The aim of this research work is to deepen the understanding of joint shear behavior under different boundary conditions. For this purpose, joint closure tests under quasi-static and dynamic conditions, direct shear and cyclic shear tests under CNL and DNL boundary conditions of plane joints are performed using GS-1000 big shear box device. The dissertation also presents the procedure to simulate the shear box device and simulating the behavior of plane joints at the micro-scale using FLAC3D. Special attention has been given to understand the influencing factors of the normal stress level, direct shear rate, horizontal cyclic shear frequency, normal impact frequency, horizontal cyclic shear displacement amplitude and vertical impact force amplitude. Lab test and numerical simulation results show that the quasi-static joint stiffness increases with increasing normal force. Dynamic joint stiffness decreases with increasing superimposed normal force amplitudes. Normal impact frequencies have little influence on the joint stiffness. Rotations and stress changes at the plane joint during shearing are proven. Rotations and development of stress gradients can be decreased significantly by increasing the size of the bottom specimen and applying a shear velocity at the upper shear box and normal loading piston. Furthermore, peak shear force increases with increasing normal force. Friction angle of cyclic shear tests is smaller than that of direct shear tests. Moreover, significant time shifts between normal and shear force (shear force delay), normal force and friction coefficient (friction coefficient delay) during direct shear tests under DNL boundary conditions are observed and the reference quantity ‘shear-velocity-normal-impact-frequency’ (SV-NIF) to describe the behavior under DNL boundary conditions is defined. Peak shear force and minimum friction coefficient increase with increasing SV-NIF. Relative time shift between normal force and shear force decreases with increase of SV-NIF. The mechanical behavior of the GS-1000 big shear box device is simulated and the loss of normal force caused by the tilting of the loading plate is quantified. Finally, the novel direct and cyclic shear strength criterions under DNL conditions are put forward. The shear strength criterions are in close agreement with the measured values, which indicates that the novel shear strength criterions are able to predict the shear strength under DNL conditions.

Tunneling is one of the most prominent features of quantum mechanics. While the tunneling process in one-dimensional integrable systems is well understood, its quantitative prediction for systems with mixed phase space is a long-standing open challenge. In such systems regions of regular and chaotic dynamics coexist in phase space, which are classically separated but quantum mechanically coupled by the process of dynamical tunneling. We derive a prediction of dynamical tunneling rates which describe the decay of states localized inside the regular region towards the so-called chaotic sea. This approach uses a fictitious integrable system which mimics the dynamics inside the regular domain and extends it into the chaotic region. Excellent agreement with numerical data is found for kicked systems, billiards, and optical microcavities, if nonlinear resonances are negligible. Semiclassically, however, such nonlinear resonance chains dominate the tunneling process. Hence, we combine our approach with an improved resonance-assisted tunneling theory and derive a unified prediction which is valid from the quantum to the semiclassical regime. We obtain results which show a drastically improved accuracy of several orders of magnitude compared to previous studies. / Der Tunnelprozess ist einer der bedeutensten Effekte in der Quantenmechanik. Während das Tunneln in eindimensionalen integrablen Systemen gut verstanden ist, gestaltet sich dessen Beschreibung für Systeme mit gemischtem Phasenraum weitaus schwieriger. Solche Systeme besitzen Gebiete regulärer und chaotischer Bewegung, die klassisch getrennt sind, aber quantenmechanisch durch den Prozess des dynamischen Tunnelns gekoppelt werden. In dieser Arbeit wird eine theoretische Vorhersage für dynamische Tunnelraten abgeleitet, die den Zerfall von Zuständen, die im regulären Gebiet lokalisiert sind, in die sogenannte chaotische See beschreibt. Dazu wird ein fiktives integrables System konstruiert, das im regulären Bereich eine nahezu gleiche Dynamik aufweist und diese Dynamik in das chaotische Gebiet fortsetzt. Die Theorie zeigt eine ausgezeichnete Übereinstimmung mit numerischen Daten für gekickte Systeme, Billards und optische Mikrokavitäten, falls nichtlineare Resonanzketten vernachlässigbar sind. Semiklassisch jedoch bestimmen diese nichtlinearen Resonanzketten den Tunnelprozess. Daher kombinieren wir unseren Zugang mit einer verbesserten Theorie des Resonanz-unterstützten Tunnelns und erhalten eine Vorhersage,die vom Quanten- bis in den semiklassischen Bereich gültig ist. Ihre Resultate zeigen eine Genauigkeit, die verglichen mit früheren Theorien um mehrere Größenordnungen verbessert wurde.

Proceedings of the 18th IEEE Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems, which took place in Dresden, Germany, 26 – 28 May 2010.:Welcome Address ........................ Page I Table of Contents ........................ Page III Symposium Committees .............. Page IV Special Thanks ............................. Page V Conference program (incl. page numbers of papers) ................... Page VI Conference papers Invited talks ................................ Page 1 Regular Papers ........................... Page 14 Wednesday, May 26th, 2010 ......... Page 15 Thursday, May 27th, 2010 .......... Page 110 Friday, May 28th, 2010 ............... Page 210 Author index ............................... Page XIII

We investigate systems with a mixed phase space, where regular and chaotic dynamics coexist. Classically, regions with regular motion, the regular islands, are dynamically not connected to regions with chaotic motion, the chaotic sea. Typically, this is also reflected in the quantum properties, where eigenstates either concentrate on the regular or the chaotic regions. However, it was shown that quantum mechanically, due to the tunneling process, a coupling is induced and flooding of regular islands may occur. This happens when the Heisenberg time, the time needed to resolve the discrete spectrum, is larger than the tunneling time from the regular region to the chaotic sea. In this case the regular eigenstates disappear. We study this effect by the time evolution of wave packets initially started in the chaotic sea and find increasing probability in the regular island. Using random matrix models a quantitative prediction is derived. We find excellent agreement with numerical data obtained for quantum maps and billiards systems. For open systems we investigate the phenomenon of flooding and disappearance of regular states, where the escape time occurs as an additional time scale. We discuss the reappearance of regular states in the case of strongly opened systems. This is demonstrated numerically for quantum maps and experimentally for a mushroom shaped microwave resonator. The reappearance of regular states is explained qualitatively by a matrix model. / Untersucht werden Systeme mit gemischtem Phasenraum, in denen sowohl reguläre als auch chaotische Dynamik auftritt. In der klassischen Mechanik sind Gebiete regulärer Bewegung, die sogenannten regulären Inseln, dynamisch nicht mit den Gebieten chaotischer Bewegung, der chaotischen See, verbunden. Dieses Verhalten spiegelt sich typischerweise auch in den quantenmechanischen Eigenschaften wider, so dass Eigenfunktionen entweder auf chaotischen oder regulären Gebieten konzentriert sind. Es wurde jedoch gezeigt, dass aufgrund des Tunneleffektes eine Kopplung auftritt und reguläre Inseln geflutet werden können. Dies geschieht wenn die Heisenbergzeit, das heißt die Zeit die das System benötigt, um das diskrete Spektrum aufzulösen, größer als die Tunnelzeit vom Regulären ins Chaotische ist, wobei reguläre Eigenzustände verschwinden. Dieser Effekt wird über eine Zeitentwicklung von Wellenpaketen, die in der chaotischen See gestartet werden, untersucht. Es kommt zu einer ansteigenden Wahrscheinlichkeit in der regulären Insel. Mithilfe von Zufallsmatrixmodellen wird eine quantitative Vorhersage abgeleitet, welche die numerischen Daten von Quantenabbildungen und Billardsystemen hervorragend beschreibt. Der Effekt des Flutens und das Verschwinden regulärer Zustände wird ebenfalls mit offenen Systemen untersucht. Hier tritt die Fluchtzeit als zusätzliche Zeitskala auf. Das Wiederkehren regulärer Zustände im Falle stark geöffneter Systeme wird qualitativ mithilfe eines Matrixmodells erklärt und numerisch für Quantenabbildungen sowie experimentell für einen pilzförmigen Mikrowellenresonator belegt.

Generic Hamiltonian systems have a mixed phase space, in which regular and chaotic motion coexist. In the chaotic sea the classical transport is limited by partial barriers, which allow for a flux \Phi given by the corresponding turnstile area. Quantum mechanically the transport is suppressed if Planck's constant is large compared to the classical flux, h >> \Phi, while for h << \Phi classical transport is recovered. For the transition between these limiting cases there are many open questions, in particular concerning the correct scaling parameter and the width of the transition. To investigate this transition in a controlled way, we design a kicked system with a particularly simple phase-space structure, consisting of two chaotic regions separated by one dominant partial barrier. We find a universal scaling with the single parameter \Phi/h and a transition width of almost two orders of magnitude in \Phi/h. In order to describe this transition, we consider several matrix models. While the numerical data is not well described by the random matrix model proposed by Bohigas, Tomsovic, and Ullmo, a deterministic 2x2-model, a channel coupling model, and a unitary model are presented, which describe the transitional behavior of the designed kicked system. This is also confirmed for the generic standard map, suggesting a universal scaling behavior for the quantum transition of a partial barrier. / Generische Hamilton'sche Systeme besitzen einen gemischten Phasenraum, in dem sowohl reguläre als auch chaotische Dynamik vorkommen. Der klassische Transport in der chaotischen See wird durch partielle Barrieren begrenzt, die nur einen Fluss \Phi hindurch lassen. Der quantenmechanische Transport ist stark unterdrückt, wenn die Planck'sche Konstante groß gegen den klassischen Fluss ist, h >> \Phi. Ist hingegen h << \Phi folgt die Quantenmechanik der klassischen Dynamik. Für den Übergangsbereich zwischen diesen Grenzfällen gibt es noch viele offene Fragen, insbesondere bezüglich des richtigen Skalierungsparameters und der Breite des Übergangs. Um gezielt diesen Übergang zu untersuchen, haben wir ein System mit einem besonders einfachen Phasenraum entworfen. Er besteht aus zwei chaotischen Gebieten, die durch eine dominante partielle Barriere getrennt sind. Es zeigt sich, dass das universelle Verhalten durch den Parameter \Phi/h beschrieben wird und der Übergang sich über zwei Größenordnungen erstreckt. Wir betrachten verschiedene Matrixmodelle um diesen Übergang zu verstehen. Die numerischen Daten werden nicht durch das Zufallsmatrixmodell von Bohigas, Tomsovic und Ullmo beschrieben. Ein deterministisches 2x2-Modell, eine Kanalkopplung und ein unitäres Matrixmodell beschreiben hingegen den Übergang des entworfenen gekickten Systems. Die Tatsache, dass auch die generische Standardabbildung diesem Verhalten folgt, spricht für ein universelles Verhalten des Quantenübergangs einer partiellen Barriere.

Die Analyse von Proxy-Zeitreihen aus Paläoklimaarchiven wie zum Beispiel Baumringen, Seesedimenten, Tropfsteinen und Eisbohrkernen mittels gefensterter Rekurrenznetzwerkanalyse ermöglicht die Identifizierung und Charakterisierung dynamischer Anomalien in der Klimavariabilität der Vergangenheit. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Entwicklung einer zuverlässigeren Routine zur gefensterten Rekurrenznetzwerkanalyse. Aufbauend auf dem bestehenden methodischen Rahmen werden die Bereiche der Phasenraumrekonstruktion und des Signifikanztests als verbesserungsfähig identifiziert. Deshalb werden verschiedene Methoden zur Rekonstruktion des Phasenraums aus unregelmäßig abgetasteten, verrauschten Daten verglichen. Außerdem wird ein allgemeiner flächenweiser Signifikanztest eingeführt, der, basierend auf einem ausgewählten Nullmodell, Korrelationen in den Analyseergebnissen numerisch abschätzt, um damit das Problem hoher Raten an falsch positiv signifikanten Ergebnissen zu adressieren. Im zweiten Teil der Arbeit wird die entwickelte Methodik genutzt, um die nichtlineare Variabilität des Klimas der Vergangenheit in Nord- und Südamerika zu untersuchen, indem vier reale Zeitreihen verschiedener Proxys studiert werden. Außerdem werden Proxy-System-Modelle genutzt, um auf die Frage der Eignung von Daten verschiedener Paläoklimaarchive zur Charakterisierung der Klimavariabilität mittels gefensterter Rekurrenznetzwerkanalyse einzugehen. Mit der Arbeit wird der Einsatz nichtlinearer Methoden zur Analyse von Paläoklima-Zeitreihen vorangebracht, das Potential und die Grenzen der gefensterten Rekurrenznetzwerkanalyse aufgezeigt und zukünftige relevante Fragestellungen, die die erhaltenen Ergebnisse und Schlussfolgerungen komplementieren können, identifiziert. / Studying palaeoclimate proxy data from archives such as tree rings, lake sediments, speleothems, and ice cores using windowed recurrence network analysis offers the possibility to characterise dynamical anomalies in past climate variability. This thesis aims at developing a more reliable framework of windowed recurrence network analysis by comparing different phase space reconstruction approaches for non-uniformly sampled noisy data and by tackling the problem of increased numbers of false positive significant points when correlations within the analysis results can not be neglected. For this, different phase space reconstruction approaches are systematically compared and a generalised areawise significance test which implements a numerical estimation of the correlations within the analysis results is introduced. In particular, the test can be used to identify patches of possibly false positive significant points. The developed analysis framework is applied to detect and characterise dynamical anomalies in past climate variability in North and South America by studying four real-world palaeoclimatic time series from different archives. Furthermore, the question whether palaeoclimate proxy time series from different archives are equally well suited for tracking past climate dynamics with windowed recurrence network analysis is approached by using the framework of proxy system modelling. This thesis promotes the use of non-linear methods for analysing palaeoclimate proxy time series, provides a detailed assessment of potentials and limitations of windowed recurrence network analysis and identifies future research directions that can complement the obtained results and conclusions.

Das Klimasystem der Erde besteht aus zahlreichen interagierenden Teilsystemen, die sich über verschiedene Zeitskalen hinweg verändern, was zu einer äußerst komplizierten räumlich-zeitlichen Klimavariabilität führt. Das Verständnis von Prozessen, die auf verschiedenen räumlichen und zeitlichen Skalen ablaufen, ist ein entscheidender Aspekt bei der numerischen Wettervorhersage. Die Variabilität des Klimas, ein sich selbst konstituierendes System, scheint in Mustern auf großen Skalen organisiert zu sein. Die Verwendung von Klimanetzwerken hat sich als erfolgreicher Ansatz für die Erkennung der räumlichen Ausbreitung dieser großräumigen Muster in der Variabilität des Klimasystems erwiesen. In dieser Arbeit wird mit Hilfe von Klimanetzwerken gezeigt, dass die Klimavariabilität nicht nur auf größeren Skalen (Asiatischer Sommermonsun, El Niño/Southern Oscillation), sondern auch auf kleineren Skalen, z.B. auf Wetterzeitskalen, in Mustern organisiert ist. Dies findet Anwendung bei der Erkennung einzelner tropischer Wirbelstürme, bei der Charakterisierung binärer Wirbelsturm-Interaktionen, die zu einer vollständigen Verschmelzung führen, und bei der Untersuchung der intrasaisonalen und interannuellen Variabilität des Asiatischen Sommermonsuns. Schließlich wird die Anwendbarkeit von Klimanetzwerken zur Analyse von Vorhersagefehlern demonstriert, was für die Verbesserung von Vorhersagen von immenser Bedeutung ist. Da korrelierte Fehler durch vorhersagbare Beziehungen zwischen Fehlern verschiedener Regionen aufgrund von zugrunde liegenden systematischen oder zufälligen Prozessen auftreten können, wird gezeigt, dass Fehler-Netzwerke helfen können, die räumlich kohärenten Strukturen von Vorhersagefehlern zu untersuchen. Die Analyse der Fehler-Netzwerk-Topologie von Klimavariablen liefert ein erstes Verständnis der vorherrschenden Fehlerquelle und veranschaulicht das Potenzial von Klimanetzwerken als vielversprechendes Diagnoseinstrument zur Untersuchung von Fehlerkorrelationen. / The Earth’s climate system consists of numerous interacting subsystems varying over a multitude of time scales giving rise to highly complicated spatio-temporal climate variability. Understanding processes occurring at different scales, both spatial and temporal, has been a very crucial problem in numerical weather prediction. The variability of climate, a self-constituting system, appears to be organized in patterns on large scales. The climate networks approach has been very successful in detecting the spatial propagation of these large scale patterns of variability in the climate system. In this thesis, it is demonstrated using climate network approach that climate variability is organized in patterns not only at larger scales (Asian Summer Monsoon, El Niño-Southern Oscillation) but also at shorter scales, e.g., weather time scales. This finds application in detecting individual tropical cyclones, characterizing binary cyclone interaction leading to a complete merger, and studying the intraseasonal and interannual variability of the Asian Summer Monsoon. Finally, the applicability of the climate network framework to understand forecast error properties is demonstrated, which is crucial for improvement of forecasts. As correlated errors can arise due to the presence of a predictable relationship between errors of different regions because of some underlying systematic or random process, it is shown that error networks can help to analyze the spatially coherent structures of forecast errors. The analysis of the error network topology of a climate variable provides a preliminary understanding of the dominant source of error, which shows the potential of climate networks as a very promising diagnostic tool to study error correlations.

Sowohl in der neuronalen als auch in der Kalzium Signalübertragung werden Informationen durch kurze Pulse oder Spikes, übertragen. Obwohl beide Systeme grundlegende Eigenschaften der Spike-Erzeugung teilen, wurden Integrate-and-fire (IF)-Modelle bisher nur auf neuronale Systeme angewendet. Diese Modelle bleiben auch dann behandelbar, wenn sie um Prozesse erweitert werden, die in Übereinstimmung mit Experimenten Spike-Zeiten mit korrelierten Interspike-Intervallen (ISI) erzeugen. Die statistische Analyse solcher nicht erneuerbarer Modelle ist Gegenstand dieser Arbeit. Das zweite Kapitel konzentriert sich auf die Berechnung des seriellen Korrelationskoeffizienten (SCC) in neuronalen Systemen. Es wird ein adaptives Modell betrachtet, das durch einen korrelierten Eingangsstrom getrieben wird. Es zeigt sich, dass neben den langsamen Prozessen auch die Dynamik des Modells den SCC bestimmt. Obwohl die Theorie für schwach gestörte IF-Modelle entwickelt wurde, kann sie auch auf stärker gestörte leitfähigkeitsbasierte Modelle angewendet werden und ist damit in der Lage, ein breites Spektrum biophysikalischer Situationen zu beschreiben. Im dritten Kapitel wird ein IF-Modell zur Beschreibung von Kalzium-Spikes formuliert, das die stochastische Freisetzung von Kalzium aus dem endoplasmatischen Retikulum (ER) und dessen Entleerung berücksichtigt. Die beobachtete Zeitskalentrennung zwischen Kalziumfreisetzung und Spikegenerierung motiviert eine Diffusionsnäherung, die eine analytische Behandlung des Modells ermöglicht. Die experimentell beobachtete Transiente, in der sich die ISIs einem stationären Wert annähern, kann durch die Entleerung des ER beschrieben werden. Es wird untersucht, wie die Statistiken der Transienten mit den stationären Intervallkorrelationen zusammenhängen. Es zeigt sich, dass eine stärkere Anpassung der Intervalle und eine kurze Transiente mit stärkeren Korrelationen einhergehen. Der Vergleich mit experimentellen Daten bestätigt diese Trends qualitativ. / In both neuronal and calcium signaling, information is transmitted by short pulses, so-called spikes. Although both systems share some basic principles of spike generation, integrate-and-fire (IF) models have so far only been applied to neuronal systems. These models remain analytically tractable even when extended to include processes that lead to the generation of spike times with correlated interspike intervals (ISIs) as observed in experiments. The statistical analysis of such non-renewal models is the subject of this thesis. In the second chapter we focus on the calculation of the serial correlation coefficient (SCC) in neural systems. We consider an adaptive model driven by a correlated input current. We show that in addition to the two slow processes, the dynamics of the model also determines the SCC. Although the theory is developed for weakly perturbed IF models, it can also be applied to more strongly perturbed conductance-based models and is thus able to account for a wide range of biophysical situations. In the third chapter, we formulate an IF model to describe the generation of calcium spikes, taking into account the stochastic release of calcium from the endoplasmic reticulum (ER) and its depletion. The observed time-scale separation between calcium release and spike generation motivates a diffusion approximation that allows an analytical treatment of the model. The experimentally observed transient, during which the ISIs approach a steady state value, can be captured by the depletion of the ER. We study how the transient ISI statistics are related to the stationary interval correlations. We show that a stronger adaptation of the intervals as well as a short transient are associated with stronger interval correlations. Comparison with experimental data qualitatively confirms these trends.

This thesis focuses on analyzing the synchronization of time delays between mutually coupled phase-locked loops (PLLs) in a flat hierarchy. Mutual synchronization refers to decentralized synchronization where there is no primary or secondary unit or control source. Consequently, it is an inherently self-organizing system in which each unit has equal rights, making it a democratic system. In this research, a dynamic nonlinear time-domain model is used to describe mutually delayed coupled oscillators. The predictions of this model are evaluated against experimental measurements. The time-domain model is based on the Kuramoto model. The Kuramoto model describes a network of coupled oscillators. As a first impression, this Kuramoto model is first analyzed for understanding of the effects of time delays between oscillators. The time domain model is based on a conventional PLL architecture modified to allow mutual coupling. The modifications include a circuit section that sums and weights all incoming phase differences. Overall, the measured results of this research study are in good agreement with the theoretical predictions of the time-domain model. The analysis allows the identification of the transient dynamics and the mechanisms that lead to mutual coupling and the formation of synchronized states through self-organized synchronization. The results show that the mutual coupling can self-organize its dynamics to synchronize even at time delays where the phenomenon of multistability of synchronized states occurs. A critical time delay beyond which a stable synchronized state cannot be achieved has been identified. The work also analyzes the dynamics and noise of synchronized states and finds that the dynamics near a synchronized state are correlated due to mutual coupling, leading to a reduction in noise. The noise correlation is affected by the direction of coupling, the number of nodes in the network, and the network topology. An improvement in phase noise of up to 14.42 dBc/Hz at 100 kHz offset from the carrier and 49.47ns delay was achieved using all-to-all coupling with four nodes. Furthermore, the hybrid approach, the combination of hierarchical and self-organizing synchronization architectures, is investigated. The dissertation presents an experimental study to understand how this affects a network of mutually delayed delay-coupled oscillators and whether the network of mutually coupled nodes can be abstracted as a secondary oscillator. A range in which the mutually delay-coupled network can be successfully synchronized by an external reference oscillator, depending on the synchronized state, is identified. In summary, this thesis provides valuable insights into the properties of mutually delay-coupled PLLs and their synchronization in flat hierarchies, and contributes to the understanding, design, and optimization of more practical networks of mutually delayed PLLs.:Abstract/Zusammenfassung Symbols and Abbreviations Previous Publications 1 Introduction 1.1 Classifications of Synchronization 1.2 A Historical Perspective on Mutual Synchronization 1.3 Extending the Understanding of Mutual Synchronization 1.4 Definitions and Methodologies 2 Model of Networks of Mutually Coupled PLLs 2.1 Coupled Oscillators – Kuramoto Model 2.1.1 Consequences of a Time Delay between Oscillators 2.1.2 Arbitrary Time Delays between Oscillators 2.2 Time-Domain Model of Delay-Coupled PLLs 2.2.1 Phase Detection 2.2.2 Loop-Filter 2.2.3 Voltage Controlled Oscillator 2.3 Prediction and Stability Analysis of Synchronized States 2.3.1 Assessing the Linear Stability of Synchronized States 2.3.2 Stability Consideration for Two Identical PLL Nodes 2.3.3 The Notion of Mode Locking 2.3.4 Effects of Heterogeneity on Synchronized States 2.4 Dynamics and Noise in Synchronized States 2.4.1 Gain and Phase Margin of a PLL Node 2.4.2 Phase Noise 2.5 Key Findings of the Theoretical Model 3 Design of Phase-Locked-Loops for Mutual Synchronization 3.1 PLL Nodes Dedicated for Mutual Synchronization 3.1.1 Phase Detection Circuitry 3.1.2 Adder Chain 3.2 Additional Circuitry for Implementing a Time Delay 4 Experimental Analysis of Mutually Time-Delayed Coupled PLLs 4.1 Synchronized States Including Oscillator Nonlinearity 4.2 Stability of Multistable Synchronized States 4.3 Critical Time Delay Between Two Coupled Nodes 4.4 Combining Hierarchical and Flat Synchronization Concepts 4.4.1 Entrainment of a Chain Network Topology 4.4.2 Entrainment of a Ring Network Topology 4.5 Heterogeneous Time Delays between Coupled PLLs 4.6 Phase Noise Analysis of Time Delay Coupled PLLs 4.6.1 Phase Noise for Two Mutually Coupled Nodes 4.6.2 The Impact of Coupling Directionality 4.6.3 Long Term Frequency Stability 4.6.4 Effect of Time Delay on Phase Noise 4.6.5 Network Topology Dependency on Phase Noise 5 Conclusion and Future Prospects Bibliography Own Publications – Periodicals Own Publications – Conference Proceedings Co-Authored Publications Other References List of Figures List of Tables Acknowledgement Curriculum Vitae / Diese Arbeit befasst sich mit der Analyse der Auswirkungen von Zeitverzögerungen auf die Synchronisation von gegenseitig gekoppelten Phasenregelschleifen (engl. phase-locked loop (PLL)) in einer flachen Hierarchie. Gegenseitige Synchronisation bezieht sich auf eine dezentrale Synchronisation, bei der es keine primäre oder sekundäre Einheit oder Steuerquelle gibt. Folglich ist es ein inhärent selbstorganisierendes System, in dem jede Einheit gleichberechtigt ist, was es zu einem demokratischen System macht. Für die Untersuchung wird ein dynamisches nichtlineares Zeitbereichsmodell verwendet, um gegenseitig verzögert gekoppelte Oszillatoren zu modellieren und die Vorhersagen dieses Modells anhand experimenteller Messungen zu bewerten. Dieses Zeitbereichsmodell basiert auf dem sogenannten Kuramoto-Modell, das ein Netzwerk gekoppelter Oszillatoren beschreibt. Um einen ersten Eindruck zu erhalten, wird zunächst dieses Kuramoto-Modell analysiert, um die Auswirkungen von Zeitverzögerungen zwischen den Oszillatoren zu verstehen. Das Zeitbereichsmodell basiert auf einer konventionellen PLL-Architektur, die modifiziert wurde, um eine gegenseitige Kopplung zu ermöglichen. Die Modifikationen beinhalten einen Schaltungsteil, der alle eingehenden Phasendifferenzen summiert und gewichtet. Die gemessenen Ergebnisse dieser Untersuchung stimmen insgesamt gut mit den theoretischen Vorhersagen des Zeitbereichsmodells überein. Die Analyse erlaubt es, die transiente Dynamik und die Mechanismen zu identifizieren, die zur gegenseitigen Synchronisation und zur Bildung synchronisierter Zustände durch selbstorganisierte Synchronisation führen. Die Ergebnisse zeigen, dass selbst bei Zeitverzögerungen, bei denen das Phänomen der Multistabilität synchronisierter Zustände auftritt, die gegenseitige Kopplung ihre Dynamik selbst organisieren kann, um sich zu synchronisieren. Die Untersuchung identifizierte eine kritische Zeitverzögerung, bei der kein stabiler synchronisierter Zustand erreicht werden kann. Die Arbeit analysiert auch die Dynamik und das Rauschen von synchronisierten Zuständen und stellt fest, dass die Dynamik in der Nähe eines synchronisierten Zustands aufgrund der gegenseitigen Kopplung korreliert ist, was zu einer Reduktion des Rauschens führt. Die Richtung der Kopplung und die Anzahl der Knoten im Netzwerk sowie die Netzwerktopologie beeinflussen die Korrelation des Rauschens. Eine Verbesserung des Phasenrauschens von bis zu 14.42 dBc/Hz bei einem Versatz von 100 kHz zum Träger und einer Verzögerung von 49.47 ns wurde durch eine globalen oder All-to-All-Kopplung mit vier Knoten erreicht. Des Weiteren wird der hybride Ansatz, die Kombination von hierarchischen und selbstorganisierenden Synchronisationsarchitekturen, untersucht. Die Arbeit präsentiert eine experimentelle Studie, um zu verstehen, wie dies ein Netzwerk von gegenseitig verzögert gekoppelten Oszillatoren beeinflusst und ob das Netzwerk von gegenseitig gekoppelten Knoten als sekundärer Oszillator abstrahiert werden kann. Dabei wird eine vom synchronisierten Zustand abhängige Domäne identifiziert, in der das wechselseitig gekoppelte Netzwerk durch einen externen Referenzoszillator erfolgreich synchronisiert werden kann. Insgesamt liefert diese wissenschaftliche Arbeit wertvolle Erkenntnisse über die Eigenschaften von gegenseitig verzögerungsgekoppelten PLLs und deren Synchronisation in einer flachen Hierarchie und trägt zum Verständnis, zum Entwurf und zur Optimierung von praktisch realisierten Netzwerken gegenseitig verzögerungsgekoppelter PLLs bei.:Abstract/Zusammenfassung Symbols and Abbreviations Previous Publications 1 Introduction 1.1 Classifications of Synchronization 1.2 A Historical Perspective on Mutual Synchronization 1.3 Extending the Understanding of Mutual Synchronization 1.4 Definitions and Methodologies 2 Model of Networks of Mutually Coupled PLLs 2.1 Coupled Oscillators – Kuramoto Model 2.1.1 Consequences of a Time Delay between Oscillators 2.1.2 Arbitrary Time Delays between Oscillators 2.2 Time-Domain Model of Delay-Coupled PLLs 2.2.1 Phase Detection 2.2.2 Loop-Filter 2.2.3 Voltage Controlled Oscillator 2.3 Prediction and Stability Analysis of Synchronized States 2.3.1 Assessing the Linear Stability of Synchronized States 2.3.2 Stability Consideration for Two Identical PLL Nodes 2.3.3 The Notion of Mode Locking 2.3.4 Effects of Heterogeneity on Synchronized States 2.4 Dynamics and Noise in Synchronized States 2.4.1 Gain and Phase Margin of a PLL Node 2.4.2 Phase Noise 2.5 Key Findings of the Theoretical Model 3 Design of Phase-Locked-Loops for Mutual Synchronization 3.1 PLL Nodes Dedicated for Mutual Synchronization 3.1.1 Phase Detection Circuitry 3.1.2 Adder Chain 3.2 Additional Circuitry for Implementing a Time Delay 4 Experimental Analysis of Mutually Time-Delayed Coupled PLLs 4.1 Synchronized States Including Oscillator Nonlinearity 4.2 Stability of Multistable Synchronized States 4.3 Critical Time Delay Between Two Coupled Nodes 4.4 Combining Hierarchical and Flat Synchronization Concepts 4.4.1 Entrainment of a Chain Network Topology 4.4.2 Entrainment of a Ring Network Topology 4.5 Heterogeneous Time Delays between Coupled PLLs 4.6 Phase Noise Analysis of Time Delay Coupled PLLs 4.6.1 Phase Noise for Two Mutually Coupled Nodes 4.6.2 The Impact of Coupling Directionality 4.6.3 Long Term Frequency Stability 4.6.4 Effect of Time Delay on Phase Noise 4.6.5 Network Topology Dependency on Phase Noise 5 Conclusion and Future Prospects Bibliography Own Publications – Periodicals Own Publications – Conference Proceedings Co-Authored Publications Other References List of Figures List of Tables Acknowledgement Curriculum Vitae

In this thesis a new frequency domain approach for the analysis of time delay systems is presented. After linearization of a nonlinear delay differential equation (DDE) with constant distributed delay around a constant or periodic reference solution the so-called Hill-Floquet method can be used for the analysis of the resulting linear DDE. In addition, systems with fast or slowly time-varying delays, systems with variable transport delays originating from a transport with variable velocity, and the corresponding spatially extended systems are presented, which can be also analyzed with the presented method. The newly introduced Hill-Floquet method is based on the Hill’s infinite determinant method and enables the transformation of a system with periodic coefficients to an autonomous system with constant coefficients. This makes the usage of a variety of existing methods for autonomous systems available for the analysis of periodic systems, which implies that the typical calculation of the monodromy matrix for the time evolution of the solution over the principle period is no longer required. In this thesis, the Chebyshev collocation method is used for the analysis of the autonomous systems. Specifically, in this case the periodic part of the solution is expanded in a Fourier series and the exponential behavior of the solution is approximated by the discrete values of the Fourier coefficients at the Chebyshev nodes, whereas in classical spectral or pseudo-spectral methods for the analysis of linear periodic DDEs the complete solution is expanded in terms of basis functions. In the last part of this thesis, new results for three applications with time delay effects are presented, which were analyzed with the presented methods. On the one hand, the occurrence of diffusion-driven instabilities in reaction-diffusion systems with delay is investigated. It is shown that wave instabilities are possible already for single-species reaction diffusion systems with distributed or time-varying delay. On the other hand, the stability of metal cutting vibrations at machine tools is analyzed. In particular, parallel orthogonal turning processes with multiple discrete delays and turning processes with a time-varying delay due to a spindle speed variation are studied. Finally, the stability of the synchronized solution in networks with heterogeneous coupling delays is studied. In particular, the eigenmode expansion for synchronized periodic orbits is derived, which includes an extension of the classical master stability function to networks with heterogeneous coupling delays. Numerical results are shown for a network of Hodgkin-Huxley neurons with two delays in the coupling. / In dieser Dissertation wird ein neues Verfahren zur Analyse von Systemen mit Totzeiten im Frequenzraum vorgestellt. Nach Linearisierung einer nichtlinearen retardierten Differentialgleichung (DDE) mit konstanter verteilter Totzeit um eine konstante oder periodische Referenzlösung kann die sogenannte Hill-Floquet Methode für die Analyse der resultierende linearen DDE angewendet werden. Darüber hinaus werden Systeme mit schnell oder langsam variierender Totzeit, Systeme mit einer variablen Totzeit, resultierend aus einem Transport mit variabler Geschwindigkeit, und entsprechende räumlich ausgedehnte Systeme vorgestellt, welche ebenfalls mit der vorgestellten Methode analysiert werden können. Die neu eingeführte Hill-Floquet Methode basiert auf der Hillschen unendlichen Determinante und ermöglicht die Transformation eines Systems mit periodischen Koeffizienten auf ein autonomes System mit konstanten Koeffizienten. Dadurch können zur Analyse periodischer Systeme auch eine Vielzahl existierender Methoden für autonome Systeme genutzt werden und die Berechnung der Monodromie-Matrix für die Lösung des Systems über eine Periode entfällt. In dieser Arbeit wird zur Analyse des autonomen Systems die Tschebyscheff-Kollokationsmethode verwendet. Im Speziellen wird bei diesem Verfahren der periodische Teil der Lösung in einer Fourierreihe entwickelt und das exponentielle Verhalten durch die Werte der Fourierkoeffizienten an den Tschebyscheff Knoten approximiert, wohingegen bei klassischen spektralen Verfahren die komplette Lösung in bestimmten Basisfunktionen entwickelt wird. Im Anwendungsteil der Arbeit werden neue Ergebnisse für drei Beispielsysteme präsentiert, welche mit den vorgestellten Methoden analysiert wurden. Es wird gezeigt, dass Welleninstabilitäten schon bei Einkomponenten-Reaktionsdiffusionsgleichungen mit verteilter oder variabler Totzeit auftreten können. In einem zweiten Beispiel werden Schwingungen an Werkzeugmaschinen betrachtet, wobei speziell simultane Drehbearbeitungsprozesse und Prozesse mit Drehzahlvariationen genauer untersucht werden. Am Ende wird die Synchronisation in Netzwerken mit heterogenen Totzeiten in den Kopplungstermen untersucht, wobei die Zerlegung in Netzwerk-Eigenmoden für synchrone periodische Orbits hergeleitet wird und konkrete numerische Ergebnisse für ein Netzwerk aus Hodgkin-Huxley Neuronen gezeigt werden.