Dans cette thèse, on étudie diverses propriétés dimensionnelles de la régularité de processus de difusions à sauts, solution d’une classe d’équations différentielles stochastiques à sauts. En particulier, on décrit la fluctuation de la régularité höldérienne de ces processus et celle de la dimension locale pour la mesure d’occupation qui leur est associée en calculant leur spectre multifractal. La dimension de Hausdorff de l’image et du graphe de ces processus ont aussi étudiées.Dans le dernier chapitre, on applique une nouvelle notion de dimension de grande échelle pour décrire l’asymptote à l’infini du temps de séjour d’un mouvement brownien en dimension 1 sous des frontières glissantes / In this dissertation, we study various dimension properties of the regularity of jump di usion processes, solution of a class of stochastic di erential equations with jumps. In particular, we de- scribe the uctuation of the Hölder regularity of these processes and that of the local dimensions of the associated occupation measure by computing their multifractal spepctra. e Hausdor dimension of the range and the graph of these processes are also calculated.In the last chapter, we use a new notion of “large scale” dimension in order to describe the asymptotics of the sojourn set of a Brownian motion under moving boundaries

A partir des équations gouvernant le champ de vitesse, on peut non seulement s'attendre à un vent (fortement) non-gaussien, mais aussi à un vent présentant un comportement scalant. Par ‘scalant' ou invariant d'échelle, nous faisons référence à un comportement statistique auto-similaire particulier; les cascades de tourbillons. Les multifractales stochastiques (avec des singularités et des co-dimensions multiples) reproduisent facilement le comportement scalant et les distributions de probabilités à queues épaisses omniprésentes dans le vent et dont la quantification est essentielle pour la communauté. Les quelques paramètres qui définissent ces modèles peuvent être déduits soit de considérations théoriques, soit de l'analyse statistique de données. Nous avons constaté que les approximations de flux basées sur le module du cisaillement du vent donnent des moments statistiques non-scalants et donc des estimations faussées des paramètres multifractals. La méthode DSF n'exige pas cette approximation et garantit un comportement scalant sur une certaine gamme d'échelles. Nous n'avons trouvé aucune estimation véritablement stable d'alpha en utilisant des méthodes standards. Ceci n'arrive plus quand nous optimisons localement (par la différenciation fractionnaire) le comportement scalant du DTM. Nous obtenons alors des estimations très stables de l'indice de multifractalité qui sont en outre en accord (alpha ≤ 2) avec des résultats publiés. Au contraire, les deux autres paramètres (C1 et H) deviennent des fonctions non-linéaires de l'ordre q des moments statistiques. Ces résultats suggèrent que le modèle UM isotrope ne peut être utilisé pour reproduire le cisaillement de vent dans la couche de surface atmosphérique. Lesdites hypothèses sont examinées en utilisant un repère tournant pour analyser l'anisotropie de la vitesse horizontale dans la couche de surface atmosphérique. Cela permet de quantifier la dépendance angulaire de l'exposant de Hurst. Les valeurs de cet exposant restent tout de même conformes aux résultats précédemment publiés. Pour des échelles de temps supérieures à quelques secondes, les deux jeux de données présentent une anisotropie scalante forte, qui décroît avec l'altitude. Nous mettons en évidence une expression analytique de la variation angulaire de l'exposant de Hurst, reposant sur les corrélations entre les composantes horizontales. Ceci pilote la formation des extrêmes du cisaillement, y compris dans le sillage d'une éolienne. Les cisaillements turbulents du vent sont si extrêmes que leur loi de probabilité est une loi de puissance. L'exposant correspondant (qD) est similaire pour les deux sites à une hauteur de 50m (4 ≤ qD ≤ 5), malgré des conditions orographiques très différentes. Nous discutons aussi de ses conséquences en analysant la stabilité de la couche limite atmosphérique et proposons une nouvelle méthode pour sa classification. Enfin, nous démontrons analytiquement que l'anisotropie augmente la probabilité des extrêmes. Ce résultat met en lumière un des nombreux mécanismes de turbulence possibles dans la couche de surface qui peut apparemment surproduire les cisaillements extrêmes du vent, s'ils sont étudiés dans le cadre des UM isotropes. Nous en analysons théoriquement les conséquences sur les estimations des paramètres multifractales par la méthode DTM. Les résultats analytiques obtenus sont en parfait accord avec les observations empiriques. Nous discutons alors de la prise en compte de toutes ces considérations pour faire des simulations multifractales des champs du vent dans la couche limite atmosphérique / From the governing equations of the velocity field, one can not only expect a (highly) non-Gaussian wind but also one that is scaling. By ‘scaling' we mean a given statistical self-similarity; a turbulent cascade of eddies. Stochastic multifractals (with multiple singularities and co-dimensions) easily reproduce the scaling, heavy-tailed probabilities ubiquitous with the wind and essential to quantify for the wind energy community. The few parameters that define these models can be derived either from theoretical considerations or from statistical data analysis. It is sometimes possible to determine the statistics of the velocity shears with the universal multifractal (UM) parameters: alpha - the index of multifractality (0 ≤ alpha ≤ 2), C1 - the co-dimension of the mean intermittency (C1 ≥ 0) and H - the degree of non-conservation - the linear part of the scaling exponents. The latter of the three parameters is often called the Hurst exponent. We inter-compare the results from the rather standard method of empirical estimation of the UM parameters, the Double Trace Moment (DTM) method, with that of the Double Structure Function (DSF), a newly developed method. We found that flux proxies based on the modulus of the wind velocity shears yield non-scaling statistical moments and therefore spurious multifractal parameter estimates. DSF does not require this proxy approximation thus providing the scaling of the structure-function to an extent. We found no truly stable estimate of alpha using standard methods. This no longer occurs when we locally optimise (by fractionally differentiating) the DTM scaling behaviour. We then obtain very stable estimates of the multifractality index that are furthermore consistent (alpha ≤ 2) with other literature. On the contrary, the two other parameters (C1 and H) become non-linear functions of the order q of the statistical moments. These results suggest that the isotropic UM model cannot be used to reproduce the velocity shears in the atmospheric surface-layer. To investigate the above hypothesis we use a rotated frame of reference to analyse the anisotropy of the horizontal velocity in the atmospheric surface-layer. This enables us to quantify the angular dependency of a Hurst exponent. Despite being anisotropic the Hurst exponent is consistent with other surface-layer literature. For time-scales above a few seconds, both data exhibit a strong, scaling anisotropy that decreases with height. We put forward an analytical expression for the angular variation of the Hurst exponent based on the correlation of the horizontal components. It determines the generation of wind shear extremes, including those in the wake of a turbine. We find that the turbulent wind shears are so extreme that their probability distributions follow a power law. The corresponding exponent (qD) is rather the same in both sites at 50m heights (4 ≤ qD ≤ 5), in spite of very different orographic conditions. We also discuss its consequences when analysing the stability of the atmospheric boundary-layer and propose a new method for its classification. Finally, we analytically demonstrate that anisotropy increases the extremes probability. This finding reveals one of the many possible turbulence mechanisms in the atmospheric surface-layer that may seemingly over-generate wind shear extremes if they are studied in an isotropic UM framework. We theoretically analyse the consequences of this on the UM estimates for the DTM method. The obtained analytical results fully support empirical findings. We then discuss how to take into account all of these considerations when simulating multifractal fields of the wind in the atmospheric boundary-layer. The overall results of this dissertation go beyond wind energy, they open up new perspectives for the theoretical predictions of extremes in the general case of strongly correlated data

Dans cette thèse, nous étudions la minimalité et la propriété chaotique de systèmes dynamiques p-adiques. Nous étudions aussi des propriétés multifractales des séries de Davenport avec translation de phases. Dans la première partie, nous commençons par l'étude des systèmes dynamiques affines sur Zp. Nous trouvons une condition nécessaire et suffisante pour qu'un tel système soit minimal. En outre, nous exhibons toutes ses composantes strictement ergodiques si le système n'est pas minimal. De plus, nous étudions aussi les systèmes monômes sur le groupe 1+pZp. Ensuite nous étudions les polynômes localement dilatants et transitifs. Pour un tel polynôme, limité sur son ensemble de Julia, nous prouvons qu'il est conjugué à un sous-shift de type fini. Dans la deuxième partie, nous étudions les séries de Davenport avec translation de phases. Après avoir calculé le saut d'une telle série à chaque point, nous trouvons l'ensemble des points discontinus et obtenons une condition nécessaire et suffisante pour qu'une série de Davenport avec translation de phases soit continue sur R. La convergence ponctuelle de la série est aussi étudiée. Ensuite, nous estimons la borne inférieure de l'exposant hölderien de la série de Davenport avec de phase rationnelle et la borne supérieure du spectre de la singularité / In this thesis, we study the minimality and the chaotic property of p-adic dynamical systems and some multifractal properties of phase translated Davenport series. In the first part, we begin with the study of affine dynamical systems on Zp. We find a necessary and sufficient condition for such a system to be minimal. Furthermore, all its strictly ergodic components are exhibited when it is not minimal. In addition, we study monomial systems on the group 1 + pZp. Then transitive locally expanding polynomial systems are studied. It is proved that such a polynomial system, restricted to its Julia set, is conjugate to a subshift of finite type. In the second part, we study phase translated Davenport series. After having calculated the jump of the series at each point, we characterize the set of discontinuous points and get a sufficient and necessary condition for the series to be continuous on R. Furthermore, the pointwise convergence of the series is studied. Then we estimate the lower bound of the Hölder-exponent of rational translated Davenport series and get an upper bound estimation on the spectrum of singularity. The lower bound of the Hölder-exponent are also discussed for some irrational translated series

Réduire la vulnérabilité et accroître la résilience des sociétés d'aujourd'hui aux fortes précipitations et inondations exige de mieux caractériser leur très forte variabilité spatio-temporelle observable sur une grande gamme d'échelle. Nous mettons donc en valeur tout au long de cette thèse l'intérêt méthodologique d'une approche multifractale comme étant la plus appropriée pour analyser et simuler cette variabilité. Cette thèse aborde tout d'abord le problème de la qualité des données, qui dépend étroitement de la résolution temporelle effective de la mesure, et son influence sur l'analyse multifractale et la détermination de lois d'échelle des processus de précipitations. Nous en soulignons les conséquences pour l'hydrologie opérationnelle. Nous présentons la procédure SERQUAL qui permet de quantifier cette qualité et de sélectionner les périodes correspondant aux critères de qualité requise. Un résultat surprenant est que les longues chronologies de pluie ont souvent une résolution effective horaire et rarement de 5 minutes comme annoncée. Ensuite, cette thèse se penche sur les données sélectionnées pour caractériser la structure temporelle et le comportement extrême de la pluie. Nous analysons les sources d'incertitudes dans les méthodes multifractales « classiques » d'estimation des paramètres et nous en déduisons des améliorations pour tenir compte, par exemple, de la taille finie des échantillons et des limites de la dynamique des capteurs. Ces améliorations sont utilisées pour obtenir les caractéristiques multifractales de la pluie à haute résolution de 5 minutes pour plusieurs départements de la France (à savoir, les départements 38, 78, 83 et 94) et pour aborder la question de l'évolution des précipitations durant les dernières décennies dans le cadre du changement climatique. Cette étude est confortée par l'analyse de mosaïques radars concernant trois événements majeurs en région parisienne. Enfin, cette thèse met en évidence une autre application des méthodes développées, à savoir l'hydrologie karstique. Nous discutons des caractéristiques multifractales des processus de précipitation et de débit à différentes résolutions dans deux bassins versant karstiques au sud de la France. Nous analysons, en utilisant les mesures journalière, 30 minutes et 3 minutes, la relation pluie-débit dans le cadre multifractal. Ceci est une étape majeure dans la direction d'une définition d'un modèle multi-échelle pluie-débit du fonctionnement des bassins versants karstiques / To reduce vulnerability and to increase resilience of nowadays societies to heavy precipitations and floods require better understanding of their very strong spatio-temporal variability observable over a wide range of scales. Therefore, throughout this thesis we highlight the methodological interest of a multifractal approach as being most appropriate to analyze and to simulate such the variability. This thesis first discusses the problem of data quality, which strongly depends on the effective temporal resolution of the measurements, and its influence on multifractal analysis determining the scaling laws of precipitation processes. We emphasize the consequences for operational hydrology. We present the SERQUAL procedure that allows to quantify the data quality and to select periods corresponding to the required quality criteria. A surprising result is that long chronological series of rainfall often have an effective hourly data, rather than the pretended 5-minute rainfall data. Then, this thesis focuses on the selected data to characterize the temporal structure and extreme behaviour of rainfall. We analyze the sources of uncertainties of already "classical" multifractal methods for the parameter estimates, and we therefore developed their improvements considering e.g., the finite size of data samples and the limitation of sensor dynamics. These improvements are used to obtain proper multifractal characteristics of 5-minute high-resolution rainfall for several French departments (i.e., 38, 78, 83 and 94), and hence to raise the question of preicipitation evolution during the last decades in the context of climate change. This study is reinforced by the analysis of radar mosaics for three major events in the Paris region. Finally, this thesis highlights another application of the developed methods, i.e. for the karst hydrology. We discuss the multifractal characteristics of rainfall and runoff processes observed at the different resolutions in two karst watersheds on the south of France. Using daily, 30-minute and 3-minute measurements we analyse the rainfall-runoff relationships within the multifractal framework. This is a major step towards defining a rainfall-runoff multi-scale model of the karst watershed functioning

Osteoarthritis is a large problem affecting many patients globally, and diagnosis of osteoarthritis is often done using evidence from arthroscopic surgeries. Making a correct diagnosis is hard, and takes years of experience and training on thousands of images. Therefore, developing an automatic solution to perform the diagnosis would be extremely helpful to the medical field. Since machine learning has been proven to be useful and effective at classifying and segmenting medical images, this thesis aimed at solving the problem using machine learning methods. Multifractal analysis has also been used extensively for medical imaging segmentation. This study proposes two methods of automatic segmentation using neural networks and multifractal analysis. The thesis was performed using real arthroscopic images from surgeries. MultiResUnet architecture is shown to be well suited for pixel perfect segmentation. Classification of multifractal features using neural networks is also shown to perform well when compared to related studies.

In dieser Arbeit werden Zufallsfeld-Ising-Modelle mit einem eingefrorenen dichotomen symmetrischen Zufallsfeld für den eindimensionalen Fall und das Bethe-Gitter untersucht. Dabei wird die kanonische Zustandssumme zu der eines einzelnen Spins in einem effektiven Feld umformuliert. Im ersten Teil der Arbeit werden das mulktifraktale Spektrum dieses effektiven Feldes untersucht, Übergänge im Spektrum erklärt und Ungleichungen zwischen lokalen und globalen Dimensionsbegriffen bewiesen, die eine weitgehend vollständige Charakterisierung des multifraktalen Spektrums durch eine Reihe von Schranken erlauben. Ein weiterer Teil der Arbeit beschäftigt sich mit einer ähnlichen Charakterisierung des Maßes der lokalen Magnetisierung, das aus dem Maß des effektiven Feldes durch Faltung hervorgeht. In diesem Zusammenhang wird die Faltung von Multifraktalen in einem allgemeineren Rahmen behandelt und Zusammenhänge zwischen den multifraktalen Eigenschaften der Faltung und denen der gefalteten Maße bewiesen. Im dritten Teil der Dissertation wird der Phasenübergang von Ferro- zu Paramagnetismus im Modell auf dem Bethe Gitter untersucht. Neben verbesserten exakten Schranken für die Eindeutigkeit des paramagnetischen Zustands werden im wesentlichen drei Kriterien für die tatsächliche Lage des Übergangs angegeben und numerisch ausgewertet. Die multifraktalen Eigenschaften des effektiven Felds im Modell auf dem Bethe-Gitter schließlich erweisen sich als trivial, da die interessanten Dimensionen nicht existieren. / In this work random field Ising models with quenched dichotomous symmetric random field are considered for the one-dimensional case and on the Bethe lattice. To this end the canonical partition function is reformulated to the partition function of one spin in an effective field. In the first part of the work the multifractal spectrum of this effective field is investigated, transitions in the spectrum are explained and inequalities between local and global generalized fractal dimensions are proven which allow to characterize the multifractal spectrum bei various bounds. A further part of the work is dedicated to the characterization of the measure of the local magnetization which is obtained by convolution of the measure of the effective field with itself. In this context the convolution of multifractals is investigated in a more general setup and relations between the multifractal properties of the convolution and the multifractal properties of the convoluted measures are proven. The phase transition from ferro- to paramagnetismus for the model on the Bethe lattice is investigated in the third part of the thesis. Apart from improved exact bounds for the uniqueness of the paramagnetic state essentially three criteria for the transition are developped and numerically evaluated to determine the transition line. The multifractal properties of the effective field for the model on the Bethe lattice finally turn out to be trivial because the interesting dimensions do not exist.

The thesis consists of four main chapters. The first chapter includes an introduction to inhomogeneous self-similar sets and measures. In particular, we show that these sets and measures are natural generalizations of the well known self-similar sets and measures. We then investigate the structure of these sets and measures. In the second chapter we study various fractal dimensions (Hausdorff, packing and box dimensions) of inhomogeneous self-similar sets and compare our results with the well-known results for (ordinary) self-similar sets. In the third chapter we investigate the L {q} spectra and the Renyi dimensions of inhomogeneous self-similar measures and prove that new multifractal phenomena, not exhibited by (ordinary) self-similar measures, appear in the inhomogeneous case. Namely, we show that inhomogeneous self-similar measures may have phase transitions which is in sharp contrast to the behaviour of the L {q} spectra of (ordinary) self-similar measures satisfying the Open Set Condition. Then we study the significantly more difficult problem of computing the multifractal spectra of inhomogeneous self-similar measures. We show that the multifractal spectra of inhomogeneous self-similar measures may be non-concave which is again in sharp contrast to the behaviour of the multifractal spectra of (ordinary) self-similar measures satisfying the Open Set Condition. Then we present a number of applications of our results. Many of them are related to the notoriously difficult problem of computing (or simply obtaining non-trivial bounds) for the multifractal spectra of self-similar measures not satisfying the Open Set Condition. More precisely, we will show that our results provide a systematic approach to obtain non-trivial bounds (and in some cases even exact values) for the multifractal spectra of several large and interesting classes of self-similar measures not satisfying the Open Set Condition. In the fourth chapter we investigate the asymptotic behaviour of the Fourier transforms of inhomogeneous self-similar measures and again we present a number of applications of our results, in particular to non-linear self-similar measures.

Mes travaux portent sur l'analyse de la dynamique cérébrale à partir de données de neuro-imagerie fonctionnelle issues d'examens d'Imagerie par Résonance Magnétique fonctionnelle (IRMf). Ils concernent aussi bien l'étude de la dynamique évoquée par un paradigme d'activation cérébrale et celle issue de l'activité spontanée ou de « fond » lorsque le sujet est au repos (resting state). Les algorithmes que j'ai développés s'appuient pour une large partie sur une connaissance explicite du paradigme expérimental mis au point par l'expérimentateur mais aussi prennent place dans une moindre part au sein des méthodes exploratoires, qui n'exploitant pas ces informations issues du paradigme.<br /><br />Ce thème de recherche embrasse à la fois des problèmes bas niveau relatifs à la reconstruction d'images en IRM mais aussi des aspects plus haut niveau qui concernent l'estimation et la sélection de modèles hémodynamiques régionaux non-paramétriques, capables de prendre en compte la variabilité inter-individuelle de la réponse impulsionnelle du système neuro-vasculaire. Les problèmes de reconstruction sont traités à l'aide de méthodes classiques de régularisation dans l'espace image ou des méthodes plus évoluées opérant dans l'espace transformé des coefficients d'ondelette. Les aspects inférentiels haut niveau sont majoritairement abordés dans le cadre des statistiques bayésiennes.

Le formalisme multifractal de Parisi et Frisch, ainsi que l'approche du propagateur de Castaing et collaborateurs, permettent de décrire de manière quantitative, dans le domaine inertiel, les statistiques des incréments de vitesse longitudinale en turbulence pleinement développée. Dans ce mémoire de doctorat, nous montrons que la physique liée aux effets dissipatifs, complètement pilotée par le nombre de Reynolds local, a des conséquences non triviales sur les statistiques des incréments de vitesse Eulérienne. A l'aide d'arguments dimensionnels simples, nous proposons une formalisation précise, dans le cadre du formalisme multifractal, de "l'accélération" du propagateur observée dans le domaine dissipatif intermédiaire, entre le domaine inertiel et le domaine dissipatif profond dans lequel les statistiques des incréments deviennent indépendantes de l'échelle. Nous montrons en particulier qu'il est possible, pour un nombre de Reynolds donné, de calculer la densité de probabilité des incréments de vitesse à toutes les échelles, moyennant une fonction paramétrable DE(h), qui sera assimilée au spectre des singularités dans la limite des nombres de Reynolds infiniment grands. Nous discutons aussi comment adapter notre formalisme pour rendre compte du phénomène de Skewness. Nous montrons qu'il est possible de généraliser notre approche à une description unifiée des fluctuations de vitesse Lagrangienne. Nous comparons nos prédictions théoriques avec des données expérimentales et numériques. Cette étude permet d'estimer le spectre DL(h) des singularités de la turbulence Lagrangienne et d'en démontrer le caractère universel. Nous évoquons ensuite la possibilité d'établir une transformation formelle entre les spectres des singularités de la turbulence Eulérienne DE(h) et de la turbulence Lagrangienne DL(h). Pour conclure, nous généralisons notre approche aux statistiques d'ordre supérieur afin de tester divers modèles de cascade sur des données expérimentales et numériques.

本文應用資產報酬率的多重碎形模型，該模型為一整合財務時間序列上的厚尾及波動持續性的連續時間過程。多重碎形的方法允許我們估計隨時間變動的報酬率高階動差，進而推論財務時間序列的產生機制。我們利用小波轉換的模數最大值計算多重碎形譜，透過譜分解得到資產報率分配的高階動差資訊。根據實證結果，我們得到S&P和DJIA的股價指數期貨報酬率符合動差尺度行為且資料也展現幕律的形態。根據估計出的譜形態為對數常態分配。實證結果也顯示S&P和DJIA的股價指數期貨報酬率均具有長記憶及多重碎形的特性。 / We apply the multifractal model of asset returns (MMAR), a class of continuous-time processes that incorporate the thick tails and volatility persistence of financial time series. The multifractal approach allows for higher moments of returns that may vary with the time horizon and leads to infer about the generating mechanism of the financial time series. The multifractal spectrum is calculated by the Wavelet Transform Modulus Maxima (WTMM) provides information on the higher moments of the distribution of asset returns and the multiplicative cascade of volatilities. We obtain the evidences of multifractality in the moment-scaling behavior of S&P and DJIA stock index futures returns and the moments of the data represent a power law. According to the shape of the estimated spectrum we infer a log normal distribution.The empirical evidences show that both of them have long memory and multifractal property.