Ämnesområdet som detta examensarbete utgår ifrån är aritmetikundervisning. Syftet är att undersöka hur förståelse för tals del-helhetsrelationer inverkar på elevers lärande av sambandet mellan addition och subtraktion. Syftet är även att undersöka hur förståelse för tals del-helhetsrelationer påverkar lärandet av talkamrater. Vidare undersöks vilka andra effekter förståelse för tals del-helhetsrelationer har på elevers matematiklärande. Examensarbetets metod är en litteraturstudie där forskning om del-helhetsrelationer i undervisningssammanhang undersöks. Det insamlade materialet innefattar enbart internationell litteratur mellan åren 1925 och 2013. Materialet består av 13 forskningsartiklar och en forskningsrapport samt två böcker. Resultatet visar att förståelse för tals del-helhetsrelationer är en viktig faktor i förståelsen för sambandet mellan addition och subtraktion. Genom förståelsen för tals helhet och delar får elever kunskaper som är användbara vid lärandet av talkamrater. Förståelse för tals del-helhetsrelationer har även positiv effekt på lösningar av additions- och subtraktionsproblem samt på förståelse för positionssystemet och tiotalsövergångar i både addition och subtraktion.

Aritmetik är den del inom matematiken som behandlar räknande och innefattar tals egenskaper och hur räknesätten fungerar och kan sättas i relation till varandra, däribland räknesätten addition och subtraktion. Förståelsen av tals egenskaper benämns vanligtvis som taluppfattning vilket innefattar olika aspekter av tal såsom bland annat tals del-helhetsrelationer. Tals additiva del-helhetsrelationer syftar till relationen där kvantiteten, helheten kan delas upp i två eller flera delar. Till exempel kan talet 7 delas upp i följande sammansättningar 6│1│7, 5│2│7 och 4│3│7 där 7 ses som helheten och där sammansättningarna visar de olika delarna. Syftet med denna litteraturstudie är att lyfta fram hur matematikdidaktisk forskning beskriver elevers förståelse av tals additiva del-helhetsrelationer. Arbetet är en litteraturstudie där vetenskapliga publikationer inom matematikdidaktisk forskning har lästs och analyserats. Litteraturstudien visar på hur elevers förståelse av de första naturliga talens additiva del-helhetsrelationer kan underlätta för elever att lösa addition- och subtraktionsproblem. Det har framkommit att förståelse av tals additiva del-helhetsrelationer kan underlätta för elever att se samband mellan addition och subtraktion, att se additionens kommutativa egenskap samt att använda de tio första naturliga talens additiva del-helhetsrelationer även för additions- och subtraktionsproblem med tiotalsövergång genom att använda tio som referenspunkt. Det har även framkommit faktorer i undervisningen som främjar elevers förståelse av tals additiva del-helhetsrelationer däribland aktiviteter där eleverna ges möjlighet att utforska och kommunicera om deras förståelse. Litteraturstudien visar även att läraren har en viktig roll för att skapa en undervisning som främjar elevers förståelse. Med hjälp av strukturella representationer kan läraren synliggöra relationen mellan delarna samt mellan delarna och helheten. Vidare belyser litteraturstudien vikten av att läraren använder gester och tal för att rikta elevernas uppmärksamhet på det som undervisningen avser att lära.

För att elever ska utveckla kunskap om matematiska principer behöver de ha kunskap om tals additiva del-helhetsrelationer och relationen mellan addition och subtraktion. Addition och subtraktion är varandras invers och det är viktigt att eleverna lär sig att addition och subtraktion inte är åtskilda räknesätt. En välstuderad matematisk princip som beskriver den här relationen är inverse principle, vilket skrivs som 𝑎+ 𝑏− 𝑏= 𝑎 eller 𝑎− 𝑏+ 𝑏= 𝑎. Däremot har få studier riktat in sig på den matematiska principen complement principle, vilket innebär sambandet mellan 𝑎+ 𝑏= 𝑐 och 𝑐− 𝑏= 𝑎. Därför är syftet med litteraturstudien att utifrån matematikdidaktisk forskning belysa elevers förståelse för matematiska principer genom addition och subtraktion. Syftet besvaras genom frågorna: Hur kan förståelse för addition och subtraktion underlätta för elever när de utvecklar kunskap om inverse principle och complement principle samt vilken betydelse har konkret material för elevers förståelse för inverse principle och complement principle.  Genom en systematisk informationssökning som utgår från tidigare forskning har internationellt vetenskapligt material samlats in. Litteraturstudien har inriktats mot elever i skolans lägre årskurser. Resultatet visar att förståelse för de matematiska principerna grundas i elevers förståelse för del-helhetsrelationer och hur de förstår relationen mellan addition och subtraktion. Resultatet visar även att begreppet complement principle är komplext men med hjälp av konkret material kan elever lättare att ta till sig och använda principen. Elever verkar förstå de matematiska principerna lättare när de får det beskrivet med konkret material. Det finns en möjlighet att elever utvecklar förståelse för complement principle genom sin förståelse för inverse principle.

The aim of this master thesis was to explore what learning students developed in mathematics when using an interactive digital tool. The issue the study focused was what cardinality skills five-year-old students established when playing Fingu by investigating how they handled the critical aspects of cardinality. Research agrees that the ability to compose and decompose numbers in a flexible way is a basic mathematical competence and an important prerequisite for developing arithmetic skills (Anghileri, 2006; Locuniak & Jordan, 2008; Neuman, 1987; Nunes & Bryant, 2007). Another basic competence in developing counting skills is the ability to rapidly perceive the exact number of objects in a group instead of counting one-by-one (Clements & Sarama, 2014).Fingu, is a game where to two different sets of fruits are visable on a screen and the player are supposed to represent the total amount of fruits with an equal number of fingers by touching the screen. In total there are 60 different tasks with different configurations, combinations and different sums up to ten. In a research project between the university of Gothenburg and the University of Kristianstad, called Conditions and tools for development of arithmetic competencies (CoDAC), 112 students between five to eight years old participated in an intervention where they played Fingu regularly over an eight-week period. The results from the CoDAC-project showed that there was a small positive effect for all ages on a standardized test. Data base for this follow-up study was derived from the CoDAC project. The method used was mainly video-observations and the results were presented as case studies where students' changed ways of representing and transforming numbers were qualitatively analysed. Variation theory and Nunes & Bryants (2007) further development of Piagets theory of how children develop an understanding of cardinality was used for interpreting what learning in mathematics Fingu support and what cardinality skills five-year-old students established when playing Fingu. The results of the study showed that all students increased their understanding of the cardinal aspect of numbers but also that there was a variation in the skills that the students developed. Furthermore, it can be noted that the students' subitize competence were developed. The implication of this study is that it seems promising to use Fingu as an early intervention in pre- and primary school. The results are also consistent with previous findings that digital tools can have a positive effect even though the intervention is limited in time.

I detta arbete undersöks kunskap om bråkbegreppet hos fyra olika lärare och hur de använder denna kunskap i sin undervisning. Resultaten diskuteras bl a med utgångspunkt från Liping Mas bok Knowing and teaching elementary mathematics. Undersökningen har en subjektiv dimension bestående av intervjuer med lärarna. Begreppskunskapen fokuserar på division av bråktal, innehållsdivision och del – helhetsaspekten. Resultatet visar på att det finns stora skillnader men också likheter i lärarnas kunskaper om bråkbegreppen och deras undervisning. De lärare som har bäst kunskaper om bråkbegreppet är de som har längst erfarenhet i yrket och bedriver eller har bedrivit ett aktivt samarbete med kollegor om undervisningen.

Detta arbete syftar till att framställa lektionsplanering anpassad för utomhuspedagogik i ämnesområdet matematik och mer specifikt inom bråk. Planeringen är tänkt att kunna tillämpas i grundskolans senare årskurser och gymnasiet A-kursen. För att kunna bygga en grund för vårt resultat har vi forskat i tidigare forskning inom berörda områden så som utomhuspedagogik, laborativt arbetssätt, lärande, grupparbete samt bråk. Resultatet blev en planering som sträcker sig över fyra lektioner samt tillhörande lärarhandledningar. Lektionerna innehåller del- helhets- och operationsbegreppen för bråk samt applicering av de fyra räknesätten på bråktal.