Dans le cadre des études sur l’endommagement laser liées au projet Mégajoule, nous analysons le couplage entre l’auto-focalisation induite par effet Kerr et la rétrodiffusion Brillouin stimulée pour des impulsions de durée nanoseconde se propageant dans des échantillons de silice. L’influence de la puissance d’entrée, des modulations de phase ou d’amplitude ainsi que la forme spatiale du faisceau sur la dynamique de filamentation est discutée. Nous montrons qu’une modulation d’amplitude appropriée divisant l’impulsion incidente en train d’impulsions de l’ordre de la dizaine de picosecondes supprime l’effet Brillouin pour toute puissance incidente mais réduit notablement la puissance laser disponible. A l’inverse, des impulsions modulées en phase avec une largeur spectrale comparable peuvent subir de la filamentation multiple et une auto-focalisation à distance plus courte causées par des instabilités modulationnelles. Nous démontrons cependant l’existence d’une largeur spectrale critique à partir de laquelle la rétrodiffusion peut être radicalement inhibée par une modulation de phase, même pour des fortes puissances. Cette observation reste valide pour des faisceaux de forme carrée avec des profils spatiaux plus larges, qui s’auto-focalisent beaucoup plus rapidement et se brisent en filaments multiples sur de courtes distances. L’inclusion de la génération de plasma pour limiter la croissance des ondes pompe et Stokes est finalement abordée. / As part of the studies on laser damage linked to the Megajoule project, we analyze the coupling between the Kerr induce self-focusing and the stimulated Brillouin backscattering pour nanosecond optical pulses propagating in silica samples. The influence of the incident power, phase or amplitude modulations as well as the spatial profile of the pulse of the filamentation dynamic is discussed. We show that an appropriate amplitude modulation dividing the incident pulse in pulse trains of picosecond durations suppresses the Brillouin effect for any incident power but noticeably reduces the available average laser power. On the contrary, phase modulated pulses with a comparable spectral width can undergo multiple filamentation and self-focusing at a shorter distance, caused by modulational instabilities. We demonstrate however the existence of a critical spectral bandwidth from which the backscattering can be radically inhibited by a phase modulation, even for high powers. This conclusion remains valid for spatially broader squared pulses, which self-focus earlier and break into multiple filaments at shorter distances. The inclusion of plasma generation to limit the growth of pump and Stokes waves is finally addressed.

Στόχος της παρούσας εργασίας είναι η σύνδεση της μοντέρνας θεωρίας σολιτονίων με την κλασική διαφορική γεωμετρία. Ειδικότερα, αρχίζουμε με ένα εισαγωγικό μέρος, όπου παραθέτουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν: α) Τις λύσεις μη-γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ) που ονομάζονται σολιτόνια (solitons) και β) Την γεωμετρία των ομαλών καμπυλών και επιφανειών του Ευκλείδειου χώρου). Ακολουθεί, το δεύτερο και κύριο μέρος, στο οποίο μελετάμε την σχέση τριών χαρακτηριστικών μη-γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης, της εξίσωσης sine-Gordon, της τροποποιημένης εξίσωσης Korteweg de Vries (mKdV) και της μη γραμμικής εξίσωσης Schrödinger (NLS), με την θεωρία καμπυλών και επιφανειών. Αναλυτικότερα, στο πρώτο μέρος και πιο συγκεκριμένα στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε μια ιστορική αναδρομή στην έννοια του σολιτονίου. Στην συνέχεια αναζητούμε κυματικές-σολιτονικές λύσεις για τις εξισώσεις KdV και NLS. Κλείνουμε παραθέτοντας τις προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες μια μη γραμμική εξίσωση είναι ολοκληρώσιμη. Επιλέγουμε να αναλύσουμε δύο από αυτές τις προϋποθέσεις, χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα, ενώ, για τις άλλες δύο, περιοριζόμαστε σε μια συνοπτική περιγραφή . Στο δεύτερο κεφάλαιο του εισαγωγικού μέρους γίνεται μια εκτενής αναφορά σε θεμελιώδεις έννοιες της διαφορικής γεωμετρίας. Πιο συγκεκριμένα, οι έννοιες αυτές σχετίζονται με την θεωρία καμπυλών και επιφανειών και για ορισμένες από αυτές παρουσιάζουμε κάποια αντιπροσωπευτικά παραδείγματα. Ακολουθεί το κύριο μέρος και ειδικότερα το πρώτο κεφάλαιο, στο οποίο, μελετώντας υπερβολικές επιφάνειες, καταλήγουμε σε ένα κλασικό μη γραμμικό σύστημα εξισώσεων. Είναι αυτό που οφείλουμε στον Bianchi και το οποίο ενσωματώνει τις εξισώσεις Gauss-Mainardi-Codazzi. Στην συνέχεια, περιοριζόμαστε στις ψευδοσφαιρικές επιφάνειες και έτσι καταλήγουμε στην εξίσωση sine-Gordon. Ακολουθεί η ενότητα 1.2, στην οποία βρίσκουμε τον μετασχηματισμό auto-Bäcklund για την εξίσωση sine-Gordon και περιγράφουμε την γεωμετρική διαδικασία για την κατασκευή ψευδοσφαιρικών επιφανειών. Στην ενότητα 1.3, χρησιμοποιώντας τον παραπάνω μετασχηματισμό Bäcklund, καταλήγουμε στο Θεώρημα Αντιμεταθετικότητας του Bianchi. Συνεχίζουμε με την ενότητα 1.4, στην οποία παρουσιάζουμε ψευδοσφαιρικές επιφάνειες, οι οποίες αντιστοιχούν σε σολιτονικές λύσεις της εξίσωσης sine-Gordon. Πιο αναλυτικά, στην υποενότητα 1.4.1 κατασκευάζουμε την ψευδόσφαιρα του Beltrami, η οποία αντιστοιχεί στην στάσιμη μονο-σολιτονική λύση. Στην υποενότητα 1.4.2 μελετάμε το ελικοειδές που δημιουργείται από την έλκουσα καμπύλη, δηλαδή την επιφάνεια Dini, την οποία και κατασκευάζουμε. Ακολουθεί η υποενότητα 1.4.3, όπου, χρησιμοποιώντας το θεώρημα μεταθετικότητας, καταλήγουμε στην λύση δύο-σολιτονίων για την εξίσωση sine-Gordon και συνεχίζουμε με την υποενότητα 1.4.4, όπου κατασκευάζουμε περιοδικές λύσεις των δύο-σολιτονίων γνωστές ως breathers. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάμε την κίνηση συγκεκριμένων καμπυλών και επιφανειών, οι οποίες οδηγούν σε σολιτονικές εξισώσεις. Ειδικότερα, στην ενότητα 2.1 καταλήγουμε στην εξίσωση sine-Gordon μέσω της κίνησης μιας μη-εκτατής καμπύλης σταθερής καμπυλότητας ή στρέψης. Ακολουθεί η ενότητα 2.2, όπου η εξίσωση sine- Gordon προκύπτει ως η συνθήκη συμβατότητας για το 2 2 γραμμικό σύστημα AKNS. Στην συνέχεια, στην ενότητα 2.3 ασχολούμαστε με την κίνηση ψευδοσφαιρικών επιφανειών. Πιο συγκεκριμένα, στην υποενότητα 2.3.1 συνδέουμε την κίνηση μιας ψευδοσφαιρικής επιφάνειας με ένα μη αρμονικό μοντέλο πλέγματος, το οποίο ενσωματώνει την εξίσωση mKdV. Επιπλέον, στην υποενότητα 2.3.2 δείχνουμε ότι η καθαρά κάθετη κίνηση μιας ψευδοσφαιρικής επιφάνειας, παράγει το κλασικό σύστημα Weingarten. Ολοκληρώνουμε την ενότητα 2.3 με την κατασκευή των μετασχηματισμών Bäcklund τόσο για το μοντέλο πλέγματος, όσο και για το σύστημα Weingarten. Το κεφάλαιο κλείνει με την ενότητα 2.4, όπου μέσω της κίνησης μιας μη εκτατής καμπύλης μηδενικής στρέψης, καταλήγουμε στην εξίσωση mKdV. Στην συνέχεια μελετάμε την κίνηση των επιφανειών Dini και τελικά κατασκευάζουμε επιφάνειες που αντιστοιχούν στο τριπλά ορθογώνιο σύστημα Weingarten. Στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο επικεντρωνόμαστε στην εξίσωση NLS. Πιο συγκεκριμένα, στην ενότητα 3.1 καταλήγουμε στην εξίσωση NLS μ’ έναν καθαρά γεωμετρικό τρόπο. Επιπλέον, κατασκευάζουμε επιφάνειες, οι οποίες αντιστοιχούν στην μονο-σολιτονική λύση της εξίσωσης NLS και παρουσιάζουμε γι’ αυτές κάποιες γενικές γεωμετρικές ιδιότητες. Το κεφάλαιο 3 ολοκληρώνεται με την ενότητα 3.3 όπου αρχικά λαμβάνουμε ακόμη μια φορά την εξίσωση NLS, χρησιμοποιώντας την μελέτη στην κινηματική των Marris και Passman. Κλείνουμε και αυτό το κεφάλαιο με τον auto- Bäcklund μετασχηματισμό για την εξίσωση NLS και επιπλέον παρουσιάζουμε χωρικά περιοδικές λύσεις της, γνωστές ως smoke-ring (δαχτυλίδι-καπνού). / The aim of this diploma thesis is to find a connection between modern soliton theory and classical differential geometry. More particularly, we begin with an introductory section, where we present the basic concepts regarding soliton equations and the geometry of smooth curves ans surfaces. This is followed by the main body of the thesis, which focuses on three partial differential equations, namely, the sine-Gordon equation, the modified Korteweg de Vries equation (mKdV) and the nonlinear Scrödinger equation (NLS), and their connection to the theory of curves and surfaces. The first introductory chapter is a historical overview of the notion of solitons. We then seek travelling wave solutions for the KdV and NLS equations. Closing, we quote the conditions under which a nonlinear equation is integrable. We choose to analyze in detail two of these conditions while we settle for a brief description of the other two. The second chapter is an extensive report on fundamental concepts of differential geometry, namely, those associated with the theory of curves and surfaces in Euclidean three-dimensional space, and we present some representative examples. Chapter 1 of the main part, opens with the derivation of a classical nonlinear system which we owe to Bianchi and embodies the Gauss-Mainardi-Codazzi equations. We then specialise to pseudospherical surfaces and produce the sine-Gordon equation. Section 1.2 includes the derivation of the auto-Bäcklund transformation for the sine-Gordon equation along with the geometric procedure for the construction of pseudospherical surfaces. In section 1.3, we use the above transformation to conclude to Bianchi’s Permutability Theorem. We continue to section 1.4, where we present certain pseudospherical surfaces. These surfaces correspond to solitonic solutions of the sine- Gordon equation, i.e. in subsection 1.4.1 we construct the pseudosphere which corresponds to the stationary single soliton solution. Also, in subsection 1.4.2 we examine the helicoid that is created by the tractrix, namely, the Dini surface. In section 1.4.3, by use of Bianchi’s Permutability Theorem, we end up in the two-soliton solution for the sine-Gordon equation and continue in the next subsection, where we present periodic two-soliton solutions, known as breathers. In Chapter 2, we show how certain motions of curves and surfaces can lead to solitonic equations. More precisely, in section 2.1, we arrive at the sine-Gordon equation, through the motion of an inextensible curve of constant curvature or torsion. Then, section 2.2 displays how the sine-Gordon equation arises as the compatibility condition for the linear 2 2 AKNS system. In section 2.3 we study the movement of pseudospherical surfaces. In particular, we connect, in subsection 2.3.1, the motion of a pseudospherical surface to a continuum version of an unharmonic lattice model, which encorporates the mKdV equation. Moreover, in subsection 2.3.2, we show that a purely normal motion of a pseudospherical surface produces the classical Weingarten system. We conclude section 2.3 by constructing the Bäcklund transformation both for the lattice model and the Weingarten system. The chapter ends with section 2.4, where through the motion of an inextensible curve of zero torsion, we produce the mKdV equation. Furthermore, we investigate the motion of Dini surfaces and, finally, construct surfaces corresponding to the triply orthogonal Weingarten system. The third and final chapter focuses on the NLS equation. In section 3.1 we produce the NLS equation through a purely geometric manner. We then construct surfaces, that correspond to the single-soliton solution of this equation, and also present certain general geometric properties of them. We conclude the final chapter with the auto-Bäcklund transformation for the NLS equation and the presentation of spatially periodic solutions, known as smoke-ring.

Dans cette thèse nous étudions l’existence et la stabilité orbitale de solutions ayant une norme prescrite pour deux types d’équations Schrödinger non linéaires dans , à savoir, une classe de systèmes non linéaires couplés de Schrödinger dans et une classe d’équations non linéaires de Schrödinger du quatrième ordre dans . Ces deux types d’équations non linéaires de Schrödinger surviennent dans de nombreuses applications en mathématiques et physique, et sont devenus une grande attention dans les années récentes. D’un point de vue physique, de telles solutions sont souvent référées comme des solutions normalisées, qui sont obtenues comme points critiques d’énergie fonctionnelle associée sous contrainte avec une norme. Les éléments clés de nos preuves sont les méthodes variationnelles. / In this thesis, we are concerned with the existence and orbital stability of solutions having prescribed -norm for two types of nonlinear Schrödinger equations in , namely a class of coupled nonlinear Schrödinger systems in and a class of fourth-order nonlinear Schrödinger equations in . These two types of nonlinear Schrödinger equations arise in a variety of mathematical and physical models, and have drawn wide attention to research in recent years. From a physical point of view, such solutions are often referred as normalized solutions, which correspond to critical points of the underlying energy functional restricted to -norm constraint. The main ingredients of our proofs are variational methods.

In this work we study, in details, the Cauchy problem of the nonlinear Schrödinger equation, with initial datas in periodic Sobolev spaces. Specifically, we prove that this problem is locally well posed for datas in Hsper, with s ≥ 0. Particularly, for initial datas in L2 the problem is globally well posed, due to the conservation law of the equation in this space. Moreover, we prove the this result is the best one, seeing we expose examples that show that the equation flow is not locally uniformly continuous for initial datas with regularity less than L2. / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Neste trabalho, fazemos um estudo detalhado do problema de Cauchy para a equação não-linear cúbica de Schrödinger, com dados iniciais em espaços de Sobolev no toro. Especificamente, provaremos que este modelo é localmente bem posto para dados em Hsper, com s ≥ 0. Em particular, para dados iniciais em L2 o modelo é globalmente bem posto, devido à lei de conservação da equação neste espaço. Além disso, provaremos que os resultados obtidos são os melhores possíveis, visto que exibiremos exemplos que mostram que o fluxo da equação não é localmente uniformemente contínuo para dados iniciais com regularidade menor que L2.

Submitted by JÚLIO HEBER SILVA (julioheber@yahoo.com.br) on 2016-11-10T11:15:34Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Hugo Naves de Jesus - 2016.pdf: 1851851 bytes, checksum: 71cb8f26f4f38eb5f89d99aafc926b66 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Jaqueline Silva (jtas29@gmail.com) on 2016-11-10T17:47:53Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Hugo Naves de Jesus - 2016.pdf: 1851851 bytes, checksum: 71cb8f26f4f38eb5f89d99aafc926b66 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2016-11-10T17:47:53Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Hugo Naves de Jesus - 2016.pdf: 1851851 bytes, checksum: 71cb8f26f4f38eb5f89d99aafc926b66 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2016-09-16 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / Finite difference schemes belong to a class of numerical methods used to approximate derivatives. They are widely used to find approximations to differential equations. There are a lot of numerical methods, whose deductions are made through expansions in Taylor Series. Depending on the manner in which expansion is made, it can be combined with other expansions to obtain derivatives with better numerical approximations. Usually when we get numerical derivative with better approaches, it is necessary to increase the amount of points used in the grid. An alternative to this problem are compact methods, which achieve better approximations for the same derivative but without increasing the number of mesh points. This work is an attempt to develop the Compact-SSFD method for the Schrödinger Equation Nonlinear Fourth Order. SSFD methods are used to separate the parts of a differential equation so that each part can be solved separately. For example in the case of non-linear differential equations it is often used to separate the linear parts of nonlinear parts. In Compact-SSFD methods nonlinear parts are resolved exactly as the linear are resolved using compact methods. Our work is inspired in the Dehghan and Taleei’s work where was used the Compact-SSFD method for solving numerically the equation Nonlinear Schrödinger. Before we try to develop our method, the results of the authors was correctly reproduced. But when we try to deduce a method analogous to the differential equation we wanted to solve, which also involves derived from fourth order, we realized that a Compact type method does not get as trivially as in the case of used to approach second-order derivatives. / Métodos de diferenças finitas pertencem a uma classe de métodos numéricos usados para se aproximar derivadas. Eles são amplamente usados para encontrar-se soluções numéricas para equações diferenciais. Há uma grande quantidade de métodos numéricos, cuja as deduções são feitas através de expansões em séries de Taylor. Dependendo da forma em que uma expansão é feita, ela pode ser combinada com outras expansões para obter-se derivadas numéricas com melhores aproximações. Geralmente quando obtemos derivadas numéricas com aproximações melhores, é necessário aumentar-se a quantidade de pontos usados no domínio discretizado. Uma alternativa a este problema são os chamados métodos compact, que obtêm melhores aproximações para a mesma derivada mas sem precisar aumentar a quantidade de pontos da malha. Este trabalho é uma tentativa de desenvolver-se um método Compact-SSFD para a Equação de Schrödinger Não Linear de Quarta Ordem. Métodos SSFD são usados para separar-se as partes de uma equação diferencial tal que cada parte possa ser resolvida separadamente. Por exemplo no caso de equações diferenciais não lineares ele é bastante usado para separar-se as partes lineares das partes não lineares. Nos métodos Compact-SSFD as partes não lineares são resolvidas exatamente enquanto as lineares são resolvidas usando-se métodos compact. Nos baseamos no trabalho de Dehghan e Taleei onde foi usado o Método Compact-SSFD para resolver-se numericamente a Equação de Schrödinger Não Linear. Antes de tentarmos desenvolver nosso método, reproduzimos corretamente os resultados dos autores. Mas ao tentarmos deduzir um método análogo para a equação diferencial que queríamos resolver, que envolve também derivadas de quarta ordem, percebemos que um método do tipo Compact não se obtêm tão trivialmente como no caso dos usados para aproximar-se derivadas de segunda ordem.

Ce manuscrit de thèse présente l’étude d’instabilités non-linéaires et la génération d’ondes scélérates complexes liées à la propagation de la lumière dans des fibres optiques standards des télécommunications optiques. Un rappel est tout d’abord présenté sur les phénomènes physiques linéaires et non-linéaires impliqués et qui peuvent présenter une analogie directe avec le domaine de l’hydrodynamique. Les différentes formes d’ondes scélérates liées au processus d’instabilité de modulation, aussi appelées « breathers », sont alors présentées, elles sont obtenues par la résolution de l’équation de Schrödinger non-linéaire. À partir de ces solutions exactes, divers systèmes expérimentaux sont alors conçus par simulation numérique à partir de deux méthodes d’excitation d’ondes scélérates. La première est une génération exacte à partir des solutions analytiques en effectuant une mise en forme spectrale en intensité et en phase d’un peigne de fréquence optique. La seconde méthode est basée sur des conditions initiales approchées avec des ondes continues modulées sinusoïdalement. Les mesures expérimentales réalisées avec ces deux méthodes démontrent parfaitement la génération d’ondes scélérates complexes (solutions d’ordre supérieur du système) issues de la superposition non-linéaire ou collisions de « breathers » de premier ordre. Enfin, nous avons également étudié un système non-linéaire équivalent au modèle de Manakov, qui fait intervenir la propagation de deux ondes distinctes avec des polarisations orthogonales dans une fibre optique. L’analyse de stabilité et des simulations numériques de ce système multi-variable mettent en évidence un nouveau régime d’instabilité de modulation vectorielle ainsi que de nouvelles solutions d’ondes scélérates noires et couplées en polarisation. Un nouveau système expérimental mis en place a permis de confirmer ces prédictions théoriques avec un excellent accord quantitatif. / This manuscript presents the generation of complex rogue waves related to nonlinear instabilities occurring through the propagation of light in standard optical fibers. Linear and nonlinear physical phenomena involved are first listed, in particular some of them by analogy with the field of hydrodynamics. The different forms of rogue waves induced by the modulation instability process are then presented. They are also known as "breathers", and they are obtained by solving the nonlinear Schrödinger equation. From these exact solutions, various experimental systems were designed by means of numerical simulations based on two rogue-wave excitation methods. The first one is an exact generation of mathematical solutions based on the spectral shaping of an optical frequency comb. The second method uses approximate initial conditions with a simple sinusoidal modulation of continuous waves. For both cases, experimental measurements demonstrate the generation of complex rogue waves (i.e., higher-order solutions of the system) arising from the nonlinear superposition or collision of first-order breathers. Finally, we also studied a nonlinear fiber system equivalent to the Manakov model, which involves the propagation of two distinct waves with orthogonal polarizations. The stability analysis and numerical simulations of this multi-component system highlight a novel regime of vector modulation instability and the existence of coupled dark rogue-wave solutions. A new experimental system setup was conceived and theoretical predictions are confirmed with an excellent quantitative agreement.

The nonlinear Schrödinger equation appears in different fields of physics, for example in the theory of Bose-Einstein condensates or in wave propagation models. From a mathematical point of view, the study of this equation is interesting and delicate, notably because it can have a very rich set of solutions with various behaviours.<p><p>In this thesis, we have been interested in standing waves, which satisfy an elliptic partial differential equation. When this equation is seen as a singularly perturbed problem, its solutions concentrate, in the sense that they converge uniformly to zero outside some concentration set, while they remain positive on this set.<p><p>We have obtained three kind of new results. Firstly, under symmetry assumptions, we have found solutions concentrating on a sphere. Secondly, we have obtained the same type of solutions for the Schrödinger-Poisson system. The method consists in applying the mountain pass theorem to a penalized problem. Thirdly, we have proved the existence of solutions of the nonlinear Schrödinger equation concentrating at a local maximum of the potential. These solutions are found by a more general minimax principle. Our results are characterized by very weak assumptions on the potential./<p><p>L'équation de Schrödinger non-linéaire apparaît dans différents domaines de la physique, par exemple dans la théorie des condensats de Bose-Einstein ou dans des modèles de propagation d'ondes. D'un point de vue mathématique, l'étude de cette équation est intéressante et délicate, notamment parce qu'elle peut posséder un ensemble très riche de solutions avec des comportements variés. <p><p>Dans cette thèse ,nous nous sommes intéressés aux ondes stationnaires, qui satisfont une équation aux dérivées partielles elliptique. Lorsque cette équation est vue comme un problème de perturbations singulières, ses solutions se concentrent, dans le sens où elles tendent uniformément vers zéro en dehors d'un certain ensemble de concentration, tout en restant positives sur cet ensemble. <p><p>Nous avons obtenu trois types de résultats nouveaux. Premièrement, sous des hypothèses de symétrie, nous avons trouvé des solutions qui se concentrent sur une sphère. Deuxièmement, nous avons obtenu le même type de solutions pour le système de Schrödinger-Poisson. La méthode consiste à appliquer le théorème du col à un problème pénalisé. Troisièmement, nous avons démontré l'existence de solutions de l'équation de Schrödinger non-linéaire qui se concentrent en un maximum local du potentiel. Ces solutions sont obtenues par un principe de minimax plus général. Nos résultats se caractérisent par des hypothèses très faibles sur le potentiel. / Doctorat en sciences, Spécialisation mathématiques / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Dans cette thèse, nous étudions l’influence d’un plasma non-stationnaire produit par des impulsions laser en régime d’auto-focalisation. Cette auto-focalisation est couplée à des non-linéarités Brillouin pour des impulsions nanosecondes dans les verres de silice. Elle excite différents canaux d’ionisation dans les cristaux de KDP irradiées par des impulsions femtosecondes. Tout d’abord, nous dérivons les équations de propagation des ondes optiques laser et Stokes sujettes à la filamentation due à l’effet Kerr, la rétrodiffusion Brillouin et à la génération de plasma. Dans une deuxième partie, nous présentons des résultats numériques sur la propagation non-linéaire de faisceaux LIL. Ceux-ci révèlent l’importance de la distribution temporelle de l’impulsion pompe dans la compétition entre auto-compression Kerr et la rétrodiffusion Brillouin stimulée. Ces simulations préliminaires permettent de valider le système anti-Brillouin opté pour le LMJ sur la base de faisceaux millimétriques.Dans une troisième partie, nous présentons des résultats théoriques et numériques sur la filamentation d’impulsions nanosecondes opérant dans l’ultraviolet et l’infrarouge. L’influence d’un plasma inertiel sur la dynamique de couplage de deux ondes en contre-propagation est examinée. Dans une configuration à une onde, une analyse variationnelle reproduit les caractéristiques globales d’un équilibre quasi-stationnaire entre auto-compression Kerr et défocalisation plasma. Toutefois, cet équilibre cesse pour faire place à des instabilités modulationnelles induites par rétroaction du plasma sur l’onde de pompe. Nous montrons que des modulations de phase supprimant la rétrodiffusion Brillouin permettent d’inhiber ces instabilités plasma. La robustesse de ces modulations de phase est testée en présence d’un bruit aléatoire dans le profil de  l’impulsion laser.Enfin, nous étudions numériquement la dynamique non-linéaire d’impulsions femtosecondes se propageant dans la silice et le KDP. Premièrement, nous montrons que la présence de défauts impliquant moins de photons pour exciter un électron de la bande de valence à la bande de conduction promeut des intensités de filamentation plus élevées. Ensuite, nous comparons la dynamique de filamentation dans la silice avec celle dans un cristal KDP. Le modèle d’ionisation pour le KDP prend en compte la présence de défauts et la dynamique électrons-trous. Nous montrons que la dynamique de propagation dans la silice et le KDP présente des analogies remarquables pour des rapports de puissance incidente sur puissance critique équivalents.La conclusion nous permet de résumer les résultats originaux obtenus dans le cadre de cette thèse et d’en discuter des développements ultérieurs possibles. / In this thesis, we study the role of an inertial plasma reponse produced by laser pulses in self-focusing regime. Self-focusing is coupled with Brillouin nonlinearities for nanosecond pulses in silica glasses. For femtosecond pulses propagating in KDP crystals, self-focusing excites various ionization chanels. First of all, we derive the propagation equations for the pump and Stokes waves, subjected to filamentation due to optical Kerr effect, stimulated Brillouin scattering and plasma generation. In the second part, we present numerical results on the nonlinear propagation of LIL laser beams. These results show that temporal distribution of the pump pulse play a key role in the competition between self-focusing and stimulated Brillouin scattering. These preliminary results valide the anti-Brillouin system opted on the MegaJoule laser (LMJ) on the basis of milimetric-size laser beam.In a third part, we present numerical and theoretical results on the filamentation in fused silica of nanosecond light pulses operating in ultraviolet and infrared range. Emphasis is put on the action of a dynamical plasma reponse on two counterpropagating waves. For a single wave, we develop a variational analysis which reproduces global propagation features for a quasistationary balance between self-focusing and plasma defocusing. However, such a quasistionary balance ceases to clean up modulational instabilites induced by plasma retroaction on the pump wave. We show that phase modulations supress both simulated Brillouin scattering and plasma instabilities. The robustness of phase modulations is evaluated in presence of random fluctuations in the input pump pulse profile.Finally, we study numerically the nonlinear propagation of femtosecond pulses in fused silica and KDP. First, we show that the presence of defects involving less photons for exciting electrons from the valence band to the conduction band promotes higher filamentation intensity levels. Then, we compare the filamentation dynamic in silica and KDP crystal. The ionization model for KDP crystal takes into account the presence of defects and the electron-hole dynamics. We show that the propagation dynamics in silica and KDP are almost identical at equivalent ratios of input power over the critical power self-focusing.The summary of this thesis recalls the original results obtained and discusses the possibility of future developments.

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:17Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 2216718 bytes, checksum: 2b03ed1c154fa751c5c18afd31a144ad (MD5) Previous issue date: 2014-04-14 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This work addresses a class of Trudinger-Moser type inequalities in weighted Sobolev spaces in R2. As an application of these inequalities and by using variational methods, we establish sufficient conditions for the existence, multiplicity and nonexistence of solutions for some classes of nonlinear Schrödinger elliptic equations (and systems of equations) with unbounded, singular or decaying radial potentials and involving nonlinearities with exponential critical growth of Trudinger-Moser type. / Este trabalho aborda uma classe de desigualdades do tipo Trudinger-Moser em espaços de Sobolev com peso em R2. Como aplicação destas desigualdades e usando métodos variacionais, estabeleceremos condições suficientes para a existência, multiplicidade e não-existência de soluções para algumas classes de equações (e sistemas de equações) de Schrödinger elípticas não-lineares com potenciais radiais ilimitados, singulares na origem ou decaindo a zero no infinito e envolvendo não-linearidades com crescimento crítico exponencial do tipo Trudinger-Moser.

Ces travaux de thèse rapportent l’étude des instabilités non-linéaires et des évènements extrêmesse développant lors de la propagation guidée d’un champ électromagnétique au sein de fibresoptiques. Après un succinct rappel des divers processus linéaires et non-linéaires menant à lagénération de super continuum optique, nous montrons que le spectre de celui-ci peut présenterde larges fluctuations, incluant la formation d’événements extrêmes, dont les propriétés statistiqueset l’analogie avec les vagues scélérates hydrodynamiques sont abordées en détail. Nous présentonsune preuve de principe de l’application de ces fluctuations spectrales à la génération de nombres etde marches aléatoires et identifions le phénomène d’instabilité de modulation, ayant lieu lors de laphase initiale d’expansion spectrale du super continuum, comme principale contribution à la formationd’événements extrêmes. Ce mécanisme est étudié numériquement et analytiquement, en considérantune catégorie de solutions exactes de l’équation de Schrödinger non-linéaire présentant descaractéristiques de localisations singulières. Les résultats obtenus sont vérifiés expérimentalement,notamment grâce à un système de caractérisation spectrale en temps réel et à l’utilisation conjointede métriques statistiques innovantes (ex : cartographie de corrélations spectrales). L’excellent accordentre simulations et expériences a permis de valider les prédictions théoriques et d’accéder àune meilleure compréhension des dynamiques complexes inhérentes à la propagation non-linéaired’impulsions optiques. / This thesis reports the study of nonlinear instabilities and extreme events occurring during the guidedpropagation of an electromagnetic field into optical fibers. After a short overview of the various linearand nonlinear processes leading to optical supercontinuum generation, we show that its spectrumcan exhibit large fluctuations, including the formation of extreme events, whose statistical propertiesas well as hydrodynamic rogue waves analogy are studied in detail. We provide a proof of principle ofusing these spectral fluctuations for random number and random walk generation and identify modulationinstability, associated with the onset phase of supercontinuum spectral broadening, as themain phenomenon leading to extreme event formation. This mechanism is studied both numericallyand analytically, considering a class of exact solutions of nonlinear Schrödinger equation which exhibitsingular localization characteristics. The results are experimentally verified, especially througha real-time spectral characterization system along with the use of innovative statistical metrics (e.g.spectral correlation maps). The excellent agreement between simulations and experiments allowedus to validate the theoretical predictions and get further insight into the complex dynamics associatedto nonlinear optical pulse propagation.