Les travaux présentés dans cette thèse sont divisés en quatre parties. La première est consacrée à la présentation du modèle de reconstruction tomographique. Dans la deuxième partie, nous traitons une approche variationnelle qui consiste en un problème de minimisation non-différentiable avec une contrainte non convexe, d'intérieur vide pour les topologies usuelles. L'étude numérique de l'approche précédente est faite dans la troisième partie. Elle est basée sur le système d'optimalité, la méthode d'Uzawa et une méthode de gradient à pas optimal pour écrire un schéma numérique. Dans la quatrième partie, nous nous intéressons à l'approche par lignes de niveaux pour résoudre des problèmes de propagation de fronts. Cette méthode fait apparaître des équations de type Hamilton-Jacobi du second ordre avec un terme non-local. Nous prouvons l'existence et l'unicité d'une solution de viscosité pour ces équations dans deux cas: celui des fronts compacts et celui des fronts non compacts. / The thesis at hand is composed of four parts. The first of which is devoted to present our model of tomographic reconstruction. The second part treats a non-differentiable variational problem with a non-convex constraint the interior of which is empty for usual topologies. A numerical study of the above approach is elaborated in the third part. A numerical scheme is derived based upon our optimal system, the method of Uzawa and a gradient descent method. In the last part, we use a level-set approach to solve the front propagation problem. A second order Hamilton-Jacobi type equation with a non-local term comes into play. We prove the existence and uniqueness of a viscosity solution in both compact and non-compact fronts cases.

Dans le contexte de l'optimisation de formes par la méthode des courbes de niveaux, nous nous intéressons à certains nouveaux problèmes : l'optimisation de valeurs propres multiples, l'optimisation de la compliance robuste et l'optimisation du critère de flambement. Nous résolvons aussi deux importants problèmes numériques par le couplage avec le gradient topologique et la méthode de régularisation de la vitesse. Nous proposons aussi dans cette thèse un chapitre destiné à montrer les problèmes numériques propres à la méthode des courbes de niveaux et nous montrons les “trucs” numériques utilisés pour résoudre ces problèmes.

La reconstruction de surface, à partir de données échantillonnées, est un thème de recherche important et très actif depuis quelques années. L'enjeu est de pouvoir générer toute sorte de géométries et de topologies. Le but de ce travail est de trouver une surface régulière Gamma (typiquement de classe C2), passant au plus près de tous les points d'un échantillon V donné, c'est-à-dire telle que la distance euclidienne d(x, Gamma) soit minimale pour tout x dans V. Pour cela, on formule le problème à l'aide d'une équation aux dérivées partielles qui va caractériser l'évolution d'une surface Gamma(t). Cette EDP est composée d'un terme d'attraction, qui permet à Gamma(t) d'avancer jusqu'à V, et d'un terme de tension de surface, dont le rôle est de préserver la régularité de Gamma(t) au cours du temps. On montre d'abord que le problème est bien posé, c'est-à-dire que sa solution existe et qu'elle est unique. Cette EDP est ensuite résolue numériquement à l'aide de la méthode des lignes de niveau, et grâce à des schémas numériques spécifiques (avec approximation des dérivées d'ordre un et deux en espace en chaque noeud du maillage), sur des triangulations adaptées et anisotropes (pour améliorer la précision du résultat). D'un point de vue analyse, on montre que ces schémas sont consistants et stables en norme L2. Des exemples d'applications sont présentés pour illustrer l'efficacité de notre approche.

Cette thèse porte sur des aspects théoriques et numériques de l'optimisation de forme ainsi que sur la stabilisation de fonctions solutions d'équations aux dérivées partielles. Dans la première partie, on s'intéresse à la minimisation des valeurs propres du laplacien avec conditions aux limites de Dirichlet. On étudie plus particulièrement la minimisation de la seconde valeur propre du laplacien sous contraintes de volume et de convexité. Après avoir démontré certaines propriétés qualitatives d'un ouvert optimal (régularité minimale et maximale, description géométrique du bord), nous répondons à une question posée par Troesh en 1973 : le stade (enveloppe convexe de deux disques tangents de memes rayons) n'est pas un ouvert optimal pour ce problème d'optimisation. Dans un deuxième chapitre, nous présentons différents résultats numériques ayant trait à la minimisation d'une valeur propre de rang donné. Dans un second temps, nous exposons certaines propriétés qualitatives d'un ensemble solution d'un problème de transport optimal. Là encore, ce travail est complété par des illustrations numériques obtenues à l'aide d'un algorithme de type stochastique. Le travail de la dernière partie est consacré à la stabilisation rapide de l'équation des ondes par des méthodes d'analyse non harmonique. Nous y présentons aussi un nouveau résultat de monotonie concernant des suites de zéros des dérivées de fonctions de Bessel.

Cette thèse porte sur l'optimisation de forme via la méthode des "level sets" pour deux comportements mécaniques induisant des déplacements non différentiables par rapport à la forme: le contact et la plasticité. Pour y remédier, nous utilisons des problèmes approchés issus de méthode de pénalisation et de régularisation.Dans la première partie, nous présentons quelques notions fondamentales d'optimisation de forme (chapitre 1). Puis nous exposons les résultats qui seront utiles à l'analyse des deux problèmes mécaniques considérés et nous illustrons ces résultats.La deuxième partie introduit les modèles statiques de contact (chapitre 3) et le modèle statique de plasticité (chapitre 4) que nous utilisons dans le manuscrit. Pour chacun, nous donnons les bases de la modélisation mécanique, une analyse mathématique des inéquations variationnelles associées et nous expliquons quels solveurs nous avons implémentés.La dernière partie se focalise sur l'optimisation de forme. Dans chacun des chapitres nous donnons les versions pénalisées et régularisées des modèles, prouvons, pour certains, leur convergence vers les modèles exactes, calculons leurs gradients de forme et proposons des exemples 2D et, en contact, 3D. Ainsi, dans le chapitre 5, traitons-nous du contact et considérons deux sortes de problèmes: le premier dans lequel la zone de contact est fixe, le second dans lequel la zone de contact est optimisable. Pour ce dernier, nous introduisons deux méthodes pour résoudre du contact sans discrétiser la zone de contact. Dans le chapitre 6, nous abordons le modèle de Hencky que nous approximons grâce à une pénalisation de Perzyna ainsi que grâce à un modèle de notre crue. / The main purpose of this thesis is to perform shape optimisation, in the framework of the level set method, for two mechanical behaviours inducing displacement which are not shape differentiable: contact and plasticity. To overcome this obstacle, we use approximate problems found by penalisation and regularisation.In the first part, we present some classical notions in optimal design (chapter 1). Then we give the mathematical results needed for the analysis of the two mechanical problems in consideration and illustrate these results.The second part is meant to introduce the five static contact models (chapter 3) and the static plasticity model (chapter 4) we use in the manuscript. For each chapter we provide the basis of the mechanical modeling, a mathematical analysis of the related variational inequations and, finally, explain how we implement the associated solvers.Eventually the last part, consisting of two chapters is devoted to shape optimisation. In each of them, we state the regularised versions of the models, prove, for some of them, the convergence to the exact ones, compute shape gradients and perform some numerical experiments in 2D and, for contact, in 3D. Thus, in chapter 5, we focus on contact and consider two types of optimal design problems: one with a fixed contact zone and another one with a mobile contact zone. For this last type, we introduce two ways to solve frictionless contact without meshing the contact zone. One of them is new and the other one has never been employed in this framework. In chapter 6, we deal with the Hencky model which we approximate thanks to a Perzyna penalised problem as well as a home-made one.

Les travaux présentés dans le cadre de cette habilitation à diriger des recherches portent essentiellement sur l'analyse de scènes à partir de caméras mobiles avec pour application immédiate l'apport d'une vision par ordinateur efficace dans les systèmes d'aide à la conduite. L'idée initiale est que l'autonomie d'un système implique, ne serait-ce que pour raisons énergétiques, une faible variété d'opérateurs de perception, dont les algorithmes de vision. Les "primitives" extraites des images seront intrinsèquement robustes et stables vis-à-vis de perturbations variées. Elles doivent de plus anticiper, voire faciliter, un processus de décision à divers niveaux voulu systématique. Les lignes de niveaux répondent parfaitement à ces contraintes : on vérifie sans peine leur robustesse et leur abondance dans une image suggère et alimente un processus de décision cumulatif (manipulant un objet unique : l'histogramme). Nos efforts se sont alors concentrés sur deux aspects : 1) le premier concerne la définition d'une méthodologie cohérente dans laquelle un processus primaire d'extraction de lignes de niveaux est enrichi afin de permettre la construction de primitives plus complexes guidée par le modèle de déformation de l'image. Le nombre de composants donc la forme des primitives est fonction directe du nombre de variables caractérisant le mouvement (déformation) à déterminer. 2) Le second intéresse une méthode de décision cumulative unifiée permettant de traiter des thèmes applicatifs de complexité croissante. Nos travaux se déclinent alors en trois niveaux de cumul, chacun associé de manière réconfortante à un stade de l'analyse d'images. 1) Au plus bas niveau, nous retenons l'information binaire apparition/disparition d'une primitive dans le temps. La complexité se situe strictement sur l'axe temporel. Le cumul dans le temps nous permet ainsi de reconstruire la scène fixe et donc par soustraction du fond, l'image des objets mobiles. Les espaces de vote sont 1D et multiples, affectés à chaque primitive. 2) Le consensus se voudrait spatio-temporel au deuxième niveau pour identifier le mouvement. Il restera d'abord spatial en pratique pour raisons de complexité : des primitives voisines dans l'image s'associent pour former des "pré-objets" contraints exhibant ainsi des invariants exploitables : leur mouvement à instancier doit être cohérent. Le cumul s'opère donc cette fois selon un modèle de mouvement de la caméra. Les primitives votent pour la transformation globale qui les aurait conduites dans leur nouvelle position. L'espace de vote est commun à toutes les primitives et multidimensionnel (une dimension par paramètre de mouvement). 3) Au niveau le plus élevé, la sémantique accrue implique des hypothèses à la fois sur les primitives et sur l'origine du mouvement. Les primitives sont supposées appartenir à un même objet 3D (ex. un plan) présentant, pour un modèle de déplacement du capteur donné, une propriété caractéristique commune des vecteurs vitesse qui permet de l'extraire. Notamment, leurs amplitudes sont constantes le long de courbes image prédéfinies par leurs équations analytiques. Les primitives ne votent plus selon leur structure mais selon leur vitesse. Dans le cas d'une scène 3D approximée par un ensemble de plans et d'une caméra à mouvement majoritairement longitudinal, l'espace de vote (c-velocité) présente 2 dimensions : une pour la vitesse, l'autre pour le paramètre des courbes iso-vitesse. Chaque vitesse vote sur sa courbe. Les surfaces 3D émergent dans cet espace de vote comme courbes 2D connues (droites ou paraboles). Les thèmes applicatifs traités pour illustrer notre démarche sont de complexité croissante : détection et estimation du mouvement en caméra fixe, recalage d'images en caméra mobile (type de mouvement connu et profondeur des objets contrainte) puis estimation générale du mouvement propre et de la structure de la scène en caméras embarquées sur un véhicule mobile. Les résultats obtenus montrent comment un choix de primitives robustes associé à un processus de décision cumulatif permet la réutilisation des opérateurs dans tous les secteurs. Les systèmes proposés ont la particularité d'être compacts et cohérents, propriété recherchée dans les applications considérées.

Ce travail est consacré à la résolution e?cace de problèmes d’optimisation de forme ou de contrôle d’écoulements. Le couplage entre la pénalisation, permettant d’imposer des conditions aux bords sur maillage cartésien, et la méthode Level-Set, autorisant une représentation d’obstacles non-paramétrique et un suivi d’interface précis, est implémenté. En première partie, un problème inverse modèle, puis une optimisation géométrique en régime de Stokes, sont traités itérativement. Une attention particulière est portée à la solution des EDP près des zones pénalisées, et une montée en ordre est réalisée. Divers préconditionnements du gradient de forme sont aussi discutés a?n d’améliorer la convergence. La seconde partie est dédiée à la simulation directe d’écoulements au voisinage d’un actionneur dans le cadre d’un contrôle par jets pulsés exercé sur le corps d’Ahmed. L’étude locale montre l'in?uence de paramètres comme la fréquence de pulsation ou l’allure des pro?ls de vitesse en sortie sur la qualité de l’action. En guise de synthèse, une optimisation de la forme de l’actionneur du chapitre deux est pratiquée sous contraintes topologiques et dans un cadre simpli?é, à l’aide du couplage Level-Set/pénalisation préalablement introduit. L’objectif du problème inverse posé est de modi?er la géométrie intérieure du MEMS pour obtenir un pro?l de vitesses désiré en sortie de jet. / This work deals with e?cient numerical solving of problems linked with shape optimization or ?ow control. The combination between penalization, that allows to impose boundary conditions while avoiding the use of body-?tted grids, and Level-Set methods, which enable a natural non-parametric representation of the geometries to be optimized, is implemented. In the ?rst part, a model inverse problem, and an application pertaining to optimal design in Stokes ?ows, are treated with an iterative algorithm. Special care is devoted to the solution of the PDE’s in the vicinity of the penalized regions. The discretization accuracy is increased. Various gradient preconditionings aiming at improving the convergence are also discussed. The second part is dedicated to direct numerical simulation of ?ows in the neighborhood of an actuator, in the context of active control by pulsed jets used on the Ahmed body. The local study emphasizes the in?uence of various parameters on the action quality, in particular the pulsation frequency, or the aspect of exit velocity pro?les. As a synthesis, shape optimization is performed on the actuator of chapter two, thanks to the previously introduced coupling between Level-Set and penalization. The framework is simpli?ed and topological constraints are imposed. The inverse problem we set intends to modify the MEMS inner geometry to retrieve a given jet pro?le on the exit section.

Nous proposons dans cette thèse une nouvelle approche cumulative de recalage d'images basée sur des primitives construites à partir des lignes de niveaux. Les lignes de niveaux sont invariantes par rapport aux diverses perturbations affectant l'image tels que les changements de contraste. Par ailleurs, leur abondance dans une image suggère naturellement un processus de décision cumulatif. Nous proposons alors un algorithme récursif d'extraction des lignes de niveaux simple et efficace qui extrait les lignes par groupes rectiligne appelés ``segments''. Les segments sont ensuite groupés -- sous contrainte de proximité -- en fonction du modèle de transformation recherchée et afin de faciliter le calcul des invariants. Les primitives construites ont alors la forme de Z, Y ou W et sont classées en fonction de leur fiabilité, ce qui participe au paramétrage du processus de décision cumulatif. Le vote est multi-tours et constitué d'une phase préliminaire de construction de listes de préférences inspiré de la technique des mariages stables. Les primitives votent à une itération donnée en fonction de leur fiabilité. Chaque itération fournit ainsi un estimé de la transformation recherchée que le tour suivant peut raffiner. Ce procédé multi-tours permet, de ce fait, d'éliminer les ambiguïtés d'appariement générées par les motifs répétitifs présents dans les images. Notre approche a été validée pour recaler des images sous différents modèles de transformations allant de la plus simple (similarité) à la plus complexe (projective). Nous montrons dans cette thèse comment le choix pertinent de primitives basées sur les lignes de niveaux en conjonction avec un processus de décision cumulatif permet d'obtenir une méthode de recalage d'images robuste, générique et complète, fournissant alors différents niveaux de précision et pouvant ainsi s'appliquer à différents contextes. / In this thesis, we propose a new image registration method that relies on level-line primitives. Level-lines are robust towards contrast changes and proposed primitives inherit their robustness. Moreover, their abundance in the image is well adapted to a cumulative matching process based on a multi-stage primitive election procedure. We propose a simple recursive tracking algorithm to extract level lines by straight sets called "segments". Segments are then grouped under proximity constraints to construct primitives (Z, Y and W shapes) that are classified into categories according to their reliability. Primitive shapes are defined according to the transformation model. The cumulative process is based on a preliminary step of preference lists construction that is inspired from the stable marriage matching algorithm. Primitives vote in a given voting stage according to their reliability. Each stage provides a coarse estimate of the transformation that the next stage gets to refine. This process, in turn, eliminate gradually the ambiguity happened by incorrect correspondences. Our additional contribution is to validate further geometric transformations, from simple to complex ones, completing the path "similarity, affine, projective". We show in this thesis how the choice of level lines in conjunction with a cumulative decision process allows defining a complete robust registration approach that is tested and evaluated on several real image sequences including different type of transformations.

Les institutions culturelles mènent depuis une vingtaine année une politique de sauvegarde numérique exhaustive de leurs collections conduisant à la création de bases d'images de plus en plus grandes. Les oeuvres d'art se différencient des images naturelles car elles sont souvent stylisées. Cette caractéristique influence notre interprétation de l'image et l'impression visuelle qui nous est transmise. Nous proposons dans cette thèse des descripteurs et mesures de similarité spécifiques au contenu pictural et les testons dans le cadre de la recherche par le contenu d'images similaires. Le premier aspect du contenu pictural auquel nous nous sommes intéressés concerne l'organisation spatiale globale des couleurs. Nous modélisons le problème de la comparaison entre deux organisations spatiales des couleurs par un problème de transport optimal appliqué à des imagettes. Dans le cadre de la recherche d'images dans une base, nous proposons également un seuil adaptatif sur cette distance de transport fondé sur une approche "a contrario". Le deuxième aspect du contenu pictural que nous étudions concerne les caractéristiques du contenu géométrique lié aux lignes dans les dessins au trait. Pour cette approche nous développons un détecteur de contours de trait sans paramètre reposant sur un filtrage topologique de l'arbre des lignes de niveau significatives de Desolneux et al., ainsi qu'un ensemble de méthodes d'extraction de caractéristiques visuelles incluant les extrémités de trait, les jonctions et les coins. Nous évaluons ces deux approches en utilisant sept bases différentes totalisant environ 65000 images.

Cette thèse est consacrée à l’étude théorique ainsi qu’au traitement numérique de fluides incompressibles à surface libre. La première partie concerne un système d’équations appelé le système de Green–Naghdi. Comme le système de Saint-Venant, il s’agit d’une approximation d’eaux peu-profondes du problème de Zakharov. La différence est que le système de Green–Naghdi est d’un degré plus élevé en ordre d’approximation. C’est pourquoi il contient tous les termes du système de Saint-Venant plus de termes d’ordre trois non-linéairement dispersives. Autrement dit, le système de Green–Naghdi peut être vu comme une perturbation dispersive du système de Saint-Venant. Ce dernier système étant hyperbolique, il entre dans le cadre classique développé pour des systèmes hyperboliques. En particulier, il est entropique (au sense de Lax) et symétrique. On peut donc lui appliquer les résultats d’existence et d’unicité bien connus pour des systèmes hyperboliques. Dans la première partie de ce travail, on généralise la notion de symétrie à une classe plus générale de systèmes contenant le système de Green–Naghdi. Ceci nous permet de symétriser les équations de Green–Naghdi et d’utiliser la symétrie obtenue pour déduire un résultat d’existence globale après avoir ajouté un terme dissipative d’ordre 2 au système. Ceci est fait en adaptant l’approche utilisée dans la littérature pour des systèmes hyperboliques. La deuxième partie de ce travail concerne le traitement numérique des équations de Navier–Stokes à surface libre avec un terme de tension de surface. Ici, la surface libre est modélisée en utilisant la formulation des lignes de niveaux. C’est pourquoi la condition cinématique (condition de l’évolution de surface libre) s’écrit sous la forme d’une équation d’advection satisfaite par la fonction de ligne de niveaux. Cette équation est résolue sur une domaine de calcul contenant strictement le domaine de fluide, sur de petits sous-intervalles du temps. Chaque itération de l’algorithme global correspond donc à l’advection du domaine du fluide sur le sous-intervalle du temps associé et ensuite de résoudre le système de Navier–Stokes discrétisé en temps sur le domaine du fluide. Cette discrétisation en temps est faite par la méthode des caractéristiques. L’outil clé qui nous permet de résoudre ce système uniquement sur le domaine du fluide est l’adaptation de maillage anisotrope. Plus précisément, à chaque itération le maillage est adapté au domaine du fluide tel que l’erreur d’approximation et l’erreur géométrique soient raisonnablement petites au voisinage du domaine du fluide. La résolution du problème discrétisé en temps sur le domaine du fluide est faite par l’algorithme d’Uzawa utilisé dans la cadre de la méthode des éléments finis. Par ailleurs, la condition de glissement de Navier est traité ici en ajoutant un terme de pénalisation à la formulation variationnelle associée. / This thesis is about theoretical study and numerical treatment of some problems raised in incompressible free-surface fluid dynamics. The first part concerns a model called the Green–Naghdi (GN) equations. Similarly to the non linear shallow water system (called also Saint-Venant system), the Green–Naghdi equations is a shallow water approximation of water waves problem. Indeed, GN equation is one order higher in approximation compared to Saint-Venant system. For this reason, it contains all the terms of Saint-Venant system in addition to some non linear third order dispersive terms. In other words, the GN equations is a dispersive perturbation of the Saint-Venant system. The latter system is hyperbolic and fits the general framework developed in the literature for hyperbolic systems. Particularly, it is entropic (in the sense of Lax) and symmertizable. Therefore, we can apply the well-posedness results known for symmetric hyperbolic system. During the first part of this work, we generalize the notion of symmetry to a more general type of equations including the GN system. This lets us to symmetrize the GN equation. Then, we use the suggested symmetric structure to obtain a global existence result for the system with a second order dissipative term by adapting the approach classically used for hyperbolic systems. The second part of this thesis concerns the numerical treatment of the free surface incompressible Navier–Stokes equation with surface tension. We use the level set formulation to represent the fluid free-surface. Thanks to this formulation, the kinematic boundary condition is treated by solving an advection equation satisfied by the level set function. This equation is solved on a computational domain containing the fluid domain over small time subintervals. Each iteration of the algorithm corresponds to the adevction of the fluid domain on a small time subinterval and to solve the time-discretized Navier–Stokes equations only on the fluid domain. The time discretization of the Navier–Stokes equation is done by the characteristic method. Then, the key tool which lets us solve this equation on the fluid domain is the anisotropic mesh adaptation. Indeed, at each iteration the mesh is adapted to the fluid domain such that we get convenient approximation and geometric errors in the vicinity of the fluid domain. This resolution is done using the Uzawa algorithm for a convenient finite element method. The slip boundary conditions are considered by adding a penalization term to the variational formulation associated to the problem.