson in Shanghai. The question that the study aims to answer is: • What characterizes teachers' reflections?  The study was conducted with qualitative interviews as a method and four teachers who teach mathematics were interviewed. The teachers who have been interviewed have different teaching experiences with regard to broaden the study selection. To capture and focus on teachers' reflections, the theoretical framework six-lens framework (SLF) has been used as inspiration for the interview questions. The framework consists of different lenses, which are different aspects of mathematics teaching.  The results shows that students need to know several different strategies because they should have the opportunity to develop knowledge of number sens and achieve the goals in mathematics. It is also clear that part-whole relationships of numbers are basic knowledge for students to develop strategies. Furthermore, it appears effective to teach multiple strategies early in the teaching and compare similarities and differences between these.

Den vanligaste arbetsformen i matematikundervisningen är att använda sig av ett läromedel. Därav vårt syfte med denna studie, som är att analysera hur tals del-helhetsrelation behandlas i den inledande undervisningen av addition och subtraktion i de tre vanligaste förekommande läromedlen i Sverige. Utifrån delar av variationsteori har vi analyserat hur innehållet i läromedlen gör det möjligt för eleverna att se och använda sig av tals del-helhetsrelation samt vilka representationer som används i läromedlen för att synliggöra tals del-helhetsrelationer. Av resultatet framgår att det inte är givet att det läromedel som används tar upp de aspekter som forskning anser är kritiska för förståelsen av tals del-helhetsrelation samt användningen av del-helhetsrelationen i addition och subtraktion. Istället visar studien att det inte alltid är möjligt för eleverna att se och förstå del-helhetsrelationen genom de uppgifter som förekommer i läromedlen. Detta i sin tur kan leda till att eleverna istället lär sig att använda strategier som inte är generaliserbara och som också kan leda till svårigheter i matematik. Resultatet visar på att det är viktigt att lärare är medvetna om vilka aspekter som är kritiska i undervisningen, samt ser läromedlet som ett komplement till sin undervisning och inte som den viktigaste arbetsformen.