Nous étudions la dynamique d'un traceur soumis à une force extérieure dans un bain de particules. Nous proposons un modèle qui prend en compte explicitement la dynamique du bain, et qui décrit les corrélations entre la dynamique du traceur et la réponse du bain. Nous considérons un traceur biaisé dans un gaz de coeurs durs sur réseau : le traceur réalise une marche aléatoire biaisée tandis que les particules du bain réalisent des marches aléatoires symétriques. Nous étudions plus particulièrement les fluctuations de la position du traceur. Dans la limite de haute densité, nous obtenons des résultats exacts à l'ordre dominant en la densité de lacunes. En géométrie confinée, un calcul analytique des fluctuations de la position du traceur prévoit un long régime superdiffusif, et une transition vers un régime diffusif final. Nous proposons une description simplifiée du système qui révèle le mécanisme physique à l'origine de ce comportement anormal. Nous montrons l'existence d'une anomalie de la vitesse du traceur dans les systèmes quasi-1D. Nous étudions également le cas général d'une densité arbitraire de particules sur un réseau en contact avec un réservoir. Cette situation constitue un problème à N corps décrit par une équation maîtresse, qui ne peut être résolue qu'en recourant à une approximation de type champ moyen consistant en le découplage de certaines fonctions de corrélation. Il est alors possible de déterminer des valeurs approchées de la vitesse, de coefficient de diffusion du traceur ainsi que de la distribution de position du traceur. Nous montrons enfin que l'approximation de découplage est exacte dans les limites de basse et de haute densité. / We study the dynamics of a tracer submitted to an external force in a bath of particles. We propose a model which takes explicitly into account the dynamics of the bath, and which describes the correlations between the dynamics of the tracer and the response of the bath. We consider a biased tracer in a lattice gas of hardcore particles: the tracer performs a biased random walk whereas the bath particles perform symmetric random walks. We study in particular the fluctuations of the position of the tracer. In the high-density limit, we obtain exact results at leading order in the density of vacancies. In confined geometries, an analytical calculation of the fluctuations of tracer position predicts a long superdiffusive regime, and a crossover to an ultimate diffusive regime. We give a simplified description of the system that unveils the physical mechanism explaining this anomalous behavior. We show the existence of a velocity anomaly in quasi-1D systems.We also study the general case of an arbitrary density of particles on a lattice in contact with a reservoir. This situation is a N-body problem described by a master equation, that can be solved by resorting to a mean-field-type approximation, which consists in the decoupling of relevant correlation functions. It is then possible to determine approximate values of the velocity, the diffusion coefficient and the distribution of the position of the tracer. We finally show that the decoupling approximation is exact in the high-density and low-density limits.

Nous déterminons d’abord l’impact d’un plan infini réfléchissant sur l’espace occupé par une marche brownienne bidimensionnelle à un temps fixé, que nous caractérisons par le périmètre moyen de son enveloppe convexe (plus petit polygone convexe contenant toute la trajectoire). Nous déterminons également la longueur moyenne de la portion du plan visitée par le marcheur, et la probabilité de survie d’un marcheur brownien dans un secteur angulaire absorbant.Nous étudions ensuite le temps mis par un marcheur sur réseau pour visiter tous les sites d’un volume, ou une partie d’entre eux. Nous calculons la moyenne de ce temps, dit de couverture, à une dimension pour une marche aléatoire persistante. Nous déterminons également la distribution du temps de couverture et d’autres observables assimilées pour la classe des processus non compacts, qui décrivent un large spectre de recherches aléatoires.Dans un troisième temps, nous calculons et analysons la probabilité de sortie conditionnelle d’un marcheur brownien évoluant dans un intervalle se dilatant ou se contractant à vitesse constante.Enfin, nous étudions plusieurs aspects du modèle du marcheur aléatoire “affamé”, qui meurt si les visites de nouveaux sites, grâce auxquelles il engrange des ressources, ne sont pas suffisamment regulières. Nous en proposons un traitement de type champ moyen à deux dimensions, puis nous déterminons l’impact de la régénération des ressources sur les propriétés de survie du marcheur. Nous considérons finalement un modèle d’exploitation de parcelles de nourriture prenant explicitement en compte le mouvement du marcheur, qui se ramène de manière naturelle au modèle du marcheur aléatoire affamé. / We first determine the impact of an infinite reflecting wall on the space occupied by a planar Brownian motion at a fixed observation time. We characterize it by the mean perimeter of its convex hull, defined as the minimal convex polygon enclosing the whole trajectory. We also determine the mean length of the visited portion of the wall, and the survival probability of a Brownian walker in an absorbing wedge.We then study the time needed for a lattice random walker to visit every site of a confined volume, or a fraction of them. We calculate the mean value of this so-called cover time in one dimension for a persistant random walk. We also determine the distribution of the cover time and related observables for the class of non compact processes, which describes a wide range of random searches.After that, we calculate and analyze the splitting probability of a one-dimensional Brownian walker evolving in an expanding or contracting interval.Last, we study several aspects of the model of starving random walk, where the walker starves if its visits to new sites, from which it collects resources, are not regular enough. We develop a mean-field treatment of this model in two dimensions, then determine the impact of regeneration of resources on the survival properties of the walker. We finally consider a model of exploitation of food patches taking explicitly into account the displacement of the walker in the patches, which can be mapped onto the starving random walk model.

Le sujet principal de la thèse sont les systèmes de particules en interaction sur des graphes soit deterministes soit aléatoires. Les systèmes de particules en interaction sont des processus de Markov qui décrivent l'évolution de particules indistingables en interaction forte les unes avec les autres qui sont utilisés pour modéliser des phénomènes d'épidémies, de dynamiques des populations ou des processus chimiques. Dans la première partie de la thèse nous avons analysé l'ordre stochastique et l'attractivité dans une classe de systèmes de particules avec des naissances, des morts et des sauts de plus d'une particule à la fois qui dépendent de la conguration de manière très générale: nous avons utilisé l'attractivité pour obtenir des resultats d'ergodicité pour des modèles d'epidemie et pour construire des mesures invariantes non-triviales pour des modèles de dinamiques de métapopulations. Dans la deuxième partie de la thèse nous avons analysé les marches aléatoires coalescentes sur des graphes aléatoires, les graphes small world. Nous avons montré que le nombre de particules d'un processus de n marches aléatoires coalescentes renormalisées qui partent d'une ensemble particulier sur le small world converge vers un processus coalescent de Kingman. Nous avons aussi obtenu des resultats detaillés sur le temps de rencontre de deux particules sur le small world.

Cette thèse concerne les stratégies de recherches de cible dites intermittentes, qui alternent des phases lentes permettant la détection de la cible, et des phases rapides sans détection. Un exemple à l'échelle macroscopique est celui d'animaux en quête de nourriture. Nous en proposons un modèle, alternatif aux célèbres stratégies de Lévy, et montrons analytiquement que le temps moyen de recherche peut être minimisé en fonction des durées moyennes de chaque phase. Un premier exemple à l'échelle microscopique est celui de la recherche par des protéines de cibles sur l'ADN. Nous calculons analytiquement la distribution de la distance parcourue le long de l'ADN lors d'une excursion 3D, l'adaptons à une expérience de molécule unique et montrons que les trajectoires observées combinent des diffusions 1D et 3D. Un autre exemple cellulaire concerne le transport actif de vésicules, qui diffusent ou se lient à des moteurs assurant un déplacement balistique. Nous optimisons la constante cinétique dans un modèle général de réaction limitée par ce type de transport. Finalement, ces stratégies intermittentes pourraient constituer un mécanisme de recherche générique. Nous étudions de manière systématique l'influence de la modélisation de la phase de détection et de la dimension de l'espace, et montrons que l'optimalité des stratégies intermittentes est un résultat robuste.

Le sujet de ma thèse est la théorie de la pénalisation, développée originalement par B .Roynette, P. Vallois et M. Yor dans le cas du mouvement brownien. En quelques mots, cela consiste à favoriser des trajectoires de mesure nulle en mettant un poids sur la mesure de probabilité.<br />La première partie de ma thèse est la contrepartie discrète de leur travail:<br />Soit $\left(\Omega,\,\left(X_n,\,\mathcal F_n,\,n\geq0\right),\mathcal F_\infty=\bigvee_{n\geq0}\mathcal F_n,\,\p\right)$ la marche aléatoire symétrique où $\mathcal F_n$ est la filtration canonique.<br />Pour des fonctionnelles positives et adaptées $G:\mathbb N\times\Omega\time\Omega\rightarrow\mathbb R^+$, j'étudie $\forall n\in\mathbb N,\,\forall\Lambda_n\in\mathcal F_n$, la limite quand $p\rightarrow\infty$ de la quantité:<br />\begin{equation*}<br />\frac{\e_x[\mathds{1}_{\Lambda_n}G_p]}{\e_x[G_p]}<br />\end{equation*}<br />Quand cette limite existe, elle est égale à $Q\left(\Lambda_n\right):=\e_x[\mathds{1}_{\Lambda_n}M_n]$ où $\left(M_n,n\geq0\right)$ est une martingale positive non uniformément intégrable. La définition de $Q$ induit une nouvelle probabilité sur $\left(\Omega,\,\mathcal F_\infty\right)$ et on étudie alors $\left(X_n,n\geq0\right)$ sous $Q$.<br />Dans une seconde partie, j'essaye d'étendre cette théorie à un processus de naissance et de mort. Rappelons que ces processus ont la propriété de ne changer d'état que vers les états les plus proches et cela après un temps aléatoire exponentiel.<br />Plus précisément, je pénalise un processus de naissance et de mort transient par le nombre de visites dans l'état 0 (ce qui est comme une pénalisation par le temps local). Quand je force ce processus à visiter une infinité de fois l'état 0, je prouve que, sous la nouvelle mesure de probabilité induite par pénalisation, le processus se comporte comme un processus de naissance et de mort récurrente.}

Les thèmes abordés dans le cadre de la thèse "Chemins confinés dans un quadrant" se concentrent autour des marches à petits sauts (c'est-à-dire aux huit plus proches voisins) confinées dans un quart de plan. Tout d'abord, nous considérons le problème combinatoire consistant à compter les chemins du plan qui, se déplaçant selon un ensemble fixé de sauts, restent dans un quadrant. Nous nous focalisons sur les questions suivantes : - expliciter la série génératrice des nombres de chemins partant de l'origine et se terminant en un certain point en un temps fixé ; - analyser la façon dont cette fonction dépend de l'ensemble de sauts, et en particulier étudier sa nature (rationnelle, algébrique, (non) holonome). Ensuite, nous examinons le problème probabiliste des marches aléatoires à valeurs dans un quadrant, homogènes à l'intérieur et tuées au bord. Nous nous intéressons alors aux questions suivantes : - expliciter les probabilités d'absorption en un certain point du bord en un temps fixé, et en particulier les probabilités d'absorption en un certain site du bord ; - trouver l'asymptotique de ces probabilités ; - expliciter les probabilités que le processus se trouve en un certain point intérieur au quadrant en un temps fixé, et les fonctions de Green ; - calculer l'asymptotique précise de ces fonctions de Green le long de toutes les trajectoires ; - obtenir toutes les fonctions harmoniques positives ou nulles ainsi que la compactification de Martin ; - analyser le temps d'absorption sur les axes, et notamment l'asymptotique de sa queue de distribution. Les méthodes que nous utilisons pour répondre aux questions ci-dessus font appel à l'analyse complexe.

Ce travail s'articule en deux parties principales: on illustre d'abord la notion de longueur de corrélation pour des systèmes d'accrochage homogènes proche du point critique en montrant la convergence en loi du système renormalisé vers un sous ensemble fermé aléatoire du segment [0,1] possédant une densité (explicite) par rapport à l'ensemble régénératif d'indice alpha, où alpha est une donnée initiale du modèle. On s'intéresse dans une deuxième partie au problème du mouillage dans une bande; les récompenses/pénalités sont reçues dans une bande de largeur strictement positive fixée, le processus libre étant modélisé par une marche aléatoire S continue centrée de carré intégrable. On montre que le système subit une transition de phase standard de localisation/délocalisation, et on explicite les limites d'échelle du processus renormalisé dans chacune de ces phases. Pour obtenir ces limites d'échelle, on démontre deux résultats indépendants reliés à la théorie des fluctuations pour les marches aléatoires; ceux-ci présentent un intérêt propre et font l'objet des deux dernières parties de la thèse. Le premier concerne le comportement asymptotique de la distribution du lieu du premier temps d'atteinte du demi plan inférieur pour S, où S part d'un point (strictement) situé dans le demi plan supérieur. Notons que cette estimation est uniforme sur l'ensemble des réels négatifs. Le second résultat concerne la convergence en loi dans la limite d'échelle de S conditionnée à être positive, à partir d'un point proche de l'origine et à revenir proche de l'origine. On montre que ce processus converge en loi vers l'excursion brownienne renormalisée.

Nous calculons presque sûrement, simultanément, les dimensions de Hausdorff des ensembles de branches infinies de la frontière d'un arbre de Galton-Watson super-critique (muni d'une métrique aléatoire) le long desquelles les moyennes empiriques d'une marche aléatoire de branchement vectorielle admettent un ensemble donné de points limites. Cela va au-delà de l'analyse multifractale, question pour laquelle nous complétons les travaux antérieurs en considérant les ensembles associés à des niveaux situés dans la frontière du domaine d'étude. Nous utilisons une méthode originale dans ce contexte, consistant à construire des mesures de Mandelbrot inhomogènes appropriées. Cette méthode est inspirée de l'approche utilisée pour résoudre des questions similaires dans le contexte de la dynamique hyperboliques pour les moyennes de Birkhoff de potentiels continus. Elle exploite des idées provenant du chaos multiplicatif et de la théorie de la percolation pour estimer la dimension inférieure de Hausdorff des mesures de Mandelbrot inhomogènes. Cette méthode permet de renforcer l'analyse multifractale en raffinant les ensembles de niveaux de telle sorte qu'ils contiennent des branches infinies le long desquels on observe une version quantifiée de la loi des grands nombres d'Erdös Renyi ; de plus elle permet d'obtenir une loi de type $0-\infty$ pour les mesures de Hausdorff de ces ensembles. Nos résultats donnent naturellement des informations géométriques et de grandes déviations sur l'hétérogénéité du processus de naissance le long des différentes branches infinies de l'arbre de Galton-Watson.

Mis en évidence dans les années 80 dans les domaines de la turbulence et des attracteurs étranges, les multifractals ont rapidement gagné en popularité. On les trouve aujourd'hui en finance, en géophysique, dans l'étude du trafic internet et dans bien d'autres domaines des sciences appliquées. Cet essor s'est accompagné de la nécessité de construire des modèles théoriques adaptés. La Mesure Aléatoire Multifractale de Bacry et Muzy est l'un de ces modèles. Du fait de son caractère très général, de sa grande souplesse et de sa relative simplicité, elle est devenue un outil central du domaine des multifractals depuis dix ans. Après un chapitre introductif, on propose dans cette thèse la construction de deux familles de processus multifractals. Ces constructions reposent sur les travaux de Schmitt et de ses co-auteurs et sur ceux de Bacry et Muzy. Dans le chapitre 2, on construit des processus multifractals à partir de moyennes mobiles alpha-stables, tandis que le chapitre 3 est consacré à la construction des Marches Aléatoires Fractionnaires Multifractales d'indice de Hurst 0

Ce mémoire est consacré à mes travaux sur la dynamique conforme dans les espaces métriques. Il est constitué de deux parties, la première concernant les groupes hyperboliques, et la seconde l'itération de revêtements ramifiés dans des espaces topologiques. Ces deux parties sont reliées par le dictionnaire de D. Sullivan. On a choisi d'orienter l'exposition en prenant la conjecture de J.W. Cannon comme fil d'Ariane.