Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Nous considérons un système mécanique en vibration non linéaire, pour lequel nous fournissons une solution approchée par l'utilisation des développements multiples échelles; nous proposons d'abord une étude avec double échelles puis avec triple échelles où nous comparons les deux approches. Une preuve rigoureuse de ces développements a été faite. L'étude de la stabilité de la solution est nécessaire pour montrer la convergence au voisinage de la résonance. Un lien entre l'amplitude de la réponse vibratoire et la fréquence du système en vibration libre a été mis en évidence. / We consider small solutions of a vibrating mechanical system with smooth non-linearities for which we provide an approximate solution by using multiple scale analysis; we first use a double scale analysis; in order to improve the approximation, then we perform a triple scale analysis; a rigorous proof of convergence of the triple scale method is included; for the forced response, a stability result is needed in order to prove convergence in a neighborhood of a primary resonance. The amplitude of the response with respect to the frequency forcing is described and it is related to the frequency of a free periodic vibration.

Le sujet global de cette thèse est l'étude des solutions périodiques des systèmes plans d'équations différentielles ordianaires. Elle est divisée en deux grandes parties.<br />La première partie, (il s'agit d'un travail publié et écrit en collaboration avec R. Chouikha) est consacré à la recherche des solutions périodiques de « l'équation de Liénard généralisée ». On démontre un théorème qui asure dans certains cas l'existence de telles solutions.<br />La seconde partie est consacré à la recherche de centres isochrones de systèmes d'équations différentielles ordinaires polynomiaux plans. Grâce à l'usage de C-algorithme, on détermine huit nouveaux cas. On montre aussi l'efficacité de la méthode des formes normales dans de telles recherches, en examinant des systèmes d'ordre 2, 3, 4 et en retrouvant de manière uniforme plusieurs résultats déjà connus.

Cette thèse a été préparée à l'Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des Ephémérides de l'Observatoire de Paris, de septembre 2001 à avril 2005, sous la direction de MM. Alain Chenciner et Alain Albouy. Elle traite du problème des N corps, qui consiste en l'étude des solutions des équations de Newton. Celles-ci décrivent le mouvement de N particules ponctuelles en interaction gravitationnelle. Cette thèse a plus précisément pour objet l'étude des solutions homographiques (les rapports entre les distances mutuelles sont constants) associées à des masses de signe quelconque. On étudie le cas des mouvements rigides (les distances mutuelles sont constantes). Ce problème est plus difficile que le problème à masses positives, car il n'est plus possible d'associer un produit scalaire aux masses.<br /><br />On s'intéresse au cas où la somme des masses est nulle. Le centre d'inertie devient alors un vecteur, invariant par translation. Ceci rend les équations de Newton "plus intégrables". Ainsi, sous une hypothèse sur les vitesses initiales, le problème colinéaire des trois corps devient intégrable. Cette propriété permet de calculer les configurations centrales (configurations qui engendrent un effondrement homothétique sur un centre) pour des masses x, -x, y, -y.<br /><br />On applique une propriété des équilibres absolus à somme des masses nulle au problème des chorégraphies. Une chorégraphie est une solution dans laquelle les corps se suivent sur la même courbe avec des intervalles de temps égaux. On montre que, pour le potentiel logarithmique, les masses d'une chorégraphie sont nécessairement égales.

La thèse est composée de deux parties présentées en quatre chapitres. La première partie traite de la modélisation, des simulations et des validations expérimentales d'un modèle de poutre en contact avec un ressort linéaire unilatéral sous une excitation périodique. C'est un modèle mécanique simplifié d'un panneau solaire d'une satellite et d'une cale élastique en phase de lancement. Le système est soumis à une excitation harmonique du support sous forme d'une accélération imposée ou d'une force ponctuelle. Le modèle est validé expérimentalement par des séquences d'essais sur une poutre en aluminium en contact avec une cale en Solithane. Les résultats montrent une cohérence avec les solutions numériques obtenues. La deuxième partie est centrée sur les modes normaux non-linéaires des systèmes mécaniques. Une nouvelle formulation est présentée pour trouver ces modes comme zéros d'une application non-linéaire. Un algorithme utilisant des algorithmes existants, basé sur la continuité des solutions périodiques, est développé pour le calcul des modes normaux. La technique de développement asymptotique par échelles multiples pour le calcul des solutions analytiques approchées d'une équation différentielle avec un terme unilatéral est introduit. On utilise ensuite cette technique pour le calcul des modes normaux non-linéaires d'un système autonome à un nombre n de degrés de liberté avec un contact unilatéral. On traite aussi le cas d'un système forcé, on conjecture ainsi que l'on obtient une procedure simple pour le calcul des modes non linéaires. L'ensemble fournit donc des outils mathématiques validés pour le calcul des modes non-linéaires du système traité dans la première partie de la thèse.

Les équations aux dérivées partielles (EDP) permettent d’aborder d’un point de vue mathématique des phénomènes observés dans tous les domaines des sciences. Certaines EDP non-linéaires modélisent des problèmes de mécanique statistique, mécanique des fluides, théories de la gravitation ou des mathématiques financières.L’objectif de ce travail de thèse est l’étude de certains problèmes d’ EDP non-linéaires et hamiltoniennes et la recherche des leurs solutions périodiques et quasi-périodiques. / The aim of this thesis is the research of periodic and quasi-periodic solutions for some non-linear hamiltonian PDEs.

Nous considérons un système mécanique en vibration non linéaire, pour lequel nous fournissons une solution approchée par l'utilisation des développements multiples échelles; nous proposons d'abord une étude avec double échelles puis avec triple échelles où nous comparons les deux approches. Une preuve rigoureuse de ces développements a été faite. L'étude de la stabilité de la solution est nécessaire pour montrer la convergence au voisinage de la résonance. Un lien entre l'amplitude de la réponse vibratoire et la fréquence du système en vibration libre a été mis en évidence.

La motivation industrielle et mécanique du problème sera présentée pour un problème continu: élasticité linéaire avec une contrainte unilatérale. Un système masse-ressort avec un contact unilatéral en découle par discrétisation. Le but de cette thèse est d'étudier ces systèmes à vibro-impact de N degrés de liberté avec un contact unilatéral. Le système résultant est linéaire en l'absence de contact; Il est régi par une loi d'impact autrement. L'auteur identifie les modes non linéaires qui présentent une phase de contact collant pour un modèle à deux degrés de liberté en présence d'un obstacle rigide. L'application de premier retour de Poincaré est un outil fondamental pour étudier la dynamique près de solutions périodiques. Étant donné que la section de Poincaré est un sous-ensemble de l'interface de contact dans l'espace des phases, elle peut être tangente aux orbites pour les contacts rasants et conduire à une singularité en « racine carrée » déjà connue en Mécanique. Cette singularité est revisitée dans un cadre mathématique rigoureux. Elle implique la discontinuité du temps de premier retour. Enfin, l’instabilité des modes linéaire rasants est abordée. / The mechanical motivation is presented for a PDE with a constraint. The purpose of this thesis is to study N degree-of-freedom vibro-impact systems with an unilateral contact. The resulting system is linear in the absence of contact; it is governed by an impact law otherwise. The author identifies some nonlinear modes that display a sticking phase. The First Return Map is a fundamental tool to explore periodic solutions. Since the Poincaré section is a subset of the contact interface in the phase-space, it can be tangent to orbits which yields the well-known square-root singularity. This singularity is here revisited in a rigorous mathematical framework. Moreover, the study of this singularity implies a more important singularity: the discontinuity of the first return time. Finally, the square-root dynamics near the linear grazing modes which may lead to the instability of these linear grazing modes is studied.

Ces travaux s'articulent autour du calcul des solutions périodiques dans les systèmes dynamiques non linéaires, au moyen de méthodes numériques de continuation. La recherche de solutions périodiques se traduit par un problème avec conditions aux limites périodiques, pour lequel nous avons implémenté deux méthodes d'approximation : - Une méthode spectrale dans le domaine fréquentiel, l'équilibrage harmonique d'ordre élevé, qui repose sur une formulation quadratique des équations. Nous proposons en outre une extension de cette méthode aux cas de non-linéarités non rationnelles. - Une méthode pseudo-spectrale dans le domaine temporel, la collocation à l'aide fonctions polynômiales par morceaux. Ces méthodes transforment le problème continu en un système d'équations algébriques non linéaires, dont les solutions sont calculées par continuation à l'aide de la méthode asymptotique numérique. L'ensemble de ces outils, complétés d'une analyse linéaire de stabilité, sont intégrés au code de calcul MANLAB. Applications : Un modèle physique non-régulier de clarinette est étudié en détail : à partir de la branche de solutions statiques et ses bifurcations, on calcule les différentes branches de solutions périodiques, ainsi que leur stabilité et leurs bifurcations. Ce modèle est ensuite adapté au cas du saxophone, pour lequel on intègre une caractérisation acoustique expérimentale, afin de mieux tenir compte de la géométrie complexe de l'instrument. Enfin, nous étudions un modèle physique simplifié de violon, avec une non-régularité liée frottement de Coulomb. / Periodic solutions of nonlinear dynamical systems are the focus of this work. We compute periodic solutions through a BVP formulation, solved with two numerical methods: - a spectral method, in the frequency domain: the hogh-order Harmonic Balance Method, using a quadratic formulation of the original equations. We also propose an extension to nonrational nonlinearities. - a pseudo-spectral method, in the time domain : the arthogonal collocation at Gauss point, with piece-wise polynomial interpolation. Both methods lead to a system of nonlinear algebraic equations, and its solutions are computed by a continuation algorithm : the Asymptotic Numerical Method. These methods are embeded in the numerical package MANLAB, together with a linear stability analysis. Application We then apply these methods to physical models of several instruments : a clarinet, a saxophone, and a violin. The clarinet model contains a non-smooth contact between the reed and the mouthpiece. The study focuses on the evolution of frequency, loudness, and spectrum along the branch of periodic solutions when varying the mouth pressure. The saxophone model is very similar, but an experimental characterization of the bore is used in that case. Finally, the violin model with a non-smooth Coulomb contact law and a simplified resonator is studied, showing the variety of models that can be treated using this method.