L'introduction de l'analyse modale dans le cadre de structures mécaniques non-linéaires semble paradoxale, car le domaine d'application des nombreuses méthodes regroupées sous ce terme, est limité aux systèmes qui peuvent être considérés comme linéaires. Cependant, l'obtention de bases modales par ces méthodes très répandues, est d'une très grande utilité dans le domaine de l'ingénierie à plusieurs égards : caractérisation dynamique des structures, prédiction des réponses, sous-structuration, recalage de modèles... La notion de mode de vibration a été étendue, dans les années 1960, à une certaine classe de systèmes non-linéaires. Les modes des systèmes linéaires sont alors un cas particulier des modes normaux non-linéaires définis comme des mouvements possédant des propriétés particulières et dont l'existence a été démontrée. Depuis, de nombreux développements, le plus souvent analytiques, ont été effectués dans l'étude des systèmes dynamiques à l'aide des modes normaux non-linéaires. Les structures réelles exhibent souvent des comportements non-linéaires et peuvent donc poser certains problèmes de modélisation et d'analyse. Il nous a semblé opportun de rechercher l'intérêt, les possibilités d'application et l'efficacité de méthodes basées sur des notions modales étendues au cas non-linéaire dans un contexte expérimental et industriel. Dans le cadre de ce travail, des méthodes de calcul des modes non-linéaires sont évaluées sur des modèles numériques de structures. Des techniques d'identification des modes non-linéaires dans le domaine fréquentiel sont proposées, appliquées à des cas expérimentaux puis industriels, sur lesquels auront été effectués des tests vibratoires adéquats. Nous montrons quelques possibilités dans le domaine de l'analyse expérimentale des structures vibrantes basée sur des notions modales non-linéaires.

Cette thèse vise à fournir et éprouver de nouveaux outils théoriques, numériques et informatiques de calculs de modes non linéaires pour des structures à non linéarité géométrique et discrétisées par éléments finis. La surface invariane de l'espace des phases caractérisant le mode non linéaire est décrite à partir d'une famille d'orbites périodiques solutions des équations du mouvement. Chaque orbite périodique est discrétisée en temps (schéma de Newmark et de Simo) et formulée à l'aide d'un système d'équation global contenant toutes les inconnues à tous les pas de temps, c'est la méthode simultanée, par opposition à la méthode de tir classique. Les familles d'orbites solutions du système global sont obtenues par la méthode de continuation MAN (Méthode Asymptotique Numérique). Des variations autour de la MAN sont aussi abordées. Il s'agit d'apports liés au contrôle de la continuation au passage des points de bifurcations à l'aide d'une perturbation ajoutée au système d'équation non linéaire. On présente un outil-logiciel, MANLAB, permettant la continuation interactive de diagrammes de bifurcation complexes, qui est appliquée à la continuation de famille d'orbites périodiques.

Les vibrations qui sont en général source de dérangement, d’usure et même destruction des machines et structures mécaniques doivent être contrôlées ou éliminées. Pour cette raison, la lutte contre les vibrations est devenue depuis des années un enjeu majeur pour les chercheurs de laboratoire et de développement dans l’industrie afin de développer des solutions efficaces contre ces problèmes. De nombreuses technologies ont donc été développées. Parmi ces technologies, les absorbeurs de vibration non linéaires présentent des performances importantes dans l’atténuation de vibration sur une large bande de fréquences. C’est dans ce contexte que cette thèse se focalise sur l’analyse et l’optimisation des absorbeurs de vibration non linéaires. L’objectif de cette thèse est d’analyser le comportement dynamique non linéaire des systèmes présentant des absorbeurs de vibration non linéaires. Pour cela, un modèle dynamique d’un système à deux degrés de liberté est développé mettant en équations le comportement non linéaire. La résolution des équations de mouvement est faite par la Méthode Asymptotique Numérique (MAN). La performance de cette méthode est montrée via une comparaison avec la méthode de Newton-Raphson. L’analyse des modes non linéaires du système ayant une non-linéarité cubique est faite par une formulation explicite des Fonctions de Réponse en Fréquence non linéaires (FRFs) et les Modes Normaux Non linéaires (MNNs). Un démonstrateur sur la base d’un système simple à deux degré de liberté est mis en place afin de recaler les modèles envisagés sur la base des résultats expérimentaux trouvés. / Vibrations are usually undesired phenomena as they may cause discomfort, disturbance, damage, and sometimes destruction of machines and structures. It must be reduced or controlled or eliminated. For this reason, the vibrations attenuation became a major issue for scientists and researchers in order to develop effective solutions for these problems. Many technologies have been developed. Among these technologies, the nonlinear vibration absorbers have significant performance in the vibration attenuation over a wide frequency band. In this context, this thesis focuses on the analysis and optimization of nonlinear vibration absorbers. The objective of the thesis is to analyze the nonlinear dynamic behavior of systems with nonlinear vibration absorbers. For this, a dynamic model of a two degrees of freedom system is developed. The Asymptotic Numerical Method (ANM) is used to solve the nonlinear equations of motion. The performance of this method is shown via a comparison with the Newton-Raphson method. The nonlinear modal analysis system with cubic nonlinearity is made by an explicit formulation of the nonlinear Frequency Response Functions (FRFs) and Nonlinear Normal Modes (MNNs). An experimental study is performed to validate the numerical results.

Les systèmes composés d’une somme de sous-systèmes interconnectés offrent les avantages majeurs de flexibilité d’organisation et de redondance synonyme de fiabilité accrue. Une des plus belles réalisations basée sur ce concept réside dans les réseaux électriques qui sont reconnus à ce jour comme la plus grande et la plus complexe des structures existantes jamais développées par l’homme.Les phénomènes de plus en plus non linéaires rencontrés dans l’étude des nouveaux réseaux électriques amènent au développement de nouveaux outils permettant l’étude des interactions entre les différents éléments qui les composent. Parmi les outils d’analyse existants, ce mémoire présente le développement et l’application de la théorie des Formes Normales à l’étude des interactions présentes dans un réseau électrique. Les objectifs spécifiques de cette thèse concernent le développement de la méthode des Formes Normales jusqu’à l’ordre 3, l’application de cette méthode à l’étude des oscillations présentes dans des réseaux tests et l’apport de la méthode développée dans l’étude de la stabilité des réseaux. / Systems composed with a sum of interconnected sub-systems offer the advantages of a better flexibility and redundancy for an increased reliability. One of the largest and biggest system based on this concept ever devised by man is the interconnected power system.Phenomena encountered in the newest interconnected power systems are more and more nonlinear and the development of new tools for their study is od major concern. Among the existing tools, this PhD work presents the development and the application of the Normal Form theory to the study of the interactions existing on an interconnected power system. The specific objectives of this PhD work are the development of the Normal Form theory up to the third order, the application of this method to study power system interarea oscillations and the gain of the developed method for the study of stability of power systems.

Ces travaux s'articulent autour du calcul des solutions périodiques dans les systèmes dynamiques non linéaires, au moyen de méthodes numériques de continuation. La recherche de solutions périodiques se traduit par un problème avec conditions aux limites périodiques, pour lequel nous avons implémenté deux méthodes d'approximation : - Une méthode spectrale dans le domaine fréquentiel, l'équilibrage harmonique d'ordre élevé, qui repose sur une formulation quadratique des équations. Nous proposons en outre une extension de cette méthode aux cas de non-linéarités non rationnelles. - Une méthode pseudo-spectrale dans le domaine temporel, la collocation à l'aide fonctions polynômiales par morceaux. Ces méthodes transforment le problème continu en un système d'équations algébriques non linéaires, dont les solutions sont calculées par continuation à l'aide de la méthode asymptotique numérique. L'ensemble de ces outils, complétés d'une analyse linéaire de stabilité, sont intégrés au code de calcul MANLAB. Applications : Un modèle physique non-régulier de clarinette est étudié en détail : à partir de la branche de solutions statiques et ses bifurcations, on calcule les différentes branches de solutions périodiques, ainsi que leur stabilité et leurs bifurcations. Ce modèle est ensuite adapté au cas du saxophone, pour lequel on intègre une caractérisation acoustique expérimentale, afin de mieux tenir compte de la géométrie complexe de l'instrument. Enfin, nous étudions un modèle physique simplifié de violon, avec une non-régularité liée frottement de Coulomb. / Periodic solutions of nonlinear dynamical systems are the focus of this work. We compute periodic solutions through a BVP formulation, solved with two numerical methods: - a spectral method, in the frequency domain: the hogh-order Harmonic Balance Method, using a quadratic formulation of the original equations. We also propose an extension to nonrational nonlinearities. - a pseudo-spectral method, in the time domain : the arthogonal collocation at Gauss point, with piece-wise polynomial interpolation. Both methods lead to a system of nonlinear algebraic equations, and its solutions are computed by a continuation algorithm : the Asymptotic Numerical Method. These methods are embeded in the numerical package MANLAB, together with a linear stability analysis. Application We then apply these methods to physical models of several instruments : a clarinet, a saxophone, and a violin. The clarinet model contains a non-smooth contact between the reed and the mouthpiece. The study focuses on the evolution of frequency, loudness, and spectrum along the branch of periodic solutions when varying the mouth pressure. The saxophone model is very similar, but an experimental characterization of the bore is used in that case. Finally, the violin model with a non-smooth Coulomb contact law and a simplified resonator is studied, showing the variety of models that can be treated using this method.

Ces travaux s'articulent autour du calcul des solutions périodiques dans les systèmes dynamiques non linéaires, au moyen de méthodes numériques de continuation. La recherche de solutions périodiques se traduit par un problème avec conditions aux limites périodiques, pour lequel nous avons implémenté deux méthodes d'approximation : - Une méthode spectrale dans le domaine fréquentiel : l'équilibrage harmonique d'ordre élevé, qui repose sur une formulation quadratique des équations. Nous proposons en outre une formulation originale permettant d'étendre cette méthode aux cas de non-linéarités non rationnelles. - Une méthode pseudo-spectrale par éléments dans le domaine temporel : la collocation à l'aide fonctions polynômiales par morceaux. Ces méthodes transforment le problème continu en un système d'équations algébriques non linéaires, dont les solutions sont calculées par continuation à l'aide de la méthode asymptotique numérique. L'ensemble de ces outils, intégrés au code de calcul MANLAB et complétés d'une analyse linéaire de stabilité, sont alors utilisés pour l'étude des régimes périodiques d'une classe particulière de systèmes dynamiques non linéaires : les instruments de musique auto-oscillants. Un modèle physique non-régulier de clarinette est étudié en détail : à partir de la branche de solutions statiques et ses bifurcations, on calcule les différentes branches de solutions périodiques, ainsi que leur stabilité et leurs bifurcations. Ce modèle est ensuite adapté au cas du saxophone, pour lequel on intègre une caractérisation acoustique expérimentale, afin de mieux tenir compte de la géométrie complexe de l'instrument. Enfin, nous étudions un modèle physique simplifié de violon, avec une non-régularité liée frottement de Coulomb. Cette dernière application illustre ainsi la polyvalence des outils développés face aux différents types de non-régularité.

Le présent manuscrit propose une synthèse des travaux de recherche de l'auteur de ces dix dernières années. Il est divisé en deux grandes parties. La première partie regroupe les modèles et techniques de résolution développés par l'auteur pour résoudre des problèmes de dynamique non linéaire des structures élastiques et piézoélectriques. Le fil conducteur de cette partie est celui de la résolution d'un problème de mécanique. La première étape est le choix d'un modèle adapté. Ainsi, on propose une synthèse des modèles non linéaires géométriques de milieux minces, classés et comparés à la fois en terme de formulation et d'hypothèses. Des modèles analytiques et numériques sont mis en regard, depuis leur fondement dans la mécanique des milieux continus non linéaire, jusqu'à leur écriture opérationnelle. Ensuite, des méthodes de résolution adaptées sont décrites : discrétisation des modèles analytiques par projection modale, réduction de modèles éléments finis par la même technique, modes non linéaires, méthodes numériques de continuation. Des techniques expérimentales spécifiques aux vibrations non linéaires sont aussi décrites. La seconde partie donne une vue d'ensemble des principaux résultats associés aux trois thèmes d'application des recherches de l'auteur : la dynamique non linéaire des plaques et des coques, avec des applications aux instruments de musique à percussion, la réduction de vibration de structures par shunts piézoélectriques et enfin les vibrations non linéaires de micro/nano systèmes électromécaniques. Cette seconde partie fait largement référence aux résultats généraux de la première et en donne ainsi des illustrations et des applications.

Le travail de cette thèse a été réalisé dans le cadre d'une collaboration entre EDF R&D et le LMA de Marseille (CNRS). Le but était de développer des outils théoriques et numériques pour le calcul de modes non-linéaires de structures industrielles possédant des non-linéarités localisées à jeu. La méthode de calcul utilisée est une combinaison de la méthode d'équilibrage harmonique (EH) et de la méthode asymptotique numérique (MAN), appelée EHMAN. Elle est réputée pour sa robustesse sur les problèmes réguliers. L'enjeu de ce travail de thèse est de l'appliquer sur des problèmes non-réguliers régularisés de type butée à jeu pour lequel un grand nombre d'harmonique est nécessaire. Des améliorations ont été apportées à la méthode de base pour rendre effectif le traitement de modèles à "grand" nombre de degrés de liberté (DDL). Les développements réalisés pendant la thèse ont été capitalisés par la création de nouveaux opérateurs dans Code_Aster.Une étude approfondie d'un système à 2 degrés de liberté a permis de faire émerger quelques caractéristiques des systèmes non-linéaires à jeu. Celles-ci ont servi entre autre à établir une méthodologie pour l'étude de systèmes à grand nombre de DDL. Pour finir, la potentialité des modes non-linéaires comme outil de diagnostic vibratoire est démontrée avec l'étude d'un tube cintré de générateur de vapeur. Le calcul des modes non-linéaires a monté l'existence d'une interaction entre un mode hors-plan (basse fréquence) et un mode plan (haute fréquence) expliquant des régimes vibratoires non-standards. Ce résultat, impossible à obtenir avec les outils de l'analyse modale linéaire, est confirmé expérimentalement. / This work is a collaboration between EDF R&D and the Laboratory of Mechanics and Acoustics. The objective is to develop theoretical and numerical tools to compute nonlinear normal modes (NNMs) of structures with localized nonlinearities.We use an approach combining the harmonic balance and the asymptotic numerical methods, known for its robustness principally for smooth systems. Regularization techniques are used to apply this approach for the study of nonsmooth problems. Moreover, several aspects of the method are improved to allow the computation of NNMs for systems with a high number of degrees of freedom (DOF). Finally, the method is implemented in Code_Aster, an open-source finite element solver developed by EDF R&D.The nonlinear normal modes of a two degrees-of-freedom system are studied and some original characteristics are observed. These observations are then used to develop a methodology for the study of systems with a high number of DOFs. The developed method is finally used to compute the NNMs for a model U-tube of a nuclear plant steam generator. The analysis of the NNMs reveals the presence of an interaction between an out-of-plane (low frequency) and an in-plane (high frequency) modes, a result also confirmed by the experiment. This modal interaction is not possible using linear modal analysis and confirms the interest of NNMs as a diagnostic tool in structural dynamics.

Le travail de cette thèse a été réalisé dans le cadre d'une collaboration entre EDF R&D et le LMA de Marseille (CNRS). Le but était de développer des outils théoriques et numériques pour le calcul de modes non-linéaires de structures industrielles possédant des non-linéarités localisées à jeu. La méthode de calcul utilisée est une combinaison de la méthode d'équilibrage harmonique (EH) et de la méthode asymptotique numérique (MAN), appelée EHMAN. Elle est réputée pour sa robustesse sur les problèmes réguliers. L'enjeu de ce travail de thèse est de l'appliquer sur des problèmes non-réguliers régularisés de type butée à jeu pour lequel un grand nombre d'harmonique est nécessaire. Des améliorations ont été apportées à la méthode de base pour rendre effectif le traitement de modèles à "grand" nombre de degrés de liberté (DDL). L'algorithme Fast Fourier Transform est utilisé pour accélérer le calcul des termes non-linéaires. Le calcul de la matrice jacobienne a été optimisé. Et la dissociation du nombre d'harmoniques entre les variables de déplacement et de force non-linéaire a été introduite. Les développements réalisés pendant la thèse ont été capitalisés par la création de nouveaux opérateurs dans Code_Aster. Une étude approfondie d'un système à 2 degrés de liberté a permis de faire émerger quelques caractéristiques des systèmes non-linéaires à jeu. Celles-ci ont servi entre autre à établir une méthodologie pour l'étude de systèmes à grand nombre de DDL. Pour finir, la potentialité des modes non-linéaires comme outil de diagnostic vibratoire est démontrée avec l'étude d'un tube cintré de générateur de vapeur. Le calcul des modes non-linéaires a monté l'existence d'une interaction entre un mode hors-plan (basse fréquence) et un mode plan (haute fréquence) expliquant des régimes vibratoires non-standards. Ce résultat, impossible à obtenir avec les outils de l'analyse modale linéaire, est confirmé expérimentalement.