A área conhecida como Análise Não Standard consiste na aplicação dos métodos da Teoria dos Modelos e da Teoria dos Ultrafiltros para a obtenção de extensões peculiares de sistemas matemáticos infinitos. As novas estruturas construídas segundo esse procedimento satisfazem ao Princípio da Transferência, uma propriedade de suma importância e influência a qual afirma que as mesmas sentenças de primeira ordem com quantificadores limitados são verdadeiras para o sistema original e a sua extensão. Concebida em 1961 por Abraham Robinson e aprimorada por vários matemáticos nos anos subsequentes, tal área de pesquisa provou ser bastante proveitosa e esclarecedora para diversas outras partes da Matemática, como a Topologia, a Teoria das Probabilidades, a Análise Funcional e a Análise Complexa. Manifesta-se uma reavaliação da Teoria dos Domínios Ordenados seguida de um tratamento completo e gradual das fundações da Análise Não Standard assumindo a perspectiva dos Monomorfismos Não Standard, onde adota-se como metateoria a teoria dos conjuntos de Neumann-Bernays-Gödel com o Axioma da Escolha. A fim de impulsionar a assimilação da metodologia abordada, o estudo explora as propriedades do corpo não arquimediano dos números hiper-reais de maneira intuitiva e informal, utilizando-se destas para revelar demonstrações alternativas e relativamente diretas de alguns dos principais resultados do Cálculo Diferencial e Integral, como o Teorema do Valor Intermediário, o Teorema de Bolzano-Weierstrass, o Teorema do Ponto Crítico, o Teorema da Função Inversa e o Teorema Fundamental do Cálculo. / The field known as Non-standard Analysis consists in the application of the methods of Model Theory and Ultrafilter Theory to the attainment of peculiar extensions of infinite mathematical systems. The new structures produced under that procedure satisfy the Transfer Principle, a property of the utmost importance and influence which states that the same first-order sentences with bounded quantifiers are true for the original system and its extension. Conceived in 1961 by Abraham Robinson and improved by a number of mathematicians in the following years, such area of research has proved to be very fruitful and illuminating to many other parts of Mathematics, such as Topology, Probability Theory, Functional Analysis and Complex Analysis. The work presents a reexamination of the Theory of Ordered Domains followed by a thorough and gradual treatment of the foundations of Non-standard Analysis under the perspective of Non-standard Monomorphisms, where Neumann-Bernays-Gödels set theory with the Axiom of Choice is adopted as metatheory. In order to boost the assimilation of the methodology put forward, the study explores the properties of the non-archimedean field of hyperreal numbers in an intuitive and informal fashion, employing them to reveal alternative and relatively direct proofs of some of the main results of Differential and Integral Calculus, such as the Intermediate Value Theorem, the Bolzano-Weierstrass Theorem, the Extreme Value Theorem, the Inverse Function Theorem and the Fundamental Theorem of Calculus.

A área conhecida como Análise Não Standard consiste na aplicação dos métodos da Teoria dos Modelos e da Teoria dos Ultrafiltros para a obtenção de extensões peculiares de sistemas matemáticos infinitos. As novas estruturas construídas segundo esse procedimento satisfazem ao Princípio da Transferência, uma propriedade de suma importância e influência a qual afirma que as mesmas sentenças de primeira ordem com quantificadores limitados são verdadeiras para o sistema original e a sua extensão. Concebida em 1961 por Abraham Robinson e aprimorada por vários matemáticos nos anos subsequentes, tal área de pesquisa provou ser bastante proveitosa e esclarecedora para diversas outras partes da Matemática, como a Topologia, a Teoria das Probabilidades, a Análise Funcional e a Análise Complexa. Manifesta-se uma reavaliação da Teoria dos Domínios Ordenados seguida de um tratamento completo e gradual das fundações da Análise Não Standard assumindo a perspectiva dos Monomorfismos Não Standard, onde adota-se como metateoria a teoria dos conjuntos de Neumann-Bernays-Gödel com o Axioma da Escolha. A fim de impulsionar a assimilação da metodologia abordada, o estudo explora as propriedades do corpo não arquimediano dos números hiper-reais de maneira intuitiva e informal, utilizando-se destas para revelar demonstrações alternativas e relativamente diretas de alguns dos principais resultados do Cálculo Diferencial e Integral, como o Teorema do Valor Intermediário, o Teorema de Bolzano-Weierstrass, o Teorema do Ponto Crítico, o Teorema da Função Inversa e o Teorema Fundamental do Cálculo. / The field known as Non-standard Analysis consists in the application of the methods of Model Theory and Ultrafilter Theory to the attainment of peculiar extensions of infinite mathematical systems. The new structures produced under that procedure satisfy the Transfer Principle, a property of the utmost importance and influence which states that the same first-order sentences with bounded quantifiers are true for the original system and its extension. Conceived in 1961 by Abraham Robinson and improved by a number of mathematicians in the following years, such area of research has proved to be very fruitful and illuminating to many other parts of Mathematics, such as Topology, Probability Theory, Functional Analysis and Complex Analysis. The work presents a reexamination of the Theory of Ordered Domains followed by a thorough and gradual treatment of the foundations of Non-standard Analysis under the perspective of Non-standard Monomorphisms, where Neumann-Bernays-Gödels set theory with the Axiom of Choice is adopted as metatheory. In order to boost the assimilation of the methodology put forward, the study explores the properties of the non-archimedean field of hyperreal numbers in an intuitive and informal fashion, employing them to reveal alternative and relatively direct proofs of some of the main results of Differential and Integral Calculus, such as the Intermediate Value Theorem, the Bolzano-Weierstrass Theorem, the Extreme Value Theorem, the Inverse Function Theorem and the Fundamental Theorem of Calculus.

We define valuations and dominance relations in torsion-free abelian groups and prove that they are essentially the same objects. Next we show that valuations correspond with ltrations of subgroups closed under division by integers. We also prove that every torsion-free abelian valued group can be embedded in the Hahn product of subgroups defined by the respective valuations. / En este trabajo definimos valoraciones y relaciones de dominación en grupos abelianos sin torsión y probamos que estos son esencialmente los mismos objetos. Adicionalmente probamos que las valoraciones también se corresponden con filtraciones de subgrupos cerrados por división por enteros y que todo grupo abeliano valorado y sin torsión puede sumergirse en el producto de Hahn de subgrupos definidos por la valoración.

Orientador: Prof. Dr. Sinuê Dayan Barbero Lodovici / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016. / Esta dissertação apresenta as Frações Contínuas como facilitador para a compreensão do conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Busco retomar aspectos históricos sobre os segmentos comensuráveis e incomensuráveis, utilizando os convergentes das frações contínuas finitas e infinitas para compreensão da importância de uma boa aproximação. Assim, apresento como sugestão que esse tema seja incluído na Educação Básica, não como um tema curricular, mas como uma rica ferramenta para aplicação em diversos conteúdos já previstos nos anos finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio. / The main objective of this thesis is to present basic structures of algebra and some algebraic concepts related to Galois theory, in order to prove Abel¿s theorem. In addition, we¿ll show you how to solve quadratic equations, cubic and quartic equations by radicals. Finally, we present Newton¿s method, by which we can numerically solve equations that are not solvable by radicals.

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:04Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 467058 bytes, checksum: ebe1089b4399fe71150fc70fa81ea4ed (MD5) Previous issue date: 2012-04-27 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this work, we study a fixed point theorem for increasing operators in ordered normed spaces and we apply it in order to obtain results of existence of weak solution for semilinear elliptic equations of type 8<: ---u = f(x; u) + h; in u = 0; on @ ; where - RN is a smooth domain, f : -R --! R satisfies some convenient conditions and h 2 H--1(. / Neste trabalho, estudamos um teorema de ponto fixo para operadores crescentes em espaços vetoriais ordenados e o aplicamos para obter resultados de existência de solução fraca para problemas elípticos semilineares do tipo 8<: ---u = f(x; u) + h; em u = 0; sobre @ em que - RN é um domínio suave, f : - R ! R satisfaz algumas condições convenientes e h 2 H- -1(:).

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 842217 bytes, checksum: 4549b711fa61f709fe2ff3b8c94c4bef (MD5) Previous issue date: 2014-02-25 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this work, we study the existence of positive solutions for a class of semilinear elliptic equations in a smooth bounded domain, with Dirichlet boundary condition and non-linear terms changing sign as well as with small perturbations. In order to obtain the positive solution, in the first case we use a version of the Mountain Pass Theorem in Ordered Banach spaces. In the second case, the main term is under assumptions that guarantee the application of the usual Mountain Pass Theorem and the perturbation term does not require any hypothesis. / Neste trabalho, estudamos existência de solução positiva para uma classe de equações elípticas semilineares em um domínio limitado suave, com condição de fronteira de Dirichlet, tanto com termos nao-lineares mudando de sinal, quanto com termos com pequenas perturbações. A fim de obtermos solução positiva, no primeiro caso, usamos uma versão do Teorema do Passo da Montanha para Espacos de Banach Ordenados. No segundo caso, o termo principal esta sob condições que garantem a aplicação do Teorema do Passo da Montanha usual e o termo de perturbação não requer nenhuma hipótese.

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2017-08-18T17:45:24Z No. of bitstreams: 1 lucastavarescardoso.pdf: 837625 bytes, checksum: 3abd29cb3035fdd6ec6e11d4ea0ae1ae (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2017-08-24T12:02:18Z (GMT) No. of bitstreams: 1 lucastavarescardoso.pdf: 837625 bytes, checksum: 3abd29cb3035fdd6ec6e11d4ea0ae1ae (MD5) / Made available in DSpace on 2017-08-24T12:02:18Z (GMT). No. of bitstreams: 1 lucastavarescardoso.pdf: 837625 bytes, checksum: 3abd29cb3035fdd6ec6e11d4ea0ae1ae (MD5) Previous issue date: 2017-08-03 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / A construção de campos com localização em cordas foi realizada rigorosamente há pouco mais de uma década. Nesta abordagem, os campos são operadores em algum espaço de Hilbert, e portanto não há graus de liberdade não-físicos tais como "ghosts". Além de permitir a construção de campos carregados inteiramente num espaço espaço de Hilbert, os campos com localização em cordas exibem um bom comportamento no regime ultravioleta e, entre outras características, são possíveis candidatos para descreverem consistentemente a matéria escura. No intuito de obter uma prova da renormalizabilidade em modelos perturbativos no esquema de Epstein-Glaser com campos quânticos localizados em cordas, é necessário evidenciar a liberdade que se tem ao definir produtos temporalmente ordenados do Lagrangeano de interação. Este trabalho proporciona um primeiro passo significativo nesta direção. O problema básico é a presença de um conjunto aberto de n-uplas de cordas que não podem ser cronologicamente ordenadas. Nós resolvemos este problema ao mostrar que quase todas (i.e. exceto num subconjunto de medida nula) tais configurações de cordas podem ser dissecadas num número finito de pedaços, os quais por sua vez podem ser cronologicamente ordenados. Com isso, tem-se que o produto temporalmente ordenado de fatores lineares de campos está fixo fora de um conjunto de medida nula de configurações de cordas. A construção do ordenamento temporal geométrico de cordas é feita de modo a servir para o estudo da renormalizabilidade de quaisquer teorias quânticas de campos com localização em cordas. / The construction of string-localized fields was rigorously accomplished a little over a decade ago. In this approach, the fields are operators in some Hilbert space, and therefore there are no unphysical degrees of freedom such as ghosts. In addition to allowing the construction of charged fields entirely in a Hilbert space, the string-localized fields exhibit, in general, a good behavior in the ultraviolet regime and, among other features, the class (representation) of string-localized fields with m = 0 and s = oo are possible candidates to consistently describe dark matter. In order to obtain a proof of renormalizability of perturbative models in the Epstein—Glaser scheme with string-localized quantum fields, one needs to know what freedom one has to define time-ordered products of the interaction Lagrangian. This work provides a first significant step in that direction. The basic issue is the presence of an open set of n-tuples of strings which cannot be chronologically ordered. We resolve it by showing that almost all (i.e. outside a null set) such string configurations can be dissected into finitely many pieces which can indeed be chronologically ordered. This fixes the time-ordered products of linear field factors outside a nullset of string configurations. The construction of the geometric time ordering of strings is realized in such a way that it will serve to study the renormalizability of any quantum field theories with string-localized fields

Orientadores: Peter A. B. Schulz, John T. Chalker / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Fisica Gleb Wataghin / Made available in DSpace on 2018-08-06T19:00:22Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Pereira_AnaLuizaCardoso_D.pdf: 2880300 bytes, checksum: ffd133973b4bc6e23c91694bc47d8794 (MD5) Previous issue date: 2005 / Resumo: Esse trabalho é dedicado ao estudo de dois problemas de interesse atual em sistemas quânticos de baixa dimensionalidade. Ambos são relacionados ao processo de localização eletrônica no regime Hall quântico. O primeiro problema diz respeito ao destino dos estados estendidos no limite de baixos campos magnéticos ou forte desordem, onde ocorre a transição de líquido de Hall para o isolante de Hall. O problema é abordado através de simulações numéricas, com um modelo de rede bidimensional tratado por um Hamiltoniano tight-binding, considerando-se tanto desordem tipo ruído branco quanto desordem correlacionada com perfil Gaussiano. Nós observamos que à medida que o campo magnético tende a zero ou a desordem é suficientemente aumentada no sistema, os estados estendidos sofrem um deslocamento em relação ao centro das bandas de Landau, indo em direção às mais altas energias e, eventualmente, ultrapassando a energia de Fermi. Esse mecanismo é chamado na literatura de levitação de estados estendidos. Nossos resultados permitem uma análise quantitativa. Identificamos os seguintes parâmetros como sendo os relevantes para mapear a levitação: (i) a razão entre escalas de energia ¿ entre a energia de separação dos níveis de Landau e o alargamento do nível devido à desordem; e (ii) a razão entre escalas de comprimento ¿ entre o comprimento magnético e o comprimento de correlação da desordem. Analisando uma vasta gama de parâmetros, uma expressão de escala descrevendo a levitação de estados estendidos é estabelecida neste trabalho. O segundo problema abordado nesta tese é relacionado ao processo de blindagem do potencial de desordem e ao mecanismo de formação dos estados localizados em sistemas Hall quânticos. O trabalho analítico apresentado aqui é motivado por recentes resultados experimentais, que mostram imagens de microscopia com medidas locais do potencial eletrostático e da compressibilidade desses sistemas, evidenciando como se dá o processo de carga de estados localizados por cargas inteiras ou fracionárias (quase-partículas). Em um regime onde o comportamento é dominado por interações Coulombianas, estabelecemos um modelo eletrostático que descreve o estado localizado como sendo uma região compressível (quantum dot ou antidot) envolta por um plano incompressível, usando a aproximação de Thomas-Fermi para tratar as interações. O potencial eletrostático nas vizinhanças da região compressível é calculado, fornecendo o tamanho dos saltos que ocorrem no potencial à medida que cada carga é adicionada ou removida do estado localizado. Além de mostrar como estes saltos se tornam menores com o aumento do índice de Landau, nossos resultados mostram a dependência deles com a altura de observação do potencial (ou seja, a altura da ponta de prova em relação ao gás de elétrons). O modelo apresentado pode ser usado para tratar estados localizados observados nos platôs do efeito Hall quântico inteiro ou fracionário / Abstract: This work is devoted to the study of two problems of current interest in low dimensional quantum systems. Both are related to the process of electron localization in the quantum Hall regime. The first problem refers to the fate of extended states in the limit of low magnetic fields or strong disorder, where the transition from quantum Hall liquid to Hall insulator takes place. A numerical approach to the problem is used, with a 2D lattice model treated in a tight-binding framework, considering both white-noise and Gaussian correlated disorder. We observe that as the magnetic field vanishes or the disorder is sufficiently increased in the system, the extended states are shifted from the Landau band centers, going to higher energies and, eventually, rising above the Fermi energy. This mechanism is referred in the literature as levitation of extended states. Our results allow a quantitative analysis. We identify the following parameters as the relevant ones to map the levitation: (i) the energy scales ratio - between the energy separation of consecutive Landau levels and the level broadening due to disorder; and (ii) the length scales ratio - between the magnetic length and the disorder correlation length. Analyzing a wide range of parameters, a scaling expression describing the levitation of extended states is established. The second problem considered in this thesis is related to the screening of the disorder potential and to the mechanism of formation of localized states in quantum Hall systems. The analytical work we present here is motivated by recent imaging experiments, which probe locally the electrostatic potential and the compressibility of these systems, showing the charging of individual localized states by integer or fractional charges (quasiparticles). For a regime where the behavior is dominated by Coulomb interactions, we set out an electrostatic model describing the localized state as a compressible region (quantum dot or antidot) embebed in an incompressible background, using the Thomas-Fermi approximation to treat the interactions. The electrostatic potential in the vicinity of the compressible region is calculated, providing the size of potential steps as each charge is added or removed from the localized state. Besides from showing how the potential steps get smaller for higher Landau levels, our results show the dependence of these steps with the height of observation (i.e., the distance from the scanning probe to the electron gas). The proposed model can be used to treat localized states observed on integer or fractional quantum Hall plateaus / Doutorado / Física da Matéria Condensada / Doutor em Ciências