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Die Zeitverzögerung bei der Streuung in zwei Dimensionen ist eine Funktion von zwei unabhängigen Parametern. Wenn diese Funktion Sattelpunkte aufweist, so hat der entsprechende Funktionswert theoretisch ein unendlich großes Gewicht in der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zeitverzögerungen. Dieser Zusammenhang soll analytisch und numerisch nachgewiesen und detailliert beschrieben werden. Insbesondere soll die klassische und quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zeitverzögerung für ein Modellsystem aus mehreren nichtüberlappenden zentralsymmetrischen Potentialen berechnet werden. Erwartete Ergebnisse sind Aussagen über die Parameterwerte, bei denen der oben genannte Effekt zu beobachten ist sowie Näherungsformeln für die Verteilung der Zeitverzögerung in der Nähe der Singularitäten. Außerdem soll die quantenmechanisch zu erwartende Glättung der Verteilungsfunktion quantitativ beschrieben werden. / For scattering problems in two dimensions, time-delay is a function of two independent parameters. If this function features saddle points, the corresponding function value should theoretically have an infinite weight in the probability distribution of time-delays. This correlation shall be confirmed analytically and numerically and studied in-depth. In particular, the classical and quantum-mechanical probability distribution of time-delays shall be calculated for a model system consisting of multiple non-overlapping potentials with rotational symmetry. We expect to obtain information about the parameter values where the aforementioned effects can be observed, and analytical approximations for the time-delay distribution near the singularities. Furthermore, the smoothing of the distribution in the quantummechanical regime shall be quantified.

The topology of interactions in network dynamical systems fundamentally underlies their function. Accelerating technological progress creates massively available data about collective nonlinear dynamics in physical, biological, and technological systems. Detecting direct interaction patterns from those dynamics still constitutes a major open problem. In particular, current nonlinear dynamics approaches mostly require to know a priori a model of the (often high dimensional) system dynamics. Here we develop a model-independent framework for inferring direct interactions solely from recording the nonlinear collective dynamics generated. Introducing an explicit dependency matrix in combination with a block-orthogonal regression algorithm, the approach works reliably across many dynamical regimes, including transient dynamics toward steady states, periodic and non-periodic dynamics, and chaos. Together with its capabilities to reveal network (two point) as well as hypernetwork (e.g., three point) interactions, this framework may thus open up nonlinear dynamics options of inferring direct interaction patterns across systems where no model is known.

Kollektives Handeln ist erforderlich um nachhaltige Entwicklungspfade in gekoppelten sozial-ökologischen Systemen zu erschließen, fernab von gefährlichen Kippelementen. Ohne anderen Modellierungsprinzipien ihren Nutzen abzuerkennen, schlägt diese Dissertation die Agent-Umwelt Schnittstelle als die mathematische Grundlage für das Modellieren sozial-ökologischer Systeme vor. Zuerst erweitert diese Arbeit eine Methode aus der Literatur der statistischen Physik über Lerndynamiken, um einen deterministischen Grenzübergang von etablierten Verstärkungslernalgorithmen aus der Forschung zu künstlicher Intelligenz herzuleiten. Die resultierenden Lerndynamiken zeigen eine große Bandbreite verschiedener dynamischer Regime wie z.B. Fixpunkte, Grenzzyklen oder deterministisches Chaos. Zweitens werden die hergeleiteten Lerngleichungen auf eine neu eingeführte Umwelt, das Ökologisches Öffentliches Gut, angewendet,. Sie modelliert ein gekoppeltes sozial-ökologisches Dilemma und erweitert damit etablierte soziale Dilemmaspiele um ein ökologisches Kippelement. Bekannte theoretische und empirische Ergebnisse werden reproduziert und neuartige, qualitativ verschiedene Parameterregime aufgezeigt, darunter eines, in dem diese belohnungsoptimierenden Lern-Agenten es vorziehen, gemeinsam unter einem Kollaps der Umwelt zu leiden, als in einer florierenden Umwelt zu kooperieren. Drittens stellt diese Arbeit das Optimierungsparadigma der Lern-Agenten in Frage. Die drei Entscheidungsparadimen ökonomischen Optimierung, Nachhaltigkeit und Sicherheit werden systematisch miteinander verglichen, während sie auf das Management eines umweltlichen Kippelements angewendet werden. Es wird gezeigt, dass kein Paradigma garantiert, Anforderungen anderer Paradigmen zu erfüllen, sowie dass das Fehlen eines Meisterparadigmas von besonderer Bedeutung für das Klimasystem ist, da dieses sich am Rand zwischen Parameterbereichen befinden kann, wo ökonomische Optimierung weder nachhaltig noch sicher wird. / Collective action is required to enter sustainable development pathways in coupled social-ecological systems, safely away from dangerous tipping elements. Without denying the usefulness of other model design principles, this thesis proposes the agent-environment interface as the mathematical foundation for the design of social-ecological system models. First, this work refines techniques from the statistical physics literature on learning dynamics to derive a deterministic limit of established reinforcement learning algorithms from artificial intelligence research. Illustrations of the resulting learning dynamics reveal a wide range of different dynamical regimes, such as fixed points, periodic orbits and deterministic chaos. Second, the derived multi-state learning equations are applied to a newly introduced environment, the Ecological Public Good. It models a coupled social-ecological dilemma, extending established repeated social dilemma games by an ecological tipping element. Known theoretical and empirical results are reproduced and novel qualitatively different parameter regimes are discovered, including one in which these reward-optimizing agents prefer to collectively suffer in environmental collapse rather than cooperating in a prosperous environment. Third, this thesis challenges the reward optimizing paradigm of the learning equations. It presents a novel formal comparison of the three decision paradigms of economic optimization, sustainability and safety for the governance of an environmental tipping element. It is shown that no paradigm guarantees fulfilling requirements imposed by another paradigm. Further, the absence of a master paradigm is shown to be of special relevance for governing the climate system, since the latter may reside at the edge between parameter regimes where economic welfare optimization becomes neither sustainable nor safe.

The topology of interactions in network dynamical systems fundamentally underlies their function. Accelerating technological progress creates massively available data about collective nonlinear dynamics in physical, biological, and technological systems. Detecting direct interaction patterns from those dynamics still constitutes a major open problem. In particular, current nonlinear dynamics approaches mostly require to know a priori a model of the (often high dimensional) system dynamics. Here we develop a model-independent framework for inferring direct interactions solely from recording the nonlinear collective dynamics generated. Introducing an explicit dependency matrix in combination with a block-orthogonal regression algorithm, the approach works reliably across many dynamical regimes, including transient dynamics toward steady states, periodic and non-periodic dynamics, and chaos. Together with its capabilities to reveal network (two point) as well as hypernetwork (e.g., three point) interactions, this framework may thus open up nonlinear dynamics options of inferring direct interaction patterns across systems where no model is known.

Generic Hamiltonian systems have a mixed phase space, where classically disjoint regions of regular and chaotic motion coexist. For many applications it is useful to approximate the regular dynamics of such a mixed system H by an integrable approximation Hreg. We present a new, iterative method to construct such integrable approximations. The method is based on the construction of an integrable approximation in action representation which is then improved in phase space by iterative applications of canonical transformations. In contrast to other known approaches, our method remains applicable to strongly non-integrable systems H. We present its application to 2D maps and 2D billiards. Based on the obtained integrable approximations we finally discuss the theoretical description of dynamical tunneling in mixed systems. / Typische Hamiltonsche Systeme haben einen gemischten Phasenraum, in dem disjunkte Bereiche klassisch regulärer und chaotischer Dynamik koexistieren. Für viele Anwendungen ist es zweckmäßig, die reguläre Dynamik eines solchen gemischten Systems H durch eine integrable Näherung Hreg zu beschreiben. Wir stellen eine neue, iterative Methode vor, um solche integrablen Näherungen zu konstruieren. Diese Methode basiert auf der Konstruktion einer integrablen Näherung in Winkel-Wirkungs-Variablen, die im Phasenraum durch iterative Anwendungen kanonischer Transformationen verbessert wird. Im Gegensatz zu bisher bekannten Verfahren bleibt unsere Methode auch auf stark nichtintegrable Systeme H anwendbar. Wir demonstrieren sie anhand von 2D-Abbildungen und 2D-Billards. Mit den gewonnenen integrablen Näherungen diskutieren wir schließlich die theoretische Beschreibung von dynamischem Tunneln in gemischten Systemen.

The aim of this research work is to deepen the understanding of joint shear behavior under different boundary conditions. For this purpose, joint closure tests under quasi-static and dynamic conditions, direct shear and cyclic shear tests under CNL and DNL boundary conditions of plane joints are performed using GS-1000 big shear box device. The dissertation also presents the procedure to simulate the shear box device and simulating the behavior of plane joints at the micro-scale using FLAC3D. Special attention has been given to understand the influencing factors of the normal stress level, direct shear rate, horizontal cyclic shear frequency, normal impact frequency, horizontal cyclic shear displacement amplitude and vertical impact force amplitude. Lab test and numerical simulation results show that the quasi-static joint stiffness increases with increasing normal force. Dynamic joint stiffness decreases with increasing superimposed normal force amplitudes. Normal impact frequencies have little influence on the joint stiffness. Rotations and stress changes at the plane joint during shearing are proven. Rotations and development of stress gradients can be decreased significantly by increasing the size of the bottom specimen and applying a shear velocity at the upper shear box and normal loading piston. Furthermore, peak shear force increases with increasing normal force. Friction angle of cyclic shear tests is smaller than that of direct shear tests. Moreover, significant time shifts between normal and shear force (shear force delay), normal force and friction coefficient (friction coefficient delay) during direct shear tests under DNL boundary conditions are observed and the reference quantity ‘shear-velocity-normal-impact-frequency’ (SV-NIF) to describe the behavior under DNL boundary conditions is defined. Peak shear force and minimum friction coefficient increase with increasing SV-NIF. Relative time shift between normal force and shear force decreases with increase of SV-NIF. The mechanical behavior of the GS-1000 big shear box device is simulated and the loss of normal force caused by the tilting of the loading plate is quantified. Finally, the novel direct and cyclic shear strength criterions under DNL conditions are put forward. The shear strength criterions are in close agreement with the measured values, which indicates that the novel shear strength criterions are able to predict the shear strength under DNL conditions.

Die Zeitverzögerung bei der Streuung in zwei Dimensionen ist eine Funktion von zwei unabhängigen Parametern. Wenn diese Funktion Sattelpunkte aufweist, so hat der entsprechende Funktionswert theoretisch ein unendlich großes Gewicht in der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zeitverzögerungen. Dieser Zusammenhang soll analytisch und numerisch nachgewiesen und detailliert beschrieben werden. Insbesondere soll die klassische und quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zeitverzögerung für ein Modellsystem aus mehreren nichtüberlappenden zentralsymmetrischen Potentialen berechnet werden. Erwartete Ergebnisse sind Aussagen über die Parameterwerte, bei denen der oben genannte Effekt zu beobachten ist sowie Näherungsformeln für die Verteilung der Zeitverzögerung in der Nähe der Singularitäten. Außerdem soll die quantenmechanisch zu erwartende Glättung der Verteilungsfunktion quantitativ beschrieben werden.:1 Einleitung 2 Zeitverzögerung in klassischen Streusystemen 2.1 Definition durch die Wirkung 2.2 Geometrisch motivierte Definitionen 2.2.1 Eigentliche Zeitverzögerung 2.2.2 Definition über retardierten Ort 2.2.3 Definition über Aufenthaltszeit 2.2.4 Numerische Bestimmung der Zeitverzögerung 2.3 Zeitverzögerungsfunktion und -verteilung 2.4 Rechenregeln 2.4.1 Koordinatensystemwechsel 2.4.2 Verkettung 3 Klassische Modellsysteme 3.1 Harte Scheibe 3.2 Verschobene harte Scheibe 3.2.1 Verhalten in der Umgebung von stationären Punkten 3.3 Weiches Scheibenpaar 3.3.1 Sattelpunkte 3.3.2 Extrempunkte 3.3.3 Zusammenfassung 4 Quantenmechanische Zeitverzögerung 4.1 Quantisierung der klassischen Definition 4.1.1 Definition über Aufenthaltszeit 4.1.2 Wigner-Smith-Matrix 4.1.3 Numerische Umsetzung 4.2 Einheitenlose Formulierung 4.3 Gegenüberstellung von Zeitentwicklungsmethoden 4.4 Split-Operator-Methode 4.4.1 Parameterwahl 4.4.2 Zur Abschätzung des systematischen Fehlers 4.5 Unterdrückung der periodischen Randbedingung 4.6 Harte Potentiale 5 Quantenmechanische Modellsysteme 5.1 Stationäre Punkte 5.2 Unschärfeeffekte 5.3 Numerische Ungenauigkeiten 5.3.1 Skalierungsverhalten der numerischen Methoden 5.4 Zusammenfassung der Ergebnisse 6 Zusammenfassung und Ausblick Anhang A Verhalten der Verteilung einer Funktion in der Nähe stationärer Punkte A.1 Umgebung eines Sattelpunktes A.2 Umgebung eines Extremums B Zeitverzögerung für das weiche Scheibenpaar / For scattering problems in two dimensions, time-delay is a function of two independent parameters. If this function features saddle points, the corresponding function value should theoretically have an infinite weight in the probability distribution of time-delays. This correlation shall be confirmed analytically and numerically and studied in-depth. In particular, the classical and quantum-mechanical probability distribution of time-delays shall be calculated for a model system consisting of multiple non-overlapping potentials with rotational symmetry. We expect to obtain information about the parameter values where the aforementioned effects can be observed, and analytical approximations for the time-delay distribution near the singularities. Furthermore, the smoothing of the distribution in the quantummechanical regime shall be quantified.:1 Einleitung 2 Zeitverzögerung in klassischen Streusystemen 2.1 Definition durch die Wirkung 2.2 Geometrisch motivierte Definitionen 2.2.1 Eigentliche Zeitverzögerung 2.2.2 Definition über retardierten Ort 2.2.3 Definition über Aufenthaltszeit 2.2.4 Numerische Bestimmung der Zeitverzögerung 2.3 Zeitverzögerungsfunktion und -verteilung 2.4 Rechenregeln 2.4.1 Koordinatensystemwechsel 2.4.2 Verkettung 3 Klassische Modellsysteme 3.1 Harte Scheibe 3.2 Verschobene harte Scheibe 3.2.1 Verhalten in der Umgebung von stationären Punkten 3.3 Weiches Scheibenpaar 3.3.1 Sattelpunkte 3.3.2 Extrempunkte 3.3.3 Zusammenfassung 4 Quantenmechanische Zeitverzögerung 4.1 Quantisierung der klassischen Definition 4.1.1 Definition über Aufenthaltszeit 4.1.2 Wigner-Smith-Matrix 4.1.3 Numerische Umsetzung 4.2 Einheitenlose Formulierung 4.3 Gegenüberstellung von Zeitentwicklungsmethoden 4.4 Split-Operator-Methode 4.4.1 Parameterwahl 4.4.2 Zur Abschätzung des systematischen Fehlers 4.5 Unterdrückung der periodischen Randbedingung 4.6 Harte Potentiale 5 Quantenmechanische Modellsysteme 5.1 Stationäre Punkte 5.2 Unschärfeeffekte 5.3 Numerische Ungenauigkeiten 5.3.1 Skalierungsverhalten der numerischen Methoden 5.4 Zusammenfassung der Ergebnisse 6 Zusammenfassung und Ausblick Anhang A Verhalten der Verteilung einer Funktion in der Nähe stationärer Punkte A.1 Umgebung eines Sattelpunktes A.2 Umgebung eines Extremums B Zeitverzögerung für das weiche Scheibenpaar

Für das Verständnis einer Vielzahl von Problemen von der Himmelsmechanik bis hin zur Beschreibung von Molekülen spielen Systeme mit mehr als zwei Freiheitsgraden eine entscheidende Rolle. Aufgrund der Dimensionalität gestaltet sich ein Verständnis dieser Systeme jedoch deutlich schwieriger als bei Systemen mit zwei oder weniger Freiheitsgraden. Die vorliegende Arbeit soll zum besseren Verständnis der klassischen und quantenmechanischen Eigenschaften getriebener Systeme mit zwei Freiheitsgraden beitragen. Hierzu werden dreidimensionale Schnitte durch den Phasenraum von 4D Abbildungen betrachtet. Anhand dreier Beispiele, deren Phasenräume zunehmend kompliziert sind, werden diese 3D Schnitte vorgestellt und untersucht. In einer sich anschließenden quantenmechanischen Untersuchung gehen wir auf zwei wichtige Aspekte ein. Zum einen untersuchen wir die quantenmechanischen Signaturen des klassischen "Arnold Webs". Es wird darauf eingegangen, wie die Quantenmechanik dieses Netz im semiklassischen Limes auflösen kann. Darüberhinaus widmen wir uns dem wichtigen Aspekt quantenmechanischer Kopplungen klassisch getrennter Phasenraumgebiete anhand der Untersuchung dynamischer Tunnelraten. Für diese wenden wir sowohl den in der Literatur bekannten "fictitious integrable system approach" als auch die Theorie des resonanz-unterstützen Tunnelns auf 4D Abbildungen an.:Contents ..... v 1 Introduction ..... 1 2 2D mappings ..... 5 2.1 Hamiltonian systems with 1.5 degrees of freedom ..... 5 2.2 The 2D standard map ..... 6 3 Classical dynamics of higher dimensional systems ..... 11 3.1 Coupled standard maps as paradigmatic example ..... 12 Stability of fixed points in 4D maps ..... 13 Center manifolds of elliptic degrees of freedom ..... 13 3.2 Near-integrable systems ..... 15 3.2.1 Analytical description of multidimensional, near-integrable systems ..... 15 Resonance structures in 4D maps ..... 16 3.2.2 Pendulum approximation ..... 18 3.2.3 Normal forms ..... 24 3.2.4 Arnold diffusion and Arnold web ..... 24 3.3 Numerical tools for the analysis of regular and chaotic motion ..... 26 3.3.1 Frequency analysis ..... 26 Aim of the frequency analysis ..... 26 Realizations of the frequency analysis ..... 27 Wavelet transforms ..... 30 3.3.2 Fast Lyapunov indicator ..... 31 3.3.3 Phase-space sections ..... 33 Skew phase-space sections containing invariant eigenspaces ..... 34 3.4 Systems with regular dynamics and a large chaotic sea ..... 35 3.4.1 Designed maps: Map with linear regular region, P_llu ..... 36 Phase space of the designed map with linear regular region ..... 38 FLI values ..... 41 Estimating the size of the regular region ..... 43 3.4.2 Designed maps: Islands with resonances, P_nnc ..... 46 Frequency analysis ..... 46 FLI values and volume of the regular and stochastic region ..... 50 Frequency analysis for rank-2 resonance ..... 52 Phase-space sections at different positions p_1 and p_2 ..... 53 Using color to provide the 4-th coordinate ..... 53 Skew phase-space sections containing invariant eigenspaces ..... 57 Arnold diffusion ..... 58 3.4.3 Generic maps: Coupled standard maps, P_csm ..... 63 FLI values and volume of the regular and stochastic region ..... 63 Analysis of fundamental frequencies ..... 66 Skew phase-space sections containing invariant eigenspaces ..... 69 4 Quantum Mechanics ..... 75 4.1 Quantization of Classical Maps ..... 77 4.2 Eigenstates of the time evolution operator U ..... 79 4.2.1 Eigenstates of P_llu ..... 80 4.2.2 Eigenstates of P_nnc ..... 84 4.2.3 Eigenstates of P_csm ..... 87 4.3 Quantum signatures of the stochastic layer ..... 89 4.3.1 Eigenstates resolving the stochastic layer ..... 90 4.3.2 Wave-packet dynamics into the stochastic layer ..... 94 4.4 Dynamical tunneling rates ..... 98 4.4.1 Numerical calculation of dynamical tunneling rates ..... 99 4.4.2 Direct regular-to-chaotic tunneling rates gamma^d of P_llu ..... 101 4.4.3 Prediction of gamma^d using the fictitious integrable system approach ..... 103 4.4.4 Dynamical tunneling rates of P_nnc ..... 105 4.4.5 Interlude: Theory of resonance assisted tunneling (RAT) ..... 106 4.4.6 Prediction of tunneling rates for P_nnc, RAT ..... 111 Selection rules from nonlinear resonances ..... 111 Energy denominators ..... 114 Estimating the parameters of the pendulum approximation from phase-space properties ..... 116 Prediction ..... 118 4.4.7 Dynamical tunneling rates of P_csm ..... 120 5 Summary and outlook ..... 123 Appendix ..... 125 A Potential of the designed map ..... 125 B Quantum-number assignment-algorithm ..... 128 C Alternate paths due to alternate resonances in the description of RAT ..... 131 D Alternate resonances in the description of RAT leading to different tunneling rates ..... 133 E Tunneling rates of map with nonlinear resonances but uncoupled regular region ..... 133 F Interpolation of quasienergies ..... 135 G 2D Poincar'e map for the pendulum approximation ..... 137 H RAT prediction broken down to single paths ..... 139 I Linearization of the pendulum approximation ..... 140 J Iterative diagonalization schemes for the semiclassical limit ..... 143 Inverse iteration ..... 143 Arnoldi method ..... 144 Lanczos algorithm ..... 144 List of figures ..... 148 Bibliography ..... 163 / Systems with more than two degrees of freedom are of fundamental importance for the understanding of problems ranging from celestial mechanics to molecules. Due to the dimensionality the classical phase-space structure of such systems is more difficult to understand than for systems with two or fewer degrees of freedom. This thesis aims for a better insight into the classical as well as the quantum mechanics of 4D mappings representing driven systems with two degrees of freedom. In order to analyze such systems, we introduce 3D sections through the 4D phase space which reveal the regular and chaotic structures. We introduce these concepts by means of three example mappings of increasing complexity. After a classical analysis the systems are investigated quantum mechanically. We focus especially on two important aspects: First, we address quantum mechanical consequences of the classical Arnold web and demonstrate how quantum mechanics can resolve this web in the semiclassical limit. Second, we investigate the quantum mechanical tunneling couplings between regular and chaotic regions in phase space. We determine regular-to-chaotic tunneling rates numerically and extend the fictitious integrable system approach to higher dimensions for their prediction. Finally, we study resonance-assisted tunneling in 4D maps.:Contents ..... v 1 Introduction ..... 1 2 2D mappings ..... 5 2.1 Hamiltonian systems with 1.5 degrees of freedom ..... 5 2.2 The 2D standard map ..... 6 3 Classical dynamics of higher dimensional systems ..... 11 3.1 Coupled standard maps as paradigmatic example ..... 12 Stability of fixed points in 4D maps ..... 13 Center manifolds of elliptic degrees of freedom ..... 13 3.2 Near-integrable systems ..... 15 3.2.1 Analytical description of multidimensional, near-integrable systems ..... 15 Resonance structures in 4D maps ..... 16 3.2.2 Pendulum approximation ..... 18 3.2.3 Normal forms ..... 24 3.2.4 Arnold diffusion and Arnold web ..... 24 3.3 Numerical tools for the analysis of regular and chaotic motion ..... 26 3.3.1 Frequency analysis ..... 26 Aim of the frequency analysis ..... 26 Realizations of the frequency analysis ..... 27 Wavelet transforms ..... 30 3.3.2 Fast Lyapunov indicator ..... 31 3.3.3 Phase-space sections ..... 33 Skew phase-space sections containing invariant eigenspaces ..... 34 3.4 Systems with regular dynamics and a large chaotic sea ..... 35 3.4.1 Designed maps: Map with linear regular region, P_llu ..... 36 Phase space of the designed map with linear regular region ..... 38 FLI values ..... 41 Estimating the size of the regular region ..... 43 3.4.2 Designed maps: Islands with resonances, P_nnc ..... 46 Frequency analysis ..... 46 FLI values and volume of the regular and stochastic region ..... 50 Frequency analysis for rank-2 resonance ..... 52 Phase-space sections at different positions p_1 and p_2 ..... 53 Using color to provide the 4-th coordinate ..... 53 Skew phase-space sections containing invariant eigenspaces ..... 57 Arnold diffusion ..... 58 3.4.3 Generic maps: Coupled standard maps, P_csm ..... 63 FLI values and volume of the regular and stochastic region ..... 63 Analysis of fundamental frequencies ..... 66 Skew phase-space sections containing invariant eigenspaces ..... 69 4 Quantum Mechanics ..... 75 4.1 Quantization of Classical Maps ..... 77 4.2 Eigenstates of the time evolution operator U ..... 79 4.2.1 Eigenstates of P_llu ..... 80 4.2.2 Eigenstates of P_nnc ..... 84 4.2.3 Eigenstates of P_csm ..... 87 4.3 Quantum signatures of the stochastic layer ..... 89 4.3.1 Eigenstates resolving the stochastic layer ..... 90 4.3.2 Wave-packet dynamics into the stochastic layer ..... 94 4.4 Dynamical tunneling rates ..... 98 4.4.1 Numerical calculation of dynamical tunneling rates ..... 99 4.4.2 Direct regular-to-chaotic tunneling rates gamma^d of P_llu ..... 101 4.4.3 Prediction of gamma^d using the fictitious integrable system approach ..... 103 4.4.4 Dynamical tunneling rates of P_nnc ..... 105 4.4.5 Interlude: Theory of resonance assisted tunneling (RAT) ..... 106 4.4.6 Prediction of tunneling rates for P_nnc, RAT ..... 111 Selection rules from nonlinear resonances ..... 111 Energy denominators ..... 114 Estimating the parameters of the pendulum approximation from phase-space properties ..... 116 Prediction ..... 118 4.4.7 Dynamical tunneling rates of P_csm ..... 120 5 Summary and outlook ..... 123 Appendix ..... 125 A Potential of the designed map ..... 125 B Quantum-number assignment-algorithm ..... 128 C Alternate paths due to alternate resonances in the description of RAT ..... 131 D Alternate resonances in the description of RAT leading to different tunneling rates ..... 133 E Tunneling rates of map with nonlinear resonances but uncoupled regular region ..... 133 F Interpolation of quasienergies ..... 135 G 2D Poincar'e map for the pendulum approximation ..... 137 H RAT prediction broken down to single paths ..... 139 I Linearization of the pendulum approximation ..... 140 J Iterative diagonalization schemes for the semiclassical limit ..... 143 Inverse iteration ..... 143 Arnoldi method ..... 144 Lanczos algorithm ..... 144 List of figures ..... 148 Bibliography ..... 163