Etude de quelques algorithmes de calcul d'éléments propres de matrices de grande taille : méthode des puissances, itérations de Tchébychev simultanées et algorithme de Lanczos, base orthonormée du sous-espace dominant construite à partir de la forme de Schur de la matrice de projection. Présentation des résultats numériques

On approfondit la notion de bases discrètes présentée dans un rapport précédent, en montrant en particulier son extension possible à d'autres bases de numérotation que la base 2. On élabore des algorithmes de calcul des fonctions mathématiques usuelles dans n'importe quelle base de numérotation. On établit un résultat de complexité

La segmentation d'images par la morphologie mathématique est une méthodologie basée sur les concepts de ligne de partage des eaux et de modification de l'homotopie. Ces deux outils sont construits à partir de transformations morphologiques élémentaires présentées dans la première partie de ce mémoire. Ces transformations élémentaires sont les transformations morphologiques sur images à teintes de gris et en particulier les opérations d'amincissement et d'épaississement, ainsi que les transformées géodésiques. Ces outils de base permettent l'élaboration de transformations plus sophistiqués. Parmi elles, le gradient morphologique et sa régularisation, opérateursimportants dans la segmentation d'images de gris et la ligne de partage des eaux. Après avoir introduit cette notion et mis en lumière ces liens avec les opérateurs géodésiques et les épaississements homotopiques, divers algorithmes permettant de la réaliser sont présentés par le biais du squelette de fonction et surtout au moyen d'une représentation des images à teintes de gris sous forme d'un graphe de fléchage.<br />La deuxième partie est consacrée à l'usage de ces outils. On montre en particulier comment le concept de marquage des régions à segmenter permet d'obtenir, en combinant la modification d'homotopie et la ligne de partage des eaux, une segmentation de l'image de bonne qualité. L'usage de ces outils est illustré dans le cas de segmentations plus complexes. On introduit alors une hiérarchisation de l'image, toujours basée sur la ligne de partage des eaux, et on montre comment cette hiérarchie permet la segmentation de certaines scènes où le marquage est moins évident. Un autre exemple, montrant la difficulté du marquage mais aussi les avantages de ce concept est également présenté.

Nous étudions les structures logiques finies ou infinies à travers les énoncés de profondeur de quantification donnée qui sont vrais dans ces structures. <br /><br />Cette étude porte principalement sur un nouvel outil logique appelé $k$-destinées de Nézondet. Une $k$-destinée d'une structure consiste en une présentation arborescente des types de $k$-isomorphisme de Fraïssé de la structure. Nous analysons ce nouvel outil, en particulier nous montrons que les destinées s'intègrent parfaitement au contexte des $k$-isomorphismes de Fraïssé et des jeux d'Ehrenfeucht. <br /><br />Nous détaillons un algorithme de décision utilisant les destinées. Nous comparons en détail les structures dont on peut construire récursivement les destinées et les structures $H$-bornées. Enfin, nous donnons quelques résultats intermédiaires du problème NE ?= CoNE et de sa version logique, la conjecture du Spectre.

Dans ce travail, on s'intéresse à la modélisation d'un problème de revêtement ``mince'' et à l'étude de méthodes de décomposition de domaine en mécanique du contact.\\<br />La première partie porte sur un problème de contact quasistatique avec loi de Coulomb pour un solide élastique revêtu d'une couche ``mince''. Après avoir établi un théorème d'existence, nous définissons un rapport critique entre les paramètres géométriques et élastiques du système. Pour ce rapport, nous établissons rigoureusement une loi de contact limite en faisant tendre l'épaisseur relative du revêtement vers zéro.\\<br />La deuxième partie est dédiée aux méthodes de décomposition ``naturelle'' de domaine pour des problèmes de contact. Celle-ci consiste à considérer la zone de contact comme interface de décomposition mathématique. Nous étudions d'abord un problème de contact sans frottement entre deux corps élastiques (Signorini) pour lequel on propose et on démontre la convergence d'un algorithme de type ``Neumann-Dirichlet''. Ce résultat est ensuite généralisé à un problème de contact avec frottement de Coulomb. Enfin, nous proposons et nous montrons la convergence d'un algorithme plus parallélisable ``Neumann-Neumann'' pour un problème de Signorini.<br /> Des résultats numériques montrent la validité de la méthode. \\

Cette thèse se propose d'examiner sous un angle particulier quelques aspects de la morphologie mathématique. Nous montrons d'abord comment la notion de convergence d'ensembles fermés et celle d'ensemble aléatoire fermé peuvent être employées en géométrie algorithmique. Nous exposons ensuite une nouvelle technique permettant l'écriture d'algorithmes morphologiques efficace en imagerie binaire au moyen d'un codage de contours sous forme de chaînes et lacets. Les algorithmes concernés sont entre autres l'érosion, la dilatation, la fonction distance, tant dans le cas euclidien que géodésique, la fonction de propagation, en métrique hexagonale et dodécagonale, le labeling, la reconstruction. . . Nous abordons aussi les mesures morphologiques telles que variation diamétrale, diamètre de Ferret, périmètre, nombre d'Euler. . . L'emploi des transformations est alors illustré par la résolution complète d'un problème particulier en sciences des matériaux où nous discutons les qualités respectives d'une dizaine de solutions différentes. Enfin, un essai de formalisation de l'emploi des transformations morphologiques a abouti à l'écriture d'un système de programmation automatique.

Après un bref rappel des éléments fondamentaux de la théorie mathématique de la communication (T.M.C.), le présent travail a pour objet : de dresser une analyse critique des utilisations faites jusqu'à présent de la T.M.C. et de ses développements en sciences de l'information ; de faire ressortir les difficultés inhérentes à l'utilisation de la T.M.C. ; de proposer une problématique concrète adaptée à la fois à la nature des bases de données et à l'examen de divers problèmes documentaires par l'emploi de fonctions de couplage quantifiant l'affinité entre une question et les notices présentes dans la base ; d'aborder les questions de signification de l'information dans l'optique bien particulière des disciplines documentaires et en rapport avec la théorie de l'information. La partie expérimentale permet de faire ressortir l'intérêt des résultats obtenus à partir de la théorie de l'information généralisée.

Les propriétés topographiques et physico-chimiques d'une surface conditionnent en grande partie la qualité de son aspect. La maîtrise des phénomènes déterminant l'apparence d'un produit représente aujourd'hui un fort enjeu industriel et scientifique. Dans cette thèse nous introduisons des descripteurs morphologiques et statistiques permettant de caractériser une texture aussi bien qualitativement que quantitativement. Ces informations sont exploitées par l'intermédiaire de techniques d'analyse factorielle, de sur-échantillonage systématique de type "bootstrap" et de classification bayesienne ayant permis la conception d'un algorithme automatique d'estimation de la qualité de l'apparence d'une surface. Ces développements théoriques ont été appliqués au contrôle qualité des surfaces sur ligne de production grâce à un système de vision permettant d'acquérir des images en continu.

Les méthodes de traitement d'images fondées sur les équations aux dérivées partielles (EDP) bénéficient d'une attention particulière de la part de la communauté scientifique. Le nombre d'applications a considérablement augmenté après la formulation du problème sous forme d'ensembles de niveaux. Les EDPs s'appliquent dans de nombreux domaines tels le filtrage des images (diffusion non-linéaire), les contours actifs utilisés pour la segmentation des images statiques (graphe de Voronoï, Ligne de Partage des Eaux, plus court chemin, détection d'objets), aussi bien que des séquences d'images (suivi d'objets) ou encore des méthodes plus récentes tel le shape-from-shading. Les applications industrielles de ces méthodes sont néanmoins très limitées, d'une part par une complexité considérable de calculs (nombre d'itérations très élevé, par ex.), d'autre part par des difficultés rencontrées lors d'implantation embarquées (consommation d'énergie, exigences mémoire). Quelques expériences temps-réel ont été publiées avec des super-calculateurs ou des accélérateurs graphiques. Quant aux applications embarquées, elles sont à notre connaissance quasi-inexistantes. Notre but est de proposer une architecture dédiée, facilitant tant l'implantation temps-réel qu'embarquée. En vue de cet objectif nous proposons un nouvel algorithme de solution de l'équation Eikonale/calcul de fonction distance qui procède en parallèle, élimine l'usage des files d'attente hiérarchiques et permet d'obtenir la solution sur la totalité ou seulement sur une partie de l'image (le narrow band). La complexité de cet algorithme, nommé Massive Marching, est linéaire. Nous estimons que l'impact de Massive Marching est d'autant plus important pour la communauté de Morphologie Mathématique, qu'il s'agit du premier algorithme permettant d'obtenir en parallèle la ligne de partage des eaux non-biaisée. Ensuite, nous proposons deux types d'architecture (i) SIMD et (ii) plusieurs coeurs de processeurs embarqués implantant Massive Marching en parallèle ou semi-parallèle. Ces mêmes types d'architecture peuvent être utilisés pour implanter un filtrage aussi bien que des méthodes à évolution d'interface. La même architecture peut donc être utilisée pour implanter une application complète, composée de différents types d'algorithmes comme par exemple filtrage suivi par segmentation.

Le but de cette thèse est de fournir des moyens de calcul et de visualisation d'objets mathématiques issus de l'analyse complexe. Dans ce cadre, de nombreux problèmes d'origine mathématique empêchent d'utiliser les nombres complexes aussi naturellement que les nombres réels : indéterminations dans les calculs, nombre élevé de dimensions empêchant les méthodes naïves de visualisation, phénomènes multiformes. Au niveau calcul, quelques méthodes ont été étudiées, menant à la définition d'un modèle de programmation permettant de gérer les indéterminations. Au niveau visualisation, des méthodes adaptées aux objets mathématiques complexes ont été mises au point, en particulier dans le cadre des solutions d'équations différentielles complexes. Toutes ces méthodes (calcul, visualisation) ont été implémentées sous forme de modules dans un environnement commun permettant le prototypage rapide d'expériences, axées notamment sur un couplage entre calcul et visualisation. Les différentes applications présentées dans le document (intégration numérique d'équations différentielles avec des fonctions multiformes, visualisation de solutions d'équations différentielles complexes, visualisation de l'erreur globale estimée pendant une intégration) y ont été intégrées.