Le thème principal de cette thèse est l’interaction entre le “comportement” des points rationnels sur certaines classes de variétés définies sur des corps globaux et locaux, et la cohomologie de ces variétés.Dans la partie I, on étudie l’obstruction de Brauer-Manin à la validité des principes locaux-globaux (comme le principe de Hasse et l’approximation faible) qui vient du groupe de Brauer d’une variété. Dans certains cas, pour des fibrations en torseurs sous un tore constant défini sur un corps de nombres, on démontre que l’obstruction de Brauer-Manin est suffisante pour expliquer le défaut des principes locaux-globaux. On donne également des nouveaux examples de variétés pour lesquelles l’obstruction de Brauer-Manin et ses raffinements ne suffisent pas pour expliquer le défaut du principe de Hasse.Dans la partie II, on étudie la relation entre le volume rationnel d’une variété lisse, projective sur un corps strictement local, et la trace de l’opérateur de monodromie modérée sur la cohomologie étale de la variété. Ceci est motivé par un travail de Nicaise-Sebag sur une formule de traces pour l’invariant de Serre motivique, inspiré par la formule de Grothendieck-Lefschetz pour les variétés sur les corps fini. On utilise ici le formalisme de la géométrie logarithmique. / The main theme of this thesis is the interplay between the “behaviour” of the rational points on certain classes of algebraic varieties defined over global and local fields, andthe cohomology of these varieties. Part I studies the Brauer-Manin obstruction to the validity of local-global principles (such as the Hasse principle and weak approximation) coming from the Brauer groupof a variety. In some cases, for certain families of torsors under a constant torusdefined over a number field, we prove that the Brauer-Manin obstruction is sufficientto explain the failure of these local-global principles. We also give new examples of varieties for which the Brauer-Manin obstruction and its refinements are insufficientto explain the failure of the Hasse principle.In Part II, we investigate the relationship between the rational volume of a smooth, projective variety defined over a strictly local field, and the trace of the tame monodromy operator on the étale cohomology of this variety. The motivation is work of Nicaise–Sebag on a trace formula for the motivic Serre invariant, inspired by the Grothendieck–Lefschetz trace formula for varieties over finite fields. We study this relationship using the framework of logarithmic geometry.

Cette thèse est consacrée à l'étude d'une conjecture de Lang et Silverman de minoration de la hauteur de Néron-Tate sur les variétés abéliennes sur les corps de nombres. Le premier chapitre décrit le matériel nécessaire à l'étude des chapitres suivants et fixe les notations et normalisations. On montre dans le second chapitre que la conjecture est vraie pour certaines classes de variétés abéliennes de dimension 2, en particulier pour les jacobiennes ayant potentiellement bonne réduction et restant loin des produits de courbes elliptiques dans l'espace de modules. Le second chapitre renferme aussi des corollaires allant dans la direction de la conjecture de borne uniforme sur la torsion et de majoration uniforme du nombre de points rationnels d'une courbe de genre 2. Le troisième chapitre généralise les résultats de minoration du second chapitre aux jacobiennes de courbes hyperelliptiques de genre g supérieur ou égal à 2. Le quatrième chapitre contient une étude de la restriction des scalaires à la Weil et une étude asymptotique de la hauteur des points de Heegner sur les jacobiennes de courbes modulaires. Le cinquième chapitre est une annexe contenant des formules explicites utiles pour la dimension 2 et un paragraphe sur un raisonnement par isogénies.

L'enseignement est un champ d'études pour de nombreuses disciplines qui ne prennent chacune en charge qu'un de ses aspects particuliers, sans pouvoir assurer sa consistance avec les autres approches. L'auteur envisage ici les conditions qui permettraient une étude directe et scientifique – c'est-à-dire théorique expérimentale – du cœur de la relation d'enseignement dans ce qu'elle a de spécifique de la connaissance à transmettre. Il tente ainsi de prolonger la didactique classique, essentiellement normative, sous l'égide de l'épistémologie expérimentale et de l'anthropologie. Le but final reste de produire, améliorer, reproduire, décrire et comprendre les situations d'enseignement qui initient les élèves à l'activité et à la culture des mathématiciens. Le chapitre 1 montre sur un exemple – l'enseignement des rationnels et des décimaux – comment les concepts généraux permettent de classer les sources de questionnement, d'identifier certains phénomènes, de les expliquer, d'en tirer des problèmes précis concernant le type de situations dont l'élève doit prendre le contrôle pour s'approprier une connaissance correcte. Les renseignements que l'on retire de l'observation de la mise en œuvre de ces situations, constituent les bases d'une véritable épistémologie expérimentale. Le chapitre 2 est une étude du fonctionnement des situations didactiques du point de vue d'élèves en échec électif. Le chapitre 3 définit les concepts de base de la théorie des situations didactiques et présente une étude de leur consistance ainsi qu'une méthode de confrontation avec l'expérience ou l'observation Le chapitre 4 évoque quelques questions de méthodologie de la recherche en didactique et une méthode de contrôle de l'analyse factorielle des correspondances par l'analyse de l'espace explicatif. Le chapitre 5 montre deux applications possibles de la théorie dans l'étude de l'enseignement de l'énumération et de la géométrie. Les annexes présentent des études détaillées de certains aspects de ces travaux, en particulier la thèse de l'existence d'obstacles épistémologiques en mathématiques.

Nous nous intéressons au nombre de points rationnels des variétés algébriques projectives sur un corps fini. Nous déterminons notamment la fonction zêta (et plus précisément les polynômes caractéristiques de l'endomorphisme de Frobenius sur les espaces de cohomologie étale l-adique) des courbes algébriques projectives sans autre hypothèse de lissité ou d'irréductibilité. Nous montrons la divisibilité de ces polynômes dans un revêtement plat de courbes connexes, que l'on peut interpréter comme un analogue de la conjecture d'holomorphie d'Artin sur les fonctions zêta de Dedekind des corps de nombres. Nous obtenons des bornes sur le nombre de points rationnels sur un corps fini dans un revêtement plat entre courbes algébriques projectives connexes, généralisant les bornes connues et notamment celle de Weil. Nous nous sommes également intéressé au problème du nombre de classes dans les corps de fonctions à une variable sur un corps fini. Nous avons établi un théorème de finitude en ce qui concerne les extensions totalement imaginaires d'extensions totalement réelles dont le nombre de classes d'idéaux du corps imaginaire est fixé . Dans le cas où ces extensions sont quadratiques, nous donnons une formule du nombre de classes relatif en terme de fonction L, ainsi qu'une formule liant cette fonction L à une somme de caractères de type Legendre dans le cas du nombre de classe 1. Si l'on suppose de plus que le groupe de Galois d'une telle extension est isomorphe au groupe de Klein, via la théorie du corps de classes ainsi que des factorisations de fonctions zêta et des estimations de régulateurs, nous déterminons ces corps via les extensions d'Artin-Schreier et les jacobiennes.

Notre recherche s’intéresse à la transformation des rapports aux nombres rationnels d’élèves de 1re secondaire présentant des difficultés d’apprentissage. Comme le montrent plusieurs recherches, le défi majeur auquel sont confrontés les enseignants, ainsi que les chercheurs, est de ne pas s’enliser dans le cercle vicieux d’une réduction des enjeux de l’apprentissage des nombres rationnels et des possibilités d’apprentissage de l’élève en difficultés d’apprentissage, cet élève n’ayant pas ainsi la chance de mettre à l’épreuve ses connaissances, d’oser s’engager dans une démarche de construction de connaissances et d’apprécier les effets de son engagement cognitif. Afin de relever ce défi, nous avons misé sur l’intégration harmonieuse de situations problèmes. Il nous a semblé que, dans une démarche d’acculturation, l’approche écologique soit tout indiquée pour penser une «dé-transposition/re-transposition didactique» (Antibi et Brousseau, 2000) et reconstruire une mémoire porteuse d’espoirs (Brousseau et Centeno, 1998). Notre recherche vise à: 1) caractériser la progression des démarches d’acculturation institutionnelle de l’enseignant, du chercheur et des élèves et leurs effets sur les processus d’élaboration et de gestion des situations d’enseignement; 2) préciser l’évolution des connaissances, des habitus et des rapports des élèves aux nombres rationnels. Notre intégration en classe, d’une durée de 6 mois, nous a permis d’apprécier les effets du processus d’acculturation. Nous avons noté des changements importants dans la topogénèse et la chronogénèse des savoirs (Mercier, 1995); alors qu’à notre entrée, l’enseignante adoptait la démarche suivante, soit effectuer un exposé des savoirs et des démarches que les élèves devaient consigner dans leurs notes de cours, afin de pouvoir par la suite s’y référer pour effectuer des exercices et résoudre des problèmes, elle modifiait progressivement cette démarche en proposant des problèmes qui pouvaient permettre aux élèves de coordonner diverses connaissances et de construire ainsi des savoirs auxquels ils pouvaient faire référence dans la construction de leurs notes de cours qu’ils pouvaient par la suite consulter pour effectuer divers exercices. Nous avons également pu apprécier les effets de l’intégration de diverses représentations des nombres rationnels sur l’avancée du temps didactique (Mercier, 1995) et la transformation des rapports et habitus des élèves aux nombres rationnels (Bourdieu, 1980). Ces changements se sont manifestés, entre autres, par : a) un investissement important lors de situations complexes; b) l’adoption de pratiques mathématiques plus attentives aux données numériques et aux relations entre ces données; c) l’apparition de conduites « inusitées » [ex. coordination de divers registres sémiotiques,exploitation de compositions additives/multiplicatives et d’écritures non conventionnelles]. De telles conduites sont similaires à celles observées dans plusieurs recherches effectuées auprès d’une population d’élèves qui ne présentent pas de difficultés d’apprentissage (Moss et Case, 1999). Les résultats de notre recherche soutiennent donc l’importance indéniable de considérer les élèves en difficultés comme étant mathématiquement compétents, comme le soulignent Empson (2003) et Houssart (2002). Il nous semble enfin important de souligner que le travail sur la représentation des nombres rationnels a constitué une niche particulièrement fertile, pour un travail fondamental sur les nombres rationnels, travail qui puisse permettre aux élèves de poursuivre plus harmonieusement leurs apprentissages, les nombres rationnels étant des objets de savoir incontournables. / Our research looks at how grade seven students with learning disabilities deal with rational numbers. Several studies have shown the biggest hurdle facing teachers and researchers is to avoid getting into the vicious cycle of minimizing the issues related to learning rational numbers and learning opportunities of students with a learning disability, which results in students not having the chance to test their knowledge, not taking the risk of becoming involved in their knowledge construction process and not appreciating the impact of their cognitive engagements. In order to address this challenge, we integrated complex situations. Taking an acculturation approach, we found the ecological model to be a fitting tool to consider a “dé-transposition/ré-transportation didactique” (Antibi and Brousseau, 2000) and to rebuild a hope-filled memory (Brousseau et Centeno, 1998). The aim of our research was to: 1) characterize changes in the institutional acculturation processes of the teacher, the researcher and the students as well as their effects on developing and managing teaching situations and 2) identify changes in students’ knowledge of, habits related to and relationship with rational numbers. Our own six-month classroom integration allowed us to appreciate the effects of the acculturation process. We noted significant changes in the topogenesis and chronogenesis of knowledge (Mercier, 1995). Initially, the teacher used the following approach: she presented the material and the steps the students would need to do; the students took notes they would then refer to when doing exercises and solving problems. The teacher would subsequently modify this approach by presenting problems that would allow students to bring together the different knowledge they had acquired, thus reconstructing the knowledge they could refer to when making course notes. The students could refer to these notes when completing subsequent exercises. We were also able to observe the effects of integrating various representations of rational numbers on the advancement of didactical timelines (Mercier, 1995) as well as the changes in students’ relationship with and habits related to rational numbers (Bourdieu, 1980). These changes manifested themselves in several ways: a) a noticeable effort during complex situations; b) the use of mathematical methods that took into account the numerical data sets and the relationship between these sets of data; c) the appearance of “unusual” behaviours [e.g. coordination of different semiotic registers, using additive/multiplicative operations and non-conventional writing]. Similar behaviours have been observed in several studies conducted on students who did not show signs of learning disabilities (Moss et Case, 1999). Our findings support the obvious importance of considering students with learning disabilities as being mathematically competent, as highlighted by Empson (2003) and Houssart (2002). We feel it is important to note that work done on the representation of rational numbers provided a particularly fertile niche for work on rational numbers, an essential element of knowledge, that would allow students to experience a more harmonious learning process.

Soit p un nombre premier, soit K/k une extension galoisienne finie de corps de nombres de degré premier à p et soit S un ensemble fini de premiers de k. Le groupe de Galois G(K,S) de la pro-p extension maximale de K non ramifiée en dehors de S est l'objet central de ce mémoire.On se place dans un premier temps dans le cas modéré : on suppose que S ne contient pas les places divisant p. Les travaux combinés de Labute, Minac et Schmidt sur les pro-p groupes mild ont permis d'exhiber les premiers exemples de groupes G(K,S) de dimension cohomologique 2. En implémentant un corollaire de leur critère dans le logiciel PARI/GP, on observe un phénomène de propagation : si k=Q et si le groupe G(Q,S) est mild, un fort pourcentage des groupes G(K,S) l'est également, pour K quadratique imaginaire. En associant au groupe G(K,S) deux graphes orientés dont les arcs sont définis par la ramification dans des extensions p-élémentaires, on démontre un critère théorique pour que ce phénomène de propagation ait lieu.On considère ensuite le cas sauvage : toutes les places au-dessus de p sont contenues dans S. Le groupe de Galois Δ:=Gal(K/k) agit sur G(K,S) ; on note G le plus grand quotient de G(K,S) sur lequel Δ agit trivialement et H le sous-groupe fermé de G(K,S) correspondant. Maire a étudié la liberté du Zp[[G]]-module H^{ab}. Nous poussons plus loin ses résultats en considérant les φ-composantes de H^{ab} sous l'action de Δ. Sous de bonnes hypothèses et sous la conjecture de Leopoldt, on démontre une condition nécessaire et suffisante pour que les φ-composantes soient libres ou non. La théorie du corps de classes permet de ramener cette condition à l'étude du régulateur normalisé, et donc à la p-rationalité du corps K. Les expérimentations faites sur PARI/GP dans des familles d'extensions cubiques cycliques, diédrales et cycliques de degré 4 du corps des rationnels corroborent une conjecture de Gras selon laquelle tout corps de nombres est p-rationnel pour p suffisant grand. / Let p be a prime number, let K/k be a Galois extension of number fields and let S be a finite set of primes of K. We suppose that the degree of K/k is finite and coprime to p. We denote by G(K,S) the Galois group of the pro-p maximal extension of K unramified outside S. We focus on this thesis on two differents aspects of this pro-p group.We are first interested in the tame case : we suppose that S does not contain any place above p. The works of Labute, Minac and Schmidt about mild pro-p groups brought the first examples of groups G(K,S) of cohomological dimension two. Using a corollary of their criterium, we compute some examples with PARI/GP and we observe a propagation phenomenum : if we take K=Q and if we suppose that G(Q,S) is mild, a large part of the pro-p groups G(K,S) with K imaginary quadratic are mild too. We then associate two oriented graphs to G(K,S) and we show a theoretical criterium proving mildness of some imaginary quadratic fields.We then consider the wild case where all the places dividing p belong to S. The Galois group Δ:=Gal(K/k) acts on G(K,S). The action of Δ is trivial on some quotients of G(K,S) ; we denote by G the maximal one and by H the corresponding closed subgroup of G(K,S). Maire has studied the Zp[[G]]-freeness of the module H^{ab}. We extend his results considering the φ-component of H^{ab} under the action of Δ. In a favourable context and under Leopoldt's conjecture, we show a necessary and sufficient condition for the freeness of the φ-components. This condition is connected to p-rational fields by class field theory. We present experiments with PARI/GP in some families of cubic cyclic, dihedral and quartic cyclic extensions of Q which support the following conjecture from Gras : every number field is p-rational for sufficiently large p.

Dans cette thèse, nous appliquons des outils issus de la théorie d’Arakelov à l’étude de problèmes de géométrie diophantienne. Une notion centrale dans notre étude est la théorie des pentes des fibrés vectoriels hermitiens, introduite par Bost dans les années 90. Nous travaillons plus précisément avec sa généralisation dans le cadre adélique, inspirée par Zhang et développée par Gaudron. Ce mémoire s’articule autour de deux axes principaux. Le premier consiste en l’étude d’un remarquable théorème de géométrie diophantienne dû à Faltings etWüstholz, qui généralise le théorème du sous-espace de Schmidt. Nous commencerons par retranscrire la démonstration de Faltings et Wüstholz dans le langage de la théorie des pentes. Dans un second temps, nous établirons des variantes effectives de ce théorème, que nous appliquerons pour démontrer une généralisation effective du théorème de Liouville valable pour les points fermés d’une variété projective fixée. Ce résultat fournit en particulier une majoration explicite de la hauteur des points satisfaisant une inégalité analogue à celle du théorème de Liouville classique. Dans la seconde partie de cette thèse, nous établirons de nouvelles mesures d’indépendance linéaire de logarithmes dans un groupe algébrique commutatif, dans le cas dit rationnel.Notre approche utilise les arguments de la méthode de Baker revisitée par Philippon et Waldschmidt, combinés avec des outils de la théorie des pentes. Nous y intégrons un nouvel argument, inspiré par des travaux antérieurs de Bertrand et Philippon, nous permettant de contourner les difficultés introduites par le cas périodique. Cette approche évite le recours à une extrapolation sur les dérivations à la manière de Philippon et Waldschmidt. Nous parvenons ainsi à supprimer une hypothèse technique contraignante dans plusieurs théorèmes de Gaudron, tout en précisant les mesures obtenues. / In this thesis, we study diophantine geometry problems on projective varieties and commutative algebraic groups, by means of tools from Arakelov theory. A central notion in this work is the slope theory for hermitian vector bundles, introduced by Bost in the 1990s. More precisely, we work with its generalization in an adelic setting, inspired by Zhang and developed by Gaudron. This dissertation contains two major lines. The first one is devoted to the study of a remarkable theorem due to Faltings and Wüstholz, which generalizes Schmidt’s subspace theorem. We first reformulate the proof of Faltings and Wüstholz using the formalism of adelic vector bundles and the adelic slope method. We then establish some effective variants of the theorem, and we deduce an effective generalization of Liouville’s theorem for closed points on a projective variety defined over a number field. In particular, we give an explicit upper bound for the height of the points satisying a Liouville-type inequality. In the second part, we establish new measures of linear independence of logarithms over a commutative algebraic group. We focus our study on the rational case. Our approach combines Baker’s method (revisited by Philippon and Waldschmidt) with arguments from the slope theory. More importantly, we introduce a new argument to deal with the periodic case, inspired by previous works of Bertrand and Philippon. This method does not require the use of an extrapolation on derivations in the sense of Philippon-Waldschmidt. In this way, we are able to remove an important hypothesis in several theorems of Gaudron establishing lower bounds for linear forms in logarithms.

Le comptage des points rationnels est un problème classique en géométrie diophantienne. On s’intéresse à des majorations du nombre des points rationnels de hauteur bornée qui sont valables pour toute hypersurface arithmétique de degré fixé d’un espace projectif. Dans ce but, on construit une famille d’hypersurfaces auxiliaires qui contiennent tous les points rationnels de hauteur bornée mais ne contiennent pas le point générique de l’hypersurface initiale. Plusieurs outils géométriques sont développés ou adaptés dans le cadre de la géométrie d’Arakelov et de la géométrie diophantienne afin d’appliquer la méthode des déterminants par la langage de la géométrie d’Arakelov, notamment une majoration et une minoration explicite uniforme de la fonction de Hilbert-Samuel arithmétrique d’une hypersurface. Pour un schéma projectif réduit de dimension pure sur un anneau d’entiers algébriques, on donne une majoration du nombre des places sur lesquelles la fibre ne soit pas réduite. Cette majoration est utile pour la construction des hypersurfaces auxiliaires mentionnées au-dessus. De plus, la géométrie sur un corps fini joue un rôle important dans ce problème. Dans ce travail, l’un des ingrédients clé dans ce travail est une majoration effective liée à une fonction de comptage des multiplicités des points rationnels dans une hypersurface projective réduite définie sur un corps fini, qui donne une description de la complexité de son lieu singulier. Pour ce problème de comptage de multiplicités, l’outil principal est la théorie d’intersection sur un espace projectif. / Counting rational points is a classical problem in Diophantine geometry. We are interested inupper bounds for the number of rational points of bounded height of an arithmetic hypersurface with bounded degree in a projective space. For this propose, we construct a family of auxiliary hypersurfaces which contain all these rational points of bounded height but don’t contain the generic point of this hypersurface. Several tools of Arakelov geometry and Diophantine geometry are developed or adapted in this work in order to apply the determinant method by the approach of Arakelov geometry, especially a uniform explicit upper bound and a uniform explicit lower bound of the arithmetic Hilbert-Samuel function of a hypersurface. For a reduced pure dimensional projective scheme over a ring of algebraic integers, we give an upper bound of the number of places over which the fiber is not reduced any longer. This upper bound is useful for the construction of these auxilary hypersurfaces mentioned above. In addition, the geometry over a finite field plays an important role in this problem. One of the key ingredients in this work is an e_ective upper bound for a counting function of multiplicities of rational points in a reduced projective hypersurface defined over a finite field, which gives a description of the complexity of its singular locus. For this problem of counting multiplicities, the major tool is intersection theory on a projective space

Dans cette thèse, nous étudions les conjectures de Manin et Peyre pour plusieursclasses de variétés algébriques. Les conjectures de Manin et Peyre décrivent pour les variétés"presque de Fano" le comportement asymptotique des points rationnels de hauteur inférieure à B lorsque B tend vers l’infini en termes d’invariants géométriques de la variété.Nous démontrons dans un premier temps, les conjectures de Manin et Peyre pour la famille de surfaces de Châtelet définies comme modèle minimal propre et lisse de variétés affines de A3Q d’équation Y 2 + Z2 = F(X, 1) pour une forme binaire F de degré 4 sans racine multiple admettant une factorisation du type F = L1L2Q avec L1 et L2 deux formes linéaires et Q une forme quadratique irréductible sur Q[i], achevant ainsi le traitement des conjectures de Manin et Peyre dans le cas des surfaces de Châtelet avec a = −1 initié par La Bretèche, Browning et Peyre.Dans une deuxième partie de cette thèse, nous déterminons un anneau de Cox de type identité sur Q de certaines surfaces fibrées en coniques comprenant les surfaces de Châtelet. Nous en déduisons une description de certains torseurs pour ces variétés. Cela nous permet de préciser la géométrie derrière les preuves de la conjectures de Manin et notamment de préciser le traitement de la constante dans le cas où F = Q1Q2 pour Qiune forme quadratique irréductible sur Q[i]. Par ailleurs, cela permet également d’ouvrir l’espoir de nouvelles applications. Enfin, dans une troisième partie, nous établissons pour tout n > 2, les conjectures de Manin et Peyre pour la famille d’hypersurfaces singulières, de dimension 2n−2, normales et projectives Wn de P2n−1 définies par l’équation x1y2y3 · · · yn + x2y1y3 · · · yn + · · · + xny1y2 · · · yn−1 = 0 généralisant les travaux de Blomer, Brüdern et Salberger dans le cas n = 3. Les méthodes utilisées reposent sur des travaux récents de La Bretèche sur le nombre de matrices aléatoires pour la partie comptage et sur une annexe de Salberger afin de construire une résolution crépante de Wn et d’expliciter son torseur versel pour la partie conjecture de Peyre. / In this thesis, we study the Manin and Peyre’s conjectures for several families of algebraic varieties. The Manin and Peyre’s conjectures describe the distribution of rational points of height less than B when B goes to infinity for "almost Fano" varieties in termso f geometric invariants of the variety. We prove in a first part the Manin and Peyre’s conjectures for the family of Châteletsurfaces defined as minimal proper smooth model of affine varieties of A3Q of the shapeY 2 + Z2 = F(X, 1)for a binary form F of degree 4 without multiple roots and factorizing as F = L1L2Q withL1 and L2 two linear forms and Q a quadratic form irreducible over Q[i], settling the las tremaining case of the Manin and Peyre’s conjectures for Châtelet surfaces with a = −1after works of La Bretèche, Browning, Peyre and Tenenbaum .In a second part, we find a Cox ring of identity type over Q for a family of conic bundle surfaces which contains Châtelet surfaces. This yields a description of some torsors overthese surfaces over Q and it allows us to better describe the geometry behind the existing proofs of Manin’s conjecture for Châtelet surfaces, especially in the case F = Q1Q2 with Qj a quadratic form which is irreducible over Q[i]. Moreover, this result opens the way to new applications. Finally, in a third part, we establish the Manin and Peyre’s conjectures for all n > 2for the family of singular normal projective hypersurfaces Wn of dimension 2n−2 of P2n−1defined by the equation x1y2y3 · · · yn + x2y1y3 · · · yn + · · · + xny1y2 · · · yn−1 = 0 generalizing work of Blomer, Brüdern and Salberger in the case n = 3. The method used in this work relies on recent work of La Bretèche about the number of stochastic matrices for the counting part and on an Appendix by Salberger in order to construct a crepantre solution of Wn and to describe its versal torsor for Peyre’s conjecture.

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