On peut associer à tout groupe de réflexions complexes, son algèbre de Hecke H(W). Celle-ci peut etre vue comme une déformation de l'algèbre du groupe W. La théorie d'Ariki-Lascoux-Leclerc-Thibon a permis de montrer que les représentations de ces algèbres sont dans certains cas intimement reliées à des objets remarquables provenant de la théorie des groupes quantiques en type A affine (comme les cristaux ou les bases canoniques de Kashiwara-Lusztig). Le principal objectif de ce mémoire est d'étudier puis d'étendre les liens unissant ces deux théories. Nous obtenons entre autres des paramétrisations des modules simples pour H(W) grace à l'étude des cristaux du groupe quantique, calculons les matrices de décompositions associées ou encore étudions certaines involutions remarquables de H(W). Des résultats concernant la théorie des représentations des algèbres de Hecke affines de type A sont également présent\és (règle de branchement modulaire, calcul de l'involution de Zelevinsky etc.)

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2013-2014. / Cette thèse s’inscrit dans la recherche d’une preuve modulaire du Z ∗-théorème pour p impair, dont la seule démonstration connue repose sur la classification des groupes finis simples. Soit O une extension assez grande de l’anneau p-adique Zp, et k son corps résiduel. Soit G un groupe fini, e un bloc de l’algèbre OG et H = CG(P ) le centralisateur d’un p-sous-groupe de G. Si le sous-groupe H contrôle la fusion du bloc e en un sens très fort, nous prouvons l’existence d’une équivalence stable de type Morita entre le bloc e et un bloc f de l’algèbre OH , sous réserve qu’un groupe de défaut du bloc e soit abélien ou que son centre ne soit pas cyclique. Nous étendons ainsi un résultat déjà connu pour le bloc principal. Pour construire le bimodule qui induit cette équivalence stable, nous sommes amené à étudier les modules sur une algèbre de bloc OGe qui possèdent une source d’endopermutation fusion-stable, et que nous appelons des modules «Brauer-compa- tibles». Nous montrons en particulier comment la construction «slash» de Dade peut être appliquée à ces modules, et comment cette construction peut être rendue fonctorielle si on la restreint à une sous-catégorie «Brauer-compatible» de la caté- gorie des OGe-modules. Nous prouvons qu’un OGe-module indécomposable Brauer- compatible est caractérisé par une sous-paire vortex (Q, eQ), un module source V , et un module projectif indécomposable sur l’algèbre de bloc locale k[NG(Q, eQ)/Q]e¯Q associée à la sous-paire (Q, eQ). Nous donnons ainsi une formulation fonctorielle de la correspondance de Puig pour les modules Brauer-compatibles. / This thesis is related to the pursuit of a modular proof of the odd Z ∗-theorem, while the only known proof of that theorem relies on the classification of finite simple groups. Let O be a big enough extension of the p-adic ring Zp, and k be its residue field. Let G be a finite group, e be a block of the algebra OG, and H = CG(P ) be the centraliser of a p-subgroup of G. If the subgroup H controls the fusion of the block e in a very strong sense, we prove the existence of a stable equivalence of Morita type between the block e and a block f of the algebra OH , provided that a defect group of the block e is abelian or has a noncyclic center. This extends a result previously known for the principal block. In order to construct the bimodule that induces this stable equivalence, we are led to study the class of modules over a block algebra OGe that admit a fusion-stable endopermutation source. We call them “Brauer-friendly” modules. In particular, we show that Dade’s “slash” construction applies to these modules, and that this construction can be turned into a functor over a “Brauer-friendly” subcategory of the category of OGe-modules. We prove that an indecomposable Brauer-friendly module is characterised by a vertex subpair (Q, eQ), a source module V , and a projective indecomposable module over the local block algebra k[NG(Q, eQ)/Q]e¯Q attached to the subpair (Q, eQ). This provides a functorial version of the Puig correspondence for Brauer-friendly modules.

Le but de ce travail est d'étudier la structure globale de la catégorie de foncteurs F entre espaces vectoriels sur F_2, notamment la conjecture artinienne, qui équivaut au caractère localement noethérien de cette catégorie. Nous démontrons que le produit tensoriel entre un foncteur fini et le foncteur projectif standard P tenseur 2 est noethérien.<br /> Nous introduisons à cet effet d'autres catégories de foncteurs, nommées catégories de foncteurs en grassmanniennes. Elles permettent d'énoncer une forme très forte de la conjecture artinienne, décrivant la filtration de Krull de la catégorie F. Notre théorème de simplicité généralisé établi une version faible de cette conjecture. Il permet de démontrer le résultat précédent sur la structure de P tenseur 2 tenseur F (avec F fini), que nous avons également obtenu par l'usage conjoint de foncteurs hom internes et de considérations issues de la théorie des représentations modulaires.<br /> Nous décrivons la riche structure algébrique des catégories de foncteurs en grassmanniennes, équivalentes à des catégories de comodules dans F. Notre théorème d'annulation cohomologique fondamental généralise un grand nombre de résultats antérieurs en cohomologie des foncteurs. Il permet également de généraliser une étape essentielle de la démonstration de Suslin de l'isomorphisme entre K-théorie stable et homologie de Mac Lane pour des systèmes de coefficients polynomiaux.

Soit $p in N^*$. On définit une famille d'idempotents (et de nilpotents) des algèbres de Temperley-Lieb aux racines $4p$-ième de l'unité qui généralise les idempotents de Jones-Wenzl usuels. Ces nouveaux idempotents sont associés aux représentations simples et indécomposables projectives de dimension finie du groupe quantique restreint $Uq$, où $q$ est une racine $2p$-ième de l'unité. A l'instar de la théorie des champs quantique topologique (TQFT) de [BHMV95], ils fournissent une base canonique de classes d'écheveaux coloriés pour définir des représentations des groupes de difféotopie des surfaces. Dans le cas du tore, cette base nous permet d'obtenir une correspondance partielle entre les actions de la vrille négative et du bouclage, et la représentation de $SL_2(Z)$ de [LM94] induite sur le centre de $Uq$, qui étend non trivialement de la représentation de $SL_2(Z)$ obtenue par la TQFT de [RT91]. / Let $p in N^*$. We define a family of idempotents (and nilpotents) in the Temperley-Lieb algebras at $4p$-th roots of unity which generalizes the usual Jones-Wenzl idempotents. These new idempotents correspond to finite dimentional simple and projective indecomposable representations of the restricted quantum group $Uq$, where $q$ is a $2p$-th root of unity. In the manner of the [BHMV95] topological quantum field theorie (TQFT), they provide a canonical basis in colored skein modules to define mapping class groups representations. In the torus case, this basis allows us to obtain a partial match between the negative twist and the buckling actions, and the [LM94] induced representation of $SL_2(Z)$ on the center of $Uq$, which extends non trivially the [RT91] representation of $SL_2(Z)$.

Cette thèse est consacrée à l'étude des représentations modulaires des algèbres d'Ariki-Koike, et des liens avec la théorie des cristaux et des bases canoniques de Kashiwara via le théorème de catégorification d'Ariki. Dans un premier temps, on étudie, grâce à des outils combinatoires, les matrices de décomposition de ces algèbres en généralisant les travaux de Geck et Jacon. On classifie entièrement les cas d'existence et de non-existence d'ensembles basiques, en construisant explicitement ces ensembles lorsqu'ils existent. On explicite ensuite les isomorphismes de cristaux pour les représentations de Fock de l'algèbre affine quantique de type A affine. On construit alors un isomorphisme particulier, dit canonique, qui permet entre autres une caractérisation non-récursive de n'importe quelle composante connexe du cristal. On souligne également les liens avec la combinatoire des mots sous-jacente à la structure cristalline des espaces de Fock, en décrivant notamment un analogue de la correspondance de Robinson-Schensted-Knuth pour le type A affine.

Cette thèse est consacrée à l’étude des représentations modulaires des algèbres d’Ariki-Koike, et des liens avec la théorie des cristaux et des bases canoniques de Kashiwara via le théorème de catégorification d’Ariki. Dans un premier temps, on étudie, grâce à des outils combinatoires, les matrices de décomposition de ces algèbres en généralisant les travaux de Geck et Jacon. On classifie entièrement les cas d’existence et de non-existence d’ensembles basiques, en construisant explicitement ces ensembles lorsqu’ils existent. On explicite ensuite les isomorphismes de cristaux pour les représentations de Fock de l’algèbre affine quantique Uq(sle). On construit alors un isomorphisme particulier, dit canonique, qui permet entre autres une caractérisation non-récursive de n’importe quelle composante connexe du cristal. On souligne également les liens avec la combinatoire des mots sous-jacente à la structure cristalline des espaces de Fock, en décrivant notamment un analogue de la correspondance de Robinson-Schensted-Knuth pour le type A affine. / This thesis is devoted to the study of modular representations of Ariki-Koike algebras, and of the connections with Kashiwara’s crystal and canonical bases theory via Ariki’s categorification theorem. First, we study, using combinatorial tools, the decomposition matrices associated to these algebras, generalising the works of Geck and Jacon. We fully classify the cases of existence and non-existence of canonical basic sets, and we explicitely construct these sets when they exist. Next, we make explicit the crystal isomorphisms for Fock spaces representations of the quantum affine algebra Uq(sle). We then construct of a particular isomorphism, so-called canonical, which gives, inter alia, a non-recursive description of any connected component of the crystal. We also stress the links with the combinatorics of words underlying the crystal structure of Fock spaces, by describing notably an analogue of the Robinson-Schensted-Knuth correspondence for affine type A.