Orientador: Ricardo Miranda Martins / Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-26T10:59:53Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Paiva_GlauciaInnocenciodeJesusPaulo_M.pdf: 1314191 bytes, checksum: c7baade23d33811d51733aa4633f218c (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: Nesta dissertação estudamos números inteiros, suas propriedades e congruências. Abordamos vários tópicos envolvendo números primos, incluindo como gerá-los e como decidir se um número inteiro é primo ou composto. Nosso objetivo é descrever e estudar alguns testes de primalidade, como o Teste de Fermat, Teste de Lucas-Lehmer, Teste de Miller-Rabin e o algoritmo AKS. Propomos ainda algumas sequências didáticas para estudar estes tópicos em um nível mais elementar, no ensino básico / Abstract: This dissertation studies integers , their properties and congruences . We cover various topics involving prime numbers , including how to generate them and decide if an integer is prime or composite . Our goal is to describe and study some primality tests such as the Fermat test , Lucas- Lehmer test , Miller- Rabin test and the AKS algorithm. We also propose some didactic sequences to study these topics in an elementary level TO basic education / Mestrado / Matemática em Rede Nacional / Mestra em Matemática em Rede Nacional

Orientador: Rodney Carlos Bassanezi / Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-27T16:18:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dias_AlbertoFaustino_M.pdf: 1122688 bytes, checksum: a62e35c5bae8f636d723761c61dcfcd7 (MD5) Previous issue date: 2015 / Resumo: Apresentamos neste trabalho, uma relação existente entre a despretensiosa Sequência de Fibonacci e o Número de Ouro, conhecido também como Razão Áurea ou Número Áureo. Neste mesmo contexto, tratamos de um modelo variacional discreto através das Equações de Diferenças e contínuo através das Equações Diferenciais Lineares, problematizado pelo crescimento populacional de escargots, em cuja solução aparece o Número de Ouro. Para fundamentação deste trabalho utilizamos pesquisa bibliográfica constituída de livros e publicações diversas, cujo embasamento reside principalmente nos autores, Rodney C. Bassanezzi, Maurício Zahn, William E. Boyce e Richard C. Diprima. O princial objetivo deste trabalho foi dar uma abordagem contínua ao modelo variacional discreto gerado pelo crescimento populacional dos escargots / Abstract: In this work, an existing relationship between the unpretentious Fibonacci sequence and the Golden Mean, also known as the Golden Ratio or Golden Number. In this same context, we deal with a discrete variational model through the differences and continuous equations through Linear Differential Equations, questioned by population growth escargots, whose solution appears the Golden Mean. For reasons of this work we use literature consists of books and publications whose foundation lies mainly in authors, Rodney C. Bassanezzi, Mauritius Zahn, William E. Boyce and Richard C. DiPrima. The princial objective was to give a continuous approach to the discrete variational model generated by population growth of snails / Mestrado / Matematica Aplicada e Computacional / Mestre em Matemática Aplicada e Computacional

Orientador: Dimitar Kolev Dimitrov / Banca: Ali Messaoudi / Banca: Carlos Gustavo T. de A. Moreira / Banca: Emanuel A. de Souza Carneiro / Banca: Valdir Antonio Menegatto / Resumo: Estudamos tópicos relacionados a zeros de séries de Dirichlet e de funções inteiras. Boa parte da tese é voltada à localização de zeros de séries de Dirichlet via critérios de densidade. Estabelecemos o critério de Nyman-Beurling para uma ampla classe de séries de Dirichlet e o critério de Báez-Duarte para L-funções de Dirichlet em semi-planos R(s)>1/2, para p ∈ (1,2], bem como para polinômios de Dirichlet em qualquer semi-plano R(s)>r. Um análogo de uma cota inferior de Burnol relativa ao critério de Báez-Duarte foi estabelecido para polinômios de Dirichlet. Uma das ferramentas principais na prova deste último resultado é a solução de um problema extremo natural para polinômios de Dirichlet inspirado no resultado de Báez-Duarte. Provamos que os sinais dos coeficientes de Maclaurin de uma vasta subclasse de funções inteiras da classe de Laguerre-Pólya possuem um comportamento regular / Abstract: We study topics related to zeros of Dirichlet series and entire functions. A large part of the thesis is devoted to the location of zeros of Dirichlet series via density criteria. We establish the Nyman-Beurling criterion for a wide class of Dirichlet series and the B'aezDuarte's criterion for Dirichlet L-functions in the semi-plane R(s) > 1/p, for p 2 (1, 2], as well as for zeros of Dirichlet polynomials in any semi-plane <(s) > r. An analog for the case of Dirichlet polynomials of a result of Burnol which is closely related to B'aez-Duarte's one is also established. A principal tool in the proof of the latter result is the solution of a natural extremal problem for Dirichlet polynomials inspired by B'aez-Duarte's result. We prove that the signs of the Maclaurin coecients of a wide class of entire functions that belong to the Laguerre-P'olya class posses a regular behaviou / Doutor

Un tema central en la teoría de números es la distribución de los números primos sobre los enteros positivos. En una dirección, de los trabajos de Hadamard, de la Valleé Poussin y Newman, nosotros sabemos que el PNT (de su acrónimo en inglés Prime Number Theorem, Teorema del Número Primo) es cierto por métodos del análisis complejo. En otra dirección, Selberg, Breusch y Levinson probaron el PNT vía técnicas elementales, en el sentido de que solo usan análisis real. Hace menos de una década, Choudhary fortaleció la prueba de Levinson. Todas las pruebas elementales mencionadas derivan el PNT vía la identidad de Selberg. En esta tesis, establecemos otra prueba para la identidad de Selberg más simple que la de Choudhary en muchos aspectos. Ello se efectúa refinando los trabajos discutidos previamente. También presentamos un algoritmo de tiempo lineal para estimar una fórmula derivada de la identidad de Selberg. / Trabajo de investigación

Desde que los números complejos aparecieron en el siglo XVI, tardaron dos siglos en ser, en cierta manera, aceptados. Aunque las aportaciones formales de Bombelli, Wessel, Argand, Gauss, Euler y Hamilton contribuyeron a una aceptación parcial de los matemáticos, los incomprendidos números complejos todavía eran considerados por los matemáticos del siglo XIX como entes espurios1 El presente trabajo tiene por objeto encontrar un enfoque en donde los números complejos aparezcan de una manera precisa, clara y natural . Este hecho histórico corrobora que el concepto de número complejo no es muy fácil de asimilar.

Tesis por compendio / [ES] La tesis "Teoría Combinatoria de Números, Recurrencia de Operadores y Dinámica Lineal" se sitúa dentro del estudio de la dinámica de operadores lineales, o Dinámica Lineal. El objetivo de este trabajo es estudiar múltiples nociones de recurrencia, que pueden presentar los sistemas dinámicos lineales, y que clasificaremos mediante la Teoría Combinatoria de Números. La Dinámica Lineal estudia las órbitas generadas por las iteraciones de una transformación lineal. Las propiedades más estudiadas en esta rama durante los últimos 30 años han sido la hiperciclicidad (existencia de órbitas densas) y el caos (con sus múltiples definiciones), siendo esta un área de investigación muy activa y obteniéndose un considerable número de resultados profundos e interesantes. Nosotros nos centraremos en la recurrencia, propiedad muy estudiada para sistemas dinámicos clásicos no lineales, pero prácticamente nueva en Dinámica Lineal pues no es hasta 2014, con el artículo de Costakis, Manoussos y Parissis titulado "Recurrent linear operators", cuando se empieza a estudiar esta noción de manera sistemática en el contexto de operadores actuando en espacios de Banach. La situación básica de la que parte nuestro estudio es la siguiente: "T : X ---> X" será un operador lineal y continuo actuando sobre un F-espacio "X" , aunque a veces necesitaremos que el espacio subyacente "X" sea un espacio de Fréchet, de Banach o de Hilbert. Dado un vector "x" y un entorno "U" de "x" estudiaremos el conjunto de retorno "N_T(x,U) = { n : T^n(x) está en U }" y dependiendo de su tamaño, observado mediante la Teoría Combinatoria de Números, diremos que el vector "x" presenta una propiedad de recurrencia u otra. La memoria de la tesis se ha realizado por compendio de artículos y consta de cuatro capítulos y un apéndice: 1. Adaptación de la "versión de autor" del artículo "Frequently recurrent operators. Journal of Functional Analysis, 283 (12) (2022), artículo núm. 109713, 36 páginas". En este se definen por primera vez las fuertes nociones de recurrencia reiterada, U-frecuente y frecuente, y sus propiedades básicas son estudiadas. Finalmente se generaliza el estudio mediante el concepto de F-recurrencia, que se conecta con la noción de F-hiperciclicidad. 2. Adaptación al formato de la tesis de la "versión de autor" revisada del artículo "Recurrence properties: An approach via invariant measures. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 169 (2023), 155-188". En este se relaciona la recurrencia de operadores con la Teoría Ergódica y los sistemas dinámicos que conservan la medida. 3. Adaptación de la "versión de autor" del preprint "Questions in linear recurrence: From the T+T-problem to lineability". Se resuelve negativamente un problema abierto de 2014: Sea "T : X ---> X" un operador recurrente. ¿Es cierto que el operador "T+T" es recurrente en "X+X"? Para resolverlo introducimos la casi-rigidez, que será, para la recurrencia, la noción análoga a la propiedad débil-mezclante (topológica) para la transitividad/hiperciclicidad; y luego construimos operadores recurrentes pero no casi-rígidos en todo espacio de Banach infinito-dimensional y separable. 4. Adaptación de la "versión de autor" revisada del preprint " Recurrent subspaces in Banach spaces". En este se estudia la propiedad de espaciabilidad (existencia de un subespacio vectorial cerrado y de dimensión infinita) para el conjunto de vectores recurrentes. - Apéndice. Para conseguir un carácter auto-contenido hemos añadido un apéndice con los resultados básicos de Teoría Combinatoria de Números que se han utilizado en los trabajos que componen la memoria. Siguiendo la normativa establecida por la Escuela de Doctorado también se incluye: - Introducción; - Discusión general de los resultados; - Conclusiones. / [CAT] La tesi "Teoria Combinatòria de Nombres, Recurrència d'Operadors i Dinàmica Lineal" se situa dins de l'estudi de la dinàmica d'operadors lineals, o simplement Dinàmica Lineal. L'objectiu d'aquest treball és estudiar múltiples nocions de recurrència, que poden presentar els sistemes dinàmics lineals, i que classificarem mitjançant la Teoria Combinatòria de Nombres. La Dinàmica Lineal estudia les òrbites generades per les iteracions d'una transformació lineal. Les propietats més estudiades en aquesta branca de les matemàtiques als darrers 30 anys han estat la hiperciclicitat (existència d'òrbites denses) i el caos (amb les seves múltiples definicions), sent aquesta una àrea de recerca molt activa i obtenint-se un considerable nombre de resultats profunds i interessants. Nosaltres ens centrarem en la recurrència, propietat molt estudiada per a sistemes dinàmics clàssics no lineals, però, pràcticament nova en Dinàmica Lineal doncs no és fins al 2014, amb l'article de Costakis, Manoussos i Parissis titulat "Recurrent linear operators", quan es comença a estudiar aquesta noció de manera sistemàtica en el context d'operadors actuant en espais de Banach. La situació bàsica de la qual parteix el nostre estudi és la següent: "T : X ---> X" serà un operador lineal i continu actuant sobre un F-espai "X", encara que de vegades necessitarem que l'espai subjacent X siga un espai de Fréchet, de Banach o de Hilbert. Llavors, donat un vector "x" i un entorn "U" de "x" estudiarem el conjunt de retorn "N_T(x,U) = { n : T^n(x) està en U }" i depenent de la seva mida, observada des del punt de vista de la Teoria Combinatòria de Nombres, direm que el vector "x" presenta una o altra propietat de recurrència. La memòria de la tesi s'ha realitzat per compendi d'articles i consta de quatre capítols i un apèndix: 1. Adaptació de la "versió d'autor" revisada de l'article "Frequently recurrent operators. Journal of Functional Analysis, 283 (12) (2022), article núm. 109713, 36 pàgines". En aquest es defineixen per primera vegada les nocions de recurrència reiterada, U-freqüent i freqüent, i les seves propietats bàsiques són estudiades. Finalment es generalitza l'estudi mitjançant el concepte de F-recurrència, que es connecta amb la noció de F-hiperciclicitat. 2. Adaptació al format de la tesi de la "versió d'autor" revisada de l'article "Recurrence properties: An approach via invariant measures. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 169 (2023), 155-188". Es relaciona la recurrència d'operadors amb la Teoria Ergòdica i els sistemes dinàmics que conserven la mesura. 3. Adaptació de la "versió d'autor" del preprint "Questions in linear recurrence: From the T+T-problem to lineability". En aquest es resol un problema obert de l'any 2014: Siga "T : X ---> X" un operador recurrent. És cert que l'operador "T+T" és recurrent en "X+X"? Per resoldre'l introduïm la quasi-rigidesa, que serà, per a la recurrència, la noció anàloga a la propietat feble-barrejant (topològica) per a la transitivitat/hiperciclicitat; i després construïm operadors recurrents però no quasi-rígids en tot espai de Banach infinit-dimensional i separable. 4. Adaptació de la "versió d'autor" del preprint "Recurrent subspaces in Banach spaces". S'inclou l'estudi de la propietat d'espaiabilitat (existència d'un subespai vectorial tancat i de dimensió infinita) per al conjunt de vectors recurrents. - Apèndix:Per aconseguir un caràcter auto-contingut hem afegit un apèndix amb resultats bàsics de Teoria Combinatòria de Nombres que es donen per suposats en els treballs que componen la memòria. Seguint la normativa establerta per l'Escola de Doctorat també s'inclou: - Introducció; - Discussió general dels resultats; - Conclusions. / [EN] The thesis "Combinatorial Number Theory, Recurrence of Operators and Linear Dynamics" is part of the study of the dynamics of linear operators, simply called Linear Dynamics. The objective of this work is to study multiple notions of recurrence, that linear dynamical systems can present, and which will be classified through Combinatorial Number Theory. Linear Dynamics studies the orbits generated by the iterations of a linear transformation. The two most studied properties in this branch of mathematics during the last 30 years have been hypercyclicity (existence of dense orbits) and chaos (with its multiple definitions), being this a very active research area with a considerable number of exceptionally deep but also interesting results. We will focus on recurrence, a property widely studied in the classical setting of non-linear dynamical systems, but practically new with respect to Linear Dynamics since it was not until 2014, with the article by Costakis, Manoussos and Parissis entitled "Recurrent linear operators", when this notion started to be systematically studied in the context of operators acting on Banach spaces. The basic situation from which our study starts is the following: "T : X ---> X" will be a continuous linear operator acting on an F-space "X", although sometimes we will need the underlying space X to be a Fréchet, Banach or Hilbert space. Given a vector "x" and a neighbourhood "U" of "x" we will study the return set "N_T(x,U) = { n : T^n(x) is in U }" and depending on its size, observed from the Combinatorial Number Theory point of view, we will say that the vector "x" presents one property of recurrence or another. The thesis memoir is a compendium of articles and it has four chapters and one appendix: 1. Adaptation of the revised "author version" of article "Frequently recurrent operators. Journal of Functional Analysis, 283 (12) (2022), paper no. 109713, 36 pages". Here, the strong notions of reiterative, U-frequent and frequent recurrence are defined for the first time, and their basic properties are studied. The theory is finally generalized through the concept of F-recurrence, which is connected to the notion of F-hypercyclicity. 2. Adaptation of the revised "author version" of article "Recurrence properties: An approach via invariant measures. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 169 (2023), 155-188". In this chapter the recurrence properties for linear operators are related to Ergodic Theory and measure preserving systems. 3. Adaptation of the revised "author version" of the preprint "Questions in linear recurrence: From the T+T-problem to lineability". We solve in the negative an open problem posed in 2014: Let "T : X ---> X" be a recurrent operator. Is it true that the operator "T+T" is recurrent on "X+X"? In order to do that we establish the analogous notion, for recurrence, to that of (topological) weak-mixing for transitivity/hypercyclicity, namely quasi-rigidity; and then we construct recurrent but not quasi-rigid operators on every separable infinite-dimensional Banach space. 4. Adaptation of the revised "author version" of the preprint "Recurrent subspaces in Banach spaces". In this chapter we study the spaceability (existence of an infinite-dimensional closed subspace) for the set of recurrent vectors. - Appendix. Looking for a self-contained text we have added an appendix with some of the basic Combinatorial Number Theory results that are taken for granted along the different chapters/articles forming this memoir. Following the regulations established by the Doctoral School the next sections are also included: - Introduction; - General discussion of the results; - Conclusions. / This thesis has been written at the “Institut Universitari de Matemàtica Pura i Aplicada” (IUMPA) of the “Universitat Politècnica de València” (UPV), during the period of enjoyment of a scholarship of the “Programa de Formación de Profesorado Universitario” granted by the “Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades”, reference number: FPU2019/04094. The research exposed has also been partially funded by the project “Dinámica de operadores” (MCIN/AEI/10.13039/501100011033, Project PID2019-105011GB-I00), thanks to which the author carried out a 3-month research stay in Lille, France (September-December 2021), that was supervised by Professor Sophie Grivaux; and also by the travel grant awarded by the “Fundació Ferran Sunyer i Balaguer” which allowed the author to carry out a 3-month research stay in Mons, Belgium (April-June 2023), supervised by Professor Karl Grosse-Erdmann. / López Martínez, A. (2023). Combinatorial Number Theory, Recurrence of Operators and Linear Dynamics [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/196101 / Compendio

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:57:37Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Rubens Vilhena Fonseca.pdf: 1601945 bytes, checksum: 9bd5a69dcacb920b758afcd188c86010 (MD5) Previous issue date: 2015-04-22 / This work aims to analyze a didactic sequence directly linked to the research question, which sought to provide students an investigative route in order to find solutions to the problems raised, which are in the field of number theory, and are related to prime numbers and Fundamental Theorem of Arithmetic, objects of this research, developed with students of the degree course in mathematics of the Pará State University. There were theoretical studies and a literature review for the formulation of the research question and identification of conceptual tools for analyzing protocols. Six questions were applied to ten students, involving prime numbers and the fundamental theorem of arithmetic. Based primarily on studies that considered the number representations and their transparent or opaque characteristics, in a qualitative study, the answers given by the students were analyzed. Preliminary studies allowed the development of a problematic around the following research question: What knowledge and difficulties about the concepts / properties of prime numbers and the fundamental theorem of arithmetic are evidenced by undergraduate students in Mathematics of the Pará State University when subjected to a didactic sequence that intended to involve them in investigative routes formatted from theoretical assumptions related to numerical representations and their transparent / opaque features? The work is justified by the scarcity of research related to number theory in mathematics education in Brazil. The results revealed the need for mastery of undergraduates with regard to issues related to understanding research themes; specifically, difficulties relating to work with certain numerical representations were highlighted, especially in relation to the concepts of primes and the fundamental theorem of arithmetic / Este trabalho tem como objetivo analisar uma sequência didática diretamente ligada à questão de pesquisa, que pretendeu proporcionar aos estudantes um percurso investigativo em busca de soluções para os problemas levantados, que estão no domínio da Teoria dos Números, e são relativos aos Números Primos e ao Teorema Fundamental da Aritmética, objetos desta pesquisa, desenvolvida com alunos do curso de licenciatura em matemática da Universidade do Estado do Pará. Realizaram-se estudos preliminares, de ordem teórica, e uma revisão bibliográfica para a formulação da questão de pesquisa e identificação de ferramentas conceituais para a análise dos protocolos. Foram aplicadas seis questões envolvendo números primos e o teorema fundamental da aritmética a dez estudantes. Com base, principalmente, em estudos que consideravam as representações numéricas e suas características transparentes ou opacas, em uma abordagem qualitativa de pesquisa, analisaram-se as respostas dadas pelos alunos. Os estudos preliminares permitiram a elaboração de uma problematização em torno da seguinte questão de pesquisa: quais saberes e dificuldades acerca dos conceitos/propriedades dos números primos e do teorema fundamental da aritmética são evidenciados por licenciandos em Matemática da Universidade do Estado do Pará quando submetidos a uma sequência didática que pretendeu inserir os mesmos em percursos investigativos, formatados a partir de pressupostos teóricos ligados a representações numéricas e suas características transparentes/opacas? O trabalho justifica-se pela escassez de pesquisas relacionadas com a Teoria dos Números na área da Educação Matemática. Os resultados revelaram a necessidade de um domínio mais amplo dos licenciandos no que se refere às questões relacionadas à compreensão dos temas em tela; especificamente, ficaram evidenciadas dificuldades atinentes ao trabalho com certas representações numéricas, e, principalmente, em relação aos conceitos de números primos e do teorema fundamental da aritmética

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:58:16Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Marilene Ribeiro Resende.pdf: 1189537 bytes, checksum: 529d88398c057f42e5d684c3d0bfdf09 (MD5) Previous issue date: 2007-03-23 / This study is part of the issue that questions which algebra should be taught in the different levels of schooling, especially in the development of mathematics teachers for basic education. In this context, this study was guided by the question: Which Number Theory is or should be understood as a piece of knowledge to be taught in mathematics teacher development courses, aiming at teacher s practice in basic education? The purpose is to understand the Theory of Numbers from the point of view of knowledge to be taught, and find elements to give it a new meaning in the mathematics teacher development courses. The theoretical references were based on Chevallard, Chervel, Tardif, Macedo and Lopes in the discussion of the scientific knowledge and the knowledge to be taught; on Shulman when discussing teachers knowledge and on Campbell & Zazkis to discuss the Theory of Numbers in teaching. The research takes on a qualitative approach, thus analyzing the curricular proposals of the subjects which deal with the Theory of Numbers in twelve Brazilian universities; ten school books, chosen from among those which are most mentioned in the programmes of the subjects under scrutiny, were analyzed, and seven semi-structured questionnaires were carried out with teachers and researchers of the Theory of Numbers or Mathematics Education. For the data treatment, the content analysis as described by Lüdke & André, Laville & Dionne and Bardin were used. It was possible to conclude that the Theory of Numbers, as worked in the majority of the universities under study, does not have any preoccupation with the development of teachers for basic education, as the content approach is axiomatic, using a predominantly symbolic-formal language, with emphasis on demonstrations, which allows for fitting this teaching into the classical formalistic tendency. On the other hand, it was possible to perceive elements and possibilities for giving a new meaning to it, considering that: topics of the Theory of Numbers are present in basic education, as the natural and integer numbers occupy a great part of the mathematics curriculums at this level, involving special issues in their teaching, which can not be left out in teacher development; the Theory of Numbers is a favourable space for the development of relevant mathematical ideas related to natural numbers and some also extended to the integers, present in school mathematics, such as recurrence, mathematical induction and divisibility; the Theory of Numbers is a favourable field for a wider approach on the issue of proof, because it offers rich opportunities for the exploration of the different types of proofs, allowing the teacher-student to understand that the proof has different functions, and that, in teaching, it can not be understood in the same manner as in mathematical research; the Theory of Numbers is a favourable field for mathematical investigation, because it allows for exploration of patterns and numerical relations, the use of recursion and mathematical induction, offering the opportunity for development of the abilities of conjecturing, generalizing, testing and validating the conjectures. These potentialities sustain the conception of a subject which is being called Elementary Theory of Numbers, which has as its source the scientific knowledge, but also the school knowledge and the demands which such teaching puts on the teacher. These constitute essential topics for discussion: the integer numbers and historical, epistemological and procedural aspects; divisibility, prime numbers and lineal diophantine equations. Their aims and approaches should take into consideration that the content and the pedagogic knowledge on the content, theory and practice, should be present in its constitution / Este trabalho se insere dentro da problemática que questiona qual a álgebra deve ser ensinada nos diferentes níveis da escolaridade, em especial na formação de professores de matemática da escola básica. Neste contexto, este estudo foi orientado pela questão: Qual Teoria dos Números é ou poderia ser concebida como um saber a ensinar na licenciatura em matemática, visando à prática docente na escola básica? O objetivo é compreender a Teoria dos Números, enquanto saber a ensinar, e buscar elementos para re-significá-la na licenciatura em matemática. Os referenciais teóricos foram buscados em Chevallard, Chervel, Tardif, Macedo e Lopes, para discutir o saber científico e o saber a ensinar; em Shulman, para discutir os saberes dos professores; e em Campbell & Zazkis, para tratar a Teoria dos Números no ensino. Numa abordagem qualitativa de pesquisa, foram analisadas as propostas curriculares das disciplinas que tratam de Teoria dos Números nos cursos de licenciatura em matemática de doze universidades brasileiras; foram analisados dez livros didáticos, escolhidos dentre os mais citados nos programas das disciplinas pesquisadas; e foram realizadas sete entrevistas semi-estruturadas com professores e pesquisadores em Teoria dos Números ou em Educação Matemática. Para o tratamento dos dados, utilizou-se a análise de conteúdo, conforme descrita por Lüdke & André, Laville & Dionne e Bardin. Foi possível concluir que a Teoria dos Números tratada na maioria das universidades pesquisadas não tem a preocupação com a formação do professor da escola básica, pois a abordagem dos conteúdos é axiomática, numa linguagem predominantemente simbólico-formal, com ênfase nas demonstrações, o que permite enquadrar o seu ensino na tendência formalista clássica. Por outro lado, puderam ser identificados elementos e possibilidades para re-significá-la, considerando que: tópicos de Teoria dos Números estão presentes na educação básica, sendo que os números naturais e os inteiros ocupam grande parte dos currículos de matemática nesse nível e o seu ensino tem questões próprias que não podem ser desconsideradas na formação do professor; a Teoria dos Números é um espaço propício para o desenvolvimento de idéias matemáticas relevantes relativas aos números naturais e algumas também estendidas aos inteiros, presentes na matemática escolar, como a recorrência, a indução matemática, a divisibilidade; a Teoria dos Números é um campo propício para uma abordagem mais ampla da prova, porque oferece ricas oportunidades para a exploração dos diferentes tipos de provas, permitindo ao licenciando perceber que a prova tem diferentes funções e que, no ensino, não deve ser compreendida da mesma forma que na pesquisa em matemática; a Teoria dos Números é um campo propício para a investigação matemática, porque permite a exploração de padrões e relações numéricas, o uso da recursão e da indução matemática, oportunizando o desenvolvimento das habilidades de conjecturar, generalizar, testar e validar as conjecturas. Essas potencialidades sustentam a concepção de uma disciplina, que está sendo denominada Teoria Elementar dos Números, que tem como fonte o saber científico, mas também os saberes escolares e as demandas que o seu ensino apresenta ao professor. Constituem tópicos essenciais a serem abordados: os números inteiros em seus aspectos históricos, epistemológicos e procedimentais; a divisibilidade, números primos e equações diofantinas lineares. Seus objetivos e abordagens devem considerar que o conhecimento do conteúdo e o conhecimento pedagógico do conteúdo, a teoria e a prática devem estar presentes na sua constituição, como elementos indissociáveis e imprescindíveis

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-10-01T16:46:31Z No. of bitstreams: 1 ELLOÁ BARRETO GUEDES DA COSTA - DISSERTAÇÃO PPGCC 2011..pdf: 1433883 bytes, checksum: fb9fa0561b94ab2b495915f5f377c364 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-10-01T16:46:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 ELLOÁ BARRETO GUEDES DA COSTA - DISSERTAÇÃO PPGCC 2011..pdf: 1433883 bytes, checksum: fb9fa0561b94ab2b495915f5f377c364 (MD5) Previous issue date: 2011-03-25 / Este trabalho apresenta um ataque quântico de comprometimento permanente ao gerador pseudo-aleatório de Blum-Micali. A segurança deste gerador, classificado como criptograficamente seguro, baseia-se na hipótese de intratabilidade do problema do logaritmo discreto perante a Computação Clássica. O ataque proposto faz uso do algoritmo quântico de busca em conjunto com o algoritmo quântico para o logaritmo discreto para comprometer a imprevisibilidade do gerador, recuperando todas as saídas passadas e futuras do mesmo. O presente trabalho também descreve generalizações deste ataque que o adequam a uma gama mais vasta de geradores, incluindo geradores da Construção de Blum-Micali e geradores com múltiplos predicados difíceis. Tais generalizações também abrangem a realização de ataques em situações adversas, por exemplo, quando o adversário captura bits não consecutivos ou quando há menos bits que o requerido. Comparado à sua contrapartida clássica, o algoritmo quântico proposto nesse trabalho possui um ganho quadrático em relação à recuperação do representante do estado interno do gerador, seguido de um ganho superpolinomial na obtenção dos demais elementos do estado interno. Estes resultados caracterizam ameaças,elaboradas com Computação Quântica, contra a segurança de geradores utilizados em diversas aplicações criptográficas. / This dissertation presents a quantum permanent compromise attack to the Blum-Micali pseudorandom generator. The security of this generator, classified as cryptographically secure, is based on the hypothesis of intractability of the discrete logarithm problem in Classical Computing. The proposed attack is based on the quantum search algorithm jointly with the quantum discrete logarithm procedure and aims to compromise the unpredictability of the referred generator, recovering all of its past and future outputs. This work also describes generalizations that enables attacks to generators from the Blum-Micali construction and also to generators with multiple hard-core predicates. Such generalizations also allow attacks when the adversary intercepts non-consecutive bits or when there are less bits than required. Compared to its classical counterpart, the proposed algorithm has a quadractic speedup regarding the retrieval of the representant of the generator’s internal state followed by a super polynomial speedup regarding the obtention of the entire generator’sinternalstate. These results represent menaces of the Quantum Computing paradigm against the security of pseudorandom generators adopted in many real-world cryptosystems.

Este trabalho aborda, de maneira bem sucinta e objetiva, a história da evolução dos números desde o primeiro risco em um osso, até chegar na forma atual como os conhecemos. Ao longo de aproximadamente 30.000 anos de existência, os sistemas de numeração, suas bases e representações sofreram inúmeras modificações, adequando-se ao contexto histórico vigente. Podemos citar a mentalidade científica da época, a necessidade da conquista de territórios, religiões e crenças e necessidades básicas da vida cotidiana. Deste modo, mostramos uma corrente histórica que tenta explicar como e porque a ideia de número se modifica com o tempo, sempre tendo em vista os fatores que motivaram tais mudanças e quais benefícios (ou malefícios) trouxeram consigo. Com um capítulo dedicado a cada uma das mais importantes civilizações que contribuíram para o crescimento da matemática e, sempre que possível, em ordem cronológica de acontecimentos, o leitor consegue ter uma boa ideia de como uma civilização influencia a outra e como um povo posterior pôde apoiar-se nos conhecimentos adquiridos dos antepassados para produzir seus próprios algorítimos e teoremas.