Dans cette thèse, nous démontrons de nouvelles propriétés algébriques et homotpiques des opérades : probème du scindage des opérations et dualité de Koszul sur une algbre de Hopf. Dans une première partie, nous fournissons une construction opéradique qui donne un cadre général répondant au problème du scindage des opérations définissant des structures algébriques. Nous montrons que cette construction est équivalente au produit noir de Manin et qu'elle est reliée aux opérateurs de Rota-Baxter. Nous obtenons ainsi une méthode plus efficace pour calculer des produits noirs de Manin, illustrée par plusieurs exemples. Ceci nous permet de décrire une structure algébrique canonique sur l'espace des matrices carrées à coefficients dans une algèbre sur un certain type d'opérades. Dans une seconde partie, nous étendons la dualité de Koszul classique de opérades aux catégories de modules sur une algèbre de Hopf. Ceci nous permet d'obtenir une nouvelle version optimale du théorème de transfert homotopique. Dans ce cas, nous pouvons décrire la structure d'algèbre de Batalin-Vilkovisky, par exemple, transférée à travers une équivalence d'homotopie lorsqu'il y a compatibilité entre les données homotopique et algébrique.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux propriétés homotopiques des algèbres sur une opérade, desopérades elles-mêmes et des opérades colorées, dans le monde des complexes de chaînes. Nousintroduisons une nouvelle adjonction bar-cobar entre les opérades unitaires et les coopéradesconilpotentes courbées. Ceci nous permet de munir ces dernières d'une structure de modèles induite parla structure projective des opérades le long de cette adjonction, qui devient alors une équivalence deQuillen. Ce résultat permet de passer, sans perte d'information homotopique, dans le monde descoopérades qui est plus puissant : on peut y décrire, par exemple, les objets fibrants-cofibrants en termesd'opérades à homotopie près. Nous appliquons ensuite la même stratégie aux algèbres sur une opérade.Pour cela, on munit la catégorie des cogèbres sur la coopérade duale de Koszul d'une structure demodèles induite par celle de la catégorie des algèbres d'origine le long de leur adjonction bar-cobar, quidevient une équivalence de Quillen. Cela nous permet de décrire explicitement pour la première fois despropriétés homotopique des algèbres sur une opérade non nécessairement augmentée. Dans unedernière partie, nous introduisons la notion d'opérade colorée à homotopie près que nous arrivons àcomparer aux infinies-opérades de Moerdijk--Weiss au moyen d'un foncteur : le nerf dendroidal. Nousmontrons qu'il étend des constructions dues à Lurie et à Faonte et nous étudions ses propriétéshomotopiques. En particulier, sa restriction aux opérades colorées est un foncteur de Quillen à droite.Tout ceci permet de relier explicitement deux mondes des opérades supérieures / This thesis deals with the homotopical properties of algebras over an operad, of operads themselves andof colored operads, in the framework of chain complexes. We introduce a new bar-cobar adjunctionbetween unital operads and curved conilpotent cooperads. This allows us to endow the latter with aDépôt de thèseDonnées complémentairesmodel structure induced by the projective model structure on operads along this adjunction, which thenbecomes a Quillen-equivalence. This result allows us to study the homotopy theory of operads in theworld of cooperads which is more powerful: for instance, fibrant-cofibrant objects can be described interms of operads up to homotopy. We then apply the same strategy to algebras over an operad. Morespecifically, we endow the category of coalgebras over the Koszul dual cooperad with a model structureinduced by that of the category of algebras along their bar-cobar adjunction, which becomes a Quillenequivalence.This allows us to describe explicitly for the first time some homotopy properties of algebrasover a not necessarily augmented operad. In the last part, we introduce the notion of homotopy coloredoperad that we compare to Moerdijk--Weiss' infinity-operads by means of a functor: the dendroidalnerve. We show that it extends existing constructions due to Lurie and Faonte and we study itshomotopical properties. In particular, we show that its restriction to colored operads is a right Quillenfunctor. All this allows us to connect explicitly two different worlds of higher operads

Cette thèse explore la relation entre les catégories de modules sur les catégories différentielles graduées (abrégées DG) petites, d'une part, et les catégories triangulées bien engendrées d'autre part. Dans la première partie, on construit la catégorie dérivée $\alpha$-continue D_\alpha A d'une catégorie DG $\alpha$-cocomplète petite A, où $\alpha$ est un cardinal régulier. Cette construction jouit d'une propriété très intéressante, qui est la clef pour démontrer le théorème principal de la thèse. Les catégories D_\alpha A s'avèrent être les prototypes des catégories triangulées algébriques à engendrement $\alpha$-compact. On entend par algébrique, équivalente, en tant que catégorie triangulée à la catégorie stable d'une catégorie de Frobenius. Le résultat principal établit que les catégories algébriques bien engendrées sont précisément celles qui sont des localisations de la catégorie dérivée d'une catégorie DG petite. Ce résultat rappelle beaucoup un théorème de Gabriel et Popescu de 1964, qui caractérise les catégories abéliennes de Grothendieck comme des localisations de catégories de modules sur des anneaux. Il donne aussi une réponse positive à une question de Drinfeld qui demandait si toutes les catégories triangulées bien engendrées sont des localisations de catégories triangulées à engendrement compact, pour la classe des catégories triangulées algébriques. Dans la deuxième partie, on étudie les catégories DA et D_\alpha A en utilisant la structure projective de catégories de modèles de Quillen présente sur la catégorie des DG modules. On introduit la sous-catégorie des DG modules cofibrants homotopiquement $\alpha$-compacts et on montre que sa catégorie homotopique est précisément la catégorie dérivée $\alpha$-continue D_\alpha A. Cela nous permet de donner une deuxième preuve, complètement différente du résultat-clef de la première partie.

Nous généralisons au contexte des faisceaux analytiques cohérents un résultat classique de Koszul-Malgrange concernant l'intégrabilité des connexions de type $(0,1)$ sur un fibré vectoriel complexe $(\cal C)^(\infty)$ au dessus d'une variété complexe. En introduisant la notion de faisceau $\bar(\partial)$-cohérent, qui est une notion qui vit dans le contexte $(\cal C)^(\infty)$, nous montrons l'existence d'une équivalence (exacte) entre la catégorie des faisceaux analytiques cohérents et la catégorie des faisceaux $\bar(\partial)$-cohérents. L'application principale de cette caractérisation est une méthode (la $\bar(\partial)$-stabilité) qui permet de trouver des structures analytiques lesquelles sont obtenues par déformation $\ci$ d'autres structures analytiques. En suite nous conjecturons, comme dans le cas analytique complexe, que la notion de plurisousharmonicité pour une fonction $u$ sur une variété presque complexe est équivalente à la positivité du $(1,1)$-courant $i\partial\bar(\partial)u$. Nous montrons la nécessité de la positivité de ce courant. Nous montrons aussi la suffisance de la positivité dans le cas particulier d'une fonction semi-continue supérieurement et continue en dehors du lieu ou elle vaut $-\infty$.

La théorie des catégories (TC) vaut tant par ses applications mathématiques que par les débats philosophiques qu'elle suscite. Elle sert à exprimer en topologie algébrique, à déduire en algèbre homologique et, en tant qu'alternative à la théorie des ensembles, à construire des objets en géométrie algébrique dans la conception de Grothendieck. Des sources non publiées montrent que Grothendieck quitta le groupe Bourbaki à l'issue d'un débat sur la TC relevant en partie de l'épistémologie, notamment quant à la réalisation ensembliste des constructions catégorielles. Nous soutenons que la TC est fondamentale, car elle traite d'opérations typiques de la mathématique de structures : d'après notre position pragmatique, la justification de la connaissance mathématique ne se fait pas par la réduction à des objets de base mais plutôt, à chaque niveau, par rapport au sens commun technique (les théories de niveau ultérieur ont pour objets les théories des objets originaux).

Ce travail peut être divisé en trois partie: 1. Théorie des groupes. Il s'agit ici d'une étude de la structure du groupe T de Thompson. On explique la notion de la mutation linéaire par morceaux et on obtient la nouvelle présentation de ce groupe en termes des génerateurs et relations. 2. Géometrie birationnelle. On étudie en détail le groupe de Cremona qui est un groupe des automorphismes birationnels du plan projectif. En particulier on s'interesse à son sous-groupe Symp des elements qui préserve le crochet de Poisson dit logarithmique, aussi bien qu'à un sous-groupe H engendré par SL(2,Z) et par les mutations. On construit des limites projectives des surfaces sur lesquelles ces groupes agissent régulièrement, et on en déduit les répresentations linéaires de ces groupes dans les limites inductives des groupes de Picard des surfaces. 3. Algèbre homologique. A partir d'une variété algébrique on construit une catégorie triangulée qui ne dépend que de sa classe birationnelle. En utilisant la technique de quotient de dg-catégories, on calcule explicitement cette catégorie pour les surfaces rationnelles. Comme consequence on obtient l'action du groupe de Cremona sur une algébre non-commutative par les automorphismes extérieures. On donne les applications de ces résultats aux formules des mutations des variables non-commutatives.