O presente trabalho tem como perspectiva a caracterização dos números Racionais e Irracionais, e a sua devida aplicabilidade e variações no que tange o aspecto algébrico e transcendental. Sabe-se que o Número e (de Euler), pode ser classificado como um número transcendental, isto é, aqueles que não são raízes de nenhum polinômio que possua coeficientes inteiros. Nesse pressuposto, o Número deve ser considerado existente e irracional. O objetivo desta pesquisa consiste em caracterizar os fatores que abrangem os Números Racionais e Irracionais, oferecendo a compreensão necessária referente ao Número e e a sua ação nos Números Algébricos e Transcendentes. Como recurso metodológico, utilizou-se uma revisão de literatura, com um crivo pautado nos fatores qualitativos e quantitativos, a fim de se refletir sobre a temática proposta. Assim, nesta presente pesquisa, buscouse apresentar informações dentro das melhores formas e possibilidades de favorecer a compreensão, considerando a dificuldade em torno deste respectivo tema, devido a sua característica abstrata, o que dificulta o entendimento por parte de muitos. Portanto, destacam-se as iniciativas e argumentos em torno deste princípio temático, como forma de, possivelmente, fomentar o interesse de muitos pelo mesmo, além de que, tal trabalho possa ser relevante às necessidades de investigação de outros desejosos por este universo de pesquisa. / The present work has as its perspective the characterization of Rational and Irrational numbers, and their due applicability and variations regarding the algebraic and transcendental aspects. It is known that the number e (of Euler) can be classified as a transcendental number, that is, those that are not roots of any polynomial that has integer coefficients. In this assumption, the Number should be considered existent and irrational. The objective of this research is to characterize the factors that comprise the Rational and Irrational Numbers, offering the necessary understanding regarding Number e and its action in Algebraic and Transcendent Numbers. As a methodological resource, a literature review was used, based on qualitative and quantitative factors, in order to reflect on the proposed theme. Thus, in this present research, we sought to present information within the best ways and possibilities to favor understanding, considering the difficulty around this respective theme, due to its abstract feature, which makes it difficult for many to understand. Therefore, we highlight the initiatives and arguments around this thematic principle as a way of possibly fostering the interest of many by the same, and that such work may be relevant to the research needs of others desirous by this universe of research.

MASCARENHAS, Sebastião Pontes. A irracionalidade e transcendência dos números. 2017. 77 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-07-28T13:20:00Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_spmascarenhas.pdf: 904841 bytes, checksum: a2a7ea7aa1e426a76fd5027662179d42 (MD5) / Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Bom dia, Motivos da rejeição: Na capa o nome do curso deve ser Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional. Faltou a ficha catalográfica. Atenciosamente, Rocilda on 2017-07-28T13:58:59Z (GMT) / Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-07-28T19:21:17Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_spmascarenhas.pdf: 469506 bytes, checksum: b542e915b1564ae42c5160fee08ccedc (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-07-31T11:41:11Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_dis_spmascarenhas.pdf: 469506 bytes, checksum: b542e915b1564ae42c5160fee08ccedc (MD5) / Made available in DSpace on 2017-07-31T11:41:11Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_dis_spmascarenhas.pdf: 469506 bytes, checksum: b542e915b1564ae42c5160fee08ccedc (MD5) Previous issue date: 2017 / This present work is an explanation orientated for the check of the irracionality of some real numbers, for the construction of some transcendents numbers (in especial, the Liouville´s numbers) and for the transcendency of , and anothers numbers. The understanding of the presents demonstrations in this work involves some basics knowledge in theory of numbers (divisibility, highest divisor common, number prime, etc), theory of conjunct (enumerate), Differential and Integral Calculation in a real variable, a few of functions of two variables e some facts about convergence of sequences and series. As a consequence, will be seen the solution of the old problem of the quadrature of a circle, that is, a possibility ou not of the construction with ruler and compass of a square, whose area be equal to area of a circle radius gived. / O presente trabalho é uma exposição voltada à verificação da irracionalidade de certos números reais, à construção de certos números transcendentes (em especial, os números de Liouville) e à transcendência de , e outros números. O entendimento das demonstrações presentes nesse trabalho envolve alguns conhecimentos básicos em teoria dos números (divisibilidade, máximo divisor comum, números primos, etc), teoria dos conjuntos (enumerabilidade), Cálculo Diferencial e Integral em uma variável real, um pouco de funções de duas variáveis e alguns fatos sobre convergência de sequências e séries. Como consequência, veremos a solução do antigo problema da quadratura de um círculo, isto é, a possibilidade ou não da construção com régua e compasso de um quadrado, cuja área equivale-se à área de um círculo de raio dado.

Orientador: Sueli Irene Rodrigues Costa / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-10T04:41:55Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Carlos_TatianaBertoldi_D.pdf: 779190 bytes, checksum: d0ff8f53ff44a5f19c7edb1427cd1a82 (MD5) Previous issue date: 2007 / Resumo: Neste trabalho abordamos a construção de reticulados usando propriedades da teoria dos números algébricos. Enfocamos particularmente a construção, como reticulado ideal, de rotações do reticulado n-dimensional dos inteiros, usando corpos ciclotômicos. Reticulados desta forma tem se mostrado uma eficiente ferramenta para obtenção de bons esquemas de codificação para canais com desvanecimento, pois permitem estimativas da distância produto e diversidade, parâmetros que controlam a probabilidade de erro no envio de informações por estes canais. Apresentamos uma nova construção de tais reticulados no caso em que n é uma potência de 2, através do subcorpo maximal real do n-ésimo corpo ciclotômico. Estabelecemos também condições para que um reticulado ideal seja rotação do reticulado n-dimensional dos inteiros, usando algoritmos de redução de base, LLL (Lenstra-Lenstra- Lovász) e Minkowski. Outros resultados incluem caracterizações geométricas de grafos circulantes e de alguns reticulados construídos algebricamente. / Abstract: In this work we approach lattice constructions using properties of algebraic number theory. One focus is on the construction of ideal lattices via cyclotomic fields. Those lattices have been used as an efficient tool for designing coding strategies for the Rayleigh fading channels since it is possible to estimate the product distance and the diversity, parameters which control the error probability transmission for those channels. A special case, due to "shaping gain", is when those lattices are rotations of the n-dimensional integer lattice. We present a new construction of such lattices when n is a power of 2, via the maximal sub-field of the n-cyclotomic field. We also establish conditions for an ideal lattice to be a Zn-lattice using the Minkowski and the LLL (Lenstra-Lenstra-Lovasz) reductions. Other results include geometric characterizations of circulant graphs and of some algebraic lattices. / Doutorado / Doutor em Matemática

Submitted by Cássia Santos (cassia.bcufg@gmail.com) on 2017-07-05T14:04:12Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Jefferson Marques Santos - 2017.pdf: 1510253 bytes, checksum: fa6dbf92bac6614d3ce705a47bbe41b8 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2017-07-10T14:31:22Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Jefferson Marques Santos - 2017.pdf: 1510253 bytes, checksum: fa6dbf92bac6614d3ce705a47bbe41b8 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2017-07-10T14:31:23Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Jefferson Marques Santos - 2017.pdf: 1510253 bytes, checksum: fa6dbf92bac6614d3ce705a47bbe41b8 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2017-06-20 / The concept of roots of a polynomial is quite simple but has several applications. This concept extends more generally to the case of "small" algebraic points sequences in a curve. This dissertation aims to estimate the size of algebraic numbers by means of Weil height. In addition to showing that they are distributed evenly around the unit circle, through Bilu Equidistribution Theorem. / O conceito de raízes de um polinômio é bastante simples mas possui várias aplicações. Este conceito se estende de forma mais geral para o caso de sequências de pontos algébricos “pequenos” em uma curva. Esta dissertação tem por objetivo estimar o tamanho de números algébricos por meio da altura de Weil. Além de mostrar que os mesmos se distribuem uniformemente em torno do círculo unitário, por meio do Teorema de Equidistribuição de Bilu.

Neste trabalho estudamos o célebre Teorema de Klaus F. Roth para aproximações diofantinas, também conhecido como Teorema de Thue-Siegel-Roth. Nossos objetivos consistem em fazer um estudo abrangente da evolução do problema, que se iniciou com um resultado de Liouville em 1844, e chegar à completa compreensão das ideias e das técnicas utilizadas na demonstração do Teorema de Roth. / In this work we study the celebrated Klaus F. Roth\'s Theorem in Diophantine approximations, also known as the Thue-Siegel-Roth Theorem. Our goals are to make a comprehensive study of the evolution of the problem that started with a result of Liouville in 1844 and achieve full understanding of ideas and techniques used in the proof of the Roth\'s Theorem.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:58:52Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Aloisio Daniel Vendeniatti.pdf: 1272014 bytes, checksum: 1262d89ac2880970c73eca396d22ca43 (MD5) Previous issue date: 2009-04-24 / Secretaria da Educação do Estado de São Paulo / The goal of this essay is to show aspects of genesis of number π, inherent to the question of squaring the circle, which consists in constructing a square which has the same area as a given circle. This problem does not refer to a practical application of mathematics, but to the theoretic question that involves the distinction between a valid approach and thinking accuracy. The first attempt to squaring the circle dates back in the fifth century before Christ. After that, it was established that this construction should be carried through using a finite number of times, also the non-graduated ruler and the drawing compass itself. In the constructions with ruler and drawing compass we are referring to the first three postulates of Euclides Elements: 1) It´s possible to join two points by a straight line, 2) to expand a straight line until the necessary point, and 3) to draw a circumference around any point and with any radius. These postulates are the base of these constructions, sometimes called euclidean´s constructions. A real number α is constructible, if feasible building a segment of legth α with ruler and drawing compass, since a segment is taken as a unity. We show the idea of translating the geometrical problem of constructions made with ruler and drawing compass to the algebraic language and this allowed us to solve the problem of squaring the circle. We exposed that all constructible numbers are algebraic, over the rational numbers, establishing the impossibility of squaring the circle, with Lindemann´s demonstration, in 1882, of the number π transcendence. This problem has been fascinating people for more than twenty centuries. We tried to supply all mathematical tools needed for this demonstration. Demonstrations play a fundamental role in the development of this essay, which purpose is not only to contribute to the math teacher formation, but also to detail the resolution of the problem of squaring the circle / O objetivo deste trabalho é apresentar aspectos da gênese do número π, inerentes à questão da quadratura do círculo, a qual consiste em construir um quadrado de área igual à área de um círculo de raio r dado. Esse problema não diz respeito a uma aplicação prática da matemática, mas sim a uma questão teórica que envolve uma distinção entre uma boa aproximação e a exatidão do pensamento. O registro da primeira tentativa de se quadrar o círculo remonta a Anaxágoras, no século V a.C. Posteriormente, ficou estabelecido que essa construção deveria ser realizada utilizando-se, um número finito de vezes, a régua não graduada e o compasso. Nas construções com régua e compasso, estamos nos referindo aos três primeiros postulados dos Elementos de Euclides: 1) é possível unir dois pontos por uma reta, 2) prolongar uma linha reta até onde seja necessário e 3) traçar uma circunferência em torno de qualquer ponto e com qualquer raio. Esses postulados são a base dessas construções, muitas vezes chamadas de construções euclidianas. Um número real α é construtível, se for possível "construir com régua e compasso um segmento de comprimento igual a α, a partir de um segmento tomado como unidade". Apresentamos a idéia de traduzir o problema geométrico das construções com régua e compasso para a linguagem algébrica, e isso permitiu solucionar o problema da quadratura do círculo. Expomos que todo número construtível é algébrico sobre os racionais, estabelecendo a impossibilidade de quadrar o círculo com a demonstração de Lindemann, em 1882, da transcendência do número π. Vemos que esse problema fascinou estudiosos por mais de 20 séculos. Procuramos fornecer todas as ferramentas matemáticas necessárias para essa demonstração. As demonstrações desempenham um papel fundamental no desenvolvimento deste trabalho, que tem por finalidade não só contribuir para a formação do professor de matemática, mas também detalhar a resolução do problema da quadratura do círculo

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / The present dissertation aims to show the algebraic systematization of the sets N, Z, Q, R and C as extensions that preserve arithmetic and algebraic properties. Despite this fact, we will see that this field studies is not limited there. We will present that after C there is a formalization of Hamilton´s quaternions, also known as hypercomplex numbers. And these, like the other sets, are very important for mathematics and the environment we live in. Furthermore, we seek to approach the complex numbers in a dynamic that allows observe its importance in general. Therefore, this work intends to deepen the study on the subject in question leaving scope for the need for professional development. Making noticeable diversified forms to be developed in the teaching-learning process that enable a differentiated learning that will underpin the student knowledge for personal, social and academic future. In developing this dissertation, we started with the process of systematization of natural numbers to real. Consequently we commented on the emergence and formalization of complex numbers where then we exposed its usefulness in a global way. Lastly, we closed this work with an approach on Hamilton´s quaternions, traveling in a different mathematical field, important and encouraging us go deep in scientific research. / A presente dissertação tem como objetivo mostrar a sistematização algébrica/axiomática dos conjuntos N, Z, Q, R, e C como extensões que preservam propriedades aritméticas e algébricas. Apesar desse fato, veremos que esse campo de estudos não se limita por aí. Apresentaremos que após C existe a formalização dos quatérnios de Hamilton, também conhecidos como números hipercomplexos. Esses, assim como os demais conjuntos, são muito importantes para a matemática e o meio em que vivemos. Além disso, buscamos abordar os números complexos em um dinâmica que possibilite observar sua importância de forma geral. Assim, este trabalho pretende aprofundar o estudo sobre o tema em questão, deixando margem para a necessidade do aperfeiçoamento profissional. Tornando perceptíveis formas diversificadas a serem desenvolvidas no processo de ensino-aprendizagem que possibilitam um aprendizado diferenciado, que alicerçará o conhecimento discente para o futuro pessoal, social e acadêmico. No desenvolvimento desta dissertação iniciamos com o processo de sistematização dos números naturais aos reais. Consequentemente comentamos sobre o surgimento e formalização dos números complexos, onde em seguida expomos sua utilidade de forma global. Por fim, fechamos este trabalho com uma abordagem sobre os quatérnios de Hamilton, viajando em um campo matemático diferente, importante e que nos incentiva ir a fundo à pesquisa científica.

Orientador: Sueli Irene Rodrigues Costa / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatisitica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-12T04:27:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Alves_Carina_D.pdf: 1097128 bytes, checksum: 0c1f0fd6e076e3ec82a2b3c34932208e (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: Neste trabalho abordamos questões associadas á minimização da probabilidade de erro para a transmissão de sinais em canais gaussianos e em canais com desvanecimento do tipo Rayleigh. Usando a teoria de reticulado ideal, construirmos rotações do reticulado n-dimensional dos inteiros via corpos ciclotômicos. Reticulados construídos deste modo permitem estimativas da distância produto mínima, parâmetro que controla a probabilidade de erro no envio de informações em canais com desvanecimento do tipo Rayleigh. Apresentamos uma nova construção de tais reticulados no caso em que n _e uma potência de 2 e no caso em que n = 3. Estudamos os códigos esféricos que são associados a reticulados com o intuito de obter a maior distância euclidiana mínima, parâmetro que controla a probabilidade de erro em canais gaussianos. Códigos esféricos gerados por grupos comutativos de matrizes ortogonais em dimensão par, 2m, podem ser determinados, via mergulhos de toros planares, pelo quociente de dois reticulados em Rm, onde o sub-reticulado possui uma base cujos vetores são mutuamente ortogonais. Pesquisamos a existência de sub-reticulados nestas condições, nos reticulados com maior densidade de empacotamento em dimensões 2; 3; 4 e 8: Pudemos assim construir famílias de códigos de grupo comutativo que se aproximam do limitante para a distância mínima nas dimensões 4; 6; 8 e 16. / Abstract: We approach here some problems related to minimizing the error probability in signals transmission over Gaussian and Rayleigh channels. Algebraic ideal lattice theory is used to construct rotations of the n-dimensional integer lattice via cyclotomic fields. This construction allows to evaluate the minimum product distance of the lattice, parameter which controls the signal transmission probability through Rayleigh fading channels. We present here such constructions in the cases n = 3 and n a power of 2. Spherical codes generated by commutative group codes of orthogonal matrices in even dimensions, 2m; can be determined by a quotient of n-dimensional lattices, where the sublattice has an orthogonal basis. We characterize families of such sublattices in the lattices with best packing densities in dimensions 2; 3; 4; 6 e 8 and construct the associated spherical codes which approach the commutative group code upper bound for the minimum distance. / Doutorado / Algebra, Geometria/Topologia / Doutor em Matemática

Orientadores: Reginaldo Palazzo Júnior, Cátia Regina de Oliveira Quilles Queiroz / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação / Made available in DSpace on 2018-08-25T14:53:45Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Benedito_CintyaWinkdeOliveira_D.pdf: 1485856 bytes, checksum: 50adbb3cffa1343c4a0cd9b3d7586173 (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: Na busca por novos sistemas de comunicações muitos trabalhos têm sido realizados com o objetivo de obter constelações de sinais e códigos geometricamente uniformes no plano hiperbólico. Neste contexto, nossa proposta é identificar uma estrutura algébrica e geométrica para que códigos e reticulados possam ser construídos neste espaço. O problema central deste trabalho consiste em construir grupos fuchsianos provenientes de tesselações hiperbólicas regulares {p,q} utilizando diversos tipos de emparelhamentos e identificá-los com álgebras e ordens dos quatérnios, definindo-os assim como aritmético. Desta forma, propomos um algoritmo para construir grupos fuchsianos aritméticos provenientes de tesselações hiperbólicas regulares {p,q} cujo polígono hiperbólico regular gera uma superfície orientada de gênero maior ou igual a dois. Para isso, fornecemos uma condição necessária para que estes grupos possam ser obtidos, esta condição será denominada condição de Fermat devido a sua identificação com os números de Fermat. Através da construção destes grupos, mostramos que existe um isomorfismo entre dois grupos fuchsianos aritméticos provenientes de uma tesselação {p,q} a partir de emparelhamentos diferentes. Além disso, descrevemos alguns dos corpos de números que utilizamos para construir grupos fuchsianos aritméticos, como subcorpos maximais reais de corpos ciclotômicos, a fim de propor uma relação entre os reticulados hiperbólicos e os reticulados euclidianos. Reticulados hiperbólicos completos obtidos através da identificação de grupos fuchsianos com ordens maximais dos quatérnios também são apresentados. Desta forma, obtemos um rotulamento completo dos pontos da constelação de sinal associada / Abstract: In the search for new communications systems many studies have been conducted with the goal of obtaining signal constellations and geometrically uniform codes in the hyperbolic plane. In this context, our proposal is to identify an algebraic and geometric structures for constructing codes and lattices in this space. The central problem of this work is to construct fuchsian groups derived from hyperbolic tessellations {p,q} using different edge-pairings sets and identify them with quaternion algebras and quaternion orders, by setting it as arithmetic. We also propose an algorithm to construct arithmetic fuchsian groups from a tessellation {p,q} whose regular hyperbolic polygon generates an oriented and compact surface with genus greater or equal than 2. For that we provide a necessary condition for these groups to be obtained, this necessary condition is called Fermat condition due to its identification with the Fermat numbers. By the construction of these groups, it is also shown an isomorphism between two arithmetic fuchsian groups derived from a tessellation {p,q} via different edge-pairings sets. Furthermore, we will describe some of the number fields that we use to construct arithmetic fuchsian groups as maximal real subfields of cyclotomic fields in order to propose a relationship between hyperbolic lattices and euclidean lattices. Complete hyperbolic lattices obtained by identifying fuchsian groups with maximal quaternion orders will also be presented. In this way we have a complete labeling of the points of the corresponding signal constellation / Doutorado / Telecomunicações e Telemática / Doutora em Engenharia Elétrica

Orientador: Sueli Irene Rodrigues Costa / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-19T16:10:47Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Jorge_GrasieleCristiane_D.pdf: 3823740 bytes, checksum: 772a88bd2136b4afb884a6e824f37bce (MD5) Previous issue date: 2012 / Resumo: O uso de códigos e reticulados em teoria da informação e na "chamada criptografia pós-quântica" vem sendo cada vez mais explorado. Neste trabalho estudamos temas relacionados a estas duas vertentes. A análise de reticulados foi feita via as métricas euclidiana e da soma. Para a métrica euclidiana, estudamos um algoritmo que procura pela treliça mínima de um reticulado com sub-reticulado ortogonal. No caso bidimensional foi possível caracterizar todos os sub-reticulados ortogonais de um reticulado racional qualquer. No estudo de reticulados via métrica da soma, trabalhamos com duas relações entre códigos e reticulados, conhecidas como "Construção A" e "Construção B". Generalizamos a Construção B para uma classe de códigos q-ários... Observação: O resumo, na íntegra, poderá ser visualizado no texto completo da tese digital / Abstract: The use of codes and lattices in Information Theory and in the so-called "Post-quantum Cryptography" has been increasingly explored. In this work we have studied topics related to these two aspects. The analysis of lattices was made via Euclidean and sum metrics. For the Euclidean metric we studied an algorithm that searches for a minimum trellis of a lattice with orthogonal sublattice. In the two-dimensional case it has been possible to characterize all orthogonal sublattices of any rational lattice. In the study of lattices via sum metric, we worked with two relations between codes and lattices, the so-called "Construction A " and "Construction B". We generalized Construction B for the class of q-ary codes...Note: The complete abstract is available with the full electronic document / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática