Texte trad. et remanié de: Master's th.--Tokyo, 1970. / Suppl. au : "Bulletin de la Société mathématique de France", t. 123, fasc. 4. Bibliogr. 71-72. Résumé en français et en anglais.

Techn. University, Diss., 2007--Darmstadt.

This thesis deals with k-irreducible triangulations of closed, compact 2-manifolds without boundary. A triangulation is k-irreducible, if all its closed cycles of length less than k are nullhomotopic and no edge can be contracted without losing this property. k-irreducibility is a generalization of the well-known concept of irreducibility, and can be regarded as a measure of how closely the triangulation approximates a smooth version of the underlying surface. Research follows three main questions: What are lower and upper bounds for the minimum and maximum size of a k-irreducible triangulation? What are the smallest and biggest explicitly constructible examples? Can one achieve complete classifications for specific 2-manifolds, and fixed k?

Die Frage nach dem Verstäandnis der Topologie symplektischer Mannigfaltigkeiten erhielt immer größere Aufmerksamkeit, insbesondere seit den Arbeiten von A. Weinstein und V. Arnold. Ein bewährtes Mittel ist dabei die Theorie der Gromov-Witten-Invarianten. Eine Gromov-Witten-Invariante zählt Schnitte von rationalen Zyklen mit Modulräumen J-holomorpher Kurven, die eine fixierte Homologieklasse repräsentieren, für eine zahme fast komplexe Struktur. Allerdings ist es im Allgemeinen schwierig, solche Schnittzahlen zu definieren, ohne zusätzliche Annahmen an die symplektische Mannigfaltigkeit zu treffen, da mehrfach überlagerte J-holomorphe Kurven mit negativer Chernzahl vorkommen können. Die vorliegende Dissertation folgt einem alternativen Ansatz zur Definition von Gromov-Witten-Invarianten, der von K. Cieliebak und K. Mohnke eingeführt wurde. Dieser Ansatz liefert für jede fixierte Homologieklasse einen Pseudozykel für jede geschlossene glatte Mannigfaltigkeit mit einer rationalen symplektischen Form. Wir erweitern diesen Ansatz in der vorliegenden Arbeit für eine beliebige symplektische Form. Wie bereits in der ursprünglichen Arbeit betrachten wir nur den Fall holomorpher Sphären. Wir zeigen, dass für jede Klasse der zweiten Koholomogie eine offene Umgebung existiert, so dass für zwei beliebige rationale symplektische Formen, desser Klassen in der gewählten Umgebung liegen, die dazugehörigen Pseudozykel rational kobordant sind. Der Beweis basiert auf einer Modifikation der Argumente des Ansatzes von Cieliebak und Mohnke für den Fall von zwei sich transversal schneidenden Hyperflächen, die jeweils zu verschiedenen symplektischen Formen gehören. / The question of understanding the topology of symplectic manifolds has received great attention since the work of A. Weinstein and V. Arnold. One of the established tools is the theory of Gromov-Witten invariants. A Gromov-Witten invariant counts intersections of rational cycles with the moduli space of J-holomorphic curves representing a fixed class for a tame almost complex structure. However, without imposing additional assumptions on the symplectic manifold such counts are difficult to define in general due to the occurence of multiply covered J-holomorphic curves with negative Chern numbers. This thesis deals with an alternative approach to Gromov-Witten invariants introduced by K. Cieliebak and K. Mohnke. Their approach delivers a pseudocycle for any closed symplectic manfold equipped with a rational symplectic form. Here this approach is extended to the case of an arbitrary symplectic form on a closed symplectic manifold.As in the original work we consider only the case of holomorphic spheres. We show that for any second cohomology class there exists an open neighbourhood, such that for any two rational symplectic forms, whose cohomolgy classes are contained in this neighbourhood, the corresponding pseudocycles are rationally cobordant. The proof is based on an adaptation of the arguments from the original Cieliebak-Mohnke approach to a more general situation - presence of two transversely intersecting hypersurfaces coming from two different symplectic forms.

Among the presently known numerical solvers of integral equations, two main categories of approaches can be traced: mesh-free approaches, mesh-based approaches. We will propose some techniques to process geometric data so that they can be efficiently used in subsequent numerical treatments of integral equations. In order to prepare geometric information so that the above two approaches can be automatically applied, we need the following items: (1) Splitting a given surface into several four-sided patches, (2) Generating a diffeomorphism from the unit square to a foursided patch, (3) Generating a mesh M on a given surface, (4) Patching of a given triangulation. In order to have a splitting, we need to approximate the surfaces first by polygonal regions. We use afterwards quadrangulation techniques by removing quadrilaterals repeatedly. We will generate the diffeomorphisms by means of transfinite interpolations of Coons and Gordon types. The generation of a mesh M from a piecewise Riemannian surface will use some generalized Delaunay techniques in which the mesh size will be determined with the help of the Laplace-Beltrami operator. We will describe our experiences with the IGES format because of two reasons. First, most of our implementations have been done with it. Next, some of the proposed methodologies assume that the curve and surface representations are similar to those of IGES. Patching a mesh consists in approximating or interpolating it by a set of practical surfaces such as B-spline patches. That approach proves useful when we want to utilize a mesh-free integral equation solver but the input geometry is represented as a mesh.

Any Riemannian manifold possesses a minimal solution of the heat equation for the Dirichlet Laplacian, called the heat kernel. During the last decades many authors investigated geometric properties of the manifold such that its heat kernel fulfills a so-called Gaussian upper bound. Especially compact and non-compact manifolds with lower bounded Ricci curvature have been examined and provide such Gaussian estimates. In the compact case it ended even with integral Ricci curvature assumptions. The important techniques to obtain Gaussian bounds are the symmetrization procedure for compact manifolds and relative Faber-Krahn estimates or gradient estimates for the heat equation, where the first two base on isoperimetric properties of certain sets. In this thesis, we generalize the existing results to the following. Locally uniform integral bounds on the negative part of Ricci curvature lead to Gaussian upper bounds for the heat kernel, no matter whether the manifold is compact or not. Therefore, we show local isoperimetric inequalities under this condition and use relative Faber-Krahn estimates to derive explicit Gaussian upper bounds. If the manifold is compact, we can even generalize the integral curvature condition to the case that the negative part of Ricci curvature is in the so-called Kato class. We even obtain uniform Gaussian upper bounds using gradient estimate techniques. Apart from the geometric generalizations for obtaining Gaussian upper bounds we use those estimates to generalize Bochner’s theorem. More precisely, the estimates for the heat kernel obtained above lead to ultracontractive estimates for the heat semigroup and the semigroup generated by the Hodge Laplacian. In turn, we can formulate rigidity results for the triviality of the first cohomology group if the amount of curvature going below a certain positive threshold is small in a suitable sense. If we can only assume such smallness of the negative part of the Ricci curvature, we can bound the Betti number by explicit terms depending on the generalized curvature assumptions in a uniform manner, generalizing certain existing results from the cited literature. / Jede Riemannsche Mannigfaltigkeit besitzt eine minimale Lösung für die Wärmeleitungsgleichung des zur Mannigfaltigkeit gehörigen Dirichlet-Laplaceoperators, den Wärmeleitungskern. Während der letzten Jahrzehnte fanden viele Autoren geometrische Eigenschaften der Mannigfaltigkeiten unter welchen der Wärmeleitungskern eine sogenannte Gaußsche obere Abschätzung besitzt. Insbesondere bestizen sowohl kompakte als auch nichtkompakte Mannigfaltigkeiten mit nach unten beschränkter Ricci-Krümmung solche Gaußschen Abschätzungen. Im kompakten Fall reichten bisher sogar Integralbedingungen an die Ricci-Krümmung aus. Die wichtigen Techniken, um Gaußsche Abschätzungen zu erhalten, sind die Symmetrisierung für kompakte Mannigfaltigkeiten und relative Faber-Krahn- und Gradientenabschätzungen für die Wärmeleitungsgleichung, wobei die ersten beiden auf isoperimetrischen Eigenschaften gewisser Mengen beruhen. In dieser Arbeit verallgemeinern wir die bestehenden Resultate im folgenden Sinne. Lokal gleichmäßig beschränkte Integralschranken an den Negativteil der Ricci-Krümmung ergeben Gaußsche obere Abschätzungen sowohl im kompakten als auch nichtkompakten Fall. Dafür zeigen wir lokale isoperimetrische Ungleichungen unter dieser Voraussetzung und nutzen die relativen Faber-Krahn-Abschätzungen für eine explizite Gaußsche Schranke. Für kompakte Mannigfaltigkeiten können wir sogar die Integralschranken an den Negativteil der Ricci-Krümmung durch die sogenannte Kato-Bedingung ersetzen. In diesem Fall erhalten wir gleichmäßige Gaußsche Abschätzungen mit einer Gradientenabschätzung. Neben den geometrischen Verallgemeinerungen für Gaußsche Schranken nutzen wir unsere Ergebnisse, um Bochners Theorem zu verallgemeinern. Wärmeleitungskernabschätzungen ergeben ultrakontraktive Schranken für die Wärmeleitungshalbgruppe und die Halbgruppe, die durch den Hodge-Operator erzeugt wird. Damit können wir Starrheitseigenschaften für die erste Kohomologiegruppe zeigen, wenn der Teil der Ricci-Krümmung, welcher unter einem positiven Level liegt, in einem bestimmten Sinne klein genug ist. Wenn der Negativteil der Ricci-Krümmung nicht zu groß ist, können wir die erste Betti-Zahl noch immer explizit uniform abschätzen.

Die abgeschlossenen Erweiterungen der sogenannten geometrischen Operatoren (Spin-Dirac, Gauß-Bonnet und Signatur-Operator) auf Mannigfaltigkeiten mit metrischen Hörnern sind Fredholm-Operatoren und ihr Index wurde von Matthias Lesch, Norbert Peyerimhoff und Jochen Brüning berechnet. Es wurde gezeigt, dass die Einschränkungen dieser drei Operatoren auf eine punktierte Umgebung des singulären Punkts unitär äquivalent zu irregulär singulären Operator-wertigen Differentialoperatoren erster Ordnung sind. Die Lösungsoperatoren der dazugehörigen Differentialgleichungen definierten eine Parametrix, mit deren Hilfe die Fredholmeigenschaft bewiesen wurde. In der vorliegenden Doktorarbeit wird eine Klasse von irregulären singulären Differentialoperatoren erster Ordnung, genannt Horn-Operatoren, eingeführt, die die obigen Beispiele verallgemeinern. Es wird bewiesen, dass ein elliptischer Differentialoperator erster Ordnung, dessen Einschränkung auf eine punktierte Umgebung des singulären Punkts unitär äquivalent zu einem Horn-Operator ist, Fredholm ist, und sein Index wird berechnet. Schließlich wird dieser abstrakte Index-Satz auf geometrische Operatoren auf Mannigfaltigkeiten mit "multiply warped product"-Singularitäten angewendet, welche eine wesentliche Verallgemeinerung der metrischen Hörner darstellen. / The closed extensions of geometric operators (Spin-Dirac, Gauss-Bonnet and Signature operator) on a manifold with metric horns are Fredholm operators, and their indices were computed by Matthias Lesch, Norbert Peyerimhoff and Jochen Brüning. It was shown that the restrictions of all three operators to a punctured neighbourhood of the singular point are unitary equivalent to a class of irregular singular operator-valued differential operators of first order. The solution operators of the corresponding differential equations defined a parametrix which was applied to prove the Fredholm property. In this thesis a class of irregular singular differential operators of first order - called horn operators - is introduced that extends the examples mentioned above. It is proved that an elliptic differential operator of first order whose restriction to the neighbourhood of the singular point is unitary equivalent to a horn operator is Fredholm and its index is computed. Finally, this abstract index theorem is applied to compute the indices of geometric operators on manifolds with multiply warped product singularities that extend the notion of metric horns considerably.

Among the presently known numerical solvers of integral equations, two main categories of approaches can be traced: mesh-free approaches, mesh-based approaches. We will propose some techniques to process geometric data so that they can be efficiently used in subsequent numerical treatments of integral equations. In order to prepare geometric information so that the above two approaches can be automatically applied, we need the following items: (1) Splitting a given surface into several four-sided patches, (2) Generating a diffeomorphism from the unit square to a foursided patch, (3) Generating a mesh M on a given surface, (4) Patching of a given triangulation. In order to have a splitting, we need to approximate the surfaces first by polygonal regions. We use afterwards quadrangulation techniques by removing quadrilaterals repeatedly. We will generate the diffeomorphisms by means of transfinite interpolations of Coons and Gordon types. The generation of a mesh M from a piecewise Riemannian surface will use some generalized Delaunay techniques in which the mesh size will be determined with the help of the Laplace-Beltrami operator. We will describe our experiences with the IGES format because of two reasons. First, most of our implementations have been done with it. Next, some of the proposed methodologies assume that the curve and surface representations are similar to those of IGES. Patching a mesh consists in approximating or interpolating it by a set of practical surfaces such as B-spline patches. That approach proves useful when we want to utilize a mesh-free integral equation solver but the input geometry is represented as a mesh.

Any Riemannian manifold possesses a minimal solution of the heat equation for the Dirichlet Laplacian, called the heat kernel. During the last decades many authors investigated geometric properties of the manifold such that its heat kernel fulfills a so-called Gaussian upper bound. Especially compact and non-compact manifolds with lower bounded Ricci curvature have been examined and provide such Gaussian estimates. In the compact case it ended even with integral Ricci curvature assumptions. The important techniques to obtain Gaussian bounds are the symmetrization procedure for compact manifolds and relative Faber-Krahn estimates or gradient estimates for the heat equation, where the first two base on isoperimetric properties of certain sets. In this thesis, we generalize the existing results to the following. Locally uniform integral bounds on the negative part of Ricci curvature lead to Gaussian upper bounds for the heat kernel, no matter whether the manifold is compact or not. Therefore, we show local isoperimetric inequalities under this condition and use relative Faber-Krahn estimates to derive explicit Gaussian upper bounds. If the manifold is compact, we can even generalize the integral curvature condition to the case that the negative part of Ricci curvature is in the so-called Kato class. We even obtain uniform Gaussian upper bounds using gradient estimate techniques. Apart from the geometric generalizations for obtaining Gaussian upper bounds we use those estimates to generalize Bochner’s theorem. More precisely, the estimates for the heat kernel obtained above lead to ultracontractive estimates for the heat semigroup and the semigroup generated by the Hodge Laplacian. In turn, we can formulate rigidity results for the triviality of the first cohomology group if the amount of curvature going below a certain positive threshold is small in a suitable sense. If we can only assume such smallness of the negative part of the Ricci curvature, we can bound the Betti number by explicit terms depending on the generalized curvature assumptions in a uniform manner, generalizing certain existing results from the cited literature. / Jede Riemannsche Mannigfaltigkeit besitzt eine minimale Lösung für die Wärmeleitungsgleichung des zur Mannigfaltigkeit gehörigen Dirichlet-Laplaceoperators, den Wärmeleitungskern. Während der letzten Jahrzehnte fanden viele Autoren geometrische Eigenschaften der Mannigfaltigkeiten unter welchen der Wärmeleitungskern eine sogenannte Gaußsche obere Abschätzung besitzt. Insbesondere bestizen sowohl kompakte als auch nichtkompakte Mannigfaltigkeiten mit nach unten beschränkter Ricci-Krümmung solche Gaußschen Abschätzungen. Im kompakten Fall reichten bisher sogar Integralbedingungen an die Ricci-Krümmung aus. Die wichtigen Techniken, um Gaußsche Abschätzungen zu erhalten, sind die Symmetrisierung für kompakte Mannigfaltigkeiten und relative Faber-Krahn- und Gradientenabschätzungen für die Wärmeleitungsgleichung, wobei die ersten beiden auf isoperimetrischen Eigenschaften gewisser Mengen beruhen. In dieser Arbeit verallgemeinern wir die bestehenden Resultate im folgenden Sinne. Lokal gleichmäßig beschränkte Integralschranken an den Negativteil der Ricci-Krümmung ergeben Gaußsche obere Abschätzungen sowohl im kompakten als auch nichtkompakten Fall. Dafür zeigen wir lokale isoperimetrische Ungleichungen unter dieser Voraussetzung und nutzen die relativen Faber-Krahn-Abschätzungen für eine explizite Gaußsche Schranke. Für kompakte Mannigfaltigkeiten können wir sogar die Integralschranken an den Negativteil der Ricci-Krümmung durch die sogenannte Kato-Bedingung ersetzen. In diesem Fall erhalten wir gleichmäßige Gaußsche Abschätzungen mit einer Gradientenabschätzung. Neben den geometrischen Verallgemeinerungen für Gaußsche Schranken nutzen wir unsere Ergebnisse, um Bochners Theorem zu verallgemeinern. Wärmeleitungskernabschätzungen ergeben ultrakontraktive Schranken für die Wärmeleitungshalbgruppe und die Halbgruppe, die durch den Hodge-Operator erzeugt wird. Damit können wir Starrheitseigenschaften für die erste Kohomologiegruppe zeigen, wenn der Teil der Ricci-Krümmung, welcher unter einem positiven Level liegt, in einem bestimmten Sinne klein genug ist. Wenn der Negativteil der Ricci-Krümmung nicht zu groß ist, können wir die erste Betti-Zahl noch immer explizit uniform abschätzen.

Ein bedeutender Satz von L. Bungart und H. Grauert besagt, dass, für eine Gruppe G von invertierbaren Elementen einer Banachalgebra, je zwei G-wertige holomorphe Kozyklen über einer beliebigen Steinschen Mannigfaltigkeit holomorph äquivalent sind, wenn sie dort stetig äquivalent sind. Eine einfachere Form dieses Satzes wurde erstmals von K. Oka bewiesen. Aussagen dieser Art werden deshalb auch Okasche Prinzipe oder Oka-Grauert-Prinzipe genannt. Der Bungert-Grauert-Satz ist auch in dem Fall von Bedeutung, in dem die Steinsche Mannigfaltigkeit ein Gebiet in der komplexen Ebene ist. Man kann deshalb in der Literatur auch direkte Beweise für den Spezialfall finden, in dem ein G-wertiger holomorpher, stetig trivialer Kozyklus betrachtet wird. Dieser ist, nach dem oben erwähnten Satz, dann auch holomorph trivial. Ziel dieser Dissertation ist es, den Bungart-Grauert-Satz für Gebiete in der komplexen Ebene auch im allgemeinen Fall direkt zu beweisen. Dieser direkte Beweis ist wesentlich einfacher als der bisherige und muss nicht, wie bei L. Bungart und H. Grauert, auf eine Theorie von mehreren Veränderlichen zurückgreifen. Wie in den Arbeiten von L. Bungart und H. Grauert gezeigt, kann dies durch das sogenannte Verdrillen, einer Methode aus einer allgemeinen Theorie von holomorphen Kozyklen mit Werten in Bündeln von Gruppen, erzielt werden. Der größte Teil der Dissertation besteht deshalb darin, eine solche Theorie im Fall von Gebieten in der komplexen Ebene direkt aufzubauen. / An important theorem of L. Bungart and H. Grauert says that for the group G of invertible elements of a banachalgebra, two holomorphic, G-valued cocycles over a Stein manifold, which are continiously equivalent, are holomorphically equivalent there. A simpler form of that theorem was first proven by K. Oka. That''s why theorems like this are known as Oka-Grauert-priciples as well. The Bungart-Grauert theorem is also significant if the Stein manifold is a domain in the complex plane. That''s why direct proofs of the special case, in which a continiously trivial, holomorphic cocycle is considered, can also be found in literature. Following the Bungart-Grauert theorem mentioned above, such a cocycle is also holomorphically trivial. The goal of this thesis is to prove the general case of the Bungart-Grauert theorem for a domain in the complex plane directly. That direct proof is much more simple than the old one. Furthermore this direct proof doesn''t have to resort to a theory of multiple variables, unlike the proof from L. Bungart and H. Grauert does. As shown in the original works, such a proof can be archieved by using the so called twisting. Twisting is a method from a theory of holomorphic cocycles with values in bundles of groups. In the main part of this thesis such a theory is build directly for domains in the complex plane.