Cette étude porte sur les problèmes d'apprentissage de la démonstration en mathématique dans le premier cycle de l'enseignement secondaire. Le cadre théorique a été élaboré à partir de la théorie des situations didactiques au sens de Brousseau et du modèle de Lokatos de la didactique des preuves et des réfutations

Ce travail présente une analyse des rapports entre connaissance et preuve à travers une notion mathématique : La symétrie orthogonale (abordée dans une situation de construction d'une preuve). Nous nous proposons d'éclairer la distance cognitive qui puisse exister chez les élèves, entre la construction géométrique et la géométrie théorique à partir de la spécification des connaissances.<br /><br />Des outils d'analyse (conception, règle, support, etc.) sont adoptés et développés à partir du modèle de connaissance (modèle cK¢) de Balacheff et d'autres modèles de raisonnement et d'argumentation (modèle de Toulmin, etc.), afin d'établir la relation comparative entre le problème de preuve et les autres problèmes (construction géométrique, reconnaissance de figures) en termes de connaissance engagée.<br /><br />Pour tenter d'identifier les connaissances effectives mobilisées par les élèves dans une situation de construction de preuve, une expérimentation est réalisée au collège en classe de 3e en France. Cette expérimentation vient à la suite d'une analyse théorique de certains types de problèmes permettant de mettre en évidence les différents fonctionnements de composants de conception au sens de Balacheff. Les problèmes de construction et de preuve y sont proposés. L'analyse des données met en évidence un écart sur l'état de connaissance des élèves. En effet, ces derniers réussissent bien le problème de construction des figures symétriques, cependant, ils échouent sur un problème analogue (exigeant la même règle), où la preuve est exigée. L'absence d'un « contrôle » organisé dans la construction qui est exigé dans la preuve est identifié.

Le langage est conçu de manière à permettre une interprétation synchrone des suites. La nature du langage (dont la sémantique s'exprime simplement) permet des manipulations formelles sur les programmes dans le but de faire des vérifications et des preuves de correction. Des exemples illustrent l'utilisation du langage pour la programmation de systèmes temporisés pris dans différents domaines (temps réel classique, automatique, systolique, spécification et conception des circuits)

La logique linéaire (LL) permet de prendre naturellement en compte la notion de ressource. Elle est ainsi très expressive : le plus petit fragment propositionnel est déjà NP-complet alors que le plus grand est indécidable car on peut y simuler les modèles de calculs usuels comme les machines à registres. La décidabilité du fragment multiplicatif exponentiel de LL (MELL) est un problème ouvert. Cette thèse établit la complétude de la sémantique des phases semi-linéaire pour le fragment de Horn de MELL. La prouvabilité dans ce dernier est équivalente à l'accessibilité dans les réseaux de Pétri. Ce résultat constitue une première étape vers l'éventuelle décidabilité de MELL (conjecture de Y.Lafont). Le chapitre suivant développe le codage du problème des circuits hamiltoniens où la notion de choix (qui est ici naturellement traduite par les connecteurs additifs) est gérée multiplicativement. Ce procédé pourrait être étendu à l'étude d'autres problèmes de théorie des graphes. On obtient ainsi une nouvelle preuve de la NP-complétude du fragment multiplicatif de la logique linéaire. C'est un travail réalisé en commun avec T.Krantz. Enfin, on donne un critère de correction quadratique pour les réseaux de preuves de la logique non-commutative de P.Ruet (qui contient la logique linéaire et la logique linéaire cyclique). Il permet de plus de traiter les réseaux de preuve avec coupures.

Ce travail se situe dans le cadre des systèmes informatiques pour l'enseignement intégrant des capacités de raisonnement. Les exigences de ces EIAO (Environnement Interactif d'Apprentissage avec Ordinateur) sont à la fois d'ordre didactique et d'ordre informatique : exigence d'un contrat didactique à la sémantique claire et pré­cise; exigence d'une liberté maximale donnée à l'enseignant dans la formulation de ce contrat; exigence de capacités de déduction complètes; exigence de performances garantissant un niveau d'interactivité suffisant. Concrétement, nous avons conçu et réalisé le système TALC (Tuteur d'Aide Logique à la Construction) pour l'enseignement de la géométrie, dont l'objectif est de diagnostiquer la correction de la construction d'un apprenant vis-à-vis de la spécification d'une figure donnée par un enseignant. La définition du contrat didactique constitue le point central de notre travail. Notre point de vue est que son expression à l'aide de la logique du premier ordre est nécessaire à la fois pour obtenir une définition claire et pour fournir de bonnes explications à l'apprenant. Nous donnons ainsi une sémantique précise aux langages manipulés par le système : le langage logique LDL - à partir duquel est déterminé le diagnostic - et les langages d'interface. Nous présentons aussi les principes de la formulation de la théorie logique représentant les connaissances présupposées de l'élève. Nous établissons, par étapes de dérivation successives, l'expression logique de la correction d'une construction. Cette attitude est fructueuse. Elle nous a amenés à proposer le concept d'extension logique d'une formule par rapport à une autre, nécessaire pour prendre en compte des objets non décrits dans la spécification. Les perspectives ouvertes sont les suivantes : amélioration de la formulation du contrat didactique (par une meilleure définition de la négation), extension des langages d'interface, constitution de séquences didactiques, construction d'un modèle de l'apprenant à l'aide de techniques d'apprentissage et définition d'un langage d'expression des dialogues à tenir.

La thèse s'intéresse aux situations de validation au sens de la Théorie des Situations Didactiques Mathématiques (TSDM). Son objectif est d'interroger la filiation revendiquée de cette théorie à la logique dialogique de Lorenzen. La thèse soutient la pertinence didactique de l'adoption d'une perspective sémantique et dialogique sur les processus de validation en mathématiques. Cette approche consiste à analyser les relations entre les assertions et les objets dénotés au sein des jeux de langage à travers les liens stratégiques de validation qui les relient. La méthodologie générale de la recherche s'appuie à la fois sur des ressources philosophiques et didactiques, l'hypothèse de travail est celle de la complémentarité des méthodes analytique et expérimentale en didactique des mathématiques. Au niveau du travail analytique, la référence principale est la sémantique selon la théorie des jeux de Hintikka et sa correction par Vernant. Elle est mobilisée pour reconsidérer les fondements de la TSDM. Sur le plan expérimental, j'ai analysé les pratiques de quantification d'étudiants en mathématiques lors de leur évaluation de deux preuves en Analyse réelle. Le choix de ces preuves repose sur une brève enquête épistémologique.

Les séquences de jeux sont une méthodologie établie pour structurer les preuves cryptographiques. De telles preuves peuvent être formalisées rigoureusement en regardant les jeux comme des programmes probabilistes et en utilisant des méthodes de vérification de programmes. Cette thèse décrit CertiCrypt, un outil permettant la construction et vérification automatique de preuves basées sur les jeux. CertiCrypt est implémenté dans l'assistant à la preuve Coq, et repose sur de nombreux domaines, en particulier les probabilités, la complexité, l'algèbre, et la sémantique des langages de programmation. CertiCrypt fournit des outils certifiés pour raisonner sur l'équivalence de programmes probabilistes, en particulier une logique de Hoare relationnelle, une théorie équationnelle pour l'équivalence observationnelle, une bibliothèque de transformations de programme, et des techniques propres aux preuves cryptographiques, permettant de raisonner sur les évènements. Nous validons l'outil en formalisant les preuves de sécurité de plusieurs exemples emblématiques, notamment le schéma de chiffrement OAEP et le schéma de signature FDH.

L'analyse et l'interprétation d''echantillons constitu'es de mélanges d'ADN de plusieurs individus est un défi majeur en science forensique. Lorsqu'un expert de la police scientifique a affaire à un mélange d'ADN il doit répondre à deux questions: d'abord, "combien de contributeurs y a-t-il dans ce mélange ?"et puis, "quels sont les génotypes des individus impliqués ?" Le typage seul de cet ADN ne permet pas toujours de r'epondre 'a ces questions. En effet leproblème est posé d'es lors que plus de deux allèles sont observées à un locus donné, plusieurscombinaisons génotypiques sont alors 'a envisager et il est impossible de déterminer avec certitudele nombre d'individus qui ont contribué au m'elange. De plus, la présence d'anomalies liées àl'analyse de marqueurs g'en'etiques, comme la contamination ou la perte d'all'eles ("drop-out"),peut davantage compliquer l'analyse.Les nombreux d'eveloppements statistiques d'edi'es 'a ces probl'ematiques n'ont pas eu le succ'esescompt'e dans la communaut'e forensique, essentiellement, parce que ces m'ethodes n'ont pas 'et'evalid'ees. Or sans cette validation, les experts de la police scientifique ne peuvent exploiter cesm'ethodes sur des m'elanges issus d'affaires en cours d'investigation.Avant d'ˆetre valid'ees, ces m'ethodes doivent passer par une rigoureuse 'etape d''evaluation.Cette derni'ere soul'eve deux questions: d'abord, la question de la m'ethodologie 'a adopter, puis,celle des outils 'a d'eployer. Dans cette th'ese, nous tentons de r'epondre aux deux questions.D'abord, nous menons des 'etudes d''evaluation sur des m'ethodes d'edi'ees 'a deux questions cl'es: i)l'estimation du nombre de contributeurs 'a un m'elange d'ADN et ii) l'estimation des probabilit'esde "drop-out". En second lieu, nous proposons un logiciel "open-source" qui offre un certainnombre de fonctionnalit'es permettant de faciliter l''evaluation de m'ethodes statistiques d'edi'eesaux m'elanges d'ADN.Cette thèse a pour but d'apporter une r'eponse concr'ete aux experts de la police scientifiqueen leur fournissant 'a la fois une d'emarche m'ethodologique pour l''evaluation de m'ethodes, et lapossibilit'e d'analyser la sensibilit'e de leurs r'esultats au travers d'un outil informatique en libreacc'es.

Les langages synchrones sont apparus autour des années quatre-vingt, en réponse à un besoin d'avoir un modèle mathématique simple pour implémenter des systèmes temps réel critiques. Dans ce modèle, le temps est découpé en instants discrets durant lesquels tous les composants du système reçoivent et produisent une donnée. Cette modélisation permet des raisonnements beaucoup plus simples en évitant de devoir prendre en compte le temps de calcul de chaque opération. Dans le monde du logiciel critique, la fiabilité du matériel et de son fonctionnement sont primordiaux, et on accepte d'être plus lent si on devient plus sûr. Afin d'augmenter cette fiabilité, plutôt que de concevoir manuellement tout le système, on utilise des machines qui synthétisent automatiquement le système souhaité à partir d'une description la plus concise possible. Dans le cas du logiciel, ce mécanisme s'appelle la compilation, et évite des erreurs introduites par l'homme par inadvertance. Elle ne garantit cependant pas la bonne correspondance entre le système produit et la description donnée. Des travaux récents menés par une équipe INRIA dirigée par Xavier Leroy ont abouti en 2008 au compilateur CompCert d'un sous-ensemble large de C vers l'assembleur PowerPC pour lequel il a été prouvé dans l'assistant de preuve Coq que le code assembleur produit correspond bien à la description en C du programme source. Un tel compilateur offre des garanties fortes de bonne correspondance entre le système synthétisé et la description donnée. De plus, avec les compilateurs utilisés pour le temps réel critique, la plupart des optimisations sont désactivées afin d'éviter les erreurs qui y sont liées. Dans CompCert, des optimisations elles aussi prouvées sont proposées, ce qui pourrait permettre ces passes dans la production de systèmes temps réel critiques sans en compromettre la fiabilité. Le but de cette thèse est d'avoir une approche similaire mais spécifique à un langage synchrone, donc plus approprié à la description de systèmes temps réel critiques que ne l'est le C. Un langage synchrone flots de données semblable à Lustre, nommé Ls, et un langage impératif semblable au langage C, nommé Obc y sont proposés ainsi que leur sémantique formelle et une chaîne de compilation avec des preuves de préservation de sémantique le long de cette chaîne.

Cette Habilitation à Diriger des Recherches est le fruit des résultats, tant en recherche qu'en enseignement ou en transfert, de mon activité d'enseignant chercheur. Initiée au sein du Laboratoire d'Informatique, de Microélectronique et de Robotique de Montpellier (LIRMM, UMR CNRS/UM2) de 1991 à 1994, cette activité s'est ensuite concrétisée au sein du Laboratoire de Génie Informatique et d'Ingénierie de Production (LGI2P) de l'Ecole des Mines d'Alès où j'exerce depuis 1994.<br />Le travail de recherche entrepris depuis le début du Doctorat en 1991 relève de la thématique de la modélisation de systèmes complexes puis de la vérification et de la validation de ces modèles. Ceci a pour objectif d'assurer, ou à défaut de rassurer, le modeleur sur la qualité des modèles, sur leur pertinence vis-à-vis du système considéré et sur le respect d'exigences qui ont présidé à leur construction. La recherche a donc consisté au développement d'approches de modélisation, de spécification formelle de propriétés, de vérification par preuve de propriétés au moyen de Graphes Conceptuels et de simulation comportementale. Les domaines d'application privilégiés ont été les systèmes de contrôle commande répartis, puis plus largement la modélisation d'entreprise et tentent aujourd'hui d'intégrer une dimension risque dans la modélisation d'entreprise et de s'ouvrir plus largement à l'ingénierie des systèmes complexes. Les résultats sont des langages et un cadre de modélisation intégré, un langage de spécification baptisé LUSP, une suite de mécanismes de preuve formelle et de simulation qui ont donné lieu à divers encadrements de thèses, de travaux et à des transferts vers l'industrie. <br />Enfin, l'activité d'enseignement a tenté de rester cohérente avec le profil de compétence à la fois de producticien et d'ingénierie système acquis ou inspiré par la thématique de recherche. Elle s'est déroulée dans le cadre de diverses Universités, Ecoles d'Ingénieurs ou de cursus spécialisés. Les résultats sont des propositions et l'accompagnement de thématiques nouvelles, une activité d'ingénierie pédagogique et une implication dans diverses responsabilités administratives.