Aritmetik är den del inom matematiken som behandlar räknande och innefattar tals egenskaper och hur räknesätten fungerar och kan sättas i relation till varandra, däribland räknesätten addition och subtraktion. Förståelsen av tals egenskaper benämns vanligtvis som taluppfattning vilket innefattar olika aspekter av tal såsom bland annat tals del-helhetsrelationer. Tals additiva del-helhetsrelationer syftar till relationen där kvantiteten, helheten kan delas upp i två eller flera delar. Till exempel kan talet 7 delas upp i följande sammansättningar 6│1│7, 5│2│7 och 4│3│7 där 7 ses som helheten och där sammansättningarna visar de olika delarna. Syftet med denna litteraturstudie är att lyfta fram hur matematikdidaktisk forskning beskriver elevers förståelse av tals additiva del-helhetsrelationer. Arbetet är en litteraturstudie där vetenskapliga publikationer inom matematikdidaktisk forskning har lästs och analyserats. Litteraturstudien visar på hur elevers förståelse av de första naturliga talens additiva del-helhetsrelationer kan underlätta för elever att lösa addition- och subtraktionsproblem. Det har framkommit att förståelse av tals additiva del-helhetsrelationer kan underlätta för elever att se samband mellan addition och subtraktion, att se additionens kommutativa egenskap samt att använda de tio första naturliga talens additiva del-helhetsrelationer även för additions- och subtraktionsproblem med tiotalsövergång genom att använda tio som referenspunkt. Det har även framkommit faktorer i undervisningen som främjar elevers förståelse av tals additiva del-helhetsrelationer däribland aktiviteter där eleverna ges möjlighet att utforska och kommunicera om deras förståelse. Litteraturstudien visar även att läraren har en viktig roll för att skapa en undervisning som främjar elevers förståelse. Med hjälp av strukturella representationer kan läraren synliggöra relationen mellan delarna samt mellan delarna och helheten. Vidare belyser litteraturstudien vikten av att läraren använder gester och tal för att rikta elevernas uppmärksamhet på det som undervisningen avser att lära.

En viktig grund för elever att lösa addition- och subtraktionsuppgifter är att tillägna sig tals additiva del-helhets relationer. Genom att se delar och helheten och förstå relationen dem emellan underlättar det för elever att lösa additions- och subtraktionsuppgifter på ett framgångsrikts sätt. För att detta ska ske behöver de få en undervisning som är utformad på ett sätt som gör det möjligt. Syftet med studie är att utifrån ett sociokulturellt perspektiv få en bild av hur undervisning av tals del-helhetsrelationer kan se ut i förskoleklass och årskurs 1. Analysen har gjorts med hjälp av Mediating Primary Mathematics (MPM) utifrån vilka artefakter och notationer lärarna använder och hur de medierar det matematiska innehållet. Resultatet visar bland annat skillnader i om artefakter och notationer var strukturella eller inte. Det visar också skillnader i hur lärare visar på generalisering i matematiska metoder; i vissa undervisningsepisoder gjordes det inte alls medan i vissa kunde man se det i större utsträckning. Resultatet indikerar att det finns skillnader i hur lärare skapar matematiska samband, bland annat sambanden mellan artefakter och notationer samt i vilken utsträckning lärare tar tillvara på och bygger vidare på elevinspel. / An important basis for students to solve problems of addition and subtraction, is having learned part-whole relations of numbers. Seeing parts and the whole, and understanding their relation, makes solving addition and subtraction successfully easier for students. To achieve this, they need instructions which are structured in a way that enables this. The aim of this study is to observe through a sociocultural perspective how part-whole relations of numbers is taught in primary school. The analysis has been done with the help of Mediating Primary Mathematics (MPM), taking into consideration which artefacts and inscriptions teachers use and how they mediate the mathematical content. The result shows, among other things, whether artefacts and inscriptions were or weren’t structural. It also shows differences regarding how teachers demonstrate generalizations within mathematical methods; in some lesson episodes it never occurred but in others it was more frequent. The result indicates that there are differences regarding how teachers build mathematical connections, including the connections between artefacts and inscriptions, and to which extent teachers make use of, and build on, students’ contributions.

Additiva del-helhetsrelationer innebär en förståelse för hur de tio bastalen kan kombineras och vilken relation de har till varandra. Syftet med denna studie är att undersöka vad forskning säger om hur undervisning kan skapa en förståelse för elever om tals del-helhetsrelationer. För att kunna besvara syftet har två forskningsfrågor skapats som behandlar gynnsamma metoder samt kritiska aspekter i undervisningen. Metoden för arbetet är en litteraturstudie där internationell och nationell forskning inom området har analyserats. Materialet som ligger till grund för studien har genom närläsning granskats där teman har skapats. Resultatet visar på olika metoder samt variation och samtidighet av metoder. Det framkom även att strukturerade fingermönster kan fungera som ett hjälpmedel samt att ett-till-ett-räkning i vissa fall kan skapa svårigheter för eleverna i deras beräkningsprocess. Resultatet synliggjorde att kardinalitet, ordinalitet och subitisering är betydelsefulla aspekter som påverkar förståelsen för del-helhetsrelationer. Slutligen tydliggjordes sambandet mellan addition och subtraktion där matematikens lagar och regler tydligt framkommer.

Läromedel har en styrande roll i många matematikklassrum vilket innebär att läromedel påverkar vilka uppgifter som elever erbjuds i undervisningen. Men vad är det som erbjuds i läromedel? Syftet med studien var att undersöka hur uppgifter i svenska läromedel för årskurs 1 behandlar tals additiva del-helhetsrelationer. Teorin om handlingserbjudanden och begrepp från variationsteorin har använts i syfte att utifrån ett funktionellt perspektiv undersöka vad som erbjuds i läromedel. Studien genomfördes genom en kvantitativ innehållsanalys och en kvalitativ dataanalys av fem läromedelsserier. Den kvantitativa analysen visar förekomsten av uppgifter som behandlar tals additiva del-helhetsrelationer. Den visar också att elever erbjuds olika representationsformer samt att växla mellan dessa. Språk, symbol och bild är de som erbjuds i störst utsträckning medan konkret modell endast erbjuds i ett fåtal uppgifter. Vidare visar den kvalitativa analysen skillnader i hur uppgifter är utformade för att synliggöra tals additiva del-helhetsrelationer. Uppgifternas form erbjuder elever skillnader i struktur, systematik samt i vilket utsträckning de olika sätt på vilket ett tal kan delas upp synliggörs. För att undervisningen ska främja elevers förståelse för tal och relationen mellan tal behöver läraren vara medveten om de möjligheter som läromedel erbjuder samt eventuella begränsningar. Detta för att kunna rikta elevers uppmärksamhet mot det som avses att läras. / Mathematics textbooks have a governing role in many mathematics classrooms which means that textbooks affect the tasks that learners are afforded in teaching. But what is afforded in these textbooks? The aim of the study was to investigate how Swedish textbooks for first grade treats additive part-whole relations of numbers. The theory of affordances and concepts from the variation theory has been used for the purpose, that based on a functional perspective to investigate what is afforded in textbooks. The study was conducted through a quantitative content analysis and a qualitative data analysis of five series of textbooks. The quantitative analysis shows the existence of tasks that treat additive part-whole relations of numbers. It also shows that learners are afforded different forms of representations and to switch between them. Language, symbol and image are afforded to the greatest extent while concrete model is only afforded in a few tasks. Furthermore, the qualitative analysis shows differences in how tasks are designed to make the additive part-whole relations of numbers visible. In the design of tasks, learners are afforded differences in structure, systematics and the extent to which the different ways in which a number can be divided are made visible. To promote learners´ understanding of additive part-whole relations of numbers, the teacher needs to be aware of the opportunities that textbooks can afford, as well as limitations. This is to be able to draw the learners´ attention to what is intended to be learned.

Den vanligaste arbetsformen i matematikundervisningen är att använda sig av ett läromedel. Därav vårt syfte med denna studie, som är att analysera hur tals del-helhetsrelation behandlas i den inledande undervisningen av addition och subtraktion i de tre vanligaste förekommande läromedlen i Sverige. Utifrån delar av variationsteori har vi analyserat hur innehållet i läromedlen gör det möjligt för eleverna att se och använda sig av tals del-helhetsrelation samt vilka representationer som används i läromedlen för att synliggöra tals del-helhetsrelationer. Av resultatet framgår att det inte är givet att det läromedel som används tar upp de aspekter som forskning anser är kritiska för förståelsen av tals del-helhetsrelation samt användningen av del-helhetsrelationen i addition och subtraktion. Istället visar studien att det inte alltid är möjligt för eleverna att se och förstå del-helhetsrelationen genom de uppgifter som förekommer i läromedlen. Detta i sin tur kan leda till att eleverna istället lär sig att använda strategier som inte är generaliserbara och som också kan leda till svårigheter i matematik. Resultatet visar på att det är viktigt att lärare är medvetna om vilka aspekter som är kritiska i undervisningen, samt ser läromedlet som ett komplement till sin undervisning och inte som den viktigaste arbetsformen.