Ce travail est divisé en deux axes de recherches. Le premier axe concerne l'étude de quelques systèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires issus de la modélisation macroscopique des composants semi-conducteurs. Le deuxième axe de recherche est consacré à l'étude de quelques problèmes d'identification. Nous nous intéressons en particulier à deux types de problèmes d'identification. Le premier concerne la reconstruction des données sur le bord pour des problèmes elliptiques. Le deuxième type de problèmes auquel nous nous sommes intéressés est celui de l'identification des frontières dans des problèmes gouvernés par des équations elliptiques.

Dans ce travail, la structuration de phases HDL en matrices macroporeuses a été réalisée grâce à l'utilisation d'un arrangement ordonné de sphères comme empreinte sacrificielle. Les phases HDL sont obtenues en précipitant les sels métalliques adsorbés à la surface de billes de PS ordonnées, en présence de soude. Un réseau 3D poreux est finalement obtenu soit par dissolution ou bien calcination de l'empreinte. Ces matrices HDL macroporeuses conservent leur propriétés d'intercalation et leur richesse de composition. La macroporosité ordonnée est maintenue lors de la décomposition thermique des phases HDL en oxydes. Cette macroporosité présente dans les phases HDL permet l'amélioration de l'adsorption, évaluée sur l'Orange II, et la photodégradation d'un pesticide par des anions décatungstate immobilisés. A partir de ces matrices macroporeuses, des carbones à porosité hiérarchisée ont été élaborés

Les questions que se pose le glaciologue peuvent souvent être identifiées à des problèmes inverses. C'est ce qui est illustré dans ce travail à travers trois exemples: * Reconstruction des températures du passé : nous essayons de combiner l'information donnée par la composition isotopique de la glace et le profil de température mesuré à Vostok (Antarctique). Cette approche suggère que le profil de température ne permet pas de donner de meilleure estimation de la température du dernier stade glaciaire à Vostok que le thermomètre isotopique classique. * Reconstruction de la composition de l'atmosphère du passé: lors de la transformation de la neige en glace, des bulles d'air de composition voisine de celle de l'atmosphère sont emprisonnées dans la porosité de la glace. Différents processus naturels peuvent altérer la composition de la bulle et l'interprétation des mesures n'est pas immédiate. Nous proposons ici une méthode de déconvolution du signal atmosphérique prenant en compte les phénomènes de diffusion et de gravitation dans le névé polaire. Nous appliquons ensuite cette méthode à l'interprétation des mesures de méthane, CFCs et rapport isotopique du méthane dans le névé et la glace. * Reconstruction des propriétés rhéologiques de la glace à grande échelle : les iceshelves (plates-formes de glace flottantes) constituent avec les ice-streams (fleuves de glace) les éléments dynamiques de la calotte Antarctique. Leur rhéologie est un paramètre important à prendre en compte pour prédire l'évolution de la géométrie de la calotte Antarctique. Nous montrons comment retrouver ce paramètre critique à partir d'un modèle d'écoulement et de mesures de terrain, puis nous fournissons une carte de viscosité apparente du Ross Ice Shelf (Antarctique de l'Ouest). Les techniques d'inversion décrites dans ce travail sont classiques dans de nombreux domaines de la géophysique, mais elles sont peu connues en glaciologie. En les appliquant sous une forme simplifiée, nous nous sommes efforcés de montrer ce qu'elles peuvent apporter à la glaciologie et quelles sont leurs limites.

L'analyse idempotente étudie les espaces linéaires de dimension infinie dans lesquels l'opération maximum se substitue à l'addition habituelle. Nous démontrons un ensemble de résultats dans ce cadre, en soulignant l'intérêt des outils d'approximation fournis par la théorie des domaines et des treillis continus. Deux champs d'étude sont considérés : l'intégration et la convexité. En intégration idempotente, les propriétés des mesures maxitives à valeurs dans un domaine, telles que la régularité au sens topologique, sont revues et complétées ; nous élaborons une réciproque au théorème de Radon-Nikodym idempotent ; avec la généralisation Z de la théorie des domaines nous dépassons différents travaux liés aux représentations de type Riesz des formes linéaires continues sur un module idempotent. En convexité tropicale, nous obtenons un théorème de type Krein-Milman dans différentes structures algébriques ordonnées, dont les semitreillis et les modules idempotents topologiques localement convexes ; pour cette dernière structure nous prouvons un théorème de représentation intégrale de type Choquet : tout élément d'un compact convexe K peut être représenté par une mesure de possibilité supportée par les points extrêmes de K. Des réflexions sont finalement abordées sur l'unification de l'analyse classique et de l'analyse idempotente. La principale piste envisagée vient de la notion de semigroupe inverse, qui généralise de façon satisfaisante à la fois les groupes et les semitreillis. Dans cette perspective nous examinons les propriétés "miroir" entre semigroupes inverses et semitreillis, dont la continuité fait partie. Nous élargissons ce point de vue en conclusion.

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L'objectif de cette thèse est de proposer des méthodes fiables, efficaces et rapides pour minimiser des critères convexes apparaissant dans la résolution de problèmes inverses en imagerie. Ainsi, nous nous intéresserons à des problèmes de restauration/reconstruction lorsque les données sont dégradées par un opérateur linéaire et un bruit qui peut être non additif. La fiabilité de la méthode sera assurée par l'utilisation d'algorithmes proximaux dont la convergence est garantie lorsqu'il s'agit de minimiser des critères convexes. La quête d'efficacité impliquera le choix d'un critère adapté aux caractéristiques du bruit, à l'opérateur linéaire et au type d'image à reconstruire. En particulier, nous utiliserons des termes de régularisation basés sur la variation totale et/ou favorisant la parcimonie des coefficients du signal recherché dans une trame. L'utilisation de trames nous amènera à considérer deux approches : une formulation du critère à l'analyse et une formulation du critère à la synthèse. De plus, nous étendrons les algorithmes proximaux et leurs preuves de convergence aux cas de problèmes inverses multicomposantes. La recherche de la rapidité de traitement se traduira par l'utilisation d'algorithmes proximaux parallélisables. Les résultats théoriques obtenus seront illustrés sur différents types de problèmes inverses de grandes tailles comme la restauration d'images mais aussi la stéréoscopie, l'imagerie multispectrale, la décomposition en composantes de texture et de géométrie. Une application attirera plus particulièrement notre attention ; il s'agit de la reconstruction de l'activité dynamique en Tomographie par Emission de Positrons (TEP) qui constitue un problème inverse difficile mettant en jeu un opérateur de projection et un bruit de Poisson dégradant fortement les données observées. Pour optimiser la qualité de reconstruction, nous exploiterons les caractéristiques spatio-temporelles de l'activité dans les tissus.

Cette thèse porte sur l'analyse mathématique de modèles de réaction-dispersion. L'objectif est de comprendre l'influence du terme de réaction, de l'opérateur de dispersion, et de la donnée initiale sur la propagation des solutions de ces équations. Nous nous sommes intéressés principalement à deux types d'équations de réaction-dispersion : les équations de réaction-diffusion où l'opérateur de dispersion différentielle est le laplacien et les équations intégro-différentielles pour lesquelles l'opérateur de dispersion est de type convolution. Dans le cadre des équations de réaction-diffusion en milieu homogène, nous proposons une nouvelle approche plus intuitive concernant les notions de fronts progressifs tirés et poussés. Cette nouvelle caractérisation nous a permis de mieux comprendre d'une part les mécanismes de propagation des fronts et d'autre part l'influence de l'effet Allee, correspondant à une diminution de la fertilité à faible densité, lors d'une colonisation. Ces résultats ont des conséquences importantes en génétique des populations. Dans le cadre des équations de réaction-diffusion en milieu hétérogène, nous avons montré sur un exemple précis comment la fragmentation du milieu modifie la vitesse de propagation des solutions. Enfin, dans le cadre des équations intégro-différentielles, nous avons montré que la nature sur- ou sous-exponentielle du noyau de dispersion $J$ modifie totalement la vitesse de propagation. Plus précisément, la présence de noyaux de dispersion à queue lourde ou à décroissance sous-exponentielle entraîne l'accélération des lignes de niveaux de la solution.

La compréhension du comportement thermomécanique des matériaux bitumineux et la durabilité de l'interface bitume-granulat sont des facteurs clés pour prédire l'endommagement des chaussées. Dans ce cadre, cette thèse s'attache à évaluer la qualité du collage entre le bitume et le granulat par une méthode thermique originale dans les conditions de fabrication d'enrobés bitumineux tièdes. Elle vise ensuite à étudier l'influence de la qualité de collage sur leurs performances mécaniques. Dans le chapitre 1, les différentes techniques de caractérisation mécanique des perfmances mécaniques et de l'interface bitume-granulat y sont présentées. Il s'agit essentiellement d'essais permettant d'évaluer le désenrobage bitume-granulat sous l'action de l'eau. Les chapitres 2 et 3 fournissent une description des mécanismes de transferts thermiques qui s'opèrent lors de la mise contact de deux milieux de températures différentes. Les bases théoriques sont présentées pour permettre de formuler et de résoudre le problème de conduction inverse résultant de la mise en contact du bitume et du granulat en vue d'estimer la résistance thermique de contact (RTC). La description du protocole expérimental pour déterminer la RTC ainsi que l'étude des propriétés thermophysiques et de mouillabilité des matériaux font l'objet des chapitres 4 et 5. La RTC est utilisée comme indicateur de la qualité du collage bitume-granulat et les résultats obtenus sont présentés et interprétés dans le chapitre 6. Les chapitres 7 et 8 présentent des résultats complémentaires de performances mécaniques des enrobés et des liants bitumineux, étudiés dans les Chapitres précédents et utilisés pour la formulation d'enrobés ou le dimensionnement de chaussées.

Cette thèse propose une technique innovante de diagnostic non invasive pour les systèmes piles à combustible. Cette technique s'appuie sur la mesure de la signature magnétique générée par ces systèmes. A l'aide de ces champs magnétiques externes, il est possible d'obtenir une cartographie de la densité de courant interne par résolution d'un problème inverse. Ce problème est néanmoins mal posé : la solution est non unique et est extrêmement sensible au bruit. Des techniques de régularisation ont ainsi été mises en place pour filtrer les erreurs de mesures et obtenir une solution physiquement acceptable. Afin d'augmenter la qualité de reconstruction des courants, nous avons conçu notre outil de diagnostic de manière à ce qu'il soit uniquement sensible aux défaillances de la pile (capteur de défauts). De plus, cette reconstruction se base sur un nombre extrêmement faible de mesures. Une telle approche facilite l'instrumentation du système et augmente la précision et la rapidité de celui-ci. La sensibilité de notre outil à certaines défaillances (assèchements, appauvrissement en réactifs, dégradations) est démontrée.

Etude d'équations de croissance et de fragmentation, problèmes inverses et directs, et applications en biologie